浙江省杭州第二中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题

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第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 中，角的对边分别为，且，，，那么满足条件的三角形的个数有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个
4. 已知曲线，，则下面结论正确是（ ）
A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
5. 用二分法判断方程在区间内的根（精确度0.25）可以是（参考数据：，） （ ）
A. 0.825B. 0.635C. 0.375D. 0.25
6. 已知函数，若函数恰有两个零点，则实数不可能是（ ）
A. B. -10C. 1D. -2
7. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D. 不存在
8. 已知， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 在直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则（ ）
A. B. C. D.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若， 则
B. 若， 则恒成立
C. 若正数a， b满足， 则ab有最小值
D. 若实数x， y满足， 则没有最大值
11. 设函数，，，若的最大值为，最小值为，那么和的值可能分别为（ ）
A. 与B. 与C. 与D. 与
12. 已知函数， 且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ）
A. 的最小正周期是
B. 若， 则
C. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个
D. 若，则的取值范围是
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设函数，则______.
14. 一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为_______海里.
15. 已知函数.若函数存在最大值，则实数a的取值范围是______.
16. 已知， 且， 则的最大值为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，且的面积为，求的周长.
18. 已知，，，.
（1）求的值；
（2）求的值，并确定的大小.
19. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，求的值域.
20. 为了迎接亚运会， 滨江区决定改造一个公园，准备在道路AB的一侧建一个四边形花圃种薰衣草（如图）.已知道路AB长为4km，四边形的另外两个顶点C， D设计在以AB为直径的半圆上. 记.
（1）为了观赏效果， 需要保证，若薰衣草种植面积不能少于 km2，则应设计在什么范围内?
（2）若BC = AD， 求当为何值时，四边形的周长最大，并求出此最大值.
21. 已知函数， 其中为常数，且.
（1）若是奇函数， 求a的值；
（2）证明：在上有唯一的零点；
（3）设在上的零点为，证明：.
22 已知函数满足： 对， 都有，且当时，.函数.
（1）求实数m值；
（2）已知， 其中. 是否存在实数，使得恒成立? 若存在， 求出实数的取值范围； 若不存在， 请说明理由.