统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷一客观题专练13解析几何理（附解析）

这是一份统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷一客观题专练13解析几何理（附解析），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．已知A(－2，0)，B(4，a)两点到直线l：3x－4y＋1＝0的距离相等，则a＝( )
A．2B．eq \f(9,2)C．2或－8D．2或eq \f(9,2)
2．双曲线x2－2y2＝2的焦点坐标为( )
A．(±1，0) B．(±eq \r(3)，0) C．(0，±1) D．(0，±eq \r(3))
3．已知直线l：y＝x被圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝r2(r>0)截得的弦长为2，则r＝( )
A．eq \r(3)B．eq \r(6)C．3D．4
4.
美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的eq \f(1,3)，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为( )
A．eq \f(5\r(2),4)B．eq \f(7\r(2),4)C．eq \f(9\r(2),4)D．eq \f(11\r(2),4)
5．已知圆C：(x－1)2＋y2＝4与抛物线y＝ax2(a>0)的准线相切，则a＝( )
A．eq \f(1,8)B．eq \f(1,4)C．4D．8
6．已知坐标原点O，直线l与圆x2＋(y－3)2＝1相切，直线l与圆x2＋y2＝eq \f(1,2)相交于M，N两点，eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝0，则l的斜率为( )
A．±eq \r(3)B．±eq \r(35)C．－eq \r(3)或－eq \r(35)D．±eq \r(3)或±eq \r(35)
7．[2023·全国甲卷(理)]已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(5)，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝( )
A．eq \f(\r(5),5)B．eq \f(2\r(5),5)C．eq \f(3\r(5),5)D．eq \f(4\r(5),5)
8．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作C的渐近线的垂线，垂足为点P，|PF1|＝eq \r(5)a，则C的离心率为( )
A．eq \r(5)B．2C．eq \r(3)D．eq \r(2)
9.
[2023·辽宁省五校协作体模拟]如图，过抛物线y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，点M是线段AB的中点，过M作y轴的垂线交抛物线于P点，记|AB|＝λ|FP|，则λ的值为( )
A．2B．4
C．6D．8
10．[2023·湘豫名校高三联考]已知O为直角坐标系的坐标原点，双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(b>a>0)上有一点P(eq \r(5)，m)(m>0)，点P在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点，过点P作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形PAOB的面积为eq \f(3,4)，则双曲线的标准方程是( )
A．x2－eq \f(y2,4)＝1B．eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1C．eq \f(x2,\f(1,2))－eq \f(y2,\f(9,2))＝1D．eq \f(x2,\f(3,2))－eq \f(y2,\f(7,2))＝1
11．返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0，2)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则下列选项错误的是( )

A．椭圆的长轴长为4eq \r(2)B．线段AB长度的取值范围是[4，2＋2eq \r(2)]
C．△ABF面积的最小值是4D．△AFG的周长为4＋4eq \r(2)
12．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的边长为2，M为CC1的中点，P为侧面BCC1B1上的动点，且满足AM∥平面A1BP，则下列结论错误的是( )
A．AM⊥B1M
B．CD1∥平面A1BP
C．AM与A1B1所成角的余弦值为eq \f(2,3)
D．动点P的轨迹长为eq \f(2\r(13),3)
[答题区]
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若直线l：x－my＋9＝0被圆C：x2＋y2＋2x－24＝0截得线段的长为6，则实数m的值为________．
14．已知函数f(x)＝xlnx－ax2＋x(a∈R)，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线l恒过定点________．
15．[2023·全国乙卷(理)]已知点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\r(5)))在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为________．
16．设F1，F2为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,16)＝1(a>0)的左、右焦点，点P为双曲线C上一点，|PF1|－|PF2|＝4，那么双曲线C的离心率为________．
解析几何（13）
1．D 因为A（－2，0），B（4，a）两点到直线l：3x－4y＋1＝0的距离相等，所以有eq \f(|3×（－2）＋0×（－4）＋1|,\r(32＋（－4）2))＝eq \f(|3×4－4a＋1|,\r(32＋（－4）2))⇒|13－4a|＝5⇒a＝2，或a＝eq \f(9,2)，故选D.
2．B 双曲线x2－2y2＝2，即eq \f(x2,2)－y2＝1，所以a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2＋b2＝3，即c＝eq \r(3)，所以焦点坐标为（±eq \r(3)，0）；故选B.
3．A 圆心到直线的距离d＝eq \f(|3－1|,\r(12＋12))＝eq \r(2)，弦长的一半为1，r＝eq \r(（\r(2)）2＋12)＝eq \r(3).故选A.
4．B 如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则A（eq \f(1,2)，4），B（－eq \f(3,2)，2），直线AB：eq \f(y－4,2－4)＝eq \f(x－\f(1,2),－\f(3,2)－\f(1,2))，整理为x－y＋eq \f(7,2)＝0，原点O到直线距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(7,2))),\r(1＋1))＝eq \f(7\r(2),4)，故选B.
5．A 因为圆C：（x－1）2＋y2＝4的圆心为（1，0），半径为r＝2，抛物线y＝ax2（a>0）的准线为y＝－eq \f(1,4a)，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4a)))＝2，即a＝eq \f(1,8)，故选A.
6．D 当直线l的斜率不存在时，由直线l与圆x2＋（y－3）2＝1相切可得直线l的方程为x＝±1，此时直线l与圆x2＋y2＝eq \f(1,2)相离，故不满足；当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0，因为直线l与圆x2＋（y－3）2＝1相切，所以eq \f(|m－3|,\r(1＋k2))＝1 ①，因为直线l与圆x2＋y2＝eq \f(1,2)相交于M，N两点，eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝0，所以OM⊥ON，所以圆心O到直线l的距离为eq \f(1,2)，即eq \f(|m|,\r(1＋k2))＝eq \f(1,2) ②，由①②可解得m＝－3或m＝1，k＝±eq \r(35)或k＝±eq \r(3)，故选D.
7．D 根据双曲线的离心率e＝eq \r(5)＝eq \f(c,a)，得c＝eq \r(5)a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，eq \f(b2,a2)＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交．
方法一 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x，,（x－2）2＋（y－3）2＝1))，得5x2－16x＋12＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝eq \f(16,5)，x1x2＝eq \f(12,5).所以|AB|＝eq \r(1＋22)|x1－x2|＝eq \r(5)eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)))\s\up12(2)－4×\f(12,5))＝eq \f(4\r(5),5)，故选D.
方法二 则圆心（2，3）到渐近线y＝2x的距离d＝eq \f(|2×2－3|,\r(22＋（－1）2))＝eq \f(\r(5),5)，所以|AB|＝2eq \r(1－d2)＝2eq \r(1－（\f(\r(5),5)）2)＝eq \f(4\r(5),5)，故选D.
8．D 由题意得F2（c，0）到一条渐近线bx－ay＝0的距离为|PF2|＝eq \f(|bc|,\r(b2＋a2))＝b，则|OP|＝a，cs∠PF2O＝eq \f(b,c)，在△F1PF2中，由余弦定理得|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2－2|PF2|·|F1F2|cs∠PF2O，即5a2＝b2＋4c2－2b·2c·eq \f(b,c)，得5a2＝4c2－3（c2－a2），则离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2)，故选D.
9．B 解法一 依题意，F（1，0），设直线l的方程为x＝my＋1，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝4x,x＝my＋1))消去x，得y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16>0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2＝－4，y1＋y2＝4m，x1＋x2＝m（y1＋y2）＋2＝4m2＋2，则eq \f(x1＋x2,2)＝2m2＋1，eq \f(y1＋y2,2)＝2m，因为M为线段AB的中点，所以M（2m2＋1，2m）.
设P（x0，2m），因为点P在抛物线上，所以4m2＝4x0，即x0＝m2，所以P（m2，2m）.
由抛物线的定义可得，|PF|＝m2＋1，|AB|＝x1＋x2＋2＝4m2＋2＋2＝4m2＋4，所以λ＝eq \f(|AB|,|FP|)＝eq \f(4m2＋4,m2＋1)＝4，故选B.
解法二 不妨设直线AB⊥x轴，因为AB过焦点F，所以|AB|＝4，此时点M即焦点F，点P即原点O，所以|FP|＝1，所以λ＝eq \f(|AB|,|FP|)＝eq \f(4,1)＝4，故选B.
10．C 据题意，双曲线的半焦距c＝eq \r(5)，可设一条平行线方程为y－m＝－eq \f(b,a)（x－eq \r(5)），由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(y＝\f(b,a)x,y＝m－\f(b,a)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\r(5))))))，解得xA＝eq \f(am＋\r(5)b,2b)，则|OA|＝eq \r(1＋\f(b2,a2))eq \f(ma＋\r(5)b,2b)，又点P到直线y＝eq \f(b,a)x的距离d＝eq \f(|\r(5)b－am|,\r(a2＋b2))，
∴eq \r(1＋\f(b2,a2))eq \f(ma＋\r(5)b,2b)·eq \f(|\r(5)b－ma|,\r(a2＋b2))＝eq \f(|5b2－m2a2|,2ab)＝eq \f(3,4)，
又eq \f(5,a2)－eq \f(m2,b2)＝1⇒5b2－a2m2＝a2b2，∴ab＝eq \f(3,2)，又c＝eq \r(5)，解得a＝eq \f(\r(2),2)，b＝eq \f(3\r(2),2)，所以双曲线的标准方程是eq \f(x2,\f(1,2))－eq \f(y2,\f(9,2))＝1，故选C.
11．C
由题知，椭圆中的几何量b＝c＝2，得a＝2eq \r(2)，则2a＝4eq \r(2)，A正确；AB＝OB＋OA＝2＋OA，由椭圆性质可知2≤OA≤2eq \r(2)，所以4≤AB≤2＋2eq \r(2)，B正确；记∠AOF＝θ，则S△ABF＝S△AOF＋S△OBF＝eq \f(1,2)OA·OFsinθ＋eq \f(1,2)OB·OFsin（π－θ）＝OAsinθ＋2sinθ＝（OA＋2）sinθ，取θ＝eq \f(π,6)，则S△ABF＝1＋eq \f(1,2)OA≤1＋eq \f(1,2)×2eq \r(2)<4，C错误；由椭圆定义知，AF＋AG＝2a＝4eq \r(2)，所以△AFG的周长L＝FG＋4eq \r(2)＝4＋4eq \r(2)，D正确．故选C.
12．A
如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则A（0，0，2），A1（0，2，2），B（0，0，0），M（2，1，0），P（x，y，0），
所以eq \(A1B,\s\up6(→))＝（0，－2，－2），eq \(BP,\s\up6(→))＝（x，y，0），eq \(AM,\s\up6(→))＝（2，1，－2），
由AM∥平面A1BP，得eq \(AM,\s\up6(→))＝aeq \(A1B,\s\up6(→))＋beq \(BP,\s\up6(→))，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0＋bx＝2,－2a＋by＝1,－2a＝－2))，
化简可得：3x－2y＝0，
所以动点P在直线3x－2y＝0上，
对于选项A：eq \(AM,\s\up6(→))＝（2，1，－2），eq \(B1M,\s\up6(→))＝（2，－1，0），eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(B1M,\s\up6(→))＝2×2＋1×（－1）＋（－2）×0＝3≠0，所以eq \(AM,\s\up6(→))与eq \(B1M,\s\up6(→))不垂直，所以A选项错误；
对于选项B：CD1∥A1B，A1B⊂平面A1BP，CD1⊄平面A1BP，所以CD1∥平面A1BP，B选项正确；
对于选项C：eq \(A1B1,\s\up6(→))＝（0，0，－2），cs〈eq \(AM,\s\up6(→))，eq \(A1B1,\s\up6(→))〉＝eq \f(4,2\r(22＋12＋（－2）2))＝eq \f(2,3)，C选项正确；
对于选项D：动点P在直线3x－2y＝0上，且P为侧面BCC1B1上的动点，则P在线段P1B上，P1（eq \f(4,3)，2，0），所以P1B＝eq \r(（\f(4,3)）2＋22＋02)＝eq \f(2\r(13),3)，D选项正确；故选A.
13．答案：±eq \r(3)
解析：圆C：x2＋y2＋2x－24＝0⇒（x＋1）2＋y2＝25的圆心坐标为（－1，0），半径为5，圆心（－1，0）到直线l：x－my＋9＝0的距离d＝eq \f(|1×（－1）＋（－m）×0＋9|,\r(1＋（－m）2))＝eq \f(8,\r(1＋m2)).
据题意，得（eq \f(8,\r(1＋m2))）2＋（eq \f(6,2)）2＝52，解得m＝±eq \r(3).
14．答案：（eq \f(1,2)，0）
解析：函数f（x）＝xlnx－ax2＋x（a∈R）的定义域为（0，＋∞），
由f（x）＝xlnx－ax2＋x，得f′（x）＝lnx＋2－2ax，则f′（1）＝2－2a.
又f（1）＝1－a，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线l的方程为y－（1－a）＝2（1－a）（x－1），
即y＝2（1－a）（x－eq \f(1,2)），由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)＝0,y＝0))可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2),y＝0))，
所以直线l恒过定点（eq \f(1,2)，0）.
15．答案：eq \f(9,4)
解析：将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，于是y2＝5x，则抛物线的准线方程为x＝－eq \f(5,4)，所以A到准线的距离为1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)))＝eq \f(9,4).
16．答案：eq \r(5)
解析：由题意|PF1|－|PF2|＝2a＝4，则a＝2，又a2＋b2＝c2，则c＝2eq \r(5)，所以双曲线C的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5).题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案