广东省深圳市南山区深圳市深中南山创新学校　2023-2024学年上学期九年级12月月考数学试卷

这是一份广东省深圳市南山区深圳市深中南山创新学校　2023-2024学年上学期九年级12月月考数学试卷，共31页。试卷主要包含了下列四个命题中不正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．如图，在⊙O中，∠A＝30°，劣弧的度数是（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，若⊙O的半径为6，则弦BC的长为（ ）
A．6B．C．D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，⊙O是△ABC的内切圆，则阴影部分面积是（ ）
A．2B．πC．4－πD．π－2
4．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）．有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a＋2b＋c＜1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2＋bt≤a＋b．其中正确的有（ ）
A．①②③B．②③④C．③④⑤D．①④⑤
5．如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c（a≠0）与一次函数y＝ax＋c（a≠0）的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
6．如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为y＝，正常水位时水面宽AB为36m，当水位上升5m时水面宽CD为（ ）
A．10mB．12mC．24mD．48m
7．下列四个命题中不正确的是（ ）
A．直径是弦
B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等
C．顶点在圆周上的角是圆周角
D．半径相等的两个半圆是等弧
8．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（－，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝－x2＋4x＋n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．－3＜n≤－1或B．－3＜n＜－1或
C．n≤－1或D．－3＜n＜－1或n≥1
9．如图，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，半径为r，EF是⊙O的切线，△AEF的内切圆⊙P切EF于点N，半径为，则＝（ ）
A．B．C．D．
10．一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD都是同一条抛物线的一部分，AB，CD都与水面桌面平行，已知水杯底部AB宽为4cm，水杯高度为12cm，当水面高度为6cm时，水面宽度为2cm．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕A点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角∠BAF＝30°时，杯中水面CE平行水平桌面AF．则此时水面CE的值是（ ）
A．B．12cmC．D．14cm
二．填空题（每题3分，共15分）
11．如图，△ABC的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则sin∠BAC等于 ．
12．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为 ．
13．如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为y＝x2＋b，若AB长为4，则图中CD的长为 ．
14．如图，⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若MC＝2，则AB的长为 ．
15．如图，点A、B、O是单位为1的正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧的中点，则△APB的面积为 ．
三．解答题（共55分）
16．（6分）计算：
（1）sin230°＋2sin60°＋tan45°＋cs230°； （2）．
17．（6分）如图，与斜坡CE垂直的太阳光线照射立柱AB（与水平地面BF垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若BC＝2米，CD＝8米，斜坡的坡角∠ECF＝30°．请解决下列问题，如果结果有根号请保留根号．
（1）求点D到地面的距离；
（2）求立柱AB的高为多少米．
18．（8分）【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795－1881）曾给出了一元二次方程x2＋bx＋c＝0的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（－b，c），以AB为直径作⊙P．若⊙P交x轴于点M（m，0），N（n，0），则m，n为方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根．
【自主探究】（1）由勾股定理得，AM2＝12＋m2，BM2＝c2＋（－b－m）2，AB2＝（1－c）2＋b2，在Rt△ABM中，AM2＋BM2＝AB2，所以12＋m2＋c2＋（－b－m）2＝（1－c）2＋b2．化简得：m2＋bm＋c＝0．同理可得： ．
所以m，n为方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根．
【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程x2－3x－2＝0两根为横坐标的点M，N．
（3）已知点A（0，1），B（4，－3），以AB为直径作⊙C．判断⊙C与x轴的位置关系，并说明理由．
【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点A（0，a），B（－b，c），若以AB为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．
19．（9分）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．
（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）连接BE和OC交于点F，若AB＝4，∠BAC＝30°，
①求证：四边形DEFC是矩形；
②求图中阴影部分的面积．
20．（9分）一名身高为1.8m的篮球运动员甲在距篮筐（点B）水平距离4m处跳起投篮篮球准确落入篮筐，已知篮球的运动路线是抛物线，篮球在运动员甲头顶上方0.25m处（点A）出手，篮球在距离篮筐水平距离为1.5m处达到最大高度3.5m，以水平地面为x轴，篮球达到最大高度时的铅直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求篮球运动路线（抛物线）的函数解析式；
（2）求篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度是多少米？
（3）已知运动员乙跳离地面时，最高能摸到3.3m，运动员乙在运动员甲与篮筐之间的什么范围内能在空中截住球？
21．（8分）如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝18cm，BC＝40cm，CD＝44cm，固定∠ABC＝148°，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高拍摄效果．
（1）当悬臂CD与桌面l平行时，∠BCD＝ °；
（2）问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？
（3）已知摄像头点D到桌面l的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少？（参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60）
22．（9分）如图1，已知抛物线y＝ax2－4ax＋c(a≠0)的图象经过点A(1，0)，B(m，0)，C(0，－3)，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点P是抛物线上的一个动点，连接PD，设点P的横坐标为n．
（1）填空：m＝ ，a＝ ，c＝ ；
（2）如图1，若点P在x轴上方的抛物线上运动，连接OP，当四边形OCDP面积最大时，求n的值；
（3）如图2，若点Q在抛物线的对称轴l上，连接PQ、DQ，是否存在点P使△PDQ为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
深中南山创新学校九年级12月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，在⊙O中，∠A＝30°，劣弧的度数是（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【解答】解：连接OB．
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴∠AOB＝180°－30°－30°＝120°，
∴的度数为120°．
故选：D．
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，若⊙O的半径为6，则弦BC的长为（ ）
A．6B．C．D．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∵OB＝OC＝6，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴BC＝OA＝6．
故选：B．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，⊙O是△ABC的内切圆，则阴影部分面积是（ ）
A．2B．πC．4－πD．π－2
【解答】解：Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∴S△ABC＝AC•BC＝24，C△ABC＝AC＋BC＋AB＝24，
∴内切圆半径r＝＝2，
∴S圆＝πr2＝π，
设⊙O与AC切于点D，与BC切于点E，连接OD、OE，
则四边形ODCE为正方形，
∴S阴影＝S正方形ODCE－S扇形DOE＝2×2－×2×2π＝4－π．
故选：C．
4．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a＋2b＋c＜1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2＋bt≤a＋b，其中正确的有（ ）
A．①②③B．②③④C．③④⑤D．①④⑤
【解答】解：①由抛物线的开口方向向下，则a＜0，故①正确；
②∵抛物线的顶点为P（1，m），
∴－＝1，b＝－2a，∵a＜0，∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故②错误；
③∵抛物线经过点A（2，1），
∴1＝a•22＋2b＋c，即4a＋2b＋c＝1，故③错误；
④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下，
∴x＞1时，y随x的增大而减小，即④正确；
⑤∵a＜0，∴at2＋bt－（a＋b）＝at2－2at－a＋2a＝at2－2at＋a＝a（t2－2t＋1）＝a（t－1）2≤0，
∴at2＋bt≤a＋b，则⑤正确故选：D．
5．如图，在同一坐标系中，二次函数y＝ax2＋c与一次函数y＝ax＋c的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，不一致；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，不一致；
都过点（0，c），正确；
C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，不交于y轴同一点，不一致；
D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，都过点（0，c），一致；故选：D．
6．如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为y＝，正常水位时水面宽AB为36m，当水位上升5m时水面宽CD为（ ）
A．10mB．12mC．24mD．48m
【解答】解：∵AB＝36米，
∴当x＝18时，y＝－×182＝－9，
当水位上升5米时，y＝－4，
把y＝－4代入抛物线表达式得：－4＝－x2，解得x＝±12，
此时水面宽CD＝24（m），故选：C．
7．下列四个命题中不正确的是（ ）
A．直径是弦
B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等
C．顶点在圆周上的角是圆周角
D．半径相等的两个半圆是等弧
【解答】解：A．直径是弦，直径是圆中最长的弦，因此选项A不符合题意；
B．三角形的外心是三角形三条边中垂线的交点，因此三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，因此选项B不符合题意；
C．顶点在圆上，两边与圆还有另一个交点的角是圆周角，因此选项C符合题意；
D．半径相等的两个半圆，放在一起能完全重合，因此是等弧，所以选项D不符合题意．
故选：C．
8．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（－，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝－x2＋4x＋n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．－3＜n≤－1或B．－3＜n＜－1或
C．n≤－1或D．－3＜n＜－1或n≥1
【解答】解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝－x2＋4x＋n的相关函数的图象恰有1个公共点．
所以当x＝2时，y＝1，即－4＋8＋n＝1，解得n＝－3．
如图2所示：线段MN与二次函数y＝－x2＋4x＋n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y＝x2－4x－n与y轴交点纵坐标为1，
∴－n＝1，解得：n＝－1．
∴当－3＜n≤－1时，线段MN与二次函数y＝－x2＋4x＋n的相关函数的图象恰有2个公共点．
如图3所示：线段MN与二次函数y＝－x2＋4x＋n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y＝－x2＋4x＋n经过点（0，1），∴n＝1．
如图4所示：线段MN与二次函数y＝－x2＋4x＋n的相关函数的图象恰有2个公共点．
∵抛物线y＝x2－4x－n经过点M（－，1），
∴＋2－n＝1，解得：n＝．
∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y＝－x2＋4x＋n的相关函数的图象恰有2个公共点．
综上所述，n的取值范围是－3＜n≤－1或1＜n≤，故选：A．
9．如图，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，半径为r，EF是⊙O的切线，△AEF的内切圆⊙P切EF于点N，半径为，则＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设AB与⊙O、⊙P的切点分别是Q、G，AC与⊙O、⊙P的切点分别是T、S，连接OQ、PG、OM、OA、PS、OT，过O作OH垂直于PN，垂足为H，则AG＝AS，EG＝EN，FS＝FN，EQ＝EM，FM＝FT，FM＝FT，AQ＝AT，
∵OQ＝OT，OQ⊥AB，OT⊥AC，
∴AO是∠BAC的角平分线，
∵PG＝PS，PG⊥AB，PS⊥AC，
∴P在OA上，在Rt△APG中，AG＝＝＝，
∴AE＋AF－EF＝AG＋EG＋AS＋FS－EN－FN＝AG＋AS＝2AG＝①，
Rt△AOQ中，AQ＝＝＝r，
∴AE＋AF＋EF＝AE＋AF＋EM＋FM＝AE＋AF＋EQ＋FT＝AQ＋AT＝2AQ＝2r②，
②－①得2EF＝，∴EF＝，
∵∠OMN＝∠MNH＝∠NHO＝90°，∴四边形OMNH是矩形，
∴MN＝OH，NH＝MO，
Rt△POH中，OP＝AO－AP＝2OQ－2PG＝2r－2×＝，PH＝PN＋NH＝PN＋MO＝＋r＝，
∴OH＝＝＝，∴MN＝，
∴＝＝，故选：D．
10．一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD都是同一条抛物线的一部分，AB，CD都与水面桌面平行，已知水杯底部AB宽为4cm，水杯高度为12cm，当水面高度为6cm时，水面宽度为2cm．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕A点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角∠BAF＝30°时，杯中水面CE平行水平桌面AF．则此时水面CE的值是（ ）
A．B．12cmC．D．14cm
【解答】解：如图，以AB的中点为原点，直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
由题意得：A（－2，0），B（2，0），E（－，6），F（，6），
设抛物线的解析式为：y＝ax2＋b，
将B（2，0），F（，6）代入，
得，解得，
∴y＝x2－4，
当y＝12时，12＝x2－4，
解得x1＝4，x2＝－4，
∴C（－4，12），D（4，12），
根据题意可知，∠DCE＝∠BAF＝30°，设BE与y轴的交点坐标P，CD与y轴交于点Q，
在Rt△OPQ中，
CQ＝4，∠PCQ＝30°，
∴PQ＝4cm，
∴PO＝8cm，
∴P（0，8），
∴直线CE的解析式为：y＝kx＋m，
将C（－4，12），P（0，8），代入，
得，解得，
∴直线CE的解析式为：y＝x＋8，
令x2－4＝x＋8，
解得x＝或x＝，
∴点E的横坐标为，
当x＝时，y＝×＋8＝5，
∴E（，5）．
∴CE＝＝14（cm），
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．如图，△ABC的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则sin∠BAC等于 ．
【解答】解：
过点C作CD⊥AB，交AB于点D，假设小正方形的边长为1，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∵∠BEA＝90°，∠DBC＝∠EBA，
∴△BDC∽△BEA，
∴＝，
∵BC＝2，BA＝＝2，AE＝2，∴CD＝，
∵AC＝＝2，∴sin∠BAC＝＝＝，
故答案为：．
12．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为 2π ．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝＝120°，
∵∠ABC＋∠BAC＋∠BCA＝180°，
∴∠BAC＝（180°－∠ABC）＝×（180°－120°）＝30°，
过B作BH⊥AC于H，∴AH＝CH，BH＝AB＝×2＝1，
在Rt△ABH中，AH＝＝＝，∴AC＝2，
同理可证，∠EAF＝30°，
∴∠CAE＝∠BAF－∠BAC－∠EAF＝120°－30°－30°＝60°，
∴S扇形CAE＝＝2π，∴图中阴影部分的面积为2π，
故答案为：2π．
13．如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为y＝x2＋b，若AB长为4，则图中CD的长为 6 ．
【解答】解：∵AB长为4，AB是半圆的直径，∴A点坐标为（－2，0），B点坐标为（2，0），
将B点坐标（2，0）代入抛物线的解析式为y＝x2＋b，
得，22＋b＝0，
解得b＝－4，
∴抛物线解析式为y＝x2－4，
当x＝0时，y＝－4，
∴C点坐标为（0，－4），
∴OC＝4，
∵，
∴CD＝OC＋OD＝4＋2＝6，
故答案为：6．
14．如图，⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若MC＝2，则AB的长为 8 ．
【解答】解：连接OA，
∵直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，∴AM＝BM，
∵MC＝2，∴（5－2）2＋AM2＝52，解得：AM＝4，
∴AB＝2AM＝8，故答案为：8．
15．如图，点A、B、O是单位为1的正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧的中点，则△APB的面积为 ．
【解答】解：过点B作BC⊥PA于点C，
∵点P是优弧的中点，∴PA＝PB，
∵∠AOB＝90°，∴∠APB＝∠AOB＝45°，
∴△PBC是等腰直角三角形，∴PC＝BC，
设PC＝x，则PA＝PB＝x，∴AC＝PA－PC＝（－1）x，
∵AB2＝AC2＋BC2，AB＝，
∴2＝[（－1）x]2＋x2，解得：x2＝，
∴S△APB＝PA•BC＝x2＝．
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
16．计算：
（1）sin230°＋2sin60°＋tan45°＋cs230°；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝sin230°＋cs230°＋2sin60°＋tan45°＝1＋2×＋1＝2＋．
（2）原式＝1＋（－2）＋－4×
＝1－2＋3－－＝2－．
17．如图，与斜坡CE垂直的太阳光线照射立柱AB（与水平地面BF垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若BC＝2米，CD＝8米，斜坡的坡角∠ECF＝30°．请解决下列问题，如果结果有根号请保留根号．
（1）求点D到地面的距离；
（2）求立柱AB的高为多少米．
【解答】解：（1）如图，过点D作DH⊥BF于点H，则DH的长是点D到地面的距离，
∴∠DHC＝90°，
在Rt△CDH中，∠DHC＝90°，∠DCH＝30°，CD＝8米，
则DH＝CD＝×8＝4（米），
答：点D到地面的距离是4米；
（2）如图，延长AD交BF于点G，
在Rt△CDG中，∠CDG＝90°，∠DCG＝30°，CD＝8米，
则CG＝＝＝（米），∠CGD＝60°，
∴BG＝（＋2）米，
∴AB＝BG•tan∠AGB＝（＋2）•＝（16＋2）米，
答：立柱AB的高为（16＋2）米．
18．【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795－1881）曾给出了一元二次方程x2＋bx＋c＝0的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（－b，c），以AB为直径作⊙P．若⊙P交x轴于点M（m，0），N（n，0），则m，n为方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根．
【自主探究】（1）由勾股定理得，AM2＝12＋m2，BM2＝c2＋（－b－m）2，AB2＝（1－c）2＋b2，在Rt△ABM中，AM2＋BM2＝AB2，所以12＋m2＋c2＋（－b－m）2＝（1－c）2＋b2．化简得：m2＋bm＋c＝0．同理可得： n2＋bn＋c＝0 ．
所以m，n为方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根．
【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程x2－3x－2＝0两根为横坐标的点M，N．
（3）已知点A（0，1），B（4，－3），以AB为直径作⊙C．判断⊙C与x轴的位置关系，并说明理由．
【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点A（0，a），B（－b，c），若以AB为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 x2＋bx＋ac＝0 ．
【解答】解：（1）AN2＝12＋n2，BN2＝c2＋（－b－n）2，AB2＝（1－c）2＋b2，
在Rt△ABM中，AN2＋BN2＝AB2，
∴12＋n2＋c2＋（－b－n）2＝（1－c）2＋b2，
化简得：n2＋bm＋c＝0，
故答案为：n2＋bn＋c＝0；
（2）先在坐标系内找到A（0，1），B（3，－2），连接 AB，分别A，B为圆心，以大于为半径画弧，连接两弧的交点与AB交于点P，以P为圆心，以AB为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点．如图所示：
（3）由题意得：x2－4x－3＝0，
∴Δ＝b2－4ac＝（－4）2－4×1×（－3）＝28＞0，
∴方程x2－4x－3＝0有两个不相等的实数根，
∴⊙C与x轴有两个交点，
即⊙C与x轴相交；
（4）由题意得，以AB为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，
则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是x2＋bx＋ac＝0．
故答案为：x2＋bx＋ac＝0．
19．如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．
（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）连接BE和OC交于点F，若AB＝4，∠BAC＝30°，
①求证：四边形DEFC是矩形；
②求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）解：直线CD与⊙O相切，
理由：连接OC，
∵，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，
∴∠CAD＝∠ACO，∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）①证明：∵，∴OC⊥CE，BF＝EF，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，
∴∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°，
∴四边形DEFC是矩形；
②解：∵，∴∠COE＝∠BOC＝2∠BAC＝60°，
在Rt△OEF中，OE＝AB＝2，∴∠OEF＝90°－∠COE＝30°，
∴OF＝OE＝1，∴CF＝OC－OE＝1＝DE，
∴ERF＝＝＝CD，
∴S梯形OCDE＝（OE＋OC）•CD＝，
S扇形OCE＝＝，
∴图中阴影部分的面积＝S梯形OCDE－S扇形OCE＝－．
20．一名身高为1.8m的篮球运动员甲在距篮筐（点B）水平距离4m处跳起投篮篮球准确落入篮筐，已知篮球的运动路线是抛物线，篮球在运动员甲头顶上方0.25m处（点A）出手，篮球在距离篮筐水平距离为1.5m处达到最大高度3.5m，以水平地面为x轴，篮球达到最大高度时的铅直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求篮球运动路线（抛物线）的函数解析式；
（2）求篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度是多少米？
（3）已知运动员乙跳离地面时，最高能摸到3.3m，运动员乙在运动员甲与篮筐之间的什么范围内能在空中截住球？
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴设抛物线的解析式为y＝ax2＋3.5．
由题意可知，抛物线上的点B的坐标为（1.5，3.05）．∴2.25a＋3.5＝3.05，解得a＝－0.2，
∴抛物线的解析式为y＝－0.2x2＋3.5；
（2）设篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度为hm．
4－1.5＝2.5（m），0.25＋1.8＝2.05（m）．
由题意可得点A的坐标为（－2.5，2.05＋h），
∴2.05＋h＝－0.2×（－2.5）2＋3.5，∴h＝0.2（m）．
∴篮球出手时，运动员跳离地面的高度是0.2m；
（3）由题意可得出：y＝3.3，则3.3＝－0.2x2＋3.5，解得：x1＝1，x2＝－1，
∴2.5－1＝1.5（m），1.5－1＝0.5（m）
∴乙在距离甲1.5米以内或离篮板0.5米以内能在空中截住球．
21．如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝18cm，BC＝40cm，CD＝44cm，固定∠ABC＝148°，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高拍摄效果．
（1）当悬臂CD与桌面l平行时，∠BCD＝ 58 °；
（2）问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？
（3）已知摄像头点D到桌面l的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少？（参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60）
【解答】解：（1）过点B作直线MN∥l，
∵CD∥l，∴∠ABN＝90°，
∵MB∥l，∴MN∥CD，∴∠BCD＝∠CBN＝148°－90°＝58°．故答案为：58°．
（2）过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，
则FN＝AB＝18cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥l，
∵∠ABC＝148°，∴∠CBN＝∠ABC－∠ABN＝148°－90°＝58°，
在Rt△CBN中，BC＝40cm，∴CN＝30•sin58°≈40×0.85＝34（cm），
∴CF＝CN＋NF＝34＋18＝52，
∴悬臂端点C到桌面l的距离约为52cm．
（3）过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，
则FN＝AB＝18cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥l，
∵摄像头点D到桌面l的距离为30cm，∴MF＝30cm，
∴CM＝CF－MF＝52－30＝22cm，
在Rt△CDM中，CD＝44cm，CM＝22cm，∴sin∠CDM＝，
∴∠CDM＝30°，∠DCM＝60°，
在Rt△CBN中，∠CBN＝58°，∴∠BCN＝32°，
∴∠BCD＝∠DCM－∠BCN＝60°－32°＝28°．
22．如图1，已知抛物线y＝ax2－4ax＋c的图象经过点A（1，0），B（m，0），C（0，－3），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点P是抛物线上的一个动点，连接PD，设点P的横坐标为n．
（1）填空：m＝ 3 ，a＝ －1 ，c＝ －3 ；
（2）在图1中，若点P在x轴上方的抛物线上运动，连接OP，当四边形OCDP面积最大时，求n的值；
（3）如图2，若点Q在抛物线的对称轴l上，连接PQ、DQ，是否存在点P使△PDQ为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A（1，0），C（0，－3）代入y＝ax2－4ax＋c得，
，解得，∴抛物线的解析式：y＝－x2＋4x－3，
y＝0，则0＝－x2＋4x－3，解得x＝3或1，
∴B（3，0），∴m＝3，故答案为：3，－1，－3；
（2）连接PC，
∵C（0，－3），CD∥x轴交抛物线于点D，
∴点D的纵坐标为－3，
－3＝－x2＋4x－3，解得x＝0或4，
∴D（4，－3），
∵点P的横坐标为n，
∴P（n，－n2＋4n－3），
∴S四边形OCDP＝S△COP＋S△PCD，
＝×3n＋×4（－n2＋4n－3＋3）
＝－2n2＋n，
＝－2（n－）2＋，
∵－2＜0，∴当n＝时，S四边形OCDP有最大值，
∴n的值为；
（3）∵y＝－x2＋4x－3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝2，
∴点Q的横坐标为2，
分三种情况：
①当P为直角顶点时，PQ＝PD，如图2，过P作MN∥y轴，过Q作QM⊥MN于M，过D作DN⊥MN于N，
∴∠PMQ＝∠DNP＝90°，
∵△PQD是等腰直角三角形，且PQ＝PD，∠DPQ＝90°，
∴∠MPQ＋∠PQM＝∠MPQ＋∠DPN＝90°，∴∠PQM＝∠DPN，
∴△PQM≌△DPN（AAS），∴QM＝PN，
∵P（n，－n2＋4n－3），D（4，－3），点Q的横坐标为2，∴PN＝QM＝2－n，
∴3－（2－n）＝n2－4n＋3，解得n＝或，
∴点P的坐标为（，）或（，）；
②当D为直角顶点时，DQ＝PD，如图3，过D作MN∥y轴，过P作PM⊥MN于M，过Q作QN⊥MN于N，
同理△PDM≌△DQN（AAS），∴QM＝PN，
∵P（n，－n2＋4n－3），D（4，－3），点Q的横坐标为2，
∴DM＝QN＝4－2＝2，
∴3－2＝n2－4n＋3，解得n＝2＋或2－，
∴点P的坐标为（2＋，－1）或（2－，－1）；
如图5，
同理△PDM≌△DQN（AAS），
∴PM＝DN，DM＝QN，
∵P（n，－n2＋4n－3），D（4，－3），点Q的横坐标为2，
∴DM＝QN＝4－2＝2，
∴2＝n2－4n＋3－3，解得n＝2＋或2－，
∴点P的坐标为（2＋，－5）或（2－，－5）；
③当Q为直角顶点时，DQ＝PQ，如图4，过P作PM⊥l于M，过D作DN⊥l于N，
同理△PQM≌△QDN（AAS），
∴QM＝DN，PM＝QN，
∵P（n，－n2＋4n－3），D（4，－3），点Q的横坐标为2，
∴DN＝QM＝4－2＝2，PM＝QN＝2－n，
∴MN＝QM－QN＝2－（2－n）＝n，
∴n＝n2－4n＋3－3，解得n＝0或5，
∴点P的坐标为（0，－3）或（5，－8）；
综上所述，点P的坐标是（，）或（，）或（2＋，－1）或（2－，－1）或（2＋，－5）或（2－，－5）或（0，－3）或（5，－8）