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山东省名校考试联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附答案）
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这是一份山东省名校考试联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附答案），共20页。试卷主要包含了11， 已知集合，，则， 已知函数幂函数，则， 已知，，均为实数，则， 已知命题，，则命题的否定是， 已知函数，下列说法正确的是， 已知，是两个正实数，满足，则等内容，欢迎下载使用。
2023.11
本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数幂函数，则（ ）
A. 或2B. 2C. D. 1
3. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，，均为实数，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若且，则D. 若，则
5. 已知命题，，则命题的否定是（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
6. 已知函数，其定义域为，值域为．则“”是“”的（ ）条件．
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若，，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 不等式对于，恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数是减函数
B. ，
C. 若，则的取值范围是
D. 在区间上的最大值为0
10. 已知，是两个正实数，满足，则（ ）
A. 的最小值为1B. 的最大值为
C. 的最小值为D. 的最大值为1
11. 已知函数，若任意且都有，则实数的值可以是（ ）
A. B. C. 0D.
12. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数，则______.
14. 写出的一个必要不充分条件是______.
15. 关于的不等式的解集为______.
16. 设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
18. .
（1）判断的奇偶性，并加以证明；
（2）求值域．
19. 命题：关于的方程的两个不相等的正实根，命题：，
（1）若命题为真命题，求的取值范围；
（2）若是的充分条件，求的取值范围．
20. 原定于2022年9月10日至25日在中国杭州举办第19届亚洲运动会延期至2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，名称仍为杭州2022年第19届亚运会.杭州亚组委在亚奥理事会和中国奥委会的指导下，有关各方共同努力，为全世界人民呈现了一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会.运动会期间，杭州某互联网公司为保证直播信号的流畅，拟加大网络的研发投入.据了解，该公司原有员工200人，平均投入万元/人，现把该公司人员调整为两类：运营人员和服务人员，其中运营人员有名，调整后运营人员的人均投入调整为万元/人，服务人员的人均投入增加．
（1）若使调整后服务人员的总投入不低于调整前的200人的总投入，则调整后的服务人员最多有多少人？
（2）现在要求调整后服务人员的总投入始终不低于调整后运营人员的总投入，求的最大值及此时运营人员的人数．
21. 已知函数，．
（1）设，解关于不等式.
（2）设，若当时最小值为，求的值．
22. 已知函数．
（1）判断在区间上的单调性并证明；
（2）令，对，，使得成立，求的取值范围．
山东名校考试联盟
2023-2024学年高一年级上学期期中检测数学试题
2023.11
本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合、，再求交集即可.
【详解】，，.
故选：B.
2. 已知函数为幂函数，则（ ）
A. 或2B. 2C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数为幂函数得到方程，求出的值.
【详解】由题意得，解得或.
故选：A
3. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可.
【详解】∵函数的定义域为，
∴要使函数有意义，
则有，解得，
∴，即函数的定义域为.
故选：D.
4. 已知，，均为实数，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若且，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】利用特殊值，作差比较大小以及不等式的性质即可求解.
【详解】依题意：
对于A，取，易知错误；
选项B：由，
因为，所以，，，
从而，即，选项B错误；
选项C：由且，得，且，
从而，所以，异号；又，从而，C正确；
选项D：时，易知错误．
故选：C．
5. 已知命题，，则命题的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用全称命题的否定形式一一判定选项即可.
【详解】易知，的否定是：，或，即．
故选：B
6. 已知函数，其定义域为，值域为．则“”是“”的（ ）条件．
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出函数的定义域和值域，通过两个集合的关系进行判断.
【详解】定义域，在是单调递增的，值域，得所以“”是“”的充要条件．
故选：C
7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若，，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出函数图像，因为，，所以根据图像知，则求出实数的取值范围.
【详解】因为时，，
所以时，，
当时，，
当时，，
因为是定义在上的奇函数，图像关于原点对称，
画出图象，
由，，
即图象向右平移个单位后的图象总在图象下方，
故，则．
故选：D
8. 不等式对于，恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意分离参数得对于，恒成立，通过换元求最值即可求出的取值范围.
【详解】因为不等式对于，恒成立，
所以不等式对于，恒成立，
令，
则，当且仅当时，等号成立.
所以.
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数是减函数
B. ，
C. 若，则的取值范围是
D. 在区间上的最大值为0
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意，作图，根据其单调性，可得答案.
【详解】由题意，可作图如下：
由图像知在定义域上单调递减，所以A正确；
因为，所以
又因为函数是减函数，所以，所以B不正确；
因为函数是减函数，所以，解得：，所以C正确；
由图像可知D正确.
故选：D.
10. 已知，是两个正实数，满足，则（ ）
A. 的最小值为1B. 的最大值为
C. 的最小值为D. 的最大值为1
【答案】BC
【解析】
【分析】利用条件以及不等式性质可判断A；利用基本不等式可判断B，C；由得，从而可化为，结合二次函数性质可判断D.
【详解】对于选项A：由于，，且，从而，，
所以，，从而，从而，取不到1，从而A错误；
选项B：由，
当且仅当时等号成立，从而的最大值为，B正确；
选项C：因为，
当且仅当时取等号，从而C正确；
选项D：由，得，由，得，
从而，
从而当或1时取得最大值，但，从而无最大值，D错误，
故选：BC．
11. 已知函数，若任意且都有，则实数的值可以是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据函数单调性的定义，整理不等式，构造函数，根据一次函数与二次函数的性质，可得答案.
【详解】不妨令，因为，所以，即，
令，则，因为，所以在上单调递减，
当时，符合题意；当时，则，解得：，
综上所述：实数的取值范围是，显然.
故选：ABC.
12. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用抽象函数的奇偶性与对称性、周期性一一判定即可.
【详解】∵为奇函数，，
∴关于对称.
∵为偶函数，，
∴关于对称，
∴
，即的一个周期为4，
故．
∵关于对称，∴，
∴，即，
故得到关于和对称，即B、D正确.
不妨设，显然符合题意，此时，
即A、C错误.
故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用分段函数的解析式代入直接计算即可.
【详解】易知，故.
故答案为：.
14. 写出的一个必要不充分条件是______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】化简条件，再利用充分条件与必要条件定义即可求解.
【详解】由，等价于，
则不能能推出，能推出，
则是的必要不充分条件，
即的必要不充分条件是.
故答案为：（答案不唯一）
15. 关于的不等式的解集为______.
【答案】或
【解析】
分析】化简分式不等式通过分类讨论计算即可.
【详解】由，即，即，
若，则，解之得，
若，则，解之得，
故答案为：或．
16. 设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】画出函数图象，从而得到，求出方程的根，数形结合得到答案.
【详解】∵，
，
当时，，故
，
当时，，
当，时，
，
当，时，
，
依次类推，画出函数图象如下：
令，解得，，
所以要使对任意，都有，则，
.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，分别求出集合、，即可求出.
（2）根据，课确定，然后分和分别确定的取值范围，再合并在一起.
【详解】（1）由，解得：，所以.
当时，，
所以.
故答案为：.
（2）因为，所以.
当时，，解得：；
当时，要满足题意需，解之得：.
综上：实数的取值范围为.
故答案为：
18. .
（1）判断的奇偶性，并加以证明；
（2）求的值域．
【答案】（1）为偶函数，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数解析式判断其奇偶性，根据函数奇偶性定义即可证明；
（2）将分离常数，化为，判断的取值范围，即可求得答案.
【小问1详解】
（1）为偶函数
证明：的定义域为，关于原点对称，
因，所以为偶函数；
【小问2详解】
因为，
所以，，
因此的值域为.
19. 命题：关于的方程的两个不相等的正实根，命题：，
（1）若命题为真命题，求的取值范围；
（2）若是的充分条件，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二次方程根分布求得命题为真命题时的取值范围，从而得解；
（2）利用充分条件与集合的关系，转化为子集问题处理即可.
【小问1详解】
当命题为真命题时：设方程的两根为，，
可得不等式组，即．解得
故命题为真命题时，的取值范围
【小问2详解】
设，，
若是的充分条件，可得是的子集，
，解得
综上，的取值范围是
20. 原定于2022年9月10日至25日在中国杭州举办的第19届亚洲运动会延期至2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，名称仍为杭州2022年第19届亚运会.杭州亚组委在亚奥理事会和中国奥委会的指导下，有关各方共同努力，为全世界人民呈现了一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会.运动会期间，杭州某互联网公司为保证直播信号的流畅，拟加大网络的研发投入.据了解，该公司原有员工200人，平均投入万元/人，现把该公司人员调整为两类：运营人员和服务人员，其中运营人员有名，调整后运营人员的人均投入调整为万元/人，服务人员的人均投入增加．
（1）若使调整后服务人员的总投入不低于调整前的200人的总投入，则调整后的服务人员最多有多少人？
（2）现在要求调整后服务人员的总投入始终不低于调整后运营人员的总投入，求的最大值及此时运营人员的人数．
【答案】（1）150人
（2）的最大值为7，此时运营人员有100人．
【解析】
【分析】（1）根据题意可得不等式，解不等式即可求得调整后服务人员最多有150人；
（2）分别计算出调整后服务人员的总投入和运营人员的总投入，即可得，由基本不等式即可求得的最大值为7，此时运营人员有100人.
【小问1详解】
由题意可知，调整后的服务人员有人，人均投入为万元/人，
从而可得，
解得．
即调整后服务人员最多有150人．
【小问2详解】
由题意，得
得
整理，得
因为，
当且仅当，即时等号成立，所以．
所以的最大值为7，此时运营人员有100人．
21. 已知函数，．
（1）设，解关于不等式.
（2）设，若当时的最小值为，求的值．
【答案】（1）答案见解析
（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，利用分类讨论思想，可得答案；
（2）根据二次函数的性质，利用分类讨论，建立方程，可得答案.
【小问1详解】
不等式即，即，
当时，即，解得，
当时，由得：，，
（ⅰ）若，则开口向上，，原不等式解得，
（ⅱ）若，则开口向下，，原不等式解得或，
综上，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
【小问2详解】
由知开口向上，对称轴是，
当，即时，函数在上单调递增，
最小值为，解得；
当，即时，
函数在单调递减，在上单调递增，
最小值，解得或（舍），
综上，的值为或．
22. 已知函数．
（1）判断在区间上的单调性并证明；
（2）令，对，，使得成立，求的取值范围．
【答案】（1）单调递减，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）在上是单调递减，利用单调性定义证明即可；
（2）化简得，转化为由（1）知，令，可得，利用的单调性可得答案.
【小问1详解】
在上是单调递减.
证明：对任意，且，
有
，
，，，，
由，得，所以在区间上单调递减；
【小问2详解】
化简得，即
，，，
由（1）知，
，
，令，
，
，
令，
设，则
，
因为，，，
所以，
在单调递增，
，
.
2023.11
本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数幂函数，则（ ）
A. 或2B. 2C. D. 1
3. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，，均为实数，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若且，则D. 若，则
5. 已知命题，，则命题的否定是（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
6. 已知函数，其定义域为，值域为．则“”是“”的（ ）条件．
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若，，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 不等式对于，恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数是减函数
B. ，
C. 若，则的取值范围是
D. 在区间上的最大值为0
10. 已知，是两个正实数，满足，则（ ）
A. 的最小值为1B. 的最大值为
C. 的最小值为D. 的最大值为1
11. 已知函数，若任意且都有，则实数的值可以是（ ）
A. B. C. 0D.
12. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数，则______.
14. 写出的一个必要不充分条件是______.
15. 关于的不等式的解集为______.
16. 设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
18. .
（1）判断的奇偶性，并加以证明；
（2）求值域．
19. 命题：关于的方程的两个不相等的正实根，命题：，
（1）若命题为真命题，求的取值范围；
（2）若是的充分条件，求的取值范围．
20. 原定于2022年9月10日至25日在中国杭州举办第19届亚洲运动会延期至2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，名称仍为杭州2022年第19届亚运会.杭州亚组委在亚奥理事会和中国奥委会的指导下，有关各方共同努力，为全世界人民呈现了一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会.运动会期间，杭州某互联网公司为保证直播信号的流畅，拟加大网络的研发投入.据了解，该公司原有员工200人，平均投入万元/人，现把该公司人员调整为两类：运营人员和服务人员，其中运营人员有名，调整后运营人员的人均投入调整为万元/人，服务人员的人均投入增加．
（1）若使调整后服务人员的总投入不低于调整前的200人的总投入，则调整后的服务人员最多有多少人？
（2）现在要求调整后服务人员的总投入始终不低于调整后运营人员的总投入，求的最大值及此时运营人员的人数．
21. 已知函数，．
（1）设，解关于不等式.
（2）设，若当时最小值为，求的值．
22. 已知函数．
（1）判断在区间上的单调性并证明；
（2）令，对，，使得成立，求的取值范围．
山东名校考试联盟
2023-2024学年高一年级上学期期中检测数学试题
2023.11
本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合、，再求交集即可.
【详解】，，.
故选：B.
2. 已知函数为幂函数，则（ ）
A. 或2B. 2C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数为幂函数得到方程，求出的值.
【详解】由题意得，解得或.
故选：A
3. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可.
【详解】∵函数的定义域为，
∴要使函数有意义，
则有，解得，
∴，即函数的定义域为.
故选：D.
4. 已知，，均为实数，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若且，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】利用特殊值，作差比较大小以及不等式的性质即可求解.
【详解】依题意：
对于A，取，易知错误；
选项B：由，
因为，所以，，，
从而，即，选项B错误；
选项C：由且，得，且，
从而，所以，异号；又，从而，C正确；
选项D：时，易知错误．
故选：C．
5. 已知命题，，则命题的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用全称命题的否定形式一一判定选项即可.
【详解】易知，的否定是：，或，即．
故选：B
6. 已知函数，其定义域为，值域为．则“”是“”的（ ）条件．
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出函数的定义域和值域，通过两个集合的关系进行判断.
【详解】定义域，在是单调递增的，值域，得所以“”是“”的充要条件．
故选：C
7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若，，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出函数图像，因为，，所以根据图像知，则求出实数的取值范围.
【详解】因为时，，
所以时，，
当时，，
当时，，
因为是定义在上的奇函数，图像关于原点对称，
画出图象，
由，，
即图象向右平移个单位后的图象总在图象下方，
故，则．
故选：D
8. 不等式对于，恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意分离参数得对于，恒成立，通过换元求最值即可求出的取值范围.
【详解】因为不等式对于，恒成立，
所以不等式对于，恒成立，
令，
则，当且仅当时，等号成立.
所以.
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数是减函数
B. ，
C. 若，则的取值范围是
D. 在区间上的最大值为0
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意，作图，根据其单调性，可得答案.
【详解】由题意，可作图如下：
由图像知在定义域上单调递减，所以A正确；
因为，所以
又因为函数是减函数，所以，所以B不正确；
因为函数是减函数，所以，解得：，所以C正确；
由图像可知D正确.
故选：D.
10. 已知，是两个正实数，满足，则（ ）
A. 的最小值为1B. 的最大值为
C. 的最小值为D. 的最大值为1
【答案】BC
【解析】
【分析】利用条件以及不等式性质可判断A；利用基本不等式可判断B，C；由得，从而可化为，结合二次函数性质可判断D.
【详解】对于选项A：由于，，且，从而，，
所以，，从而，从而，取不到1，从而A错误；
选项B：由，
当且仅当时等号成立，从而的最大值为，B正确；
选项C：因为，
当且仅当时取等号，从而C正确；
选项D：由，得，由，得，
从而，
从而当或1时取得最大值，但，从而无最大值，D错误，
故选：BC．
11. 已知函数，若任意且都有，则实数的值可以是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据函数单调性的定义，整理不等式，构造函数，根据一次函数与二次函数的性质，可得答案.
【详解】不妨令，因为，所以，即，
令，则，因为，所以在上单调递减，
当时，符合题意；当时，则，解得：，
综上所述：实数的取值范围是，显然.
故选：ABC.
12. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用抽象函数的奇偶性与对称性、周期性一一判定即可.
【详解】∵为奇函数，，
∴关于对称.
∵为偶函数，，
∴关于对称，
∴
，即的一个周期为4，
故．
∵关于对称，∴，
∴，即，
故得到关于和对称，即B、D正确.
不妨设，显然符合题意，此时，
即A、C错误.
故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用分段函数的解析式代入直接计算即可.
【详解】易知，故.
故答案为：.
14. 写出的一个必要不充分条件是______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】化简条件，再利用充分条件与必要条件定义即可求解.
【详解】由，等价于，
则不能能推出，能推出，
则是的必要不充分条件，
即的必要不充分条件是.
故答案为：（答案不唯一）
15. 关于的不等式的解集为______.
【答案】或
【解析】
分析】化简分式不等式通过分类讨论计算即可.
【详解】由，即，即，
若，则，解之得，
若，则，解之得，
故答案为：或．
16. 设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】画出函数图象，从而得到，求出方程的根，数形结合得到答案.
【详解】∵，
，
当时，，故
，
当时，，
当，时，
，
当，时，
，
依次类推，画出函数图象如下：
令，解得，，
所以要使对任意，都有，则，
.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，分别求出集合、，即可求出.
（2）根据，课确定，然后分和分别确定的取值范围，再合并在一起.
【详解】（1）由，解得：，所以.
当时，，
所以.
故答案为：.
（2）因为，所以.
当时，，解得：；
当时，要满足题意需，解之得：.
综上：实数的取值范围为.
故答案为：
18. .
（1）判断的奇偶性，并加以证明；
（2）求的值域．
【答案】（1）为偶函数，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数解析式判断其奇偶性，根据函数奇偶性定义即可证明；
（2）将分离常数，化为，判断的取值范围，即可求得答案.
【小问1详解】
（1）为偶函数
证明：的定义域为，关于原点对称，
因，所以为偶函数；
【小问2详解】
因为，
所以，，
因此的值域为.
19. 命题：关于的方程的两个不相等的正实根，命题：，
（1）若命题为真命题，求的取值范围；
（2）若是的充分条件，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二次方程根分布求得命题为真命题时的取值范围，从而得解；
（2）利用充分条件与集合的关系，转化为子集问题处理即可.
【小问1详解】
当命题为真命题时：设方程的两根为，，
可得不等式组，即．解得
故命题为真命题时，的取值范围
【小问2详解】
设，，
若是的充分条件，可得是的子集，
，解得
综上，的取值范围是
20. 原定于2022年9月10日至25日在中国杭州举办的第19届亚洲运动会延期至2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，名称仍为杭州2022年第19届亚运会.杭州亚组委在亚奥理事会和中国奥委会的指导下，有关各方共同努力，为全世界人民呈现了一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会.运动会期间，杭州某互联网公司为保证直播信号的流畅，拟加大网络的研发投入.据了解，该公司原有员工200人，平均投入万元/人，现把该公司人员调整为两类：运营人员和服务人员，其中运营人员有名，调整后运营人员的人均投入调整为万元/人，服务人员的人均投入增加．
（1）若使调整后服务人员的总投入不低于调整前的200人的总投入，则调整后的服务人员最多有多少人？
（2）现在要求调整后服务人员的总投入始终不低于调整后运营人员的总投入，求的最大值及此时运营人员的人数．
【答案】（1）150人
（2）的最大值为7，此时运营人员有100人．
【解析】
【分析】（1）根据题意可得不等式，解不等式即可求得调整后服务人员最多有150人；
（2）分别计算出调整后服务人员的总投入和运营人员的总投入，即可得，由基本不等式即可求得的最大值为7，此时运营人员有100人.
【小问1详解】
由题意可知，调整后的服务人员有人，人均投入为万元/人，
从而可得，
解得．
即调整后服务人员最多有150人．
【小问2详解】
由题意，得
得
整理，得
因为，
当且仅当，即时等号成立，所以．
所以的最大值为7，此时运营人员有100人．
21. 已知函数，．
（1）设，解关于不等式.
（2）设，若当时的最小值为，求的值．
【答案】（1）答案见解析
（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，利用分类讨论思想，可得答案；
（2）根据二次函数的性质，利用分类讨论，建立方程，可得答案.
【小问1详解】
不等式即，即，
当时，即，解得，
当时，由得：，，
（ⅰ）若，则开口向上，，原不等式解得，
（ⅱ）若，则开口向下，，原不等式解得或，
综上，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
【小问2详解】
由知开口向上，对称轴是，
当，即时，函数在上单调递增，
最小值为，解得；
当，即时，
函数在单调递减，在上单调递增，
最小值，解得或（舍），
综上，的值为或．
22. 已知函数．
（1）判断在区间上的单调性并证明；
（2）令，对，，使得成立，求的取值范围．
【答案】（1）单调递减，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）在上是单调递减，利用单调性定义证明即可；
（2）化简得，转化为由（1）知，令，可得，利用的单调性可得答案.
【小问1详解】
在上是单调递减.
证明：对任意，且，
有
，
，，，，
由，得，所以在区间上单调递减；
【小问2详解】
化简得，即
，，，
由（1）知，
，
，令，
，
，
令，
设，则
，
因为，，，
所以，
在单调递增，
，
.
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