2023-2024学年河南省洛阳市汝阳县八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省洛阳市汝阳县八年级（上）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．4的平方根是（ ）
A．2B．16C．D．±2
2．下列实数中，无理数是（ ）
A．B．0C．D．3.14
3．下列说法中，不正确的是（ ）
A．能够互相重合的平面图形是全等图形
B．关于直线对称的两个图形是全等图形
C．边长相等的两个正三角形是全等图形
D．轴对称图形是全等图形
4．若，则x整数部分是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．下列计算正确的是（ ）
A．a•a3＝a3B．a6÷a2＝a3
C．（a3）2＝a6D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
6．若xy•（ ）＝﹣x3y2，则括号内应填的代数式是（ ）
A．xyB．﹣xyC．﹣x2yD．﹣y
7．如图，在△ABF和△CDE中，BE＝DF，AB∥DC，要使△ABF≌△CDE，应添加的条件是（ ）
A．AB＝DCB．AF＝CEC．∠ABD＝∠CDBD．BF＝DE
8．下列算式计算结果为m2﹣m﹣6的是（ ）
A．（m+2）（m﹣3）B．（m﹣2）（m+3）
C．（m﹣2）（m﹣3）D．（m+2）（m+3）
9．如图所示，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，且∠ANM＝60°，则∠B＝（ ）
A．45°B．60°C．30°D．50°
10．消元是数学学习中重要的思想方法，思路是多元化单元，多元化少元．已知a、b、c满足a+b＝5，c2＝ab+b﹣9，则ab﹣c＝（ ）
A．6B．﹣6C．7D．﹣7
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．＝ ．
12．如图是用四个长和宽分别为a、b的全等长方形拼成的一个正方形（所拼图形无重叠、无缝隙），写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间一个等量关系式： ．
13．若x+y＝﹣2，xy＝﹣3，则x2y+xy2的值是 ．
14．计算：＝ ．
15．如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，连结BE、CD交于点F．将△ADC和△AEB分别绕着边AB、AC翻折得到△ADC'和△AEB'，且EB'∥DC'∥BC，若∠BAC＝42°，则∠BFC的大小是 ．
三、解答题（共8个小题，共75分，要求写出必要的规范的解答步骤）
16．计算：
（1）+|﹣2|；
（2）（16a4b3﹣12a3b2+4ab）÷4ab．
17．把下列多项式分解因式
（1）4x3﹣16xy2；
（2）（x﹣2）（x﹣4）+1．
18．先化简，再求值：（2x﹣1）2﹣（3x+1）（3x﹣1）+5x（x﹣1），其中x＝﹣．
19．证明“全等三角形的对应边上的中线长相等”．（要求：画图，写出已知、求证和证明过程）
20．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为b（a＞b），连接AF、CF、AC．
（1）若两个正方形的面积之和为60，ab＝20，求图中线段GC的长；
（2）若a＝8，△AFC的面积为S，求S．
21．如图，∠A＝∠BCD，CA＝CD，点E在BC上，且DE∥AB．
（1）求证：AB＝EC；
（2）若∠A＝100°，∠B＝50°，求∠ACD的度数．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAD＝∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上．
（1）求证：DC＝DE；
（2）若AC＝4，AB＝5，且△ABC的面积等于6，求DE的长．
23．整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式（a2+2a）（a2+2a+2）+1进行因式分解的解题思路：将“a2+2a”；看成一个整体，令a2+2a＝x，则系式＝x（x+2）+1＝x2+2x+1＝（x+1）2，再将“x”还原为“a2+2a”即可．解题过程知下：
系：设a2+2a＝x，则原式＝x（x+2）+1（第一步），
＝x2+2x+1（第二步），
＝（x+1）2（第三步），
＝（a2+2a+1）2（第四步）．
问题：
（1）①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；
②请你模仿以上方法尝试对多项式（a2﹣4a）（a2﹣4a+8）+16进行因式分解；
（2）请你模仿以上方法尝试计算：（1﹣2﹣3﹣…﹣2023）×（2+3+…+2024）﹣（1﹣2﹣3﹣…﹣2024）×（2+3+…+2023）．
参考答案
一、选择题（各小题四个答案中，只有一个是正确的，将正确的答案代号字母填入题后括号内．每小题3分，共30分）
1．4的平方根是（ ）
A．2B．16C．D．±2
【分析】如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，由此即可得到答案．
解：4的平方根是±2．
故选：D．
【点评】本题考查平方根，关键是掌握平方根的定义．
2．下列实数中，无理数是（ ）
A．B．0C．D．3.14
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
解：A.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是无理数，故本选项符合题意；
是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，掌握有理数和无理数的定义是解答本题的关键．
3．下列说法中，不正确的是（ ）
A．能够互相重合的平面图形是全等图形
B．关于直线对称的两个图形是全等图形
C．边长相等的两个正三角形是全等图形
D．轴对称图形是全等图形
【分析】根据全等图形和轴对称图形的定义与性质逐一判断即可．
解：A．能够互相重合的平面图形是全等图形，说法正确，故本选项不符合题意；
B．关于直线对称的两个图形是全等图形，说法正确，故本选项不符合题意；
C．边长相等的两个正三角形是全等图形，说法正确，故本选项不符合题意；
D．轴对称图形是全等图形，说法错误，轴对称图形是一个图形，不是两个图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义与性质以及全等图形，解决本题的关键是掌握轴对称的定义和性质．
4．若，则x整数部分是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】先利用“夹逼法”求出的范围，即可求出的取值范围，于是得出x的整数部分．
解：∵，
∴，
∴，
即x的整数部分是2，
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
5．下列计算正确的是（ ）
A．a•a3＝a3B．a6÷a2＝a3
C．（a3）2＝a6D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】分别根据幂的乘方法则、完全平方公式、同底数幂的乘法及除法法则进行逐一解答．
解：A．a•a3＝a4，故选项错误；
B．a6÷a2＝a4，故选项错误；
C．（a3）2＝a6，故选项正确；
D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘法与除法，完全平方公式及幂的乘方法则，熟知以上知识是解答此题的关键．
6．若xy•（ ）＝﹣x3y2，则括号内应填的代数式是（ ）
A．xyB．﹣xyC．﹣x2yD．﹣y
【分析】根据单项式乘单项式的运算法则进行运算即可．
解：∵xy•（﹣x2y）＝﹣x3y2，
∴括号里应填的代数式为：﹣x2y．
故选：C．
【点评】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
7．如图，在△ABF和△CDE中，BE＝DF，AB∥DC，要使△ABF≌△CDE，应添加的条件是（ ）
A．AB＝DCB．AF＝CEC．∠ABD＝∠CDBD．BF＝DE
【分析】根据全等三角形的判定方法可得出答案．
解：∵BE＝DF，
∴BE﹣EF＝DF﹣EF，
∴BF＝DE，
∵AB∥DC，
∴∠B＝∠D，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS）．
故添加的条件是AB＝DC．
若添加的条件是AF＝CE，∠ABD＝∠CDB，BF＝DE，都不能判定△ABF≌△CDE，
故选：A．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
8．下列算式计算结果为m2﹣m﹣6的是（ ）
A．（m+2）（m﹣3）B．（m﹣2）（m+3）
C．（m﹣2）（m﹣3）D．（m+2）（m+3）
【分析】各项利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，即可做出判断．
解：A、（m+2）（m﹣3）＝m2﹣3m+2m﹣6＝m2﹣m﹣6，本选项正确；
B、（m﹣2）（m+3）＝m2+3m﹣2m﹣6＝m2+m﹣6，本选项错误；
C、（m﹣2）（m﹣3）＝m2﹣3m﹣2m+6＝m2﹣5m+6，本选项错误；
D、（m+2）（m+3）＝m2+3m+2m+6＝m2+5m+6，本选项错误，
故选：A．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．如图所示，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，且∠ANM＝60°，则∠B＝（ ）
A．45°B．60°C．30°D．50°
【分析】根据已知条件得到∠BAD＝∠NAM，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到∠B的度数．
解：∵∠BAC＝∠DAM，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAM﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠NAM，
在△ABD和△ANM中，
，
∴△ABD≌△ANM（SAS），
∴∠B＝∠ANM＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
10．消元是数学学习中重要的思想方法，思路是多元化单元，多元化少元．已知a、b、c满足a+b＝5，c2＝ab+b﹣9，则ab﹣c＝（ ）
A．6B．﹣6C．7D．﹣7
【分析】由a+b＝5得到a＝5﹣b，把a＝5﹣b代入c2＝ab+b﹣9得到c2+b2﹣6b+9＝0，配方得c2+（b﹣3）2＝0，然后根据非负数的性质易得c＝0，b＝3，于是得到结论．
解：∵a+b＝5，
∴a＝5﹣b，
∴c2＝（5﹣b）•b+b﹣9，
∴c2+b2﹣6b+9＝0，
∴c2+（b﹣3）2＝0，
∴c＝0，b﹣3＝0，
∴b＝3，
∴a＝2，
∴ab﹣c＝2×3﹣0＝6．
故选：A．
【点评】本题考查了配方法的应用：用配方法解一元二次方程；利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．也考查了非负数的性质．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．＝ ﹣2 ．
【分析】根据立方根的定义进行解题即可．
解：＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
12．如图是用四个长和宽分别为a、b的全等长方形拼成的一个正方形（所拼图形无重叠、无缝隙），写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间一个等量关系式： （a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ．
【分析】根据图片，可以发现大正方形的面积＝空白正方形的面积+4个长方形的面积．
解：如图所示，大正方形的面积＝空白正方形的面积+4个长方形的面积，
即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，从图中提取信息写式子是关键．
13．若x+y＝﹣2，xy＝﹣3，则x2y+xy2的值是 6 ．
【分析】根据提公因式法，把（x2y+xy2）分解因式，进而将已知条件代入求出即可．
解：x2y+xy2
＝xy（x+y），
当x+y＝﹣2，xy＝﹣3时，
原式＝﹣3×（﹣2）
＝6；
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了提取公因式分解因式以及求代数式的值，正确分解因式是解题关键．
14．计算：＝ ．
【分析】根据积的乘方的法则进行计算，即可得出答案．
解：
＝22021×
＝
＝（﹣1）2021×
＝﹣1×
＝．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握积的乘方的法则是解决问题的关键．
15．如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，连结BE、CD交于点F．将△ADC和△AEB分别绕着边AB、AC翻折得到△ADC'和△AEB'，且EB'∥DC'∥BC，若∠BAC＝42°，则∠BFC的大小是 96° ．
【分析】由翻折的性质和全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行解答．
解：设∠C′＝α，∠B′＝β，
∵将△ADC和△AEB分别绕着边AB、AC翻折得到△ADC'和△AEB'，
∴△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，
∴∠ACD＝∠C′＝α，∠ABE＝∠B′＝β，∠BAE＝∠B′AE＝42°，
∴∠C′DB＝∠BAC′+AC′D＝42°+α，∠CEB′＝42°+β．
∵C′D∥BC，EB′∥BC，
∴∠ABC＝∠C′DB＝42°+α，∠ACB＝∠CEB′＝42°+β，
∴∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，即126°+α+β＝180°．
则α+β＝54°．
∵∠BFC＝∠BDC+∠DBE，
∴∠BFC＝42°+α+β＝42°+54°＝96°．
故答案为：96°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，此题利用了“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理的．
三、解答题（共8个小题，共75分，要求写出必要的规范的解答步骤）
16．计算：
（1）+|﹣2|；
（2）（16a4b3﹣12a3b2+4ab）÷4ab．
【分析】（1）根据算术平方根，立方根和绝对值的意义进行计算即可；
（2）根据多项式除以单项式的法则进行计算即可．
解：（1）+|﹣2|
＝4﹣3+2﹣
＝3﹣；
（2）（16a4b3﹣12a3b2+4ab）÷4ab
＝4a3b2﹣3a2b+1．
【点评】此题考查了整式的除法和实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．把下列多项式分解因式
（1）4x3﹣16xy2；
（2）（x﹣2）（x﹣4）+1．
【分析】（1）原式提取4x后，再利用平方差公式分解即可；
（2）首先进行乘法运算，然后分解因式即可．
解：（1）原式＝4x（x2﹣4y2）
＝4x（x+2y）（x﹣2y）；
（2）原式＝x2﹣6x+9，
＝（x﹣3）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18．先化简，再求值：（2x﹣1）2﹣（3x+1）（3x﹣1）+5x（x﹣1），其中x＝﹣．
【分析】先根据完全平方公式，平方差公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
解：（2x﹣1）2﹣（3x+1）（3x﹣1）+5x（x﹣1）
＝（4x2﹣4x+1）﹣（9x2﹣1）+（5x2﹣5x）
＝4x2﹣4x+1﹣9x2+1+5x2﹣5x
＝﹣9x+2，
当x＝﹣时，原式＝﹣9×（﹣）+2＝3+2＝5．
【点评】本题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
19．证明“全等三角形的对应边上的中线长相等”．（要求：画图，写出已知、求证和证明过程）
【分析】根据命题写出已知、求证．然后通过全等三角形△ABC≌△A′B′C′的性质、全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△A′B′D′．则全等三角形的对应边AD＝A′D′．
【解答】已知：△ABC≌△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线．
求证：AD＝A′D′．
证明：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴AB＝A′B′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′，
∵AD、A′D′是BC和B′C′上的中线，
∴BD＝BC，B′D′＝B′C′，
∴BD＝B′D′，
∴在△ABD与△A′B′D′中，
，
∴△ABD≌△A′B′D′（SAS），
∴AD＝A′D′．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
20．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为b（a＞b），连接AF、CF、AC．
（1）若两个正方形的面积之和为60，ab＝20，求图中线段GC的长；
（2）若a＝8，△AFC的面积为S，求S．
【分析】（1）利用完全平方公式通过展开推导，再将数值代入计算可得；
（2）通过面积计算可得，△AFC的面积为a2即为32．
解：（1）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝60+20×2＝100，
∴a+b＝10，
∴GC＝10；
（2）S△AFC＝S△AFE+S▱FGBE+S△ABC﹣S△FGC
＝b（a﹣b）+b2+a2﹣b（b+a）
＝ab﹣b2+b2+a2﹣b2﹣ab
＝a2
＝×82
＝32．
【点评】本题主要考查了代数式的求值，完全平方公式运用，解题的关键是完全平方公式展开与合并．
21．如图，∠A＝∠BCD，CA＝CD，点E在BC上，且DE∥AB．
（1）求证：AB＝EC；
（2）若∠A＝100°，∠B＝50°，求∠ACD的度数．
【分析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△CED，可得结论；
（2）由三角形内角和定理可求∠ACB＝30°，由全等三角形的性质可得∠BAC＝∠DCE＝100°，即可求解．
【解答】（1）证明：∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠ABC，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴AB＝EC；
（2）解：∵∠A＝100°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝30°，
∵△ABC≌△CED，
∴∠BAC＝∠DCE＝100°，
∴∠ACD＝∠DCE﹣∠ACB＝70°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAD＝∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上．
（1）求证：DC＝DE；
（2）若AC＝4，AB＝5，且△ABC的面积等于6，求DE的长．
【分析】（1）根据角平分线的性质求解即可；
（2）先勾股定理求得CB，即可求得△ABC的面积，由（1）中证得DC＝DE，然后根据S△ABC＝S△ACD+S△ABD即可求出DE的长．
【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
又∵∠CAD＝∠BAD，DE⊥AB，
∴DC＝DE；
（2）解：∵AC＝4，BA＝5，
在Rt△ABC中，．
∴，
∵DC＝DE，
∴S△ABC＝S△ACD+S△ABD，
∴，
∴，
解得：．
【点评】本题考查了角平分线性质定理，勾股定理，三角形面积的运用，解题的关键是根据角平分线的性质定理证得DC＝DE．
23．整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式（a2+2a）（a2+2a+2）+1进行因式分解的解题思路：将“a2+2a”；看成一个整体，令a2+2a＝x，则系式＝x（x+2）+1＝x2+2x+1＝（x+1）2，再将“x”还原为“a2+2a”即可．解题过程知下：
系：设a2+2a＝x，则原式＝x（x+2）+1（第一步），
＝x2+2x+1（第二步），
＝（x+1）2（第三步），
＝（a2+2a+1）2（第四步）．
问题：
（1）①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；
②请你模仿以上方法尝试对多项式（a2﹣4a）（a2﹣4a+8）+16进行因式分解；
（2）请你模仿以上方法尝试计算：（1﹣2﹣3﹣…﹣2023）×（2+3+…+2024）﹣（1﹣2﹣3﹣…﹣2024）×（2+3+…+2023）．
【分析】（1）其中a2+2a+1还能继续分解；
（2）设 a2﹣4a＝x，则原式＝原式＝x（x+8）+16进行分解即可；
（3）设1﹣2﹣3﹣…﹣2023＝a，则1﹣a＝2+3+…+2023，所以2+3+…+2024＝2025﹣a，1﹣2﹣3﹣…﹣2024＝a﹣2024，故原式＝a（2﹣a）
解：（1）①该同学没有完成因式分解；最后的结果为 （a+1）4．
②设 a2﹣4a＝x 则原式＝x（x+8）+16
＝x2+8x+16＝（x+4）2，
＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4，
（2）设 a＝1﹣2﹣3﹣…﹣2023，x＝2+3+…+2024，
则 1﹣2﹣3﹣…﹣2023﹣2024＝a﹣2024，2+3+…+2023＝x﹣2024，
a+x＝1+2024＝2025，……，
所以原式＝ax﹣（a﹣2024）（x﹣2024）
＝ax﹣ax+2024（a+x）﹣20242＝2024×2025﹣20242
＝2024×（2024+1）﹣20242＝20242+2024﹣20242
＝2024．
【点评】本题考查多项式乘多项式、规律型的题目、提公因式发分解因式，基础题，根据题目特征选择合适的方法，是解决问题的关键．