陕西省西安市碑林区2023-2024学年八年级上册月考数学试题（含解析）

这是一份陕西省西安市碑林区2023-2024学年八年级上册月考数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，小器一容三斛；大器一，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

满分120分，时间120分钟．
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的）
1．下列实数中，属于无理数的是（ ）
A．1B．C．D．0
2．下列各式是二元一次方程的是（ ）
A．B．C． D．
3．小丽在对数据26，30，30，43，5◆，57进行统计分析时，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果不受影响的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．方差D．众数
4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝17，BD＝15，DC＝6，则AC的长为( )．
A．11B．10C．9D．8
5．如图，蝴蝶剪纸是一副轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．在平面直角坐标系xOy中，函数与的图象如图所示，则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
7．《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器5个、小容器1个，总容量为3斛；大容器1个、小容器5个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？”设1个大容器的容积为x斛，1个小容器的容积y斛，则根据题意可列方程组（ ）
A．B．C．D．
8．下列关于一次函数的说法中，错误的是（ ）
A．图象与x轴的交点坐标为B．y的值随着x的值的增大而减小
C．图象经过第一、二、四象限D．当时，
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．81的算术平方根是 ．
10．已知是二元一次方程的一个解，则a的值为 ．
11．小丽的笔试成绩为90分，第一次面试成绩为95分，第二次面试成绩为92分，若笔试成绩、第一次面试成绩、第二次面试成绩按计算平均成绩，则小丽的平均成绩是 分．
12．把直线向下平移个单位后，与轴交于点，则的值为 ．
13．如图，在长方形中，，，点F是上一点，，点E是上一动点，连接，将沿折叠，记点B的对应点为点，连接，则的最小值是 ．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．计算：
15．计算：．
16．解方程组：．
17．已知一次函数．
(1)画出该函数的图象；
(2)结合图象，写出当时，x的取值范围．
18．在一次知识竞赛中，学校为获得一等奖和二等奖共名学生购买奖品，共花费元，其中一等奖奖品每件元，二等奖奖品每件元，求获得一等奖和二等奖的学生分别有多少名．
19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)作关于x轴对称的，点A，B，C的对应点分别为，，；
(2)直接写出点，的坐标（______，______），（______，______）．
20．已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当时，求y的值；
21．如图，七个相同的小长方形组成一个大长方形．若，求长方形的面积．
22．乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，某乒乓球训练班中，教练根据甲、乙两名选手在5次训练中的成绩（单位：分）绘制了不完整的统计表和折线统计图：
根据以上信息，解答下面的问题：
(1)______，______；
(2)求乙在这5次训练中的成绩的平均数c的值；
(3)教练根据这5次成绩，决定选择甲参加市乒乓球比赛，教练的理由是什么？
23．如图是某汽车行驶的路程与时间的函数关系图，观察图中所提供的信息解答下列问题：
(1)汽车在前8分钟内的平均速度是______；
(2)求时汽车行驶的路程．
24．如图，在中，是边的垂直平分线，且，延长，交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
25．某商店销售3台A型和5台B型电脑的利润为3000元，销售5台A型和3台B型电脑的利润为3400元．
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润各多少元？
(2)该商店计划一次购进A，B两种型号的电脑共50台，设购进A型电脑n台，这50台电脑的销售总利润为w元，请写出w关于n的函数关系式，并求出该商店购进这50台电脑总利润的最大值．
26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点C，点D，且这两个函数图象交于点P，．
(1)直接写出C，D两点的坐标，C（______，______），D（______，______）；
(2)求四边形的面积；
(3)连接，若直线上存在一点Q，使得，求点Q的坐标．
参考答案与解析
1．B
【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个）等形式．分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】解：1，和0都属于有理数，是无理数，
故选：B．
2．A
【分析】根据二元一次方程的定义，依次分析各个选项，选出是二元一次方程的选项即可．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
【详解】解：A．方程符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，选项符合题意；
B．方程不是整式方程，选项不符合题意；
C．不是方程，选项不符合题意；
D．方程中所含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
3．B
【分析】利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断即可．
【详解】解：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为30与43的平均数，与被涂污数字无关．
故选：B．
【点睛】本题考查了方差：方差描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数和标准差的概念．
4．B
【分析】在直角△ABD中由勾股定理可以求得AD的长度；然后在直角△ACD中，根据勾股定理来求线段AC的长度即可．
【详解】如图，∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
又∵AB=17，BD=15，DC=6，
∴在直角△ABD中,由勾股定理得到：AD2=AB2−BD2=64.
在直角△ACD中,由勾股定理得到：AC= =10，即AC=10.
故选B.
【点睛】此题考查勾股定理，解题关键在于掌握运算公式.
5．D
【分析】本题考查了点坐标关于轴对称规律，掌握“关于轴对称点坐标为．”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
关于轴的对称点坐标为，
关于轴的对称点坐标为，
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．
【详解】解：∵一次函数与的图象的交点坐标为，
∴二元一次方程组的解为．
故选：C．
7．A
【分析】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【详解】解：设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，
根据题意得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
8．D
【分析】根据一次函数中，时，，得到图象与x轴的交点为；根据，得到y的值随着x的值的增大而减小； 根据，，得到函数图象经过第一、二、四象限；根据当时，得到，，．逐项判断即可．
本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】A．图象与x轴的交点坐标为，
∵中，时，，
∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为，此选项正确，故选项A不符合题意；
B． y的值随着x的值的增大而减小，
∵中，，
∴y的值随着x的值的增大而减小，此选项正确，故选项B不符合题意；
C．图象经过第一、二、四象限，
∵中，，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，此选项正确，故选项C不符合题意；
D．当时，，
∵中，当时，，
∴，即，
∴一次函数，当时，，此选项错误，故选项D符合题意；
故选：D．
9．9
【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案．
【详解】解：81的算术平方根是：．
故答案为：9．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，正确把握算术平方根的定义是解题关键．
10．1
【分析】本题考查二元一次方程的解，将已知解代入二元一次方程中求a值即可．
【详解】解：∵是二元一次方程的一个解，
∴，解得，
故答案为：1．
11．
【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的求解公式求解即可．
【详解】解：根据题意，小丽的平均成绩是
（分），
故答案为：．
12．
【分析】本题考查图形的平移变换和求函数解析式；根据“上加下减”的原则写出平移后直线的解析式为，然后将点代入求值．
【详解】解：直线向下平移2个单位后所得直线的解析式为：，
将点代入得：，
解得．
故答案是：．
13．
【分析】本题考查了矩形性质，勾股定理，三角形的三边关系：当共线时，有最小值，即为，根据勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：如图：连接，
当不共线时，，
当共线时，有最小值，且为，
在中，，
则的最小值是，
故答案为：．
14．5
【分析】先利用完全平方公式计算，再利用二次根式的乘法法则运算，然后合并即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算和完全平方公式，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
15．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，用二次根式乘法和除法法则进行运算，将结果化为最简二次根式，即可求解；准确熟练地根据相关的运算法则进行计算是解题的关键．
【详解】解：
．
16．
【分析】题目主要考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键
【详解】解：整理原方程组，得
，得．解得
将代入②，得．
解得．
所以原方程组的解是．
17．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）先求出函数图象与x轴和y轴的交点，描点连线即可；
（2）根据图象写出当时，x的取值范围即可．
此题考查了画一次函数的图象、利用图象法解不等式等知识，数形结合是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，．
当时，，解得．
∴一次函数与x轴交于点，与y轴交于点，
画出该函数的图象如图所示．
（2）由图象可得，当时，x的取值范围为．
18．获得一等奖的学生有名，二等奖的学生有名
【分析】设获得一等奖的学生有名，二等奖的学生有名，一等奖和二等奖共名，共花费元，由此即可列方程求解．
【详解】解：设获得一等奖的学生有名，二等奖的学生有名，根据题意得：
，解得：，
∴获得一等奖的学生有名，二等奖的学生有名．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组与实际问题的运用，理解题目中的数量关系，列方程，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
19．(1)见解析；
(2)，；，．
【分析】本题主要考查在平面直角坐标系中，点关于坐标轴对称的问题，熟练掌握点关于坐标轴对称点的特征是解答本题的关键．
（1）根据已知点关于x轴对称的点，找到、、，依次连接即可得到；
（2）由（1）分析可得．
【详解】（1）解：∵点关于轴对称的点的坐标特征为，
∴，，，关于轴对称的点分别为
，，．
在平面直角坐标系中描出、、依次连接，如图．
（2），．
20．(1)
(2)
【分析】（1）设一次函数的表达式为y=kx+b，用待定系数法即可得一次函数的表达式为y=-2x+3；
（2）把x=5代入函数表达式即可得答案．
【详解】（1）解：设一次函数的表达式为y=kx+b，
∵当x=1时，y=1；当x=3时，y=-3．
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为y=-2x+3；
（2）把x=5代入y=-2x+3得：
y=-10+3=-7，
∴当x=5时，y的值是-7．
【点睛】本题考查求一次函数的解析式及函数值，解题的关键是掌握待定系数法，能准确进行计算．
21．
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设小长方形的长为x，宽为y，根据图形列出二元一次方程组求解即可得出长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意，得
解得
∴长方形的长为：（cm），宽为．
∴长方形的面积为（）．
22．(1)8，9；
(2)8；
(3)教练的理由是两人的平均成绩相同，而甲的成绩的方差小，所以甲的成绩较稳定．
【分析】本题考查了众数、中位数以及方差，掌握众数、中位数以及方差的定义是解题的关键．
（1）依据众数以及中位数的概念进行计算判断即可；
（2）依据平均数的计算方法求解即可；
（3）两人的平均成绩相同，而甲的成绩的方差小，即甲的成绩较稳定，故选择甲参加射击比赛．
【详解】（1）解：甲的成绩7，8，8，8，9中，8出现的次数最多，故众数；
乙的成绩5，7，9，9，10中，中位数；
故答案为：8，9；
（2）甲的成绩的平均数为：；
（3）解：教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，
教练的理由是两人的平均成绩相同，而甲的成绩的方差小，即甲的成绩较稳定．
23．(1)；
(2)24千米．
【分析】本题考查了一次函数的图象的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，由自变量求函数值的运用，解答时求出函数解析式是关键．
（1）由函数图象根据路程÷时间=速度就可以得出结论；
（2）由函数图象就可以得出中途停留的时间；
（3）运用待定系数法求出时的解析式，将时，求出的值即可．
【详解】（1）解：由函数图象，得
，
故答案为：．
（2）设时的表达式为．
根据题意，得…
解得
∴当时，．
当时，．
所以时汽车行驶的路程是24千米．
24．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理．
（1）连接，利用线段垂直平分线的性质得到．再结合已知得到，推出是直角三角形，即可证明；
（2）设，则，利用，构造方程，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是边的垂直平分线，
∴．
∵，
∴，即．
∴是直角三角形．
∴；
（2）解：设，则，
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴，
解得．
∴．
25．(1)每台A型电脑的销售利润为500元，每台B型电脑的销售利润为300元；
(2)，最大值为25000元．
【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，
（1）根据商店销售3台型和5台型电脑的利润为3000元，销售5台型和3台型电脑的利润为3400元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据题意和题目中的数据，可以写出关于的函数关系式．
【详解】（1）解：设每台A型电脑的销售利润为x元，每台B型电脑的销售利润为y元，
根据题意，得
解得
答：每台A型电脑的销售利润为500元，每台B型电脑的销售利润为300元
（2）∵该商店计划一次购进两种型号的电脑共50台，且购进A型电脑n台，
∴购进B型电脑台．
根据题意，得，
即．
∴w关于n的函数关系式是，．
∵．∴w随n的增大而增大．
∴当时，w取得最大值，最大值为：（元）．
∴该商店购进这50台电脑总利润的最大值为25000元．
26．(1)4，0；0，4
(2)8
(3)或
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形的面积是解题的关键．
（1）将代入一次函数中，可求得x的值，得出点A坐标，再由可得点C、D的坐标；
（2）先求出直线的表达式为． 再求出点P的坐标为．最后求出四边形的面积；
（3）设点Q为，分为两种情况：当点在点P的下方时和当点在点P的上方时，分别进行求解即可．
【详解】（1）将代入一次函数中，得：，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，，
故答案为：4，0；0，4；
（2）∵一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点C，点D，由（1）可得
∴，
∴直线的表达式为．
在一次函数中，令，则．
∴点B的坐标为．
∴解得
∴点P的坐标为．
∴．
（3）∵点Q在直线上，则设点Q为，则分为以下两种情况：
当点在点P的下方时，如图所示．
∵，点P的坐标为，
∴．
∵，
∴，
∴，
解得．
∴．
∴点的坐标为．
当点在点P的上方时，如图所示．
．
∴，
∴，
解得．
∴，
∴点的坐标为．
综上所述，点Q的坐标为或．
成绩/分
甲
乙
平均数
8
c
众数
a
9
中位数
8
b
方差
0.4
3.2