2023-2024学年江苏省宿迁市宿豫区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省宿迁市宿豫区八年级（上）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列交通标志图形中是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.如图，AB/​/CD，∠B=∠D，BC=3，则
( )
A. AB=3B. AC=3C. AD=3D. CD=3
3.下列各组数是勾股数的为( )
A. 1.5,2,2.5B. 13,14,15C. 3,4,5D. 13,14,15
4.如图，虽然三角形被纸板挡住了一部分，但是小明仍能画出一个能与这个三角形完全重合的三角形，其数学依据是( )
A. ASAB. SASC. SSSD. SSA
5.下列条件不可以说明▵ABC≌▵DEF的是
( )
A. AB=DE,AC=DF,BC=EFB. AB=DE,∠A=∠D,BC=EF
C. AC=DF,BC=EF,∠C=∠FD. ∠B=∠E,∠C=∠F,BC=EF
6.如图，在△ABC中，点D、E在BC上，AD⊥AB，AE⊥AC，且BE=ED=DC，则图中等腰三角形的个数为
( )
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
7.若一个三角形的三条边的长度分别为4、5、6，则这个三角形是
( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形
8.在如图的方格纸上画有2条线段，再画1条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，这样线段的添法有( )
A. 5种B. 4种C. 3种D. 2种
二、填空题（本大题共10小题，共30分）
9.在▵ABC中，AB=AC,∠B=54∘，则∠C的度数为 ．
10.如图，AC⊥BC,AD⊥BD，要使△ABC≌△ABD，还需要添加的一个条件是 .(只要写出一种情况即可)
11.在▵ABC中，∠A=30∘,∠B=70∘，且▵ABC≌▵DEF，则∠F的度数为 ．
12.若等腰三角形的两边长分别为4和2，则它的第三条边长为 ．
13.如图，长3.4m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.6m，则梯子顶端距离地面的高度MN为 m．
14.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON垂足为A，且OP=5，OA=4，则点P到OM的距离为 ．
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘,AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN、BE⊥MN，垂足分别为D、E，则AD、DE、BE之间的数量关系是 ．
16.若在△ABC中，AB=AC=20,BC=24，则△ABC的面积为 ．
17.如图，把一个直立的火柴盒放倒，AB=5cm,BC=2cm，则△ACD的面积为 ．
18.如图，△DEF的3个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形ABC，使▵ABC≌▵DEF，则这样的格点三角形最多可以画 个．
三、解答题（本大题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题8分)
已知：如图，点A，B，C，D在同一直线上，AE // DF，BF // EC，AB=CD.求证：AE=DF．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且AB=15,AD=12,CD=16.求证：△ABC是直角三角形．
21.(本小题8分)
如图，△ABC.用直尺和圆规作△DEF，使得△DEF≌△ABC.(要求：①用两种不同的方法作图；②不写作法，保留作图痕迹)
22.(本小题8分)
如图，点D、E分别在AB、AC上，∠ADC=∠AEB=90∘，BE、CD相交于点O，OB=OC.求证：AO平分∠BAC．
23.(本小题8分)
如图，AD是△ABC的角平分线，以A为圆心，以AD长为半径画弧，与AB、AC分别交于点E、F，连接DE、DF，且∠BDE=∠CDF.求证：BD=CD．
24.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，∠C=90∘,AC=8,AB=10．
(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线DE，与AB、AC分别交于点D、E；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)求AE的长．
25.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，∠ACB=90∘,AC=BC,D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且DE⊥DF．
(1)求证：AE=CF；
(2)若AB=12，求四边形DECF的面积．
26.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D在AB上，点E是AC的中点，CF/​/AB，交DE的延长线与点F．
(1)求证：△AED≌△CEF；
(2)若点D是AB的中点，判断DE与BC的关系，并说明理由．
27.(本小题8分)
如图，在△ABC中，BE⊥AC、CF⊥AB，垂足分别为E、F，点P在CF的延长线上，点D在线段BE，且CP=AB,BD=AC，连接AP、AD．
(1)求证：△ABD≌△PCA；
(2)求∠P的度数．
28.(本小题8分)
问题探究：
如图1，小明遇到这样一个问题：如图，在▵ABC中，AB=8,AC=6,AD是中线，求AD的取值范围．他的做法是：延长AD到E，使DE=AD，连接BE，证明▵BDE≌▵CDA，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：
(1)小明证明▵BDE≌▵CDA的判定理由是 ；(填写“ASA”或“SAS”)
(2)AD的取值范围是 ；
(3)方法运用：
如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点E，连接BE，使得BE=AC，延长BE交AC于点F.求证：AF=EF；
(4)如图3，在△ABC中，∠BAC=90∘,D为BC的中点，∠EDF=90∘.求证：BE2+CF2=EF2．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义即可求解，熟记：“如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”是解题的关键．
【详解】解：是轴对称图形的是
故选D．
2.【答案】C
【解析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定及性质；证明▵ABC≅▵CDA可求解，证明全等是解题的关键．
【详解】解：∵AB/​/CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵∠B=∠D,AC=CA，
∴▵ABC≅▵CDA，
∴AD=BC=3，
故选C．
3.【答案】C
【解析】此题考查勾股数，解题关键在于熟练掌握勾股数的判定．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方．
【详解】解∶A．1.5,2,2.5中有小数，故不符合题意；
B.13,14,15中有分数，故不符合题意；
C.32+42=52，故符合题意；
D.132+142≠152，故不符合题意；
故选：C．
4.【答案】A
【解析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据图形可知图中三角形纸片两角及其夹边已知，则可根据ASA解答．
【详解】解：∵图中三角形纸片两角及其夹边已知，
∴可以根据ASA画出了一个与原三角形完全重合的三角形，
故选：A
5.【答案】B
【解析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有SSS,SAS,AAS,ASA,HL．
【详解】解：A、由AB=DE,AC=DF,BC=EF，可以根据SSS证明▵ABC≌▵DEF，不符合题意；
B、由AB=DE,∠A=∠D,BC=EF，不可以根据SSA证明▵ABC≌▵DEF，符合题意；
C、由AC=DF,BC=EF,∠C=∠F，可以根据SAS证明▵ABC≌▵DEF，不符合题意；
D、由∠B=∠E,∠C=∠F,BC=EF，可以根据ASA证明▵ABC≌▵DEF，不符合题意
故选B．
6.【答案】B
【解析】本题考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，利用直角三角形的特征及等腰三角形的判定可得△ABE、△ADE、△ADC是等腰三角形，再利用HL证得Rt△ABD≌Rt△ACE，进而可得△ABC是等腰三角形，进而可求解，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．
【详解】解：∵BE=ED=DC，
∴点E、D分别是BD和CE的中点，BD=CE，
又∵AD⊥AB，AE⊥AC，
∴AE=BE=DE=12BD，AD=DE=DC=12CE，
∴△ABE、△ADE、△ADC是等腰三角形，AE=AD，
在Rt▵ABD和Rt▵ACE中，
BD=CEAD=AE,
∴Rt△ABD≌Rt△ACE(HL)，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
则图中等腰三角形的个数为4个，
故选B．
7.【答案】A
【解析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是a、b、c，c是三角形的最长边，则有：(1)a2+b2>c2⇔这个三角形是锐角三角形；(2)a2+b2=c2⇔这个三角形是直角三角形；(3)a2+b2【详解】解：∵42+52=41>36=62，
∴这个三角形是锐角三角形．
故选：A．
8.【答案】B
【解析】本题考查轴对称图形：轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．根据定义即可求解．
【详解】解：如图所示：
故选：B
9.【答案】54∘
【解析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键．根据AB=AC得出∠B=∠C即可求解．
【详解】解：∵AB=AC，∠B=54∘，
∴∠C=∠B=54∘．
故答案为：54∘．
10.【答案】∠BAC=∠BAD(或∠ABC=∠ABD或AC=AD或BC=BD等)(只要写出一种情况即可)
【解析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．已知∠C=∠D=90∘，AB为公共边，根据HL，AAS，证明▵ABC≌▵ABD即可．
【详解】解：根据题意，得∠C=∠D=90∘，AB=AB，
添加AC=AD或BC=BD，则Rt△ABC≌Rt△ABD(HL)；
添加∠BAC=∠BAD或∠ABC=∠ABD，则△ABC≌△ABDAAS．
故答案为：∠BAC=∠BAD(或∠ABC=∠ABD或AC=AD或BC=BD等)(只要写出一种情况即可)
11.【答案】80∘
【解析】本题主要考查了三角形内角和定理和三角形全等的性质，解题的关键是先根据三角形内角和定理求出∠C=80∘，然后根据全等三角形的性质求出∠F=∠C=80∘．
【详解】解：在▵ABC中，∠A=30∘,∠B=70∘，
∴∠C=180∘−∠A−∠B=180∘−30∘−70∘=80∘，
∵▵ABC≌▵DEF，
∴∠F=∠C=80∘．
故答案为：80∘．
12.【答案】4
【解析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分类讨论后利用三角形的三边关系检验是解题关键．
【详解】解：若等腰三角形的三边长分别为4、2、2，
∵2+2=4，不能构成三角形，不符合题意；
若等腰三角形的三边长分别为4、4、2，
此时能构成三角形，
故第三条边长为4，
故答案为：4
13.【答案】3
【解析】本题考查了勾股定理的应用，直接根据勾股定理即可得出结论．
【详解】根据勾股定理得，MN2+1.62=3.42，
解得：MN=3
故答案为：3．
14.【答案】3
【解析】此题主要考查了角平分线的性质和勾股定理，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PQ，即可求出点P到OM的距离，解题的关键熟练掌握角平分线的性质和勾股定理的应用．
【详解】过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴PA=PQ，∠PAO=90∘，
在Rt△OPA中，由勾股定理得：PA= OP2−OA2= 52−42=3，
∴PA=PQ=3，
∴点P到OM的距离为3，
故答案为：3．
15.【答案】AD+DE=BE
【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定，证明▵ADC≌▵CEBAAS即可．
【详解】解：∵AD⊥MN、BE⊥MN，
∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90∘，
∴∠ACD=∠CBE=90∘−∠BCE，
∵AC=BC，∠BEC=∠ADC=90∘，
∴▵ADC≌▵CEBAAS，
∴AD=CE，BE=CD，
∴DE=CD−CE=BE−AD，
即AD+DE=BE，
故答案为：AD+DE=BE．
16.【答案】192
【解析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用．如图，过A作AD⊥BC于D，证明CD=BD=12,AD= AC2−CD2=16，再利用三角形的面积公式可得答案，作底边上的高并利用勾股定理求解是解本题的关键．
【详解】解：如图，过A作AD⊥BC于D,AB=AC=20,BC=24，
∴CD=BD=12,AD= AC2−CD2= 202−122=16，
∴S▵ABC=12BC⋅AD=12×24×16=192．
故答案为：192．
17.【答案】292cm2
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用．证▵ABC≌▵CED得出∠ACD=90∘是解题关键．
【详解】解：如图
由题意可知：AC=CD，BC=DE，∠ABC=∠CED=90∘
∴▵ABC≌▵CED
∴∠ACB=∠CDE
∵∠CDE+∠DCE=90∘
∴∠ACB+∠DCE=90∘
∴∠ACD=90∘
∵AB=5cm,BC=2cm
∴AC2=AB2+BC2=29
▵ACD的面积为：12×AC×CD=12AC2=292cm2
故答案为：292cm2
18.【答案】7
【解析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定画出三角形即可，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键．
【详解】解：如图所示：

使▵ABC≌▵DEF，则这样的格点三角形最多可以画7个，
故答案为：7
19.【答案】证明：∵AE // DF，
∴∠A=∠D，
∵BF // EC
∴∠ACE=∠DBF，
∵AB=CD
∴AB+BC=CD+BC
∴AC=DB
在ΔACE和△DBF中
∠A=∠DAC=DB∠ACE=∠DBF
∴ΔACE≌ΔDBF
∴AE=DF

【解析】根据AE // DF，BF // EC得出∠A=∠D，∠ECA=∠FBD，进而根据AB=CD得出AC=DB，证明ΔACE≌ΔDBF，即可得出答案．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，需要熟练掌握全等三角形的判定与性质．
20.【答案】证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90∘，
∵AB=15，AD=12，CD=16．
∴BD= AB2−AD2= 152−122=9，
AC= AD2+CD2= 122+162=20，
∴BC=BD+CD=9+16=25，
∵AB2+AC2=152+202=252，BC2=252，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形．

【解析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．先利用勾股定理求出AC和BD，得到BC，再利用勾股定理的逆定理进行证明．
21.【答案】解：如图所示，△DEF就是所求作的三角形．


【解析】本题主要考查了作一个三角形的全等三角形，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
22.【答案】证明：∵∠ADC=∠AEB=90∘，
∴∠BDO=∠CEO=90∘，
在▵BOD和▵COE中，
∠BDO=∠CEO∠BOD=∠COEBO=CO,
∴▵BOD≌▵COEAAS，
∴OD=OE，
∵∠ADC=∠AEB=90∘，
∴点O在∠BAC的角平分线上，
∴AO平分∠BAC．

【解析】本题考查了角平分线的判定定理，全等三角形的判定和性质，先证明▵BDO≌▵CEOAAS，得到OD=OE，结合∠ADC=∠AEB=90∘，根据角平分线的判定定理即可求证，熟悉定理内容和判定方法是解题的关键．
23.【答案】证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD
∵以A为圆心，以AD长为半径画弧，与AB、AC分别交于点E、F
∴AE=AD=AF
在▵ADE和▵ADF中
AE=AF∠DAE=∠DAFAD=AD
∴△ADE≌△ADF(SAS)，
∴∠ADE=∠ADF，
∵∠BDE=∠CDF，
∴∠ADE+∠BDE=∠ADF+∠CDF，即∠ADB=∠ADC，
在△ADB和△ADC中
∠BAD=∠CADAD=AD∠ADB=∠ADC,
∴△ADB≌△ADC(ASA)，
∴BD=CD．

【解析】本题考查三角形全等的判定，角平分线的定义，基本作图等．掌握三角形全等的判定定理是解题关键．先利用SAS证明▵ADE≌▵ADF，得出∠ADE=∠ADF，则∠ADB=∠ADC，然后利用AAS证明▵ADB≌▵ADC即可．
24.【答案】【小题1】
如图所示，DE就是AB的垂直平分线．
【小题2】
连接BE．
∵∠C=90∘，AC=8，AB=10，
∴BC= AB2−AC2= 102−82=6，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵∠C=90∘，
∴BC2+CE2=BE2，
∴BC2+AC−AE2=AE2，
∴62+8−AE2=AE2，
∴AE=254．

【解析】1.
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
根据要求作出图形即可；
2.
连接BE，由勾股定理求得BC=6，再由DE是AB的垂直平分线可得AE=BE最后由勾股定理求得AE的长．
25.【答案】【小题1】
证明：∵∠ACB=90∘，D是AB的中点，
∴CD=12AB=AD
∵AC=BC，D是AB的中点，
∴∠ADC=90∘，∠DCF=12∠ACB=12×90∘=45∘，∠A=∠B=45∘
∴∠A=∠DCF
∵DE⊥DF
∴∠EDF=90∘
∴∠ADC=∠EDF
∴∠ADE=∠CDF
在▵ADE和▵CDF中
∠A=∠DCFAD=CD∠ADE=∠CDF
∴▵ADE≌▵CDF
∴AE=CF
【小题2】
解：∵CD=12AB=AD，AB=12
∴CD=AD=12×12=6
∵∠ADC=90∘
∴S▵ADC=12×AD×CD=12×6×6=18
∵▵ADE≌▵CDF
∴S▵ADE=S▵CDF
∴S四边形DECF=S▵CDF+S▵CDE=S▵ADE+S▵CDE=S▵ADC=18
∴四边形DECF的面积为18．

【解析】1.
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识点．
证▵ADE≌▵CDF即可求证；
2.
由(1)可得S▵ADE=S▵CDF，故S四边形DECF=S▵CDF+S▵CDE=S▵ADE+S▵CDE=S▵ADC，据此即可求解．
26.【答案】【小题1】
证明：∵点E是AC的中点
∴AE=CE
∵CF//AB，
∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，
在▵AED和△CEF中，
∠A=∠FCE∠ADE=∠FAE=CE,
∴△AED≌△CEFAAS；
【小题2】
解：DE//BC，DE=12BC，
连接CD．
由(1)得，▵AED≌▵CEF，
∴AD=CF，DE=FE，

∴DE=12DF，
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF，
∵CF//AB，
∴∠BDC=∠FCD，
在▵BDC和▵FCD中，
BD=FC∠BDC=∠FCDCD=DC,
∴▵BDC≌▵FCDSAS
∴BC=DF，∠BCD=∠FDC，
∴DE=12BC，DE//BC．

【解析】1.
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质．
利用平行线的性质证得∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，再利用AAS即可证明▵AED≌▵CEF；
2.
连接CD，由△AED≌△CEF，推出AD=CF，DE=FE，再利用SAS证明△BDC≌△FCD，推出BC=DF，∠BCD=∠FDC，据此即可得到结论．
27.【答案】【小题1】
证明：∵BE⊥AC、CF⊥AB
∴∠BEA=∠CFA=90∘
∴∠EAF+∠ABD=90∘，∠EAF+∠PCA=90∘，
∴∠ABD=∠PCA，
在▵ABD和▵PCA中
AB=PC∠ABD=∠PCABD=AC
∴▵ABD≌▵PCASAS；
【小题2】
由(1)得▵ABD≌▵PCASAS，
∴∠BAD=∠P，AD=PA，
∵∠AFP=90∘，
∴∠P+∠PAF=90∘，
∴∠BAD+∠PAF=90∘，
即∠PAD=90∘，
又∵AD=PA，
∴▵PAD是等腰直角三角形，
∴∠P=45∘．

【解析】1.
本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键．
由余角的性质得到∠ABD=∠PCA，根据三角形全等的判定定理即可得证；
2.
根据全等三角形的性质得：AD=PA，根据余角的性质得到∠BAD+∠PAF=90∘，进而得出▵PAD是等腰直角三角形，即可求解．
28.【答案】【小题1】
SAS
【小题2】
1【小题3】
证明：延长AD到G，使DG=AD，连接BG．

∵AD是▵ABC的中线
∴BD=CD
在▵BDG和▵CDA中
BD=CD∠BDG=∠CDAGD=AD
∴▵BDG≌▵CDASAS
∴∠G=∠CAD，BG=CA
∵BE=AC
∴BE=BG
∴∠G=∠BEG
∵∠BEG=∠AEF
∴∠CAD=∠AEF
∴AF=EF
【小题4】
证明：延长ED到G，使DG=DE，连接CG、FG．

∵D为BC的中点
∴BD=CD
在▵BDE和▵CDG中
BD=CD∠BDE=∠CDGDE=DG
∴▵BDE≌▵CDGSAS
∴BE=CG，DE=DG，∠B=∠GCD
∵∠EDF=90∘
∴FD垂直平分EG
∴EF=GF
∵∠BAC=90∘
∴∠B+∠ACB=90∘
∴∠GCD+∠ACB=90∘
∴∠GCF=90∘
∴CG2+CF2=GF2
∴BE2+CF2=EF2

【解析】1.
根据全等三角形的判定定理解答；
∵AD是中线，
∴BD=CD，
又∵∠ADC=∠BDE，AD=DE，
∴△BDE≌△CDA(SAS)，
故答案为：SAS；
2.
根据全等的性质及三角形的三边关系计算；
∵△BDE≌△CDA，
∴AC=BE=6，
在△ABE中，AB−BE∴8−6<2AD<8+6，
∴1故答案为：13.
延长AD到G，使DG=AD，连接BG，证明▵BDG≌▵CDASAS，根据全等三角形的性质解答；
4.
延长ED到G，使DG=DE，连接CG、FG，▵BDE≌▵CDGSAS，得到∠G=∠CAD，BG=CA，再根据勾股定理解答．
【点睛】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形三边关系以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．