期末核心素养02·实践操作与推理探究能力-2023-2024学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

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1．【】
（1）如果下图表示1，请在正方形中用阴影表示。
（2）通过下图，你发现可以怎样非常简便计算的和？写出你的计算方法和结果。
（3）如果在图中继续你的操作，会发现…的和越来越接近于（ ）。
【答案】（1）见详解
（2）见详解；
（3）1
【分析】（1）正方形表示“1”，先把正方形平均分成2份，一份是，剩下的也是；然后把剩下的图形平均分成2份，一份是，剩下的也是；再把剩下的图形平均分成2份，一份是，剩下的也是；最后把剩下的图形平均分成2份，一份是，剩下的也是，据此在图中用阴影表示。
（2）计算，通过画图发现最后剩下的是，与算式中最后一个分数相同，那么用整个正方形“1”减去，即是阴影部分，也就是的和，这样计算更简便。
（3）如果在图中继续如上的操作，把剩下的图形平均分成2份，一份是，剩下的也是…，会发现…的和越来越接近于整个正方形，即1。
【详解】（1）如图：
（2）用1减去图形没有涂色部分的分数（与算式中最后一个分数相同），计算更简便。
计算过程如下：
（3）如图：
如果在图中继续你的操作，会发现…的和越来越接近于1。
【点睛】通过画图，发现这组算式的规律，利用规律解答。
2．【】先按要求操作，再计算。
（1）在方框中画一个周长18.84厘米的圆；
（2）在所画圆中，画两条相互垂直的直径；
（3）依次连接这两条直径的四个端点，得到一个小正方形；
（4）这个圆的面积是多少？小正方形的面积是多少？
【答案】如图所示：
第（1）题
第（2）题
第（3）题
（4）圆28.26 cm2小正方形18 cm2
【分析】第（1）小题先根据周长计算圆的半径（），在画圆时应先确定圆心的位置，可连接方框的两条对角线得到；第（2）小题只要画出两条相互垂直的直径，具体的位置可以不同，但要注意标上直角符号；第（4）小题中计算正方形面积的方法是先算出以圆的直径为底，半径为高的直角三角形的面积，而小正方形的面积是该直角三角形面积的两倍．
【详解】如图所示：
第（1）题
第（2）题
第（3）题
（4）3.14×32=28.26（cm2）
6×3××2=18（cm2）
答：这个圆的面积是28.26 cm2．小正方形的面积是18 cm2.
3．【】如图4×4方格纸片内，两面都写着1，2，3，4，…，16（同一位置的格子正反面数字相同），现依下列顺序逐步折叠：（1）上半部往下折叠盖在下半部上；（2）右半部往左折叠盖在左半部上；（3）左半部往右折叠盖在右半部上；（4）下半部往上折叠盖在上半部上。经过上述操作，纸片在最上面的数字是( )。
【答案】14
【分析】（1）上半部往下折叠盖在下半部上，这时上面的数字是1、2、3、4、5、6、7、8；（2）右半部往左折叠盖在左半部上，这时上面的数字是11、12、15、16；（3）左半部往右折叠盖在右半部上，这时上面的数字是9、13；（4）下半部往上折叠盖在上半部上，这时上面的数字是14，据此解答即可。
【详解】纸片在最上面的数字是14；
【点睛】解答本题时可以进行实践，得出结果。
4．【】操作、计算与推理。
在下面方格图中，找到点A，B。
①有一个圆，圆心O在AB的中点，且经过点A、B、C，点C在点A北偏西位置。请你画出这个圆，标出C点。
②连接AC、BC，得到的三角形ABC是（ ）三角形（按角分）；在圆上再任意找一个点D，连接AD、BD得到的三角形ABD是（ ）三角形。再找一些点试一试，我发现了：（ ）。
③如果每个方格边长表示，从A点到C点沿弧线走，长度是（ ）。（结果可用含有π的式子表示）
【答案】①画图：见详解；
②直角；直角；得到的三角形ABD都是直角三角形；
③π
【分析】①数对中第一个数字表示列，第二个数字表示行，由此确定AB的位置即可；根据地图上的方向“上北下南，左西右东”及其他信息（角度、距离）来确定C点的位置即可；
②观察得到的三角形ABC可知，∠ACB的度数等于90度，属于直角三角形；观察连接AD、BD得到的三角形ABD可知，∠ADB的度数都等于90度，由此解答即可。
③由图可知，A点到C点的距离是圆的周长，由此求出长度即可。
【详解】①如图：
②如图：
连接AC、BC，得到的三角形ABC是直角三角形；在圆上再任意找一个点D，连接AD、BD得到的三角形ABD是直角三角形。再找一些点试一试，我发现了：得到的三角形ABD都是直角三角形；
③2π×3×＝π
【点睛】本题难度不大但综合性较强，熟练掌握基础知识是解答本题的关键。
5．【】同学们，“观察—猜想—验证—应用”是我们常用的数学探究方法。在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？妙妙想出了两种不同的方法（如图）。
这两种方法都是求的阴影部分的面积，
因此52－32＝（5－3）×（5＋3）。
仔细观察这个等式，想一想：是不是
任意两个数都具有这样的特征呢？
（1）请举2个例子验证：
①102－62＝（ ）×（ ） ②
（2）如果用a和b表示两个数（且a＞b），这样的规律可以表示为：
a2－b2＝（ ）×（ ）
（3）根据以上结论计算：[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2]＝（ ）
【答案】（1）①（10－6）×（10＋6）
②0.82－0.52＝（0.8－0.5）×（0.8＋0.5）
（2）（a－b）×（a＋b）
（3）
【分析】已知在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，求剩余部分的面积（阴影部分的面积）；
方法1：阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，则阴影部分的面积列式为52－32；
方法2：把阴影部分转化成一个长（5＋3）厘米，宽（5－3）厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，则阴影部分的面积列式为（5－3）×（5＋3）；
由此得出52－32＝（5－3）×（5＋3）；
发现规律：两个数的平方差等于这两个数的差与这两个数的和的乘积，据此规律解答。
【详解】（1）①102－62＝100－36＝64
（10－6）×（10＋6）＝4×16＝64
所以，102－62＝（10－6）×（10＋6）
②0.82－0.52＝0.64－0.25＝0.39
（0.8－0.5）×（0.8＋0.5）＝0.3×1.3＝0.39
所以，0.82－0.52＝（0.8－0.5）×（0.8＋0.5）
（答案不唯一）
（2）a2－b2＝（a－b）×（a＋b）
（3）[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2]
＝（1－）×（1＋）×（1－）×（1＋）×（1－）×（1＋）
＝×××××
＝
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
6．【】操作、计算与推理。
如图，在某地画一个很大的圆，将圆周12等分。
（1）A点在O点的（ ）偏（ ）（ ）度方向，距离（ ）千米。
（2）B点在O点西偏南方向，距O点20千米位置，请标出B点的位置。
（3）连接OA，将OA逆时针旋转，A点所经过的路线长度是（ ）千米。（结果可用含有π的式子表示）
【答案】（1）南；东；30；40
（2）见详解
（3）π
【分析】（1）一个整圆的度数为360°，将圆平均分成12份，则每份是360°÷12＝30°，由题意可知，每个小格表示10千米，点O到点A的距离就是圆的半径，也就是它们的距离为10×4＝40千米，再根据“上北下南，左西右东”及角度信息解答即可；
（2）根据上北下南，左西右东”及角度信息和距离，标出B点的位置即可；
（3）由题意可知，连接OA，将OA逆时针旋转，A点所经过的路线长度就是圆心角为120°扇形的弧长，则A点所经过的路线长度＝圆的周长×，据此解答即可。
【详解】（1）360°÷12＝30°
10×4＝40（千米）
则A点在O点的南偏东30度方向，距离40千米。
（2）20÷10＝2（厘米）
如图所示：
（3）如图所示：
4×10＝40（千米）
π×40×2×
＝80×π
＝π（千米）
则连接OA，将OA逆时针旋转，A点所经过的路线长度是π千米。
【点睛】本题考查方向和位置及扇形的弧长，明确扇形的弧长的算法是解题的关键。
7．【】操作并填空。（下图中每小方格边长1厘米）
（1）直角三角形ABC中最长边BC是圆的直径，O是圆心，线段AO与AC的长度相等。点A在点O（ ）偏（ ）（ ）°（ ）厘米处，∠B＝（ ）°。
（2）以MN为一条边，画一个面积是6平方厘米的三角形NMP。
（3）把三角形NMP绕P点按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形，旋转后，N点的位置用数对表示是（ ），M点的位置用数对表示是（ ）。
（4）画出面积和三角形相等的梯形。
【答案】（1）东；北；60；3；30
（2）见详解
（3）作图见详解；（19，5）；（19，8）
（4）见详解
【分析】（1）将方向和距离结合起来描述位置时，要注意三个要素：一是观测点，二是方向，三是距离。
用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。
线段AO与AC的长度相等，所以三角形AOC是等边三角形，每个内角都是60°，∠B＝90°－60°。
（2）根据三角形面积＝底×高÷2，确定底和高，画出三角形NMP即可。
（3）作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可。
（4）根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，确定上下底和高，画出梯形即可。
【详解】（1）90°－60°＝30°，点A在点O东偏北60°3厘米处，∠B＝30°。
（2）三角形的面积是6平方厘米，已知MN＝3厘米，三角形的高为：6×2÷3＝4厘米。
（3）三角形NMP的P点不动，按其余各边按照顺时针方向旋转90°，得到旋转后的图形，旋转后，N点的位置用数对表示是（19，5），M点的位置用数对表示是（19，8）。
（4）画出的三角形底是3厘米，高是4厘米即可；
3×4÷2＝6平方厘米
画出的梯形上底1厘米，下底3厘米，高3厘米即可。
（1＋3）×3÷2＝6平方厘米
（作图画法不唯一）
【点睛】本题考查的知识点较多，要综合运用所学知识。
8．【】同学们一定有这样的经历：在解决某一具体问题后，如果对这些问题继续研究，往往有更多的发展，经历下面的探究，你会同样有收获！
步骤1：研究给定的问题
右图是一个边长为6厘米的正方形，把这个正方形的边长增加。
算一算，新正方形的面积是原正方形面积的几分之几？
步骤2：自主举例研究
再任意举两例，分别把正方形的边长增加，算一算，填写下表。
步骤3：得出初步结论
我发现了：__________________。
【答案】见详解
【分析】根据题意，步骤1：先根据正方形的面积＝边长×边长，算出原来正方形的面积，再用原来的边长乘（1＋）求出新的边长，然后求出新的正方形面积，用新正方形的面积除以原正方形面积结果用分数表示即可；步骤2：结合步骤1的方法举例子正确计算即可，答案不唯一；步骤3：通过观察面积变化与边长的关系得出结论。
【详解】步骤1：6×6＝36（平方厘米）
6×（1＋）
＝6×
＝8（厘米）
（8×8）÷36
＝64÷36
＝
答：新正方形的面积是原正方形面积的。
步骤2：
（答案不唯一）
步骤3：
我发现了：把一个正方形的边长增加，则新的正方形的面积是原正方形的。
【点睛】此题考查了分数乘法的应用以及正方形面积计算，关键理解题目意思再解答。
9．【】转化是解决数学问题的一个重要思想方法。运用转化的方法可以把未知的知识转化成已知的知识，把复杂的问题转化成简单的问题。如在探究除数是小数的除法时，运用商不变的性质把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法。又如在探究圆的面积的时候，把圆的面积转化成了长方形的面积。
（1）回想一下，在我们的学习中，哪些地方也运用了转化思想？
_______________________转化成___________________________来研究。
你还能用转化的数学思想方法来解决以下数学问题吗？
（2）计算下图的面积。（单位：厘米）
（3）如图，三个圆的半径都是1厘米，求阴影部分的面积。
【答案】（1）把三角形的面积；平行四边形的面积；（答案不唯一）
（2）25.12平方厘米；
（3）1.57平方厘米
【分析】（1）推导三角形的面积计算公式时，用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，把三角形的面积转化为平行四边形的面积，根据“平行四边形的面积＝底×高”推导出“三角形的面积＝底×高÷2”；
（2）把不规则图形的面积转化为半圆的面积，利用“”求出图形的总面积；
（3）由三角形的内角和为180°可知，阴影部分三个扇形的圆心角合在一起是180°，把阴影部分的面积转化为半径为1厘米圆面积的一半，利用“”求出阴影部分的面积，据此解答。
【详解】（1）分析可知，把三角形的面积转化成平行四边形的面积来研究。（答案不唯一）
（2）3.14×42÷2
＝50.24÷2
＝25.12（平方厘米）
所以，这个图形的面积是25.12平方厘米。
（3）分析可知，阴影部分的面积是整个圆面积的一半。
3.14×12÷2
＝3.14÷2
＝1.57（平方厘米）
所以，阴影部分的面积是1.57平方厘米。
【点睛】本题主要考查转化思想在数学中的应用，掌握含圆的组合图形面积的计算方法以及三角形面积公式的推导过程是解答题目的关键。
10．【】我国航天技术发展迅速，2021年12月9日15：40由神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在空间站进行“天宫课堂”第一课。通过观课同学们探索科学的热情高涨，丁丁和东东对本班同学最感兴趣的实验项目进行了一个投票统计，结果如下。
（1）已知对“浮力消失实验”最感兴趣的女生人数占全班的，对“浮力消失实验”最感兴趣的男生人数占全班的，对“浮力消失实验”最感兴趣的男生人数多，还是女生人数多？
（2）请根据本题信息再提出一个用分数解答的问题。
【答案】（1）对“浮力消失实验”最感兴趣的男生人数多。
（2）这个班对“浮力消失实验”最感兴趣的一共多少人？
27人
【分析】（1）由题意可知，已知对“浮力消失实验”最感兴趣的女生人数占全班的，对“浮力消失实验”最感兴趣的男生人数占全班的，根据异分母分数比较大小的方法进行比较即可；
（2）由题意可知，根据统计表提出相应的问题：这个班对“浮力消失实验”最感兴趣的一共多少人？对“浮力消失实验”最感兴趣的男生有6人，占全班的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算：用6除以即可解答。
【详解】（1）＝，＝
＜
答：对“浮力消失实验”最感兴趣的男生人数多。
（2）这个班对“浮力消失实验”最感兴趣的一共多少人？
6÷＝27（人）
答：这个班对“浮力消失实验”最感兴趣的一共27人。
【点睛】本题考查已知一个数的几分之几是多少，求这个数，明确用除法是解题的关键。
11．【】探索与发现。笑笑和淘气从A点走到B点，笑笑走最上面的路（大圆的半圆弧）、淘气走中间的路（几个小圆的半圆弧组成）。（π取3）
①如下图，大半圆弧的直径是12米，两个小半圆弧的直径都是6米，谁走的路程长？
②如下图，如果在大半圆弧内再增加一个小半圆弧，这时谁走的路程长？（举例或用字母表示都可以）
③你有什么发现？
【答案】①一样长；
②一样长；
③当所有小圆的直径之和等于大圆的直径时，两条线路同样长。
【分析】①笑笑走的路程＝大圆的周长÷2；淘气走的路程＝小圆的周长÷2×2＝小圆的周长；最后比较大小；
②假设出4个半圆的半径，根据圆的周长计算公式表示出笑笑和淘气走的路程，最后比较大小；
③由图可知，淘气走的中间的路程所有小圆的直径之和等于笑笑走的上面的路程大圆的直径，他们走的路程相等，据此解答。
【详解】①笑笑走的路程：
＝
＝18（米）
淘气走的路程：＝18（米）
因为18米＝18米，所以笑笑和淘气走的路程一样长。
答：两人走的路程一样长。
②假设大圆的直径为，从左到右3个小圆的直径依次是、、。
笑笑走的路程：＝
淘气走的路程：
＝
＝
由图可知，＝
则＝，所以他们走的路程一样长。
答：两人走的路程一样长。
③发现：当所有小圆的直径之和等于大圆的直径时，两条线路同样长。
【点睛】掌握圆的周长计算公式是解答题目的关键。
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16
编号
原来边长/cm
原来正方形的面积/cm2
新边长/cm
新正方形面积/cm2
新正方形面积是原来正方形面积的几分之几
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编号
原来边长/cm
原来正方形的面积/cm2
新边长/cm
新正方形面积/cm2
新正方形面积是原来正方形面积的几分之几
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2
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144
实验项目
太空细胞学研究实验展示
太空转身
浮力消失实验
水膜张力实验
水球光学实验
泡腾片实验
男生/人
5
6
4
3
3
女生/人
3
4
2
2
4