浙江省金华市东阳市横店八校联考2023-2024学年九年级上册12月月考数学试题（含解析）

这是一份浙江省金华市东阳市横店八校联考2023-2024学年九年级上册12月月考数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知，则下面结论成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．二次函数y=（x﹣5）2+7的最小值是（ ）
A．﹣7B．7C．﹣5D．5
3．一个不透明的布袋里装有4个黑球、1个白球、3个红球，它们除颜色外其余都相同．从布袋里任意摸出1个球，是黑球的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，点A，B在以为直径的半圆上，B是的中点，连接交于点E，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（2，1）
6．如图，，，，，以点C为圆心，为半径的圆与、分别交于点E与点D，则的长为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，点P在边上，若是的三等分线，则的长度为（ ）

A．或5B．或C．或2D．或2
8．已知抛物线，其中，．下列说法正确的是（ ）
A．该抛物线经过原点
B．该抛物线的对称轴在轴左侧
C．该抛物线的顶点可能在第一象限
D．该抛物线与轴必有公共点
9．如图，在中，于点D，于点E，，，，则（ ）
A．4.8B．3.6C．6.4D．3
10．已知抛物线（，，是常数，且）过点，如果当时，则；若时，则；则的值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．二次函数的顶点坐标是 ．
12．从，，，四个实数，任取一个数是有理数的概率为 ．
13．若实数满足，则的最小值为 ．
14．如图，在中，点E在边上，对角线于，若，的面积等于8，那么的面积等于 ，四边形的面积等于 ．
15．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ 的长度为 m．
16．如图，是半圆的直径，是半圆上一点，是的中点，连接交于点，连接，若，，则的长为 ．
三、解答题：本大题有8个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知，判断下列比例式是否成立，并说明理由．
(1)．
(2)．
18．一个不透明的袋子中装有2个红球和1个白球（只有颜色不同），从中随机摸出1个球后放回搅匀，再次随机摸出一个球，请用列表或画树状图的方法求先后摸出的两球颜色不同的概率．
19．二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
(1)直接写出的值，并求该二次函数的解析式；
(2)当时，求函数值的取值范围．
20．如图，点在，用无刻度的直尺画图．
(1)在图①中，画一个与互补的圆周角；
(2)在图②中，画一个与互余的圆周角．并说明理由．
21．如图，在中，，点是上一点，，．
(1)求证：；
(2)若，，的面积为1，求的面积．
22．某商店销售一种销售成本为元/千克的水产品，若按元/千克销售，一个月可售出，销售价每涨价1元，月销售量就减少．
(1)写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式；
(2)当销售单价定为元时，计算月销售量和销售利润；
(3)商店想在月销售成本不超过元的情况下，使月销售利润达到元，销售单价应定为多少？
(4)当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
23．已知函数（为常数），为常数且，函数的图象经过点．
(1)求函数的表达式．
(2)若函数的图象始终经过定点，
①用含有的式子表示：
②若时，总有，求的取值范围．
24．如图，、、是中的三条弦，点E在上，且． 连结，，，其中交于点G．
(1)求证：．
(2)若，求的度数（用含α的代数式表示）．
(3)若，，，求线段的长．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据题意可得，进一步即可求出.
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故选：B.
【点睛】本题考查了分式的求值，属于基本题目，掌握求解的方法是关键.
2．B
【详解】∵y=（x﹣5）2+7，
∴当x=5时，y有最小值7．
故选B．
3．A
【分析】本题考查了简单的概率计算，根据概率的计算公式，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，从布袋里任意摸出1个球，是黑球的概率为，
故选：A．
4．C
【分析】连接AD，根据点B是中点求出，根据三角形内角和可求解．
【详解】解：连接，
∵B是的中点，，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的性质，掌握圆内弧和圆周角的关系以及三角形内角和是解题的关键．
5．A
【分析】根据二次函数的性质，求得对称轴，再根据二次函数的对称性即可求解．
【详解】∵二次函数的对称轴为y轴，
∴若图象经过点，则该图象必经过点．
故选：A．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，正确求得对称轴．
6．D
【分析】在中，由勾股定理可直接求得；过C作，交于点M，由垂径定理可得M为的中点，在中，根据勾股定理得的长，从而得到的长．
【详解】解：在中，，，；
根据勾股定理，得．
过C作，交于点M，如图所示，
由垂径定理可得M为的中点，
∵，且，，，
∴，
在中，根据勾股定理得：，即，
解得：，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
7．B
【分析】当是靠近的的三等分线，先根据等边对等角和三角形内角和定理证明，，则，，设，则，证明，利用相似三角形的性质得到，解方程即可求出；同理可得，当是靠近的的三等分线时，．
【详解】解：∵，
∴，
当是靠近的的三等分线时，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得或（舍去），
∴；
同理可得，当是靠近的的三等分线时，；
综上所述，或，
故选B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，利用分类讨论的思想是解题的关键．
8．C
【分析】根据函数的图象与系数的关系，需要对题中所给的，，进行分类讨论，也可以画出它的草图，然后根据图象解答即可．
【详解】解：A、∵，
∴该抛物线与轴的交点在轴上方，不经过原点，
∴此选项说法错误，不符合题意；
B、∵，
∴与异号，
∴，
∴该抛物线的对称轴在轴右侧，
∴此选项说法错误，不符合题意；
C、由已知可得抛物线顶点为，
已知，所以顶点可能在第一象限，第四象限或者轴上，
∴此选项说法正确，符合题意；
D、令，则，
∴，
而无法判断其正负情况，
∴不能判断抛物线与轴必有公共点，
∴此选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了二次函数各项系数对其图象的影响，对已知条件进行分类讨论是解决问题的关键．
9．B
【分析】先证，得到，推出，，利用勾股定理求出，再根据，利用对应边长成比例即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故选B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是证明．
10．C
【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，能够明确题意是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，抛物线开口向下，顶点为，图象经过点，
抛物线为，
把点代入得，，
解得．
故选：C．
11．
【分析】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：二次函数，
二次函数的顶点为．
故答案为．
12．
【分析】本题主要考查了概率的计算，掌握无理数的概念是解题的关键，先判断有理数有2个，无理数有2个，再根据概率的公式计算即可得出答案．
【详解】在，，，四个实数中，有理数是和，共2个，无理数是和，
任取一个数是有理数的概率为，
故答案为：．
13．9
【分析】把，化成，代入，得出，根据二次函数的性质即可求得．
【详解】解：∵实数满足，
∴，则
∴，
当时，有最小值为9，
故答案为9．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，由，代替代数式中的，得到关于a的二次函数是解题的关键．
14． 18 22
【分析】先根据平行四边形的性质得出，进而求出相似比，可得面积比，可求，然后求出，即可求出，再根据可得答案．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴．
∵，
∴，
即，
∴．
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：18，22．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，确定各三角形的面积之间的关系是解题的关键．
15．2.3
【分析】过N点作于点D，根据同一时刻木竿长和影子长的比是固定的得到，求出QD的长，即可求出结果．
【详解】解：如图，过N点作于点D，
则四边形是矩形，
根据同一时刻木竿长和影子长的比是固定的，
∴，
∵，，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用竿长和影长成比例列式求出结果．
16．
【分析】如图，连接交于K，连接.设，则,
，由，推出可得，再证
，进而得到，据此求出k即可解答．
【详解】解：如图：连接交于K，连接.
∵是的中点，
∴,
∵,
∴，则,，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴，即，解得：，
∵,
∴,
∴，即，解得：或（舍去）
∴,
∵,
∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理、平行线分线段定理等知识点，正确添加常用辅助线、构造相似三角形是解题的关键．
17．(1)成立，见解析
(2)不成立，见解析
【分析】本题考查了比例的性质，等式的性质，熟练掌握比例的性质，等式的性质是解题的关键
（1）由，可得，根据，可证．
（2）设，则．则，然后进行判断作答即可．
【详解】（1）解：比例式成立．理由如下：
∵，
∴，
∴，即．
（2）解：比例式不成立．理由如下：
设，则．
∵，
∴，
又∵，
∴．
18．
【分析】画树状图得出所有等可能的情况数，找出先后摸出的两球颜色不同的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，先后摸出的两球颜色不同的情况有4种情况，
∴先后摸出的两球颜色不同的概率为：
【点睛】此题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19．(1)，
(2)
【分析】（1）根据二次函数的对称性即可得出m的值，根据表格的数据利用待定系数法即可求解；
（2）将二次函数化为顶点式为：，判断出函数的增减性，即可作答．
【详解】（1）当时，，
当时，，
可知：抛物线的对称轴为：，
即有：，
∴根据表格可知：当时与时，y值相等，均为：，
∴，
根据表格可知：抛物线经过点，，，
则有：
，解得：，
即二次函数的解析式为：；
（2）将二次函数化为顶点式为：，
即：时，函数值随x的增大而增大；
时，函数值随x的增大而减小；
当时，函数值最大，为：
当时，函数值：
当时，函数值：
∴当时，函数值的取值范围为：．
【点睛】本题主要考查了使用待定系数法求解二次函数解析式，二次函数的性质等知识，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，进行画图即可；
（2）根据的圆周角所对的弦是直径，进行画图即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质是解决此题的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据可得，即可求证；
（2）先求出相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可得，
∴，
∵，
∴，解得：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握：有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方．
22．(1)y与x之间的函数关系式为：（）；
(2)销售单价定为元时，月销售量为千克，销售利润为元；
(3)销售单价应定为元；
(4)当售价定为元时会获得最大利润，最大利润为元；
【分析】（1）根据利润（售价进价）数量即可得到答案；
（2）将代入解析式即可得到答案；
（3）根据利润达到元列方程求解即可得到答案；
（4）将函数配方，根据函数的性质直接判断即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
，
，
其中，，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：（）；
（2）解：由（1）得，
当时，月销售量为：千克；
销售利润为：，
答：销售单价定为元时，月销售量为千克，销售利润为元；
（3）解：由题意可得，
，
解得：，．
当时，销售成本为：元元．舍去；
当时，销售成本为：元元．
答：销售单价应定为80元；
（4）解：∵，
∴，
∴，y有最大值，
∴当时，元；
【点睛】本题考查二次函数解决销售利润问题及一元二次方程解决销售利润问题，解题的关键是根据题意得到数量与单价的等量关系式．
23．(1)
(2)①；②
【分析】（1）结合题意，利用待定系数法求解即可；
（2）①结合题意，利用待定系数法，将代入求解，即可得到答案；
②根据题意得，再结合的取值范围计算，即可完成求解．
【详解】（1）将代入解析式，
得：
∴，
∴；
（2）①将代入，
得：
∴，
∴；
②，
∵，
∴
∵
∴
∴，即；
∵
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数、二次函数与不等式的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用二次函数的性质，即可完成求解．
24．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由等弦所对弧相等，再由等弧所对圆周角相等得出，又，即可得出结论；
（2）由等边对等角的性质与圆周角性质得出，即可由求解；
（3）由，得，从而可求出，，从而求出，再证，得，代入即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，，，
∴ ，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查三角形判定与性质，圆周角定理，弦与弧关系，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形相似的判定与性质、圆周角定理是解题的关键．
…
0
3
4
…
…
0
4
0
…