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统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷一客观题专练4函数与导数文（附解析）
展开这是一份统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷一客观题专练4函数与导数文（附解析），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．[2023·河北省六校联考]设a＝eq \f(1,4)lg2eq \f(1,3)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(0.3)，则有( )
A．a＋b>abB．a＋b
A．－2B．－1C．1D．2
3．[2023·广东佛山市高三模拟]函数f(x)＝(x－π)sinx＋1在区间[－2π，4π]上的所有零点之和为( )
A．0B．πC．4πD．8π
4．[2023·四川雅安市高三模拟]函数y＝a3－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(m>0，n>0)上，则m－n的最大值为 ( )
A．6B．4C．2D．1
5．[2023·河北张家口、邢台、衡水联考]函数f(x)＝eq \f(ex（csx－x2）,e2x＋1)的大致图象为( )
6．[2023·福建省龙岩市六市区一中高三联考]若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(2x－a，x≤0,－3x－a，x>0)))(a∈R)在R上没有零点，则a的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)∪{0}C．(－∞，0] D．(－∞，1]
7．[2023·广东高三模拟]下列函数中，既是奇函数又在区间(0，1)上单调递增的是( )
A．y＝xeq \r(x)B．y＝x＋eq \f(1,x)C．y＝ex－e－xD．y＝lg2|x|
8．[2023·湖南高三二模]若2a＝3，3b＝2，lnc＝a，则a，b，c的大小关系是( )
A．c>a>bB．a>b>cC．c>b>aD．a>c>b
9．[2023·安徽黄山市高三模拟]设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋4x，x≤4,lg2x，x>4))，若函数y＝f(x)在区间(m，m＋1]上单调递减，则实数m的取值范围是( )
A．[2，3] B．(2，3) C．(2，3] D．[2，3)
10．[2023·四川成都市高三模拟]已知函数f(x)＝lga(x－1)＋1，(a>0，a≠1)恒过定点A，过定点A的直线l：mx＋ny＝1与坐标轴的正半轴相交，则mn的最大值为( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(1,4)C．eq \f(1,8)D．1
11．[2023·黑龙江哈尔滨市哈九中高三月考]已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,2)))，x<1,lg2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，x≥1)))，若函数g(x)＝－x＋m(m>0)与y＝f(x)的图象相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,2)))B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(lg23，\f(5,2)))C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2)))D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg23，\f(5,2)))
12．[2023·全国高三模拟]已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(lnx，x≥1，,－ln（2－x），x<1，)))则方程(x－1)f(x)＝1的所有实根之和为( )
A．2B．3C．4D．1
[答题区]
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．[2023·浙江温州市模拟]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f(2017)＝2018，f(2018)＝2019，f(2019)＝2020，则f(2020)＝________．
14．[2023·福建省莆田第二十五中学高三期中]已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(|lgx|，x>0，,2|x|，x≤0，)))则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
15．[2023·山东省菏泽市高三模拟]已知函数f(x)对任意的x∈R都有f(x＋6)－f(x)＝3f(3)，若y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，且f(1)＝3，则f(2021)＝________．
16．[2023·重庆市黔江新华中学高三月考]函数f(x)＝x2－axlnx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,e)，2))上不单调，则实数a的取值范围是________．
函数与导数（4）
1．A ∵a＝eq \f(1,4)lg2eq \f(1,3)＝－eq \f(1,4)lg23，eq \f(3,2)
∴a＋b>ab.故选A.
2．D 方法一 f（x）的定义域为{x|x≠0}，因为f（x）是偶函数，所以f（x）＝f（－x），即eq \f(xex,eax－1)＝eq \f(－xe－x,e－ax－1)，即e（1－a）x－ex＝－e（a－1）x＋e－x，即e（1－a）x＋e（a－1）x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0（舍去）或a＝2，故选D.
方法二 f（x）＝eq \f(xex,eax－1)＝eq \f(x,e（a－1）x－e－x)，f（x）是偶函数，又y＝x是奇函数，所以y＝e（a－1）x－e－x是奇函数，故a－1＝1，即a＝2，故选D.
3．D
由f（x）＝（x－π）sinx＋1＝0得sinx＝eq \f(1,π－x)，作出y＝sinx和y＝eq \f(1,π－x)的图象，如图，它们关于点（π，0）对称，由图象可知它们在[－2π，4π]上有8个交点，且关于点（π，0）对称，每对称的两个点的横坐标和为2π，所以8个点的横坐标之和为8π.故选D.
4．B 设y＝f（x）＝a3－x，因为y＝f（3）＝1，所以点A的坐标为（3，1），
又因为点A在双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1上，所以eq \f(9,m)－eq \f(1,n)＝1，
因此m－n＝1·（m－n）＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,m)－\f(1,n)))（m－n）＝10－eq \f(9n,m)－eq \f(m,n)＝10－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9n,m)＋\f(m,n)))≤10－2eq \r(\f(9n,m)·\f(m,n))＝4，当且仅当eq \f(9n,m)＝eq \f(m,n)时取等号，即n＝2，m＝6时取等号，故选B.
5．C 因为f（－x）＝eq \f(e－x（csx－x2）,e－2x＋1)＝eq \f(ex（csx－x2）,e2x＋1)＝f（x），
所以f（x）为偶函数，排除D.
因为f（0）＝eq \f(1,2)，所以排除B.
因为f（2）＝eq \f(e2（cs2－4）,e4＋1)＝－eq \f(4－cs2,e2＋\f(1,e2))，而0
6．B 由函数f（x）＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(2x－a，x≤0,－3x－a，x>0)))（a∈R）在R上没有零点，
当x≤0时，令2x－a＝0，解得a＝2x∈（0，1]，若方程无解，可得a>1或a≤0，
当x>0，令－3x－a＝0，解得x＝－eq \f(a,3)，若方程无解，则－eq \f(a,3)≤0，解得a≥0.
所以a的取值范围是（1，＋∞）∪{0}．故选B.
7．C 函数y＝xeq \r(x)的定义域是[0，＋∞），所以函数是非奇非偶函数，故A错误；y＝x＋eq \f(1,x)在（0，1）上单调递减，故B错误；因为f（－x）＝e－x－ex＝－（ex－e－x）＝－f（x），所以函数是奇函数，且在（0，1）上单调递增，故C正确；因为f（－x）＝lg2|－x|＝lg2|x|＝f（x），所以函数是偶函数，故D错误；故选C.
8．A lg22
所以a＝lg23∈（1，2），b＝lg32∈（0，1），又c＝ea>e，故c>a>b.
故选A.
9．A 函数f（x）＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋4x，x≤4,lg2x，x>4))的图象如图所示，
函数f（x）在（－∞，2]以及（4，＋∞）上递增，在[2，4）上递减，
故若函数y＝f（x）在区间（m，m＋1]上单调递减，
需满足2≤m且m＋1≤4，
即2≤m≤3，故选A.
10．C 令x－1＝1，即x＝2，得f（1）＝1，则A（2，1），
则2m＋n＝1且m>0，n>0，
由2m＋n≥2eq \r(2mn)⇒1≥2eq \r(2mn)⇒mn≤eq \f(1,8).
当且仅当m＝eq \f(1,4)，n＝eq \f(1,2)时，等号成立，
故选C.
11．D
作出函数f（x），g（x）的图象如图，不妨设x1
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－x＋\f(5,2),y＝lg2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))))，得x＝eq \f(3,2)，所以x2∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))；
因为y＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))与y＝2x－eq \f(1,2)的图象关于直线y＝x对称，而y＝－x＋m与y＝x垂直，
所以x1＋x2＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,2)))＋x2，且x2∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).
令h（x）＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))＋x，且x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，
则易知h（x）为增函数，所以h（1）≤h（x）
12．A 当x>1时，2－x<1，所以f（2－x）＝－ln [2－（2－x）]＝－lnx＝－f（x），
当x<1时，2－x>1，所以f（2－x）＝ln（2－x）＝－f（x），当x＝1时，f（1）＝0，
所以函数f（x）的图象关于点（1，0）对称．
显然x＝1不是方程的根，
当x≠1时，原方程可变为f（x）＝eq \f(1,x－1)，
画出函数y＝f（x）和y＝eq \f(1,x－1)的图象（如图所示），
由图知，二者仅有两个公共点设为A（x1，y1），B（x2，y2），
因为函数y＝f（x）和y＝eq \f(1,x－1)的图象都关于点（1，0）对称，所以A，B关于点（1，0）对称，
所以eq \f(x1＋x2,2)＝1，即x1＋x2＝2.
故选A.
13．答案：2027
解析：因为函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，
又f（2017）＝2018，f（2018）＝2019，f（2019）＝2020，
所以x3＋ax2＋bx＋c＝x＋1的根为2017，2018，2019，
即方程x3＋ax2＋（b－1）x＋c－1＝0的根为2017，2018，2019，
所以x3＋ax2＋（b－1）x＋c－1＝（x－2017）（x－2018）（x－2019），
所以f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c＝（x－2017）（x－2018）（x－2019）＋x＋1，
所以f（2020）＝（2020－2017）×（2020－2018）×（2020－2019）＋2020＋1＝2027.
14．答案：5
解析：令y＝2f2（x）－3f（x）＋1＝0可得f（x）＝1或f（x）＝eq \f(1,2)，
当f（x）＝1时，由f（x）＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(lgx))，x>0，,2|x|，x≤0，))可得x＝10或0或eq \f(1,10)，三个解；
当f（x）＝eq \f(1,2)时，由f（x）＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(lgx))，x>0，,2|x|，x≤0，)))可得两个解，
故答案为5.
15．答案：3
解析：因为y＝f（x＋1）的图象关于直线x＝－1对称，
所以f（x）的图象关于y轴对称，所以f（x）为偶函数，
令x＝－3则f（－3＋6）－f（－3）＝3f（3），所以f（3）－f（－3）＝3f（3），
又f（－3）＝f（3），则f（3）＝0，
f（x＋6）＝f（x），所以周期为6，
所以f（2021）＝f（－1）＝f（1）＝3.
16．答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(4,ln2＋1)))
解析：f′（x）＝2x－a（1＋lnx）＝2x－alnx－a，令f′（x）＝0得2x－alnx－a＝0，
由于eq \f(2,e)
构造函数h（x）＝eq \f(2x,1＋lnx)，h′（x）＝eq \f(2lnx,（1＋lnx）2)，所以h（x）在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,e)，1))上递减，在（1，2）上递增，heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,e)))＝eq \f(\f(4,e),1＋ln\f(2,e))＝eq \f(4,eln2)＝eq \f(4,ln2e)，h（1）＝2，h（2）＝eq \f(4,ln2＋1)＝eq \f(4,ln（2e）).
下证2e>2e：
构造函数g（x）＝2x－2x，g′（x）＝2xln2－2，当x≥2时，2xln2－2≥22ln2－2①，
而eq \f(1,2)＝lneq \r(e)
由于g（2）＝0，所以当x>2时，g（x）>g（2）＝0，故g（e）>0，也即2e－2e>0⇒2e>2e.
由于2e>2e⇒ln2e>ln（2e），所以heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,e)))
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