统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷一客观题专练14解析几何理（附解析）

这是一份统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷一客观题专练14解析几何理（附解析），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．[2023·云南省昆明市测试]抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－y2＝1的渐近线的距离为( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(2),2)C．eq \f(\r(3),2)D．2
2．[2023·广东省湛江市高三一模]已知抛物线C：x2＝－2py(p>0)的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线y＝2p的距离是M到C的准线距离的2倍，且|MF|＝6，则p＝( )
A．4B．6C．8D．10
3．[2023·全国甲卷(理)]设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1的两个焦点，点P在C上，cs∠F1PF2＝eq \f(3,5)，则|OP|＝( )
A．eq \f(13,5)B．eq \f(\r(30),2)C．eq \f(14,5)D．eq \f(\r(35),2)
4．[2023·河北省邯郸市高三一模]已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P为C在第一象限上一点，若PF的中点到y轴的距离为3，则直线PF的斜率为( )
A．eq \r(2)B．2eq \r(2)C．2D．4
5．[2023·福建省六校联考]过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率大于0的直线l交抛物线于点A，B(点A位于第一象限)，交其准线于点C，若|BC|＝3|BF|，则直线AB的斜率为( )
A．2eq \r(3)B．2eq \r(2)C．eq \r(3)D．eq \r(2)
6．[2023·全国乙卷(理)]设A，B为双曲线x2－eq \f(y2,9)＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( )
A．(1，1) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，2))C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－4))
7．[2023·成都诊断性检测]已知抛物线x2＝4y的焦点为F，过F的直线与抛物线相交于A，B两点，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(7,2)))，若PB⊥AB，则|AF|＝( )
A．eq \f(3,2)B．2C．eq \f(5,2)D．3
8．[2023·河北省邯郸市高三一模]设F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C的左支上，且＝2eq \r(3)，则△PF1F2的面积为( )
A．8B．8eq \r(3)C．4D．4eq \r(3)
9．[2023·广东深圳模拟]已知椭圆C：eq \f(x2,m2＋9)＋eq \f(y2,m2)＝1，F1，F2分别是其左、右焦点，若对椭圆C上的任意一点P，eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))>0恒成立，则实数m的取值范围为( )
A．(－3，0)∪(0，3)
B．[－3，0)∪(0，3]
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3]∪[3，＋∞)
10．[2023·温州适应性测试]设F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A．eq \r(3)B．eq \r(2)C．2D．eq \r(5)
11．[2023·河南省高中毕业班测试]已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \r(2)，且经过点(eq \r(3)，eq \r(2))，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则点P到x轴的距离为( )
A．eq \f(\r(3),2)B．eq \f(\r(6),2)C．eq \r(3)D．eq \r(6)
12．[2023·四川遂宁模拟]已知椭圆T：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的长半轴长为2，且过点M(0，1).若过点M引两条互相垂直的直线l1，l2，P为椭圆上任意一点，记点P到l1，l2的距离分别为d1，d2，则eq \r(d eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋d eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )的最大值为( )
A．2B．eq \f(4\r(3),3)C．5D．eq \f(16,3)
[答题区]
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．[2023·辽宁省丹东市高三质量监测]已知双曲线C经过坐标原点O，两个焦点坐标分别为F1(－1，0)，F2(3，0)，则C的离心率为________．
14．[2023·济南名校联考]可知F1，F2为双曲线x2－eq \f(y2,4)＝1的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2的面积为________．
15．[2023·辽宁省沈阳市高三质量监测]已知抛物线x2＝4y，点M(t，－2)，t∈[－1，1]，过M作抛物线的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，直线AB与y轴交于点P，则eq \f(|PA|,|PB|)的取值范围是________．
16．[2023·山东济南模拟]已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别是F1，F2，且△F1AB的面积为eq \f(2－\r(3),2)，则椭圆的方程为________；若点P为椭圆上的任意一点，则eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)的取值范围是________．
解析几何（14）
1．B 因为抛物线的焦点为（1，0），双曲线的渐近线为x±y＝0，
所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为d＝eq \f(|1±0|,\r(12＋12))＝eq \f(\r(2),2)，故选B.
2．A 设M（x0，y0），则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2p－y0＝6×2,\f(p,2)－y0＝6))，解得p＝4，故选A.
3．B
方法一 依题意a＝3，b＝eq \r(6)，c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(3).如图，不妨令F1（－eq \r(3)，0），F2（eq \r(3)，0）.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cs∠F1PF2＝eq \f(m2＋n2－12,2mn)＝eq \f(3,5) ①，
由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6 ②.
由①②，解得mn＝eq \f(15,2).
设|OP|＝x.
在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，
由余弦定理得eq \f(x2＋3－m2,2\r(3)x)＝－eq \f(x2＋3－n2,2\r(3)x)，
得x2＝eq \f(m2＋n2－6,2)＝eq \f(（m＋n）2－2mn－6,2)＝eq \f(15,2)，所以|OP|＝eq \f(\r(30),2).
方法二 依题意a＝3，b＝eq \r(6)，c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(3).
如图（图同方法一），设点P的坐标为（x0，y0），α＝∠F1PF2，
则cs∠F1PF2＝csα＝eq \f(3,5)，
故sin∠F1PF2＝sinα＝eq \f(2sin\f(α,2)cs\f(α,2),sin2\f(α,2)＋cs2\f(α,2))＝eq \f(2tan\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))＝eq \f(4,5)，则taneq \f(α,2)＝eq \f(1,2)或taneq \f(α,2)＝2（舍去）.
故△F1PF2的面积＝b2taneq \f(α,2)＝6×eq \f(1,2)＝3.
又＝eq \f(1,2)×2c|y0|＝eq \r(3)|y0|，
故y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝3，又eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,9)＋eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,6)＝1，
所以x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝eq \f(9,2)，|OP|2＝x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝eq \f(15,2)，|OP|＝eq \f(\r(30),2).
方法三 依题意a＝3，b＝eq \r(6)，c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(3).
如图（图同方法一），设点P的坐标为（x0，y0），利用焦点三角形面积公式知＝eq \f(b2sinα,1＋csα).
因为cs∠F1PF2＝eq \f(3,5)，所以sin∠F1PF2＝eq \f(4,5)，故＝eq \f(6×\f(4,5),1＋\f(3,5))＝3.又＝eq \f(1,2)×2c|y0|＝eq \r(3)|y0|，故y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝3，
又eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,9)＋eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,6)＝1，所以x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝eq \f(9,2)，|OP|2＝x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝eq \f(15,2)，|OP|＝eq \f(\r(30),2).
方法四 依题意a＝3，b＝eq \r(6)，c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(3).
如图（图同方法一），不妨令F1（－eq \r(3)，0），F2（eq \r(3)，0）.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cs∠F1PF2＝eq \f(m2＋n2－12,2mn)＝eq \f(3,5) ①，
由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6 ②.
由①②，解得mn＝eq \f(15,2).
因为eq \(PO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)（eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))），
所以|eq \(PO,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,4)（m2＋n2＋2mncs∠F1PF2）＝eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（m＋n）2－\f(4,5)mn))＝eq \f(15,2)，所以|OP|＝eq \f(\r(30),2).
4．B ∵PF的中点到y轴的距离为3，
∴eq \f(xP＋|OF|,2)＝3，即eq \f(xP＋2,2)＝3，解得xP＝4，
代入抛物线方程可得P（4，4eq \r(2)），
因为F点的坐标为（2，0），所以直线PF的斜率为eq \f(4\r(2)－0,4－2)＝2eq \r(2).
故选B.
5．B 作BB1垂直准线于B1，在Rt△BCB1中，cs∠CBB1＝eq \f(|BB1|,|BC|)＝eq \f(|BF|,|BC|)＝eq \f(1,3)，sin∠CBB1＝eq \r(1－\f(1,9))＝eq \f(2\r(2),3)，所以tan∠CBB1＝2eq \r(2)，所以直线AB的斜率为2eq \r(2).故选B.
6．D 设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0），由点A，B在双曲线上，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,9)＝1,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) －\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,9)＝1))，两式作差，得x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,9)，即（x1－x2）（x1＋x2）＝eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,9)，化简得eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,（x1－x2）（x1＋x2）)＝9，即eq \f(y1－y2,x1－x2)·eq \f(\f(y1＋y2,2),\f(x1＋x2,2))＝kAB·eq \f(y0,x0)＝9，因此kAB＝9·eq \f(x0,y0).
由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．对于A选项，因为kAB＝9×eq \f(1,1)＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为kAB＝9×eq \f(－1,2)＝－eq \f(9,2)＜－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C选项，kAB＝9×eq \f(1,3)＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x平行，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D选项，因为kAB＝9×eq \f(－1,－4)＝eq \f(9,4)0），B（x2，y2）（y2>0），由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1,x2＝4y))，消去x，得y2－（4k2＋2）y＋1＝0，Δ>0，所以y1y2＝1 ①
因为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(7,2)))，所以|PF|＝1＋eq \f(7,2)＝eq \f(9,2).
由抛物线的定义，知|BF|＝y2＋1.
因为PB⊥AB，所以△PBF为直角三角形，所以|BF|2＋|BP|2＝|PF|2，即（y2＋1）2＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋（y2＋eq \f(7,2)）2＝eq \f(81,4)，即（y2＋1）2＋4y2＋（y2＋eq \f(7,2)）2＝eq \f(81,4)，得y2＝eq \f(1,2)，代入①，解得y1＝2，所以|AF|＝y1＋1＝2＋1＝3，故选D.
解法二 由题意，知F（0，1），直线AB的斜率存在且不为0.
设直线AB的方程为y＝kx＋1（k≠0），A（x1，y1）（y1>0），B（x2，y2）（y2>0），由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1,x2＝4y))，消去x，得y2－（4k2＋2）y＋1＝0，所以y1y2＝1，所以x1x2＝－4eq \r(y1y2) ①
因为PB⊥AB，所以eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，即（x2，y2＋eq \f(7,2)）·（x2－x1，y2－y1）＝0，结合①整理，得2y eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)) ＋15y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋6y2－7＝0，即（y2＋7）（y2＋1）（2y2－1）＝0，得y2＝eq \f(1,2)，所以y1＝2，所以|AF|＝y1＋1＝2＋1＝3，故选D.
8．A 由eq \f(eq \(OF1,\s\up6(→))·\(OP,\s\up6(→)),|\(OP,\s\up6(→))|)＋eq \f(eq \(F1P,\s\up6(→))·\(OP,\s\up6(→)),|\(OP,\s\up6(→))|)＝eq \f(（eq \(OF1,\s\up6(→))＋eq \(F1P,\s\up6(→))）·\(OP,\s\up6(→)),|\(OP,\s\up6(→))|)＝eq \f(\(OP,\s\up6(→))·\(OP,\s\up6(→)),|\(OP,\s\up6(→))|)＝|eq \(OP,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，
不妨设F1（－2eq \r(3)，0），F2（2eq \r(3)，0），
所以|OP|＝eq \f(1,2)|F1F2|，所以点P在以F1F2为直径的圆上，
即△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形，
故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝48.
又|PF1|－|PF2|＝2a＝4，
所以16＝（|PF1|－|PF2|）2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝48－2|PF1||PF2|，
解得：|PF1||PF2|＝16，
所以＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|＝8.
故选A.
9．C 当点P为短轴上的顶点时，∠F1PF2最大，要使eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))>0恒成立，则∠F1PF2为锐角，即∠F1PO