寒假作业（十二）（作业）北师大版六年级上册数学

这是一份寒假作业（十二）（作业）北师大版六年级上册数学，共38页。试卷主要包含了“走遍天下，最美江夏等内容，欢迎下载使用。

1．两个圆的直径相差2分米，周长相差（ ）分米。
A．2B．4C．πD．2π
2．用一根彩带围成一个半径是4cm的半圆形花边，需要彩带（ ）cm。
A．12.56B．16.56C．20.56
3．笑笑和淘气各画了一个圆，如果笑笑画的圆的半径等于淘气画的圆的直径，那么笑笑画的圆的周长是淘气画的圆的周长的（ ）
A．2倍B．4倍C．D．
4．一双鞋的原价是200元，先将它的价格提高，然后又降低，现在的价格（ ）。
A．与原价相等B．比原价高
C．比原价低D．无法比较
5．一堆煤有t，第一天运走t，第二天运走总数的，两次共运走多少吨？正确的算式是（ ）
A．+B．×（+）
C．（+）×D．+×
6．“走遍天下，最美江夏。”江夏山水交融，城景相依，“三山三水三分田，还有一分是家园”的黄金比例全国少有。你认为下面（ ）统计图能反映这一格局。
A．B．C．
7．《中华人民共和国国旗法》规定了国旗的六种通用规格，“神舟”五号飞船上展示的国旗长15厘米，宽10厘米。四位同学表达出了自己的想法，错误的是（ ）
A．长是宽的B．长比宽长
C．长与宽的比是3：2D．宽比长短
8．乐乐和笑笑分别买了一支相同的钢笔，乐乐用了所带钱数的，笑笑用了所带钱数的，乐乐和笑笑所带钱数的比是（ ）
A．3：4B．4：3C．3：8D．8：3
二．判断题（共4小题）
9．把15g盐溶于100g水中，盐水的含盐率为15%。
10．从不同位置观察一个正方体，一次最多能看到3个面。
11．甲数的等于乙数（甲、乙两数均不为0），甲数和乙数的比是2：5。
12．比的前项和后项同时乘或除以一个数，比值不变． ．
三．计算题（共2小题）
13．计算。
14．解方程。
x＝
四．填空题（共8小题）
15．圆的中心位置是由 决定的，晶晶打算用如图的方法测量没有标出圆心的圆的直径，这是因为 。
16．如图，正方形的面积是20dm2，则阴影部分的面积是 dm2。
17．一根电线长15m，用去它的后，又用去m，还剩下 m。
18．印度也像中国一样有着灿烂的文化，古代印度有这样一道有趣的数学题：有一群蜜蜂，其中落在牡丹花上，落在栀子花上，这两者的差的三倍，飞向月季花，最后剩下一只小蜜蜂在芳香的茉莉花和玉兰花之间飞来飞去，共有 只蜜蜂．
19．陕西省生物资源丰富，多样性突出，秦岭巴山素有“生物基因库”之称，其生态系统、物种和遗传基因的多样性，在中国乃至东亚地区具有典型性和代表性。有种子植物3300种，占全国种子植物总种数的百分之十二。百分之十二写作 ，改写成小数是 ，改写成最简分数是 。
20．甘蔗属于温带和热带农作物，是制造蔗糖的原料，韶关和番禺是广东最大的甘蔗产地，一种甘蔗的出糖率是18%。
（1）250kg这种甘蔗含有蔗糖 kg。
（2）如果要出蔗糖153kg，需要这种甘蔗 kg。
21．如图，黑格与白格的数量比是 ；白格与总格数的数量比是 。
22．一项工程，甲独做5小时完成，乙独做4小时完成，甲、乙两人的工作时间比是 ，甲、乙的工作效率比是 ．
五．操作题（共3小题）
23．下面的图分别是谁看到的？用线连一连。
24．如图，每个小方格的边长表示1cm。
（1）画出一个圆，使得这个圆的半径是如图中圆的直径。
（2）若在一张正方形纸中剪下的一个最大的圆，这个圆是（1）中所画的圆，请在图中画出这张正方形纸的大小。
（3）画出（2）中图形的所有对称轴。
25．桌子上放了一把茶壶，四名同学从不同的方向看到了不同的形状，根据他们看到的形状，你能准确填出他们的位置吗？
2023-2024学年北师大新版六年级（上）数学寒假作业（十二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．两个圆的直径相差2分米，周长相差（ ）分米。
A．2B．4C．πD．2π
【考点】圆、圆环的周长．
【专题】平面图形的认识与计算．
【答案】D
【分析】根据题意，圆的周长C＝πd，设其中一个圆的直径是d，另一个直径是（d+2），分别表示出周长，再求差，据此解答。
【解答】解：设一个圆的直径是d分米，另一个直径是（d+2）分米。
其中一个圆的周长是πd（分米）。
另一个直径是π×（d+2）＝πd+2π（分米）。
πd+2π﹣πd＝2π。
故选：D。
【点评】本题考查了圆的周长，解决本题的关键是熟练运用圆的周长公式。
2．用一根彩带围成一个半径是4cm的半圆形花边，需要彩带（ ）cm。
A．12.56B．16.56C．20.56
【考点】圆、圆环的周长．
【专题】平面图形的认识与计算．
【答案】C
【分析】根据题意，半圆的周长＝圆周长的一半+直径，因为“C＝2πr”，半径是4cm，代入求解即可。
【解答】解：2×3.14×4÷2+4×2
＝12.56+8
＝20.56（cm）
答：需要彩带20.56cm。
故选：C。
【点评】本题考查了圆的周长，解决本题的关键是：半圆的周长＝圆周长的一半+直径。
3．笑笑和淘气各画了一个圆，如果笑笑画的圆的半径等于淘气画的圆的直径，那么笑笑画的圆的周长是淘气画的圆的周长的（ ）
A．2倍B．4倍C．D．
【考点】圆、圆环的周长．
【答案】A
【分析】根据题意，设笑笑画的圆的半径是r，淘气画的圆的半径是，再利用圆的周长公式，分别表示出两个圆的周长，再进行比较即可。
【解答】解：笑笑画的圆的半径是r，淘气画的圆的半径是
笑笑画的圆的周长是C＝2πr，
淘气画的圆的周长是
2πr÷πr＝2
答：笑笑画的圆的周长是淘气画的圆的周长的2倍。
故选：A。
【点评】本题考查了圆的周长问题，解决本题的关键是熟练运用圆的周长公式。
4．一双鞋的原价是200元，先将它的价格提高，然后又降低，现在的价格（ ）。
A．与原价相等B．比原价高
C．比原价低D．无法比较
【考点】分数四则复合应用题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】C
【分析】把这双鞋的原价看作单位“1”，提价之后的价格占原价的（1+），现在的价格占提价之后价格的（1﹣），现在的价格＝原价×（1+）×（1﹣），求出这双鞋的现价，最后比较大小，据此解答。
【解答】解：200×（1+）×（1﹣）
＝200××
＝220×
＝198（元）
因为198元＜200元，所以现价＜原价，现在的价格比原价低。
故选：C。
【点评】掌握求比一个数多（少）几分之几的数是多少的计算方法是解答题目的关键。
5．一堆煤有t，第一天运走t，第二天运走总数的，两次共运走多少吨？正确的算式是（ ）
A．+B．×（+）
C．（+）×D．+×
【考点】分数四则复合应用题．
【专题】综合判断题；应用意识．
【答案】D
【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用煤的总数t乘就是第二天运走的吨数，再加上第一天运走的t就是两次共运走的吨数。
【解答】解：+
＝
＝（吨）
答：两次共运走吨。
故选：D。
【点评】熟练掌握求一个数的几分之几是多少，用乘法是解题的关键。
6．“走遍天下，最美江夏。”江夏山水交融，城景相依，“三山三水三分田，还有一分是家园”的黄金比例全国少有。你认为下面（ ）统计图能反映这一格局。
A．B．C．
【考点】统计图的选择．
【专题】数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据题意，“三山三水三分田、还有一分是家园”指的是山占30%，水占30%，田占30%，家园占10%。
【解答】解：“三山三水三分田，还有一分是家园”的黄金比例全国少有。统计图能反映这一格局。
故选：C。
【点评】此题主要考查的是如何观察扇形统计图并且从统计图中获取信息，结合题意分析解答即可。
7．《中华人民共和国国旗法》规定了国旗的六种通用规格，“神舟”五号飞船上展示的国旗长15厘米，宽10厘米。四位同学表达出了自己的想法，错误的是（ ）
A．长是宽的B．长比宽长
C．长与宽的比是3：2D．宽比长短
【考点】比的意义．
【专题】运算能力．
【答案】D
【分析】A．用国旗的长除以国旗的宽，求出长是宽的几分之几，再进行判断；
B．用国旗的长与宽的差，再除以国旗的宽，求出长比宽长几分之几，再进行判断；
C．根据比的意义，用国旗的长：国旗的宽，化简，求出长与宽的比，再进行判断；
D．用国旗的长与宽的差，再除以国旗的长，求出宽比长短几分之几，再进行判断。
【解答】解：A．15÷10＝，长是宽的，原题干说法正确；
B．（15﹣10）÷10
＝5÷10
＝
长比宽长；原题干说法正确；
C．15：10
＝（15÷5）：（10÷5）
＝3：2
长与宽的比是3：2；原题干说法正确；
D．（15﹣10）÷15
＝5÷15
＝
宽比长短；原题干说法错误。
故选：D。
【点评】求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数；比的意义及化简；求一个数比另一个数多或少几分之几（或百分之几），用这两数之差除以另一个数。
8．乐乐和笑笑分别买了一支相同的钢笔，乐乐用了所带钱数的，笑笑用了所带钱数的，乐乐和笑笑所带钱数的比是（ ）
A．3：4B．4：3C．3：8D．8：3
【考点】比的意义．
【专题】应用意识．
【答案】D
【分析】假设这支钢笔的价格为“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法解答，分别求出乐乐、笑笑所带的钱数，再比即可。
【解答】解：（1）：（1）
＝4：
＝8：3
答：乐乐和笑笑所带钱数的比是8：3。
故选：D。
【点评】分别求出乐乐、笑笑所带的钱数是解题的关键。
二．判断题（共4小题）
9．把15g盐溶于100g水中，盐水的含盐率为15%。 ×
【考点】百分率应用题．
【专题】应用意识．
【答案】×
【分析】含盐率＝盐的质量÷（盐的质量+水的质量），据此代入数据解答即可。
【解答】解：15÷（15+100）
＝15÷115
≈13%
答：盐水的含盐率约为13%。
所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】熟练掌握含盐率的计算方法是解题的关键。
10．从不同位置观察一个正方体，一次最多能看到3个面。 √
【考点】从不同方向观察物体和几何体．
【专题】几何直观．
【答案】√
【分析】从正方体的一个面观察只能看到它的1个面，从它的一条棱观察能看到它的2个面，从它的一个顶点观察能看到它的3个面．即观察一个正方体最少能看到它的1个面，最多能看到3个面。
【解答】解：从不同位置观察一个正方体，一次最多能看到3个面。原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题考查从不同方向观察物体和几何图形，培养学生的观察能力。
11．甲数的等于乙数（甲、乙两数均不为0），甲数和乙数的比是2：5。 ×
【考点】比的意义．
【专题】运算能力．
【答案】×
【分析】根据“甲数的等于乙数（甲、乙两数均不为0）”，可知甲数×＝乙数，再逆用比例的基本性质，即可得出甲数与乙数的比，再根据比的基本性质化简比得解。
【解答】解：甲数×＝乙数
甲数：乙数＝1：＝5：2
答：甲数和乙数的比是5：2，本题说法错误。
故答案为：×。
【点评】解答此题应根据比例基本性质的逆运算进行解答。
12．比的前项和后项同时乘或除以一个数，比值不变． × ．
【考点】比的性质．
【专题】比和比例．
【答案】×
【分析】比的基本性质的内容是比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外）比值不变；所以此题的说法是错误的．
【解答】解：比的基本性质的内容是比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外）比值不变；
所以此题的说法是错误的．
故判断为：错误．
【点评】本题主要考查了比例的基本性质，注意“0”这个特殊的数．
三．计算题（共2小题）
13．计算。
【考点】分数乘除混合运算．
【专题】运算能力．
【答案】2；；；。
【分析】按照从左到右的顺序计算；
按照从左到右的顺序计算；
按照从左到右的顺序计算；
按照从左到右的顺序计算。
【解答】解：
＝×
＝2
＝×
＝
＝×
＝
＝×6
＝
【点评】本题考查了简单的四则混合运算，计算时先理清楚运算顺序，根据运算顺序逐步求解即可。
14．解方程。
x＝
【考点】百分数方程求解；分数方程求解．
【专题】运算能力．
【答案】x＝0.49；x＝；x＝。
【分析】（1）先把方程左边化简为x，两边再同时乘；
（2）方程两边同时减去，两边再同时乘3；
（3）方程两边同时乘。
【解答】解：（1）
x＝28%
x＝28%×
x＝0.49
（2）
+x﹣＝﹣
x＝
3×x＝
x＝
（3）x＝
x＝×
x＝
【点评】熟练掌握等式的基本性质是解题的关键。
四．填空题（共8小题）
15．圆的中心位置是由 圆心 决定的，晶晶打算用如图的方法测量没有标出圆心的圆的直径，这是因为 两端都在圆上的线段中，直径最长 。
【考点】圆及其性质．
【专题】几何直观．
【答案】圆心；两端都在圆上的线段中，直径最长。
【分析】根据圆心决定圆的位置，结合直径的含义：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，在圆中直径最长，解答即可。
【解答】解：圆的中心位置是由圆心决定的，晶晶打算用如图的方法测量没有标出圆心的圆的直径，这是因为两端都在圆上的线段中，直径最长。
故答案为：圆心；两端都在圆上的线段中，直径最长。
【点评】本题考查了圆心决定圆的位置，半径（直径）决定圆的大小知识，结合两端都在圆上的线段中，直径最长，分析解答即可。
16．如图，正方形的面积是20dm2，则阴影部分的面积是 4.3 dm2。
【考点】圆、圆环的面积．
【专题】平面图形的认识与计算；几何直观．
【答案】4.3。
【分析】图中扇形的半径就是正方形的边长，根据正方形面积＝边长×边长，扇形面积＝圆的面积÷4＝（π×半径×半径）÷4，再用正方形面积减去扇形面积，即可解答。
【解答】解：20﹣3.14×20÷4
＝20﹣15.7
＝4.3（dm2）
答：则阴影部分的面积是4.3dm2。
故答案为：4.3。
【点评】本题考查的是圆的面积、正方形面积、扇形面积，熟记公式是解答关键。
17．一根电线长15m，用去它的后，又用去m，还剩下 5 m。
【考点】分数四则复合应用题．
【专题】综合填空题；应用意识．
【答案】5。
【分析】把这根电线的总长度看作单位“1”，剩下长度＝总长度×（1﹣）﹣，由此列式计算即可。
【解答】解：15×（1﹣）﹣
＝6﹣
＝5（米）
答：还剩5米。
故答案为：5。
【点评】解决本题的关键是找出题中单位“1”以及数量关系。
18．印度也像中国一样有着灿烂的文化，古代印度有这样一道有趣的数学题：有一群蜜蜂，其中落在牡丹花上，落在栀子花上，这两者的差的三倍，飞向月季花，最后剩下一只小蜜蜂在芳香的茉莉花和玉兰花之间飞来飞去，共有 15 只蜜蜂．
【考点】分数四则复合应用题．
【专题】综合填空题；分数百分数应用题．
【答案】见试题解答内容
【分析】把这群蜜蜂的只数看作单位“1”，先求出牡丹花上和栀子花的蜜蜂之差，再依据乘法意义，求出它的3倍是多少，然后求出落在牡丹花上、栀子花和月季花的蜜蜂数量之和，最后求出在茉莉花和玉兰花的分率，依据分数除法意义即可解答．
【解答】解：1÷[1﹣﹣﹣（﹣）×3]
＝1÷
＝15（只）
答：共有15蜜蜂．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查学生依据分数除法意义解决问题的能力，关键是求出落在牡丹花上、栀子花和月季花的蜜蜂数量之和．
19．陕西省生物资源丰富，多样性突出，秦岭巴山素有“生物基因库”之称，其生态系统、物种和遗传基因的多样性，在中国乃至东亚地区具有典型性和代表性。有种子植物3300种，占全国种子植物总种数的百分之十二。百分之十二写作 12% ，改写成小数是 0.12 ，改写成最简分数是 。
【考点】百分数的意义、读写及应用．
【专题】综合填空题；数据分析观念．
【答案】12%，0.12，。
【分析】百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而是在原来的分子后面加上百分号“%”，写百分数时，要先写分子，再写百分号；百分数转化成小数，先去百分号，然后小数点向左移动两位即可解答；将百分数转化成分数，改写成分母是100的分数，该约分的要约分转化成最简分数。
【解答】解：百分之十二写作：12%
12%＝0.12
12%＝＝＝
故答案为：12%，0.12，。
【点评】此题考查了百分数的读写等知识，要求学生掌握。
20．甘蔗属于温带和热带农作物，是制造蔗糖的原料，韶关和番禺是广东最大的甘蔗产地，一种甘蔗的出糖率是18%。
（1）250kg这种甘蔗含有蔗糖 45 kg。
（2）如果要出蔗糖153kg，需要这种甘蔗 850 kg。
【考点】百分数的实际应用．
【专题】运算能力．
【答案】（1）45；（2）850。
【分析】（1）用甘蔗的总质量乘这种甘蔗的出糖率，即可得解。
（2）用出蔗糖的质量除以这种甘蔗的出糖率，即可得解。
【解答】解：（1）250×18%＝45（kg）
答：250kg这种甘蔗含有蔗糖45kg。
（2）153÷18%＝850（kg）
答：需要这种甘蔗850kg。
故答案为：45；850。
【点评】本题主要考查了百分数的实际应用，用到榨出蔗糖的重量、甘蔗的重量和出糖率之间的关系。
21．如图，黑格与白格的数量比是 3：2 ；白格与总格数的数量比是 2：5 。
【考点】比的意义．
【答案】3：2；2：5。
【分析】黑格有18个，白格有12个，据此解答。
【解答】解：黑格有18个，白格有12个，则黑格与白格的数量比是18：12，即3：2；白格与总格数的数量比是12：30，即2：5。
故答案为：3：2；2：5。
【点评】本题主要考查了比的意义。
22．一项工程，甲独做5小时完成，乙独做4小时完成，甲、乙两人的工作时间比是 5：4 ，甲、乙的工作效率比是 4：5 ．
【考点】比的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据比的意义，甲乙两人工作时间比为5：4．
（2）可设这项工程为“1”，那么甲的工作效率为1÷5，乙的工作效率为1÷4，由此求出他们的效率比．
【解答】解：（1）工作时间比为5：4．
（2）甲的工作效率：1÷5＝，
乙的工作效率：1÷4＝，
两者比为：＝4：5；
故答案为5：4，4：5．
【点评】在求工作效率时设这项工程为“1”来分析比较好理解．
五．操作题（共3小题）
23．下面的图分别是谁看到的？用线连一连。
【考点】从不同方向观察物体和几何体．
【专题】空间观念．
【答案】
【分析】小军看到左面一列3个小正方形，右面一个圆；小明看到左面一列3个正方形，右面一列2个正方形，下齐；小红看到左面一列2个小正方形，右面一列3个小正方形，被圆遮住了一部分。
【解答】解：
【点评】本题是考查从不同方向观察物体和几何图形，关键是培养学生的观察能力。
24．如图，每个小方格的边长表示1cm。
（1）画出一个圆，使得这个圆的半径是如图中圆的直径。
（2）若在一张正方形纸中剪下的一个最大的圆，这个圆是（1）中所画的圆，请在图中画出这张正方形纸的大小。
（3）画出（2）中图形的所有对称轴。
【考点】画圆；画轴对称图形的对称轴．
【专题】几何直观．
【答案】
【分析】（1）根据圆的画法，以图中圆的直径长度为半径，画圆即可。
（2）根据题意，在所画的圆的外面画出这个圆的外接正方形即可。
（3）根据轴对称图形知识，画出（2）中图形的所有对称轴即可。
【解答】解：（1）画出一个圆，使得这个圆的半径是如图中圆的直径。如图：
（2）若在一张正方形纸中剪下的一个最大的圆，这个圆是（1）中所画的圆，在图中画出这张正方形纸的大小。如图：
（3）画出（2）中图形的所有对称轴。如图：
【点评】本题考查圆的画法，正方形的画法以及轴对称图形知识，结合题意分析解答即可。
25．桌子上放了一把茶壶，四名同学从不同的方向看到了不同的形状，根据他们看到的形状，你能准确填出他们的位置吗？
【考点】从不同方向观察物体和几何体．
【专题】空间观念．
【答案】
【分析】根据图示，小军是在前面看到的，倩倩是在后面看到的，小明是在右面看到的，兰兰是在左面看到的，据此解答即可。
【解答】解：解答如下：
【点评】本题主要考查学生从不同方向观察物体的能力，关键是能站在图中观察者的位置去观察物体。
考点卡片
1．百分数的意义、读写及应用
【知识点归纳】
（1）百分数（又叫做百分率或百分比）与分数的意义截然不同．百分数是“表示一个数是另一个数百分之几的数．”它只能表示两数之间的倍数关系，不能表示某一具体数量．如：可以说1米是5米的20%，不可以说“一段绳子长为20%米．”因此，百分数后面不能带单位名称．分数可带具体名称．
（2）百分数的读法：100%不读百分之百，要读百分之一百；32%：百分之三十二； 50%：百分之五十； 1%：百分之一．
（3）百分号的写法注意的地方：%的0是左上右下，不能写在一起．
【命题方向】
常考题型：
例1：把10克的糖放入100克的水中，糖占水的 10% ，糖和糖水的比是 1：11 ．
解：糖占水的比值为：10÷100＝＝10%
糖和水的比为：10：（10+100）＝1：11
故答案为：10%，1：11．
点评：本题要注意是求比还是求比值．糖占水多少是求比值，糖和糖水的比是求比．
例2：王师傅做98个零件都合格，合格率是98%． × ．
分析：根据公式：合格率＝×100%，代入数值，解答求出合格率，进而判断即可．
解：×100%＝100%；
答：合格率是100%．
故答案为：×．
点评：此题属于百分率问题，解答时都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘以百分之百即可．
2．分数乘除混合运算
【知识点归纳】
分数四则混合运算运算法则是：
1、加减：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；
异分母分数相加减，先通分，再分母不变，分子相加减。
2、乘法：先约分，分子乘分子作为积的分子，分母乘分母作为积的分母。
3、除法：除以一个数就等于乘这个数的倒数。
【方法总结】
分数混合运算顺序是：混合计算，先算乘除法再算加减法；
如果有括号，先算括号里面的（先算小括号，再算中括号）；
同一级运算，一般从左往右计算。
【常考题型】
计算题。
答案：；
3．分数方程求解
【知识点归纳】
解方程的步骤
（1）去分母。
当方程中存在分数，对方程中的两侧都乘以分数的分母，使分式化为整式，便于计算。
（2）去括号。
在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。
（3）移项。
通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。
（4）合并同类项。
对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。
（5）系数化为1.
合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。当方程为一元一次方程时，系数化为1后即可得到方程的解。
【命题方向】
常考题型
解方程。
①x−4/5x+6＝16
②64x＝2.4/0.9
答案：①x＝50；②x＝24。
4．百分数方程求解
【知识点归纳】
把百分数转化成小数即可，其他步骤与小数方程求解相同
一般利用等式性质把小数转化为整数之后，其他步骤与整数方程求解相同。
解方程的步骤
（1）去分母。
当方程中存在分数，对方程中的两侧都乘以分数的分母，使分式化为整式，便于计算。
（2）去括号。
在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。
（3）移项。
通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。
（4）合并同类项。
对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。
（5）系数化为1.
合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。当方程为一元一次方程时，系数化为1后即可得到方程的解。
【命题方向】
常考题型：
解方程。
答案：x＝10；x＝20；x＝1/2；x＝5。
5．比的意义
【知识点归纳】
两个数相除，也叫两个数的比．
【命题方向】
常考题型：
例1：男生人数比女生人数多，男生人数与女生人数的比是（ ）
A、1：4 B、5：7 C、5：4 D、4：5
分析：男生人数比女生人数多，把女生人数看作单位“1”，则男生人数是女生人数的（1+），由此即可求出男生与女生的人数的比，据此选择即可．
解：（1+）：1，
＝：1，
＝5：4；
故选：C．
点评：解答本题关键是：判断出单位“1”，求出男生人数是女生人数的几分之几，进而根据比的意义解答即可．
例1：甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙、丙三数的比是（ ）
A、4：5：8 B、4：5：6 C、8：12：15 D、12：8：15
分析：根据题干分析可得，设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3x÷＝x，由此即可写出甲乙丙三个数的比是2x：3x：x，根据比的性质，即可得出最简比．
解：设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3x÷＝x，
所以甲乙丙三个数的比是2x：3x：x＝8：12：15，
故选：C．
点评：此题考查比的意义，关键是根据甲乙丙的关系，分别用含有x的式子表示出这三个数，再利用比的性质化简比．
6．比的性质
【知识点归纳】
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变．这叫做比的基本性质．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个比的前项扩大4倍，要使比值不变，后项应（ ）
A、缩小4倍 B、扩大4倍 C、不变
分析：根据比的基本性质，比的前项和比的后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，由此做出选择．
解：一个比的前项扩大4倍，要使比值不变，后项也应扩大4倍．
故选：B．
点评：此题考查比的基本性质的运用，熟记性质，灵活运用．
例2：甲：乙＝3：4，乙：丙＝3：2甲、乙、丙三数的关系是（ ）
A、甲＞乙＞丙 B、丙＞乙＞甲 C、乙＞甲＞丙 D、甲＝乙＝丙
分析：根据比的基本性质，写出甲乙丙连比，即可知答案．
解：甲：乙＝3：4＝9：12
乙：丙＝3：2＝12：8
甲：乙：丙＝9：12：8
故选：C．
点评：此题主要考查比的基本性质．
7．比的应用
【知识点归纳】
1．按比例分配问题的解题方法：
（1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤：
a．求出总份数；
b．求出每一份是多少；
c．求出各部分相应的具体数量．
（2）转化成份数乘法来解答．解题步骤：
a．先根据比求出总份数；
b．再求出各部分量占总量的几分之几；
c．求出各部分的数量．
2．按比例分配问题常用解题方法的应用：
（1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量；
（2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个三角形与一个平行四边形的面积和底部都相等，这个三角形与平行四边形高的比是（ ）
A、2：1 B、1：2 C、1：1 D、3：1
分析：根据三角形和平行四边形的面积公式可得：三角形的高＝面积×2÷底；平行四边形的高＝面积÷底，由此即可进行比较，解答问题．
解：三角形的高＝面积×2÷底，
平行四边形的高＝面积÷底，
当三角形和平行四边形的面积和底分别相等时，三角形的高是平行四边形的高的2倍．
所以这个三角形与平行四边形高的比是2：1．
故选：A．
点评：考查了平行四边形的面积和三角形的面积公式，解题的关键是知道底相等、面积也相等的三角形和平行四边形中三角形的高是平行四边形的高的2倍．
例2：甲、乙两人各走一段路，他们的速度比是3：4，路程比是8：3，那么他们所需时间比是（ ）
A、2：1 B、32：9 C、1：2 D、4：3
分析：根据题意，把乙的速度看作1，那么甲的速度就为；把甲的路程看作1，那么乙的路程就为；根据时间＝路程÷速度，可得甲用的时间为1÷＝，乙用的时间为÷1＝；进而写出甲和乙所需的时间比，再把比化成最简比即可．
解：把乙的速度看作1，那么甲的速度就为，
把甲的路程看做1，那么乙的路程就为，
甲用的时间为：1÷＝，
乙用的时间为：÷1＝，
甲乙用的时间比：：＝（×24）：（×24）＝32：9；
答：甲乙所需的时间比是32：9．
故选：B．
点评：关键是把速度和路程设出来，然后根据时间＝路程÷速度，先求得各自用的时间，再写出所用的时间比并化简比．
8．分数四则复合应用题
【命题方向】
常考题型：
例：一瓶油千克，先倒出它的，然后再加千克．现在瓶内的油比原来（ ）
A、增加 B、减少 C、不变
分析：一瓶油千克，先倒出它的，还剩×（1﹣）＝（千克），再加千克，这时油重（+）千克，计算即可．
解：现在油重：
×（1﹣）+，
＝×+，
＝+，
＝（千克）；
原来油重：
＝（千克）；
因为＞．
所以增多了．
答：现在瓶内的油比原来增多．
故选：A．
点评：解答此题应分清两个“”的区别，第一个“”表示分率，第二个“”表示数量，在列式时不要混淆．
9．百分数的实际应用
【知识点归纳】
①出勤率＝出勤人数÷总人数×100%
发芽率＝发芽种子数÷试验种子数×100%
小麦的出粉率＝面粉的重量÷小麦的重量×100%
产品的合格率＝合格的产品数÷产品总数×100%
职工的出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%
②纳税问题：
缴纳的税款叫应纳税款
应纳税额与各种收入的比率叫做税率
税款＝应纳税金×税率
③利息问题：
存入银行的钱叫本金；取款时，银行多支付的钱叫做利息
利息与本金的比值叫做利率
利息＝本金×利率×时间
【命题方向】
常考题型：
例1：某公司开会，有25人缺席，有100人出席，这个会议的出席率是（ ）
A、80% B、75% C、100%
分析：出席率是指出席的人数占总人数的百分之几，计算方法为：×100%＝出席率，由此列式解答即可．
解：×100%＝80%，
答：出席率是80%；
故选：A．
点评：此题属于百分率问题，计算的结果最大值为100%，都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘以百分之百．
例2：某商店同时卖出两件商品，每件各得60元，但其中一件赚20%，另一件亏本20%，这个商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本？
分析：可以这样想，赚了20%，亏本20%是和谁比较呢？是与原价比较，因此原价是单位“1”，赚了20%就是说原价的（1+20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1+20%）＝50（元），同理亏本20%就是说原价的（1﹣20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1﹣20%）＝75（元）．
解：[60÷（1+20%）+60÷（1﹣20%）]﹣60×2
＝[50+75]﹣120；
＝125﹣120；
＝5（元）；
答：这两件商品亏了5元．
点评：解决这个问题的关键是正确确定单位“1”，找出对应关系．
10．百分率应用题
【知识点归纳】
出勤率：
发芽率＝发芽种子数÷试验种子数×100%
小麦的出粉率＝面粉的重量÷小麦的重量×100%
产品的合格率＝合格的产品数÷产品总数×100%
职工的出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%
【命题方向】
常考题型：
例1：一种树苗实验成活率是98%，为了保证成活380棵，至少要种多少棵树苗？
分析：首先理解“成活率”的概念，成活率是指成活的棵数占总棵数的百分比，即成活率＝×100%．
已知成活率是98%，成活380棵，求至少要种多少棵，根据成活棵数÷成活率，即380÷98%，计算即可．
解：380÷98%，
＝380÷0.98，
≈388（棵）；
答：至少要种388棵树苗．
点评：此题考查了成活率的概念，同时应注意在处理结果时应该用“进一法”．
例2：一个商场打折销售，规定购买200元以下（包括200元）商品不打折，200元以上500元以下（包括500元）全部打九折，如购买500元以上的商品，就把500元以内（包括500元）的打九折，超出的打八折，一个人买了两次，分别用了134元、466元，那么如果他一次购买这些商品的话，可节省多少元？
分析：先分析销售的办法：
（1）200元以下（包括200元）商品不打折，这种方法最多付款200元；
（2）200元以上500元以下（包括500元）全部打九折，这一阶段最少付款200×90%＝180（元）；
最多付款500×90%＝450（元）；
（3）如购买500元以上的商品，就把500元以内（包括500元）的打九折，超出500元的部分打八折；这一阶段最少付款450元．
134元＜180元，说明原价就是134元，没有打折；
466元＞450元；它属于第（3）种情况，有500元打九折，付450元；剩下的打八折；所以加上134元后也属于此阶段优惠；把134元按照8折优惠的钱数就是可以节省的钱数．
解：200×90%＝180（元）；
134元＜180元，说明原价就是134元，没有打折；
500×90%＝450（元）；
466＞450；
一次购买134元可以按照8折优惠；
134×（1﹣80%），
＝134×20%，
＝26.8（元）；
答：一次购买可节省26.8元．
点评：本题考查了分类讨论的思想的运用：分析实际付款可按不同方式打折．也考查了实际生活中的折扣问题．
11．圆及其性质
【知识点归纳】
1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。
2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。
3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。直径的长度是半径的2倍。
5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。如果已知的是直径，我们要把直径除以2换成半径，确定圆心，然后才开始画圆。要比较两个圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。
6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。同圆中所有的半径、直径都相等。
7．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。
8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。
【命题方向】
常考题型：
1.在推导圆的面积计算公式时，我们把一个圆平均分成若干等份后，拼成一个近似的长方形，若周长比原来增加10厘米，则圆的面积是 78.5平方厘米。
解：10÷2＝5（厘米）
3.14×52＝3.14×25＝78.5（平方厘米）
答：圆的面积是78.5平方厘米。
故答案为：78.5平方厘米。
2.把一个圆沿半径平分若干份，拼成的近似长方形的长是6.28厘米，那么这个圆的周长和面积分别是多少？
解：6.28×2＝12.56（厘米）
12.56÷3.14÷2＝2（厘米）
3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（平方厘米）
答：这个圆的周长是12.56厘米，面积是12.56平方厘米。
12．从不同方向观察物体和几何体
【知识点归纳】
视图定义：
当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图象叫做物体的一个视图．
物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图．
主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图．
俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图．
左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图．
人在观察目标时，从眼睛到目标的射线叫做视线，眼睛所在的位置叫做视点，有公共视点的两条视线所称的角叫做视角．
我们把视线不能到达的区域叫做盲区．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个物体的形状如图所示，则此物体从左面看是（ ）
分析：这个几何体是由四个小正方体组成的，根据观察物体的方法，从正面看，是三个正方形，下行二个，上行一个位于右面；从上面看，是三个正方形，上行二个，下行一个位于右面；从左面看是三个正方形，下行二个，上行一个位于左面．由此判断．
解：从左面看到的是三个正方形，左边一列二个正方形，右边一个正方形与左边一列下边的一个成一行；
故选：B．
点评：本题是考查从不同方向观察物体和几何图形．是培养学生的观察能力．
13．圆、圆环的周长
【知识点归纳】
圆的周长＝πd＝2πr，
半圆的周长等于圆周长一半加上直径，即；
半圆周长＝πr+2r．
圆环的周长等于两个圆的周长，即：
圆环的周长＝πd1+πd2＝2πr1+2πr2．
【命题方向】
常考题型：
例1：车轮滚动一周，所行的路程是求车轮的（ ）
A、直径 B、周长 C、面积
分析：车轮滚动一周，所行的路程就是这个车轮的周长，可采用化曲为直的方法进行计算．
解：车轮滚动一周所行的路程就是车轮一周的长度，即周长．
答：车轮滚动一周，所行的路程是求车轮的周长．
故选：B．
点评：此题主要考查的是利用圆的周长求车轮的所行路程．
例2：如图，一个半圆形的半径是r，它的周长是（ ）
A、2πr× B、πr+r C、（π+2）r D、πr2．
分析：根据半圆的周长公式：C＝πr+2r，可求半圆的周长．
解：πr+2r＝（π+2）r．
答：半圆的周长是（π+2）r．
故选：C．
点评：考查了半圆的周长．解题的关键是理解和掌握它们的计算公式，同时不要错误的以为半圆的周长是圆的周长的一半．
【解题思路点拨】
（1）常规题求圆的周长，先求出关键量半径，代入公式即可求得．
14．画圆
【知识点归纳】
圆规画圆步骤：
1、把圆规的两脚分开，定好两脚间距离；
2、把有针尖的一只脚固定在一点上；
3、带有铅笔的那只脚绕点旋转一周．
【命题方向】
常考题型：
例1：画一个周长是18.84厘米的圆，圆规的两脚之间的距离应该是（ ）厘米．
A、3 B、6 C、9 D、12
分析：圆规两脚之间的距离即这个圆的半径，由圆的周长公式即可解决问题．
解：18.84÷3.14÷2＝3（厘米）；
答：圆规的两脚之间的距离应该是3厘米．
故选：A．
点评：抓住圆规画圆的方法，利用C＝2πr，即可解决此类问题．
例2：画一个直径是4cm的圆．
分析：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此以点O为圆心，以4÷2＝2厘米为半径，即可画出这个圆．
解：4÷2＝2（厘米），
以点O为圆心，以2厘米为半径，画圆如下：
点评：此题考查了圆的画法，抓住圆的两大要素：圆心和半径即可画圆．
15．圆、圆环的面积
【知识点归纳】
圆的面积公式：
S＝πr2
圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得，公式：
S＝πr22﹣πr12＝π（r22﹣r12）
【命题方向】
常考题型：
例1：因为大圆的半径和小圆的直径相等，所以大圆面积是小圆面积的（ ）
A、2倍 B、4倍 C、 D、
分析：大圆的半径和小圆的直径相等，说明大圆的半径是小圆的半径的2倍，利用圆的面积公式和积的变化规律即可推理得出正确答案进行选择．
解：大圆的半径和小圆的直径相等，说明大圆的半径是小圆的半径的2倍，
圆的面积＝πr2，根据积的变化规律可得，r扩大2倍，则r2就会扩大2×2＝4倍，
所以大圆的面积是小圆的面积的4倍．
故选：B．
点评：此题考查了积的变化规律在圆的面积公式中的灵活应用，这里可以得出结论：半径扩大几倍，圆的面积就扩大几倍的平方．
例2：在图中，正方形的面积是100平方厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？周长呢？
分析：看图可知：正方形的边长等于圆的半径，先利用正方形的面积公式求出正方形的边长，即得出圆的半径，由此根据圆的周长和面积公式即可列式解答．
解：因为10×10＝100，
所以正方形的边长是10厘米，
所以圆的面积是：3.14×10×10＝314（平方厘米）；
周长是：3.14×10×2＝62.8（厘米），
答：这个圆的面积是314平方厘米，周长是62.8厘米．
点评：此题考查圆的周长与面积公式的计算应用，关键是结合图形，利用正方形的面积公式求出正方形的边长，即这个圆的半径．
16．画轴对称图形的对称轴
【知识点归纳】
1．对称轴：折痕所在的这条直线叫做对称轴．
2．画法：
（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）．
（2）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）．
【命题方向】
常考题型：
例1：只有一条对称轴的图形是（ ）
A、正方形 B、等腰三角形 C、圆
分析：分别找出ABC三个图形的对称轴，利用排除法进行选择正确答案．
解：A：正方形有4条对称轴，不符合题意，
B：等腰三角形只有一条对称轴，符合题意，
C：圆有无数条对称轴，不符合题意，
故选：B．
点评：此题考查了轴对称图形的对称轴的特点．
例2：画出下列图形的所有的对称轴．
分析：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的对称轴．根据轴对称图形的定义，找出并画出轴对称图形的对称轴即可．
解：根据轴对称图形的定义可以找出上述图形的对称轴，并把它们画出来，如下图所示：
点评：此题考查了根据轴对称图形定义画出轴对称图形的对称轴的方法．
17．统计图的选择
【知识点归纳】
理解三种统计图各自的特点，并能根据不同问题选择适当的统计图描述数据．
（1）条形统计图的特点：
条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
（2）折线统计图的特点：
折线统计图能清楚地反映事物的变化情况．
（3）扇形统计图的特点：
扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比．
注意：1．这三种统计图最后都要写标题．
2．条形统计图、折线统计图都会出现复式统计图，需用不同种类的条形和折线来表示，如﹣﹣与﹣﹣﹣﹣等．
3．制作统计图的目的．
尽可能清楚、有效地描述数据，以利于对数据作出正确的分析，以便进行合理地做出决策．
4．统计图与统计表的区别
统计表所反映的数据准确、易找，但不易看出数据之间的关系或变化情况，而统计图能很直观地表示出变化的情况，但往往不能看出准确的数据．
【命题方向】
常考题型：
例1：三洋电视机厂为了能清楚地表示出上半年月产量的多少与增减变化的情况，应绘制（ ）
A、条形统计图 B、折线统计图 C、扇形统计图
【分析】根据题意，即能表示数量的多少，又能表示数量的增减变化情况，根据折线统计图的特点和作用，即可做出判断．
解：折线统计图不仅表示数量的多少，而且表示数量的增减变化情况，由此，三洋电视机厂为了能清楚地表示出上半年月产量的多少与增减变化的情况，应绘制折线统计图．
故选B．
【点评】此题考查的目的是理解和掌握折线统计图的特点和作用，并且能够根据其特点和作用解决有关的实际问题．

5x×30%＝15
3.6x+120%x＝96
100%x+2/3＝7/6
130%x﹣0.8×4＝3.3