期末复习专题四：统计与广角—扇形统计图和数形规律探究【两大篇目】-2023-2024学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

这是一份期末复习专题四：统计与广角—扇形统计图和数形规律探究【两大篇目】-2023-2024学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版，文件包含期末复习专题四统计与广角扇形统计图和数形规律探究两大篇目原卷版doc、期末复习专题四统计与广角扇形统计图和数形规律探究两大篇目解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。

【两大篇目】
专题解读
本专题是期末复习专题四：统计与广角——扇形统计图和数形规律探究。本部分内容包括扇形统计图的认识、绘制、应用以及数形规律的探究等，该部分根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，建议作为期末复习核心内容进行讲解，一共划分为两个篇目，欢迎使用。
目录导航
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc13355" 【第一篇】扇形统计图
\l "_Tc23898" 【知识总览】 PAGEREF _Tc23898 \h 3
\l "_Tc294" 【考点一】统计图的特点与选择 PAGEREF _Tc294 \h 3
\l "_Tc743" 【考点二】扇形统计图的实际应用 PAGEREF _Tc743 \h 5
\l "_Tc5285" 【考点三】统计图综合应用 PAGEREF _Tc5285 \h 10
\l "_Tc16151" 【第二篇】数形规律探究
\l "_Tc29359" 【知识总览】 PAGEREF _Tc29359 \h 20
\l "_Tc2383" 【考点一】数字、数列、算式规律探究 PAGEREF _Tc2383 \h 20
\l "_Tc4772" 【考点二】图形、数形、图式规律探究 PAGEREF _Tc4772 \h 24
【第一篇】扇形统计图
【知识总览】
一、扇形统计图的含义。
用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分比，这样的统计图叫做扇形统计图。
二、扇形统计图、条形统计图和折线统计图的特点。
1.扇形统计图可以清楚地表示各部分的数量与总数之间的关系。
2.条形统计图能清楚地表示出各种数量的多少。
3.折线统计图既表示出各种数量的多少，又表示出数量的增减变化情况。
三、绘制扇形统计图的步骤。
1.首先要计算出要填入扇形统计图的各个数据的百分比的比值，根据统计资料，整理或计算出必要的数据（包括部分占整体的百分数）。
2.用圆规画出一个圆。
3.确定好各个数据在扇形统计图中说占的比值（用量角器分别量出各个数据所占扇形的比值部分），根据数据，算出各部分扇形圆心角的度数根据需要，取适当的半径画圆，用量角器依次按圆心角把圆分成几个扇形。
四、利用扇形统计图解决问题。
扇形统计图用整个圆表示单位“1”，用各扇形的大小表示每种量占单位“1”的百分比。
1.部分量=总量×部分量占总量的百分比；
2.总量（即单位“1”的量）=部分量÷部分量对应的百分比。
【考点一】统计图的特点与选择。
【典型例题】
在我们已学过的统计图中，如果要直观地看出各种数量的多少可以选择( )统计图，如果要清楚地表示出各种数量增减变化情况选用( )统计图比较合适。如果要反映各部分数量与总数之间的关系用( )统计图比较合适。
【答案】 条形 折线 扇形
【分析】条形统计图能清楚地表示出数量的多少；
折线统计图不仅能表示数量的多少，还能表示数量的增减变化情况；
扇形统计图表示部分与整体之间的关系；据此解答。
【详解】在我们已学过的统计图中，如果要直观地看出各种数量的多少可以选择条形统计图，如果要清楚地表示出各种数量增减变化情况选用折线统计图比价合适。如果要反映各部分数量与总数之间的关系用扇形统计图比较合适。
【点睛】熟练掌握统计图的各自特征是解答本题的关键。
【对应练习】
1．为选拔更出色的运动员参加2024年巴黎奥运会，国家队从近3年就开始为每个队员绘制( )，来表示运动员们参加每次比赛成绩高低的变化。
A．条形统计图B．折线统计图C．扇形统计图D．都不是
【答案】B
【分析】用统计图表示数据时，要根据实际情况选择合适的统计图：（1）要表示出各种数量的多少时，选择条形统计图；（2）既要表示出各种数量的多少，又要表示出数量增减变化的情况时，选择折线统计图；（3）要表示出各部分数量与总数之间的关系时，选择扇形统计图。
【详解】国家队即要了解运动员们3年来参加每次比赛的具体成绩，又要了解成绩的增减变化趋势，所以，国家队从近3年就开始为每个队员绘制折线统计图，来表示运动员们参加每次比赛成绩高低的变化。
故答案为：B
2．要反映一种牛奶中各种营养成分的含量的占比，用( )表示比较合适。
A．统计表B．条形统计图C．折线统计图D．扇形统计图
【答案】D
【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可。
【详解】要反映一种牛奶中各种营养成分的含量的占比，用扇形统计图表示比较合适。
故答案为：D
【点睛】此题应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答。
3．要反映阳光小学每一年新生增减变化的趋势，应绘制( )更合适。
A．条形统计图B．扇形统计图C．折线统计图D．都可以
【答案】C
【分析】扇形统计图的特点：用一个圆的面积来表示总数用圆内扇形的大小来表示占总数的百分比；条形统计图的特点：用一个单位长度表示一定的数量用直条的长短来表示数量的多少；折线统计图的特点：用一个单位长度表示一定的数量用折线上升或下降表示数量的多少和增减变化情况。据此选择。
【详解】要反映阳光小学每一年新生增减变化的趋势选择折线统计图比较合适。
故答案为：C
【点睛】此题考查了学生对统计图特点的熟练掌握程度，要求熟练掌握以及灵活运用。
【考点二】扇形统计图的实际应用。
【典型例题】
1.下图是某校六年级全体学生某次数学竞赛成绩的统计图。请计算下列数据并填空。
(1)不及格人数占全年级人数的( )%。等级为“及格”的部分的扇形圆心角是( )°。
(2)若获得良好成绩的有80人，那么全年级共有( )人。
【答案】(1) 5 90
(2)200
【分析】（1）整个圆代表的是全年级人数，相当于单位“1”，用1减去优、良、及格人数占全年级人数的百分率的和，即可求出不及格人数占全年级人数的百分率；及格人数占25%，用360°乘25%即可求出等级为“及格”的部分的扇形圆心角。
（2）已知一个数的百分之几是多少，求这个数的问题的解法：已知量÷已知量占单位“1”的百分之几＝单位“1”的量。80人所对应的分率是40%，用80÷40%即可求出全年级的人数。
【详解】（1）1－（30%＋40%＋25%）
＝1－95%
＝5%
360°×25%＝90°
所以不及格人数占全年级人数的5%，等级为“及格”的部分的扇形圆心角是90°。
（2）80÷40%
＝80÷0.4
＝200（人）
所以全年级共有200人。
【点睛】利用扇形统计图解决问题，就是解决有关不同类型的百分数问题，按照百分数问题的解题思路和解题方法进行解答。
2.为民小学六年级有500名同学，参加课外兴趣小组分布情况如图。其他兴趣小组的人数占六年级总人数的( )%，参加音乐兴趣小组有( )人。
【答案】 22 90
【分析】把六年级学生人数看作单位“1”，根据减法的运用，用减法求出其他兴趣小组的人数占六年级总人数的百分之几；根据求一个数的百分之几是多少，用乘法求出参加音乐兴趣小组的人数。
【详解】1－18%－26%－34%＝22%
500×18%＝90（人）
所以，其他兴趣小组的人数占六年级总人数的22%，参加音乐兴趣小组有90人。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握扇形统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。
3.如图是尚文学校2019年六年级数学竞赛成绩，优秀的有24人，那么不及格的有( )人。
解析：
24÷60%×12.5%
＝40×12.5%
＝5（人）
4.下面是红心小学六年级学生参加兴趣小组的情况统计图，如果体育兴趣小组有108人，那么六年级参加兴趣小组的学生共有( )人；参加体育兴趣小组的人数比参加音乐兴趣小组的人数多( )%。
解析：
108÷36%＝300（人）
300×32%＝96（人）
（108－96）÷96
＝12÷96
＝0.125
＝12.5%
【对应练习】
1.如图是某度假村占地分布情况统计图，看图回答问题。

(1)人工湖面积占度假村总面积的( )%。
(2)如果房屋面积是3000平方米，度假村的总面积是( )平方米。
【答案】(1)40
(2)15000
【分析】（1）把度假村占地的总面积看作单位“1”，人工湖面积占总面积的百分率＝1－（绿地面积占总面积的百分率＋道路面积占总面积的百分率＋房屋面积占总面积的百分率）；
（2）把度假村占地的总面积看作单位“1”，房屋面积是3000平方米占总面积的20%，根据量÷对应的百分率＝单位“1”求出度假村的总面积，据此解答。
【详解】（1）1－（25%＋15%＋20%）
＝1－60%
＝40%
所以，人工湖面积占度假村总面积的40%。
（2）3000÷20%＝15000（平方米）
所以，度假村的总面积是15000平方米。
【点睛】理解并掌握扇形统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息解决有关实际问题是解答题目的关键。
2.李大爷家今年的蔬菜种植情况如图。已知黄瓜种了240平方米。
（1）其中( )的种植面积最多，是( )平方米。
（2）芹菜的种植面积是( )平方米。
（3）芹菜比韭菜少种植( )%。
解析：
（1）西红柿种植面积最多；
（平方米）
（平方米）
（2）（平方米）
（3）
3.如图，油菜的种植面积占总种植面积的( )%。如果总种植面积是200公顷，那么小麦的种植面积是( )公顷，大麦的种植面积是( )公顷。大麦比小麦少种了( )%。
解析：
油菜的种植面积占总种植面积：
1－50%－35%
＝50%－35%
＝15%
小麦的种植面积：
200×50%
＝200×0.5
＝100（公顷）
大麦的种植面积：
200×35%
＝200×0.35
＝70（公顷）
大麦比小麦少种：
（100－70）÷100
＝30÷100
＝0.3
＝30%
【考点三】统计图综合应用。
【典型例题】
1．随着长征八号的成功发射，我国2021年航天发射圆满收官。在这被称为中国航天年的2021年中，我国航天发射次数达到创纪录的55次，居世界第一。（提示：以下计算中，百分号前面均保留一位小数）
（1）根据以上统计表中的信息完成统计图。
（2）我国2021年总发射成功率为( )%。
（3）从发射数量看，我国比第二名的美国多了( )%。
【答案】（1）见详解
（2）94.5
（3）22.2
【分析】（1）分别用中国、美国、俄罗斯发射的次数除以三个国家发射的总次数，再乘100%，据此完成统计图即可；
（2）根据成功率＝成功的次数÷发射的总次数×100%，据此进行计算即可；
（3）用我国的发射数量减去美国的发射数量，再除以美国的发射数量，最后再乘100%即可。
【详解】（1）中国：55÷（55＋45＋25）×100%
＝55÷125×100%
＝0.44×100%
＝44%
美国：45÷（55＋45＋25）×100%
＝45÷125×100%
＝0.36×100%
＝36%
俄罗斯：
25÷（55＋45＋25）×100%
＝25÷125×100%
＝0.2×100%
＝20%
如图所示：
（2）（55－3）÷55×100%
＝52÷55×100%
≈0.945×100%
＝94.5%
则我国2021年总发射成功率为94.5%。
（3）（55－45）÷45×100%
＝10÷45×100%
≈0.222×100%
＝22.2%
则从发射数量看，我国比第二名的美国多了22.2%。
2．近几年来一种新型共享经济越来越多地引起人们的注意，同学们对使用过“××出行”的人进行随机采访，让他们说出自己最常用的一款共享车。请你根据统计图完成下面的问题。
（1）随机采访的人群中使用( )车的人数最多，共采访了( )人。
（2）请把条形统计图补充完整。
【答案】（1）单；200人
（2）见详解
【分析】（1）通过扇形统计图可以很清楚地表示各部分数量同总数之间的关系，对比各种车辆占车类总量的百分率即可知道随机采访的人群中使用什么车的人数最多；使用单车的人数有106人，占随机采访的人群人数的53%，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算，即用106除以53%即可求出共采访了多少人；
（2）根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，据此分别求出使用助力车和电动车的人数，进而完成统计图。
【详解】（1）53%＞31%＞10%＞6%
（人）
则随机采访的人群中使用单车的人数最多，共采访了200人。
（2）200×31%＝62（人）
200×10%＝20（人）
如图所示：
3．下图是小沈与小孙两位统计员关于杭州2020年四个季度GDP的情况统计。
根据图上所提供的信息，解决下列问题：
（1）杭州市2020年第二季度的GDP是多少亿元？并把折线统计图补充完整。
（2）杭州市2020年第四季度的GDP是第一季度的多少倍？
【答案】（1）见详解；（2）1.33倍
【分析】（1）将杭州市2020年四个季度的总GDP看作单位“1”，其中第二季度的GDP占整体的21%，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算出四个季度的总GDP；再用总GDP乘第二季度占的25%，据此解答；
（2）用第四季度的GDP值除以第一季度的GDP值，所得的商即为第四季度的GDP是第一季度的几倍。
【详解】3381÷21%×25%
＝16100×25%
＝4025（亿元）
答：杭州市2020年第二季度的GDP是4025亿元。
作图如下：
（2）4508÷3381≈1.33
答：杭州市2020年第四季度的GDP大约是第一季度的1.33倍。
【点睛】解答本题的关键是要根据第一季度的GDP及其所占的百分比，先计算出四个季度的总GDP，再根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算。
【对应练习】
1．都某超市上个月肉类销售情况统计如图。
(1)根据统计图完善下面的统计表。
(2)这个超市上个月共销售肉类( )吨。
(3)根据这个超市的肉类销售情况，结合自己的亲身感受，你觉得我们的生活水平( )。
A．越来越高B．越来越低C．没有感觉到变化
(4)上面的统计从侧面验证了2022年10月16日在北京召开的中国共产党第( )次代表大会关于全面建成小康社会人民生活水平的描述。
A．十八B．十九C．二十
【答案】(1)50；21
(2)200
(3)A
(4)C
【分析】（1）把某超市上个月肉类销售的总重量看作单位“1”，已知猪肉销售了100吨占总重量的50%，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算，即可求出总重量；
又已知销售的牛肉、其它肉类分别占总重量的25%、10.5%，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，分别求出销售的牛肉和其它肉类，并把表格补充完整。
（2）由上一题可知，这个超市上个月共销售肉类的总重量，也可以把表格中所有肉类的销量相加得出总重量。
（3）（4）联系生活实际进行解答。
【详解】（1）总重量：
100÷50%
＝100÷0.5
＝200（吨）
牛肉：
200×25%
＝200×0.25
＝50（吨）
其它：
200×10.5%
＝200×0.105
＝21（吨）
如下表：
（2）100＋50＋29＋21＝200（吨）
这个超市上个月共销售肉类200吨。
（3）根据这个超市的肉类销售情况，结合自己的亲身感受，我觉得我们的生活水平越来越高。
故答案为：A
（4）上面的统计从侧面验证了2022年10月16日在北京召开的中国共产党第二十次代表大会关于全面建成小康社会人民生活水平的描述。
故答案为：C
【点睛】本题考查百分数的实际应用、扇形统计图的特点及作用，能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。
2．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解。
根据调查统计结果，绘制了如下不完整的三种统计图（表）。
对雾霾天气了解程度的统计表
请结合统计图（表），回答下列问题：
（1）表格中m＝( )，n＝( )。
（2）请补全条形统计图。
（3）已知该校六年级有学生240人，那么对雾霾天气“不了解”的学生有多少人？
【答案】（1）15%；35%；
（2）见详解；
（3）84人
【分析】（1）已知对雾霾天气非常了解的人数是20人，这部分的人数占总调查人数的5%，已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法，用20除以5%，即可求出总调查人数，再用对雾霾天气比较了解的人数除以总人数，即可求出这部分人数占总人数的百分比；用总人数连续减去对雾霾天气非常了解、比较了解、基本了解的人数之和，求出对雾霾天气不了解的人数，再用对雾霾天气不了解的人数除以总人数，求出这部分人数占总人数的百分数，据此解答即可。
（2）根据（1）即可求出对雾霾天气不了解的人数，并补充到条形统计图中即可。
（3）求一个数的百分之几是多少，用乘法，用六年级的学生总人数乘对雾霾天气“不了解”占总人数的百分比，即可求出对雾霾天气“不了解”的学生有多少人。
【详解】（1）20÷5%＝400（人）
60÷400×100%＝0.15×100%＝15%
400－20－60－180＝140（人）
140÷400×100%＝0.35×100%＝35%
所以表格中m＝15%，n＝35%。
（2）如图：
（3）（人）
答：对雾霾天气“不了解”的学生有84人。
3．下图是小高与小林两位统计员关于某市2021年四个季度GDP的情况统计。
（1）算出相关数据，把小林制的折线统计图补充完整。
（2）根据该市2021年GDP发展态势，预计2022年全年的GDP要比2021年增长10%。该市2022年的GDP预计会达到多少亿元？
【答案】（1）见详解
（2）6050亿元
【分析】（1）从扇形统计图和折线统计图中可知，第一季度GDP是1100亿元，占2021年全年GDP的20%，把2021年全年的GDP作单位“1”，单位“1”未知，用第一季度的GDP除以20%，求出2021年全年的GDP；
从扇形统计图可知，第三、四季度的GDP分别占2021年全年的GDP的26%、30%，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法，分别求出第三、四季度的GDP，据此将折线统计图补充完整。
（2）根据“预计2022年全年的GDP要比2021年增长10%”，把2021年全年的GDP看作单位“1”，则预计2022年全年的GDP是2021年的（1＋10%），单位“1”已知，用2021年全年的GDP乘（1＋10%）即可求解。
【详解】（1）2021年全年的GDP：
1100÷20%
＝1100÷0.2
＝5500（亿元）
第三季度：
5500×26%
＝5500×0.26
＝1430（亿元）
第四季度：
5500×30%
＝5500×0.3
＝1650（亿元）
如图：
（2）5500×（1＋10%）
＝5500×1.1
＝6050（亿元）
答：该市2022年的GDP预计会达到6050亿元。
【点睛】理解掌握折线统计图、扇形统计图的特点及作用，根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。找出单位“1”，单位“1”已知，根据百分数乘法的意义列式计算；单位“1”未知，根据百分数除法的意义列式计算。
【第二篇】数形规律探究
【知识总览】
数形规律探究。
1.数列数字中的规律一般要通过观察分析数的变化规律，得出数变大或变小的趋势，再分析这个数具体变化了多少，最后综合分析得出结论。
2.图形中的变化规律较为抽象，可以采用数形转换，将图形规律转化为数字规律。
【考点一】数字、数列、算式规律探究。
【典型例题】
1．找规律，填数。
10，14，22，38，70，134，( )，( )。
【答案】 262 518
【分析】数列中用后项减去前项，14－10＝4＝2×2，22－14＝8＝2×2×2，依次验证，发现规律就是第几项减去其前项的差就是几个2的乘积，据此解答。
【详解】14－10＝4＝2×2
22－14＝8＝2×2×2
38－22＝16＝2×2×2×2
70－38＝32＝2×2×2×2×2
134－70＝64＝2×2×2×2×2×2
规律：数列的第2项减去第1项的差等于2个2的积，数列的第3项减去第2项的差等于3个2的积……
数列的第7项减去第6项的差等于7个2的积，即（262）－134＝2×2×2×2×2×2×2＝128；
数列的第8项减去第7项的差等于8个2的积，即（518）－262＝2×2×2×2×2×2×2×2＝256。
【点睛】考查探索数的排列规律。
2．一串数1，4，9，16，25…它们是按一定规律排列的，那么其中第2019个数与第2018个数相差( )。
【答案】4037
【分析】第一个数字是，第二个数字是，第三个数字是，可以发现第几个数字就是几的平方，所以第2019个数字是，第2018个数字是。
【详解】
＝
＝
＝
＝2018＋2019
＝4037
所以第2019个数与第2018个数相差4037。
【点睛】重点是能看出每个数的规律，能够知道第几个数就是几的平方。
3．根据规律，再写出一道这样的算式。
9÷9＝1；108÷9＝12；1107÷9＝123；( )。
【答案】11106÷9＝1234
【分析】观察算式可知，每个算式的除数为9，商则是由1开始，依次递进。如：1，12，123。
【详解】根据规律可知第四条算式的商为1234，除数依然为9。
因为1234×9＝11106，所以11106÷9＝1234。
【点睛】此题考查了学生的观察推理能力，找出规律，按照规律写出算式。
4．如图，第20行的第1个数是( )。
【答案】191
【分析】观察可知，第几行就有几个数，每行第一个数之间的规律为：1247……，加数一个比一个大1，1到20之间共有（20－1）个加数，据此算出第20行的第1个数即可。
【详解】1＋1＋2＋3＋4＋5＋6……＋18＋19
＝1＋（1＋19）×19÷2
＝1＋20×19÷2
＝1＋190
＝191
第20行的第1个数是191。
【点睛】关键是观察每行第一个数之间的规律，找出规律进行计算。
【对应练习】
1．按规律填空。
1，，( )，，。
【答案】
【分析】观察数列可知，1＝，＝，＝，＝，则括号中的分数的分母应为3的3次方，分子为1。据此填空即可。
【详解】＝
则1，，，，
【点睛】本题考查数列的排列规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
2．瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第9个数据是( )。
【答案】
【分析】先观察分子：9、16、25、36，分别是32、42、52、62，据此得出第n个数据的分子是（n＋2）2；再观察分母：5、12、21、32，可分别改写成1×5、2×6、3×7、4×8，据此得出第n个数据的分母是n（n＋4），接下来将n＝9代入即可求出第9个数据。
【详解】观察前面四个数据，可得规律是：
分子是：32，42，52，62，…，（n＋2）2，…，
分母是：1×5，2×6，3×7，4×8，…，n（n＋4），…
所以第n个数据是
所以第9个数据是：。
【点睛】本题考查的是探究规律——数字字母规律问题，应从仔细观察题中所给的已知数据，，，，找到它们的共同特点入手。
3．观察下面两道等式，根据你发现的规律，再写出一道同规律的等式：14×16＝152－1，37×39＝382－1，( )。
【答案】17×19＝182－1
【分析】由这两个算式可以看出，两个整数m、n（m、n均大于0，且m比n大2），m×n＝[（m＋n）÷2]2－1．即两个差为2且都不为零的整数之积等于这个数的平均数的平方减1，根据这一规律即可写出一道同规律的等式。
【详解】观察下面两道等式，根据发现的规律，写出一道同规律的等式：
14×16＝152－1
37×39＝382－1
17×19＝182－1（答案不唯一）
【点睛】关键是这两个整数的特征，这两个整数必须符合“差为2且都不为零”才能有这样的规律。
4．观察，图①的各数之和为1，图②的各数之和为17，图③的各数之和为65，……。图④中各数之和是( )。
【答案】161
【分析】观察可知，除了1只有1个以外，其它每一圈的数的个数都与相邻一圈的数的个数差8，所以图4中的各数之和＝1＋2×1×8＋3×2×8＋4×3×8。
【详解】根据分析：
1＋2×1×8＋3×2×8＋4×3×8
＝1＋16＋48＋96
＝161
图④中各数之和是161。
【点睛】关键是仔细观察表中数字的规律，找出规律，根据规律算出下一个表中的数字之和。
【考点二】图形、数形、图式规律探究。
【典型例题】
1．用●按规律摆成下列图案，第( )个图案中有49个●，第n个图案中有( )个●。
【答案】 7
【分析】观察4幅图，发现第1个图案有1×1＝1个点，第2个图案有2×2＝4个点，第3个图案有3×3＝9个点，第4个图案有4×4＝16个点，以此类推49＝7×7，所以第7个图案中49个点；第n个图案有n2个点。
【详解】根据分析，因为7×7＝49，所以用●按规律摆成下列图案，第7个图案中有49个●，第n个图案中有n2个●。
【点睛】本题考查图形的规律，找到第几幅图与黑点的个数之间的规律是解题的关键。
2．探究数与形的秘密时，可以用不同的观察方法发现不同的算式。
横着观察：
算式：1×1＝1、2×2＝4、3×3＝9、 …
斜着观察：
算式：1、1＋2＋1＝4、1＋2＋3＋2＋1＝9、 …
形观察：
算式：1、1＋3＝4、1＋3＋5＝9、 …
回字形观察：
算式：1、4、1＋8＝9、 …
【答案】 4×4＝16 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16 1＋3＋5＋7＝16 4＋12＝16
【分析】横着观察：第1个图形只有1个小正方形；第2个图形有2行，每行2个小正方形；第3个图形有3行，每行3个小正方形；第4个图形有4行，每行4个小正方形……小正方形的总个数＝行数×每行小正方形的个数；
斜着观察：第1个图形只有1个小正方形；第2个图形有（1＋2＋1）个小正方形；第3个图形有（1＋2＋3＋2＋1）个小正方形；第4个图形有（1＋2＋3＋4＋3＋2＋1）个小正方形……
形观察：第1个图形只有1个小正方形；第2个图形比第1个图形多3个小正方形，一共有（1＋3）个小正方形；第3个图形比第2个图形多5个小正方形，一共有（1＋3＋5）个小正方形；第4个图形比第3个图形多7个小正方形，一共有（1＋3＋5＋7）个小正方形……
回字形观察：第1个图形只有1个小正方形；第2个图形有4个小正方形；第3个图形有1个黑色小正方形和8个白色小正方形，一共有（1＋8）个小正方形；第4个图形有4个黑色小正方形和12个白色小正方形，一共有（4＋12）个小正方形……
【详解】横着观察：1×1＝1、2×2＝4、3×3＝9、4×4＝16…
斜着观察：1、1＋2＋1＝4、1＋2＋3＋2＋1＝9、1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16…
形观察：1、1＋3＝4、1＋3＋5＝9、1＋3＋5＋7＝16…
回字形观察：1、4、1＋8＝9、4＋12＝16…
【点睛】本题主要考查数形结合思想的应用，根据题中的观察方式找出算式的规律是解答题目的关键。
【对应练习】
1．如图是用长度相同的小棒摆成的一组有规律的图案，图案①需要4根小棒，图案②需要10根小棒……按照这样的规律摆下去，图案⑤需要( )根小棒；图案n需要( )根小棒。（用含n的式子表示）
【答案】 28 6n－2
【分析】观察图案可知，每下一幅图案比前一幅多用了6根小棒，找出6与n的联系即可得出结论。
【详解】图①需要小棒：6×1－2
＝6－2
＝4（根）
图②需要小棒：6×2—2
＝12－2
＝10（根）
图③需要小棒：6×3－2
＝18－2
＝16（根）
则第n图案需要小棒：（6n－2）根。
【点睛】本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。
2．下面图形都是由边长0.5厘米的正方形拼成的。
（1）找规律画出图形⑤。
（2）根据前面的图形把表格补充完整。
【答案】（1）见详解
（2）面积：2.5、3.75。
周长：8、10。
【分析】（1）观察图形可知，第一个图形有1列有1个正方形，第二个图形有2列，第2列有2个正方形，第三个图形有3列，第3列有3个正方形⋯⋯所以第五个图形有5列，第5列有5个正方形；
（2）一个正方形的边长是0.5厘米，一个正方形的面积是0.5×0.5＝0.25平方厘米，然后用一个正方形的面积乘正方形的个数即可；通过平移可知求图形4和图形5的周长即求边长是0.5×4＝2厘米和0.5×5＝2.5厘米正方形的周长。
【详解】（1）图形⑤如图所示：
（2）第④图形的面积为：0.5×0.5×10＝2.5（平方厘米）
周长是：0.5×4×4＝8（厘米）
第⑤图形的面积为：
0.5×0.5×15
＝0.25×15
＝3.75（平方厘米）
0.5×5×4
＝2.5×4
＝10（厘米）
【点睛】本题考查图形的周长和面积，明确面积和周长的定义是解题的关键。
火箭发射次数
失败次数
中国
55
3
美国
45
2
俄罗斯
25
2
种类
猪肉
牛肉
羊肉
其它
重量（吨）
100
29
种类
猪肉
牛肉
羊肉
其它
重量（吨）
100
50
29
21
对雾霾天气了解程度
百分比
A．非常了解
5%
B．比较了解
m
C．基本了解
45%
D．不了解
n
图形
①
②
③
④
⑤
面积/
0.25
0.75
1.5
( )
( )
周长/cm
2
4
6
( )
( )