2023-2024学年河北省承德市兴隆县八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省承德市兴隆县八年级（上）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列四个数，，π，3.14中，无理数是（ ）
A．B．C．πD．3.14
3．如图所示，AB∥CD，AB＝CD，BE＝DF，则图中的全等三角形有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
4．若表示的是一个最简分式，则☆可以是（ ）
A．4B．xC．2xD．x2
5．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠0B．x≠﹣1C．x≠2D．x≠﹣2
6．下列说法中，正确的是（ ）
A．无理数包括正无理数、零和负无理数
B．无限小数都是无理数
C．正实数包括正有理数和正无理数
D．实数可以分为正实数和负实数两类
7．下列运算中正确的是（ ）
A．B．＝C．D．（﹣3）2＝6
8．如图，B，D分别是位于线段AC两侧的点，连接AB，AD，CB，CD，则下列条件中，与AB＝AD相结合无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．CB＝CDB．∠BAC＝∠DAC
C．∠BCA＝∠DCAD．以上都无法判定
9．一个正方体的水晶砖，体积为100cm3，它的棱长大约在（ ）
A．4cm～5cm之间B．5cm～6cm之间
C．6cm～7cm之间D．7cm～8cm之间
10．已知，则的值为（ ）
A．B．C．4D．﹣4
11．如图，已知△ABC，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是（ ）
A．只有乙B．只有丙C．甲和乙D．乙和丙
12．如图，数轴上点A表示的数可能是（ ）
A．7的算术平方根B．6的立方根
C．9的平方根D．8的立方根
13．如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D在底边BC上，添加下列条件后，仍无法判定△ABD≌△ACD的是（ ）
A．BD＝CDB．∠BAD＝∠CAD
C．∠B＝∠CD．∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC
14．如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，在格点F、G、H、I中选出一个点与点D、点E构成的三角形与△ABC全等，则符合条件的点共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
15．已知：，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．b＜a＜cB．b＜c＜aC．a＜b＜cD．c＜b＜a
16．如图①，某品牌饮料的包装箱是一个长、宽、高分别为a，b，4r的长方体纸箱，饮料瓶可近似看成底面半径为r，高为4r的圆柱体．如图②，若纸箱里装满了一层饮料，那么纸箱的空间利用率（听装饮料总体积与纸箱体积的比）为（ ）
A．B．πr2C．D．
二、填空题（本大题共3个小题，5个空，每空2分，共10分.）
17．已知a+＝3，则a2+的值是 ．
18．如图，在△ABC与△ADE中，E在BC边上，AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，若∠1＝25°，则∠DAB＝ °，∠2＝ °．
19．如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，对应的数为1，以点A为圆心，AD长为半径画弧交数轴于点E（点E位于点A的左侧），则线段EA＝ ，点E对应的数为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（1）先化简，再求值：（1﹣），其中x＝3．
（2）解方程：．
21．如图，在△AFD和△CEB中，点A、E、F，C在同一直线上，有下面四个论断：（1）AD＝CB；（2）AE＝CF；（3）∠B＝∠D；（4）AD∥BC．请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一证明题，并写出证明过程．
22．“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和弟子颜回等到离所住驿站30里的书院讲学，弟子们步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，已知牛车的速度是步行的1.5倍，结果孔子和弟子们同时到达书院，求孔子及其弟子们的速度各是多少里/小时．
23．某小区准备修建一个面积为75m2的花坛，甲、乙两个工程队给出如下两个施工方案．
甲：花坛为长方形，且长与宽的比为3：1．
乙：花坛为正方形．
（1）求长方形花坛的宽．
（2）嘉淇说：“正方形花坛的边长肯定比长方形花坛的宽长3m．”请你判断嘉淇的说法是否正确，并通过计算说明．
24．如图，已知△ABC
（1）作△ACD，使△ACD与△ACB在AC的异侧，并且△ACD≌△ACB（要求：尺规作图、保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接BD，交AC于O，试说明OB＝OD．
25．数学来源于生活，生活离不开数学，开水中加入适量的糖冲泡成甜糖水很受一些人的喜爱，人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度．
（1）若在a克糖水里面含糖b克（a＞b＞0），则该糖水的甜度为 ；
（2）现向（1）中的糖水中再加入适量的糖，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．请用所学的数学知识解释这一现象．（提示：我们在判断两个数的大小时，常常会用到作差法，如5﹣3＝2＞0所以5＞3，同样如果m﹣n＞0，就说明m＞n）
26．如图，等腰△ABC和等腰△ACD中腰为AB、AC、AD，底角∠ABC＝∠ACB＝∠ACD＝∠ADC＝67.5°，将一块三角板中用含45°角的顶点与A点重合，并将三角板绕A点按逆时针方向旋转．
（1）当三角板旋转到如图1的位置时，三角板的两边与等腰三角形的两底边分别相交于M、N两点，求证：AM＝AN；
（2）当三角板旋转到如图2的位置时，三角板的两边与等腰三角形两底边的延长线分别相交于M、N两点，（1）的结论还成立吗？请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共16个小题，1-6每小题3分，7-16每小题3分，共38分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简分式的概念判断即可．
解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；
B、＝＝，不是最简分式，不符合题意；
C、是最简分式，符合题意；
D、＝＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是最简分式的概念，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
2．下列四个数，，π，3.14中，无理数是（ ）
A．B．C．πD．3.14
【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
解：＝4是整数，，3.14是分数，它们不是无理数；
π是无限不循环小数，它是无理数；
则无理数是π，
故选：C．
【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．如图所示，AB∥CD，AB＝CD，BE＝DF，则图中的全等三角形有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
【分析】根据平行线得出∠BAD＝∠CDB，根据全等三角形的判定定理逐个推出即可．
解：全等三角形有△ADB≌△CBD，△ABE≌△CDF，△ADE≌△CBF，共3对，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
4．若表示的是一个最简分式，则☆可以是（ ）
A．4B．xC．2xD．x2
【分析】根据最简分式的定义，即可求解．最简分式定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 （即分子与分母互素）叫最简分式．
解：A、当☆为4时，，不是最简分式，故该选项不符合题意；
B、当☆为x时，，是最简分式，故该选项符合题意；
C、当☆为2x时，，不是最简分式，故该选项不符合题意；
D、当☆为x2时，，不是最简分式，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了最简分式，理解最简分式的定义是解题的关键．
5．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠0B．x≠﹣1C．x≠2D．x≠﹣2
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．
解：根据题意得：3x﹣6≠0，
∴x≠2．
故选：C．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．
6．下列说法中，正确的是（ ）
A．无理数包括正无理数、零和负无理数
B．无限小数都是无理数
C．正实数包括正有理数和正无理数
D．实数可以分为正实数和负实数两类
【分析】根据实数的概念即可判断
解：（A）无理数包括正无理数和负无理数，故A错误；
（B）无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故B错误；
（D）实数可分为正实数，零，负实数，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查实数的概念，解题的关键是正确理解实数的概念，本题属于基础题型．
7．下列运算中正确的是（ ）
A．B．＝C．D．（﹣3）2＝6
【分析】利用算术平方根及立方根的定义，有理数的乘方法则将各项计算后进行判断即可．
解：A．＝2，
则A不符合题意；
B．＝﹣，
则B不符合题意；
C．＝﹣2，
则C符合题意；
D．（﹣3）2＝9，
则D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查实数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
8．如图，B，D分别是位于线段AC两侧的点，连接AB，AD，CB，CD，则下列条件中，与AB＝AD相结合无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．CB＝CDB．∠BAC＝∠DAC
C．∠BCA＝∠DCAD．以上都无法判定
【分析】本题要判定△ABC≌△ADC，已知AB＝AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB＝CD、∠BAC＝∠DAC后可分别根据SSS、SAS能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA＝∠DCA后则不能．
解：A、添加CB＝CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故本选项错误；
B、添加∠BAC＝∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故本选项错误；
C、添加∠BCA＝∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故本选项正确；
D、根据以上分析，选项C符合题意，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．一个正方体的水晶砖，体积为100cm3，它的棱长大约在（ ）
A．4cm～5cm之间B．5cm～6cm之间
C．6cm～7cm之间D．7cm～8cm之间
【分析】可以利用方程先求正方体的棱长，然后再估算棱长的近似值即可解决问题．
解：设正方体的棱长为x，
由题意可知x3＝100，
解得x＝，
由于43＜100＜53，
所以4＜＜5．
故选：A．
【点评】此题是考查估算无理数的大小在实际生活中的应用，“夹逼法”估算方根的近似值在实际生活中有着广泛的应用，我们应熟练掌握．
10．已知，则的值为（ ）
A．B．C．4D．﹣4
【分析】观察已知和所求的关系，容易发现把已知通分并计算后，再求其倒数即可．
解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的加减，掌握分式的通分是关键．
11．如图，已知△ABC，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是（ ）
A．只有乙B．只有丙C．甲和乙D．乙和丙
【分析】首先观察图形，然后根据三角形全等的判定方法（AAS与SAS），即可求得答案．
解：在△ABC和乙三角形中，有两边a、c分别对应相等，且这两边的夹角都为50°，由SAS可知这两个三角形全等；
在△ABC和丙三角形中，有一边a对应相等，和两组角对应相等，由AAS可知这两个三角形全等，
所以在甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是乙和丙，
故选：D．
【点评】此题考查了全等三角形的判定．此题难度不大，解题的关键是注意掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意数形结合思想的应用．
12．如图，数轴上点A表示的数可能是（ ）
A．7的算术平方根B．6的立方根
C．9的平方根D．8的立方根
【分析】先根据数轴判断点A对应的数的范围，再根据各选项分别判断各数的范围或求得其具体值，从而可得答案．
解：根据数轴可知点A的位置在2和3之间，且靠近3，
而，，，，
∴只有6的算术平方根符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是掌握平方根，算术平方根，立方根的概念．
13．如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D在底边BC上，添加下列条件后，仍无法判定△ABD≌△ACD的是（ ）
A．BD＝CDB．∠BAD＝∠CAD
C．∠B＝∠CD．∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC
【分析】根据三角形全等的判定定理，逐一验证即可．
解：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
故A正确，不符合题意；
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故B正确，不符合题意；
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
故D正确，不符合题意；
∠B＝∠C无法证明，
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14．如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，在格点F、G、H、I中选出一个点与点D、点E构成的三角形与△ABC全等，则符合条件的点共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据全等三角形的判定解答即可．
解：由图形可知
AB＝，AC＝3，BC＝，
GD＝，DE＝，GE＝3，DI＝3，EI＝，
所以G，I两点与点D、点E构成的三角形与△ABC全等，
故选：B．
【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据SSS证明全等三角形．
15．已知：，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．b＜a＜cB．b＜c＜aC．a＜b＜cD．c＜b＜a
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简，进而比较得出答案．
解：∵，
∴c＜b＜a．
故选：D．
【点评】本题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，掌握负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质是解题关键．
16．如图①，某品牌饮料的包装箱是一个长、宽、高分别为a，b，4r的长方体纸箱，饮料瓶可近似看成底面半径为r，高为4r的圆柱体．如图②，若纸箱里装满了一层饮料，那么纸箱的空间利用率（听装饮料总体积与纸箱体积的比）为（ ）
A．B．πr2C．D．
【分析】先确定听装饮料的总数量，然后计算出小球的总体积和纸箱的容积，最后计算二者的比，即为所求的纸盒的空间利用率．
解：∵长方体纸盒装满了一层底面半径为r，高为4r的圆柱体的听装饮料，
∴长方体的长边放置的球的数量为，
长方体的宽边放置的球的数量为，
∴听装饮料的数量为＝
∴听装饮料的总体积：πr2•4r•＝abrπ纸箱容积为a•b•4r＝4abr，
∴纸盒的空间利用率为．
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式的乘除运算，根据题意列出整式并化简求值是解题的关键．
二、填空题（本大题共3个小题，5个空，每空2分，共10分.）
17．已知a+＝3，则a2+的值是 7 ．
【分析】把已知条件两边平方，然后整理即可求解．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
解：∵a+＝3，
∴a2+2+＝9，
∴a2+＝9﹣2＝7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，利用公式把已知条件两边平方是解题的关键．
18．如图，在△ABC与△ADE中，E在BC边上，AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，若∠1＝25°，则∠DAB＝ 25 °，∠2＝ 25 °．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据SSS证明△ABC≌△ADE，进而根据三角形内角和即可求出结果．
解：如图，
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SSS），
∴∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE，
∵∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠DAB＝∠1＝25°，
∵∠B＝∠D，∠BOE＝∠AOD，
∴∠2＝∠DAB＝25°．
故答案为：25，25．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质是解答此题的关键．
19．如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，对应的数为1，以点A为圆心，AD长为半径画弧交数轴于点E（点E位于点A的左侧），则线段EA＝ ，点E对应的数为 1﹣ ．
【分析】根据正方形的面积是3，先求出边长AD的长度，再在数轴上求出点D对应的数．
解：AD2＝3，
所以AD＝，AD＝﹣（舍去），
所以AE＝AD＝．
点E对应的数为：﹣（﹣1）＝1﹣．
故答案为：；1﹣．
【点评】本题考查了实数与数轴，注意：正方形的边长是大于0的数．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（1）先化简，再求值：（1﹣），其中x＝3．
（2）解方程：．
【分析】（1）根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算即可；
（2）利用解分式方程的一般步骤解出方程．
解：（1）原式＝（﹣）•
＝•
＝，
当x＝3时，原式＝＝；
（2）方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）+3（x+1）＝1，
去括号，得2x﹣2+3x+3＝1，
移项、合并同类项，得5x＝0，
系数化为1，得x＝0，
检验，当x＝0时，（x+1）（x﹣1）≠0，
所以原方程的根为x＝0．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、分式方程的解法，掌握分式的混合运算法则、解分式方程的一般步骤是解题的关键．
21．如图，在△AFD和△CEB中，点A、E、F，C在同一直线上，有下面四个论断：（1）AD＝CB；（2）AE＝CF；（3）∠B＝∠D；（4）AD∥BC．请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一证明题，并写出证明过程．
【分析】答案不唯一，如：已知：如图，在△AFD和△CEB中，点A，E，F，C在同一条直线上，AD＝CB，AE＝CF，AD∥BC．求证：∠B＝∠D．只要证明△AFD≌△CEB即可；
解：答案不唯一，如：
已知：如图，在△AFD和△CEB中，点A，E，F，C在同一条直线上，AD＝CB，AE＝CF，AD∥BC．
求证：∠B＝∠D．
证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C．
∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即：AF＝CE．
∵在△AFD和△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB
∴∠B＝∠D．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和弟子颜回等到离所住驿站30里的书院讲学，弟子们步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，已知牛车的速度是步行的1.5倍，结果孔子和弟子们同时到达书院，求孔子及其弟子们的速度各是多少里/小时．
【分析】设弟子们的速度是x里/小时，则孔子的速度是1.5x里/小时，利用时间＝路程÷速度，结合孔子比弟子们少用1小时，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出弟子们的速度，再将其代入1.5x中，即可求出孔子的速度．
解：设弟子们的速度是x里/小时，则孔子的速度是1.5x里/小时，
根据题意得：﹣＝1，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×10＝15．
答：孔子的速度是15里/小时，弟子们的速度是10里/小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23．某小区准备修建一个面积为75m2的花坛，甲、乙两个工程队给出如下两个施工方案．
甲：花坛为长方形，且长与宽的比为3：1．
乙：花坛为正方形．
（1）求长方形花坛的宽．
（2）嘉淇说：“正方形花坛的边长肯定比长方形花坛的宽长3m．”请你判断嘉淇的说法是否正确，并通过计算说明．
【分析】（1）设长方形花坛的宽为x m，则长为3x m，利用面积公式列出等式，再利用算术平方根求解；
（2）假设嘉淇的说法正确，计算出正方形的面积，与花坛的面积比较即可．
解：（1）设长方形花坛的宽为x m，则长为3x m，
由题意得x•3x＝3x2＝75，
因此，
即长方形花坛的宽为5m．
（2）嘉淇的说法错误，理由如下：
由（1）知长方形花坛的宽为5米，
若嘉淇的说法正确，正方形花坛的边长为：5+3＝8（m），
则正方形花坛的面积为：82＝64（m2）≠75（m2），
因此假设不成立，即嘉淇的说法错误．
【点评】本题考查算术平方根的应用，利用算术平方根的定义解方程等，理解题意，准确列出方程是解题的关键．
24．如图，已知△ABC
（1）作△ACD，使△ACD与△ACB在AC的异侧，并且△ACD≌△ACB（要求：尺规作图、保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接BD，交AC于O，试说明OB＝OD．
【分析】（1）根据△ACD与△ACB在AC的异侧，并且△ACD≌△ACB，即可得到△ACD；
（2）依据全等三角形的性质，即可得到∠BAO＝∠DAO，AB＝AD，依据△ABO≌△ADO（SAS），即可得出OB＝OD．
解：（1）如图所示，△ACD即为所求；
（2）如图所示，∵△ACD≌△ACB，
∴∠BAO＝∠DAO，AB＝AD，
又∵AO＝AO，
∴△ABO≌△ADO（SAS），
∴BO＝DO．
【点评】本题主要考查了复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
25．数学来源于生活，生活离不开数学，开水中加入适量的糖冲泡成甜糖水很受一些人的喜爱，人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度．
（1）若在a克糖水里面含糖b克（a＞b＞0），则该糖水的甜度为 ；
（2）现向（1）中的糖水中再加入适量的糖，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．请用所学的数学知识解释这一现象．（提示：我们在判断两个数的大小时，常常会用到作差法，如5﹣3＝2＞0所以5＞3，同样如果m﹣n＞0，就说明m＞n）
【分析】（1）用糖水中糖与糖水的比表示即可；
（2）设往杯中加入c（c＞0）克糖，则此时糖水的甜度为：，再利用作差法比较大小即可．
解：（1）∵糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度，
∴在a克糖水里面含糖b克（a＞b＞0），则该糖水的甜度为；
（2）设往杯中加入c（c＞0）克糖，则此时糖水的甜度为：，
∵，
∵a＞b＞0，c＞0，
∴a﹣b＞0，c（a﹣b）＞0，a（a+c）＞0，
∴，
∴，
∴向（1）中的糖水中再加入适量的糖，充分搅匀后，糖水更甜．
【点评】本题考查了列代数式，分式加减的实际应用，选择合适的方法比较分式的大小是解答本题的关键．
26．如图，等腰△ABC和等腰△ACD中腰为AB、AC、AD，底角∠ABC＝∠ACB＝∠ACD＝∠ADC＝67.5°，将一块三角板中用含45°角的顶点与A点重合，并将三角板绕A点按逆时针方向旋转．
（1）当三角板旋转到如图1的位置时，三角板的两边与等腰三角形的两底边分别相交于M、N两点，求证：AM＝AN；
（2）当三角板旋转到如图2的位置时，三角板的两边与等腰三角形两底边的延长线分别相交于M、N两点，（1）的结论还成立吗？请说明理由．
【分析】（1）由∠ABC＝∠ACB＝∠ACD＝∠ADC＝67.5°可得∠BAC＝∠CAD＝∠MAN＝45°，所以∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，即可证△BAM≌△CAN得AM＝AN；
（2）与（1）同理可得；
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ACB＝∠ACD＝∠ADC＝67.5°，
∴∠BAC＝∠CAD＝∠MAN＝45°，
∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAM＝∠CAN，
在△BAM和△CAN中，
，
∴△BAM≌△CAN（ASA），
∴AM＝AN；
（2）解：（1）的结论还成立．理由：
∵∠BAC＝∠CAD＝∠MAN＝45°，
∴∠BAC+∠MAC＝∠MAN+∠MAC，
∴∠BAM＝∠CAN，
在△BAM和△CAN中，
，
∴△BAM≌△CAN（AAS），
∴AM＝AN．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．