北京市海淀区清华大学附属中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题(无答案)

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（清华附中初21级）2023.12
一、选择题（本大题共24分，每小题3分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解一元二次方程，将其化成的形式，则变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．在一个不透明的口袋中装有3个白球，4个红球和5个黑球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，恰好是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
6．如图，已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，且在轴左侧，随的增大而减小，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
二、填空题（本大题共24分，每小题3分）
9．关于的一元二次方程的一个根为-1，则的值为____________．
10．如图，的直径垂直于弦，则____________．
11．如图是函数的部分图象，则该函数图象与轴负半轴的交点横坐标是____________．
12．如图，将绕着点顺时针旋转到的位置，使点首次落在上．已知，则____________．
13．下表显示了同学们用计算机模拟随机投针实验的某次实验的结果．
下面有三个推断：
①投掷1000次时，针与直线相交的次数是454，针与直线相交的概率是0.454；
②随着实验次数的增加，针与直线相交的频率总在0．477附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计针与直线相交的概率是0.477；
③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为10000时，针与直线相交的频率一定是0.4769．
其中合理的推断的序号是：____________．
14．《九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西五里，南北九里，各开中门，出东门十里有木，问：出南门几何步而见木?”今译如下：如图，矩形，东边城墙长9里，南边城墙长5里，东门点，南门点分别位于的中点，里，经过点，则的长为____________里．
15．如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点的坐标为，则点的坐标为____________．
16．定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．例如，在中，，的正对记作．若为锐角，，则____________．
三．解答题（本题共72分，第17题5分，第18题6分，第19～20题，每题4分，第21～22题，每小题5分，第23～26题，每小题7分，第27题8分，第28题7分）
17．计算：．
18．用适当的方法解下列方程：
（1）； （2）．
19．如图，在中，点在上，点在上，且，，求的长．
20．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
21．如图，在中，．
（1）求的长；
（2）延长至，使，连接，直接写出的值．
22．将背面完全相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．
（1）小明从四张卡片中随机抽取一张，抽到卡片上的数字是偶数的概率为____________；
（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，卡片上的数字记为，再从剩下的卡片中随机抽取一张，卡片上的数字记为．请用列表或画树状图的方法求关于的一元二次方程有实根的概率．
23．如图，在正方形中，为边上一点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）在（2）的条件下，延长交延长线于点，直接写出的长．
24．跳绳是大家喜欢的一项体育运动．集体跳绳时，需要两人同频甩动绳子，当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距．当身高为的小红站在小明右侧绳子的下方，且距小明拿绳子的手时，绳子恰好碰到小红的头顶．现以两人的站立点所在的直线为轴，过小明拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求绳子所对应的抛物线的解析式；
（2）若身高为的小蓝也站在绳子的下方，
①当小蓝在距小明拿绳子的手右侧时，绳子____________（“会”或“不会”）碰到小蓝的头顶；
②设小蓝与小明拿绳子的手之间的水平距离为，为保证绳子不会碰到小蓝的头顶，求的取值范围．
25．如图，在中，，以为直径的交于点，点是边上的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）连接交于点，若的半径为，求的值．
26．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且．
（1）当时，求的值；
（2）点在抛物线上，若，试比较与的大小关系，并说明理由．
27．如图1，在中，将绕点逆时针旋转得到线段，将绕点顺时针旋转得线段，连接，取中点，连接．
图1 备用图
（1）（1）依题意补全图1，求证：，
①用等式表示和之间的数量关系，并证明；
②若，直接写出的长．
28．在平面直角坐标系中，的半径为1，已知点，点不在上，给出如下定义：上存在一点，使点关于直线的对称点在上，则称点为点关于的反射点．
（1）在点中，点关于的反射点是____________；
（2）若点是点关于的反射点，直接写出的取值范围；
（3）点是直线上的动点，，且点是点关于的反射点，当最小时，
①直接用等式表示与的数量关系；
②直接写出的长度 投针次数
1000
2000
3000
4000
5000
10000
20000
针与直线相交的次数
454
970
1430
1912
2386
4769
9548
针与直线相交的频率
0.454
0.485
0.4767
0.478
0.4772
0.4769
0.4774