统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷一客观题专练5函数与导数文（附解析）

这是一份统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷一客观题专练5函数与导数文（附解析），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．[2023·全国甲卷(文)]曲线y＝eq \f(ex,x＋1)在点(1，eq \f(e,2))处的切线方程为( )
A．y＝eq \f(e,4)xB．y＝eq \f(e,2)xC．y＝eq \f(e,4)x＋eq \f(e,4)D．y＝eq \f(e,2)x＋eq \f(3e,4)
2．[2023·安徽模拟]函数y＝lgeq \s\d9(\f(1,3))(－x2＋4x＋12)单调递减区间是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－2，2) D．(－2，6)
3．[2023·湖南岳阳三校10月联考]过曲线y＝ex－x外一点(e，－e)作该曲线的切线l，则切线l在y轴上的截距为( )
A．－eeB．－ee＋2C．－ee＋1D．ee＋2
4．[2023·昆明市“三诊一模”教学质量检测]曲线y＝xe－2x＋1在x＝1处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )
A．eB．eq \f(e,2)C．eq \f(2,e)D．eq \f(1,e)
5．[2023·山东青岛市高三二模]已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断，有下列四个命题：
甲：f(x)是奇函数；
乙：f(x)的图象关于直线x＝1对称；
丙：f(x)在区间[－1，1]上单调递减；
丁：函数f(x)的周期为2.
如果只有一个假命题，则该命题是( )
A．甲B．乙C．丙D．丁
6．[2023·辽宁葫芦岛第二次测试]已知y＝f(x－1)是定义在R上的偶函数，且y＝f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，则不等式f(－2x－1－1)A．(2，＋∞) B．(3，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，3)
7．[2023·全国甲卷(文)]已知函数f(x)＝e－(x－1)2.记a＝f(eq \f(\r(2),2))，b＝f(eq \f(\r(3),2))，c＝f(eq \f(\r(6),2))，则( )
A．b>c>aB．b>a>cC．c>b>aD．c>a>b
8．[2023·江苏省启东市高三模拟]已知定义域为R的函数f(x)在[2，＋∞)上单调递减，且f(4－x)＋f(x)＝0，则使得不等式f(x2＋x)＋f(x＋1)<0成立的实数x的取值范围是( )
A．－33C．x<－3或x>1D．x≠－1
9．[2023·河南洛阳月考]已知定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)，当x≥0时，恒有eq \f(x,3)f′(x)＋f(x)≥0，则不等式x3f(x)－(1＋2x)3f(1＋2x)<0的解集为( )
A．{x|－3C．{x|x<－3或x>－1}D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x<－1或x>－\f(1,3)))
10．[2023·全国乙卷(文)]函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－3) C．(－4，－1) D．(－3，0)
11．[2023·江西九江部分重点中学联考]函数f(x)＝(2ax－1)2－lga(ax＋2)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,a)))上恰有一个零点，则实数a的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))B．(0，2]∪[3，＋∞) C．(1，2)∪[3，＋∞) D．[2，3)
12．[2023·河南新乡市高三模拟]已知函数f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x2＋3x＋1)).若关于x的方程f(x)－a|x|＝0恰有两个不同的实根，则a的取值范围是( )
A．(1，5) B．[1，5] C．(1，5)∪{0}D．[1，5]∪{0}
[答题区]
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．[2023·福建省莆田第一中学高三期中]函数f(x)＝ex＋sinx在点(0，1)处的切线方程为________．
14．[2023·安徽师范大学附属中学]函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－2lnx＋x的极值点是________．
15．[2023·福建高三二模]已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤0，,lg2x，x>0)))则函数y＝f[f(x)]的所有零点之和为________．
16．[2023·黑龙江大庆市高三二模]定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)＝f(x)，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则函数f(x)的图象与g(x)＝eq \f(|x|,3)的图象的交点个数为________．
函数与导数（5）
1．C 由题意可知y′＝eq \f(ex（x＋1）－ex·1,（x＋1）2)＝eq \f(xex,（x＋1）2)，则曲线y＝eq \f(ex,x＋1)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(e,2)))处的切线斜率k＝y′|x＝1＝eq \f(e,4)，所以曲线y＝eq \f(ex,x＋1)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(e,2)))处的切线方程为y－eq \f(e,2)＝eq \f(e,4)（x－1），即y＝eq \f(e,4)x＋eq \f(e,4)，故选C.
2．C 令y＝lgeq \s\d9(\f(1,3))u，u＝－x2＋4x＋12.由u＝－x2＋4x＋12>0，得－2因为函数y＝lgeq \s\d9(\f(1,3))u是关于u的递减函数，且x∈（－2，2）时，u＝－x2＋4x＋12为增函数，所以y＝lgeq \s\d9(\f(1,3))（－x2＋4x＋12）为减函数，所以函数y＝lgeq \s\d9(\f(1,3))（－x2＋4x＋12）的单调减区间是（－2，2）.故选C.
3．B 对y＝ex－x求导，得y′＝ex－1.
设切点为（x0，－x0），则切线l的斜率为k＝ex0－1，
所以切线方程为y－（－x0）＝（－1）（x－x0）.
因为切线过点（e，－e），所以－e－＋x0＝（－1）（e－x0），解得x0＝e＋1，
所以切线方程为y－ee＋1＋e＋1＝（ee＋1－1）（x－e－1）.
令x＝0，求得y＝－ee＋2.故选B.
4．C 根据题意知，切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,e)))，y′＝e－2x＋1－2xe－2x＋1，所以切线的斜率k＝－eq \f(1,e)，切线方程为y－eq \f(1,e)＝－eq \f(1,e)（x－1），即y＝－eq \f(1,e)x＋eq \f(2,e)，则切线与两坐标轴的交点为（2，0），eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,e)))，所以三角形的面积S＝eq \f(1,2)×2×eq \f(2,e)＝eq \f(2,e)，故选C.
5．D 由连续函数f（x）的特征知：由于区间[－1，1]的宽度为2，
所以f（x）在区间[－1，1]上单调递减与函数f（x）的周期为2相互矛盾，
即丙、丁中有一个为假命题；
若甲、乙成立，即f（－x）＝－f（x），f（x＋1）＝f（1－x），
则f（x＋2）＝f（x＋1＋1）＝f[1－（1＋x）]＝f（－x）＝－f（x），
所以f（x＋4）＝f（x＋2＋2）＝－f（x＋2）＝f（x），即函数f（x）的周期为4，
即丁为假命题．
由于只有一个假命题，则可得该命题是丁，故选D.
6．D 因为函数y＝f（x－1）是定义在R上的偶函数，所以y＝f（x－1）的图象关于y轴对称．因为y＝f（x）的图象向右平移1个单位长度得到y＝f（x－1）的图象，
所以y＝f（x）的图象关于直线x＝－1对称．
因为y＝f（x）在[－1，＋∞）上单调递增，所以f（x）在（－∞，－1）上单调递减．
易知－2x－1－1<－1且f（3）＝f（－5），所以f（－2x－1－1）－5，所以2x－1<4，解得x<3，所以原不等式的解集为（－∞，3），故选D.
7．A 函数f（x）＝是由函数y＝eu和u＝－（x－1）2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－（x－1）2在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减．易知f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f（eq \f(\r(6),2)）＝f（2－eq \f(\r(6),2)），又eq \f(\r(2),2)＜2－eq \f(\r(6),2)＜eq \f(\r(3),2)＜1，所以f（eq \f(\r(2),2)）＜f（2－eq \f(\r(6),2)）＜f（eq \f(\r(3),2)），所以b>c>a，故选A.
8．C f（4－x）＋f（x）＝0，则f（x）关于（2，0）对称，
因为f（x）在[2，＋∞）上单调递减，所以f（x）在R上单调递减，
所以f（x＋1）＝－f（3－x），
由f（x2＋x）＋f（x＋1）<0得f（x2＋x）－f（3－x）<0，
所以f（x2＋x）所以x2＋x>3－x，解得x>1或x<－3.故选C.
9．D 令g（x）＝x3f（x），则g′（x）＝3x2[f（x）＋eq \f(x,3)f′（x）].
当x≥0时，恒有eq \f(x,3)f′（x）＋f（x）≥0，即当x≥0时，g′（x）≥0，
所以g（x）在[0，＋∞）上单调递增．
易知f（－x）＝－f（x），所以g（－x）＝－x3f（－x）＝g（x），即g（x）为偶函数．
由x3f（x）－（1＋2x）3f（1＋2x）<0，
可得g（x）解得x>－eq \f(1,3)或x<－1，故选D.
10．B 由题意知f′（x）＝3x2＋a，要使函数f（x）存在3个零点，则f′（x）＝0要有2个不同的根，则a<0.令3x2＋a＝0，解得x＝±eq \r(\f(－a,3)).令f′（x）>0，则x<－eq \r(\f(－a,3))或x>eq \r(\f(－a,3))，令f′（x）<0，则－eq \r(\f(－a,3))0，,f（\r(\f(－a,3))）<0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(－2a,3)·\r(\f(－a,3))＋2>0,\f(2a,3)·\r(\f(－a,3))＋2<0))，解得eq \r(\f(－a,3))>1，即a<－3.故选B.
11．D 由题意可知a>0且a≠1，函数f（x）＝（2ax－1）2－lga（ax＋2）在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,a)))上恰有一个零点，即函数g（x）＝（2ax－1）2的图象与函数h（x）＝lga（ax＋2）的图象在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,a)))上恰有一个交点．
①当0则lga3＝heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))≤h（x）≤h（0）＝lga2<0，
因此h（x）的图象在x轴下方，而函数g（x）＝（2ax－1）2的图象恒在x轴上方（含x轴），所以此时函数g（x）的图象与函数h（x）的图象没有交点，不符合题意．
②当a>1时，h（x）＝lga（ax＋2）在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,a)))上单调递增，
要使函数g（x）的图象与函数h（x）的图象在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,a)))上恰有一个交点，
必有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(h（0）＝lga2≤1，,h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝lga3>1，))解得2≤a<3.
综上可知，实数a的取值范围是[2，3）.故选D.
12．C 当x＝0时，f（0）＝1≠0，故x＝0不是方程f（x）－a|x|＝0的根，
当x≠0时，由f（x）－a|x|＝0得，a＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)＋3))，
方程f（x）－a|x|＝0恰有两个不同的实根等价于直线y＝a与函数y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)＋3))的图象有两个不同的交点，
作出函数y＝f（x）的大致图象如图所示，
由图可知，a＝0或113．答案：y＝2x＋1
解析：因为函数f（x）＝ex＋sinx，
所以f′（x）＝ex＋csx，
所以f′（0）＝2，f（0）＝1，
所以函数在点（0，1）处的切线方程为：y－1＝2x，即y＝2x＋1，
故答案为y＝2x＋1.
14．答案：1
解析：f（x）＝eq \f(1,2)x2－2lnx＋x的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝x－eq \f(2,x)＋1＝eq \f(1,x)（x＋2）（x－1），
所以令f′（x）>0，解得x>1，令f′（x）<0，解得x<1，
所以x＝1为f（x）＝eq \f(1,2)x2－2lnx＋x的极值点．
15．答案：eq \f(1,2)
解析：x≤0时，x＋1＝0，x＝－1，由f（x）＝－1，可得x＋1＝－1或lg2x＝－1，∴x＝－2或x＝eq \f(1,2)；
x>0时，lg2x＝0，x＝1，由f（x）＝1，可得x＋1＝1或lg2x＝1，∴x＝0或x＝2；
∴函数y＝f[f（x）]的所有零点为－2，eq \f(1,2)，0，2，所以所有零点的和为－2＋eq \f(1,2)＋0＋2＝eq \f(1,2).
16．答案：7
解析：由题意知：f（x）的周期为2，当x∈[－1，1]时，f（x）＝x2，
∴f（x）、g（x）的图象如图：
即f（x）与g（x）共有7个交点．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案