统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷一客观题专练16概率理（附解析）

这是一份统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷一客观题专练16概率理（附解析），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
2．5G指的是第五代移动通信技术，是最新一代蜂窝移动通信技术．某公司研发5G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.8，乙部门攻克该技术难题的概率为0.7，则该公司攻克这项技术难题的概率为( )
A．0.56B．0.86C．0.94D．0.96
3．[2023·湖南衡阳市高三一模]二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,x)))eq \s\up12(6)的展开式中常数项为－20，则含x4项的系数为( )
A．－6B．－15C．6D．15
4．[2023·全国甲卷(理)]某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为( )
A．0.8B．0.6C．0.5D．0.4
5.
[2023·全国高三专题练习]如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，已知BC＝2，AC＝4，在△ABC内任取一点，则此点取自正方形DEFC内的概率为( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(5,9)
C．eq \f(2,9)D．eq \f(4,9)
6．[2023·全国甲卷(理)]现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有( )
A．120种B．60种C．30种D．20种
7．[2023·湖北省荆门高三联考]若(x－eq \f(a,\r(3,x)))8的展开式中x4的系数为7，则展开式的常数项为( )
A．eq \f(7,16)B．eq \f(1,2)C．－eq \f(7,16)D．－eq \f(1,2)
8．[2023·全国高三月考]《易经》是中国文化中的精髓，下图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有1根阳线和2根阴线的概率为( )
A．eq \f(1,8)B．eq \f(1,4)C．eq \f(3,8)D．eq \f(1,2)
9.
祖冲之是中国南北朝时期的著名的数学家，其最伟大的贡献是将圆周率精确到小数点之后的七位，比欧洲早了近千年．为探究圆周率的计算，数学兴趣小组采用以下模型，在正三角形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估算圆周率π的值．正三角形的边长为4，若总豆子数n＝1000，其中落在圆内的豆子数m＝618，则估算圆周率π的值是(为方便计算eq \r(3)取1.70，结果精确到0.01)( )
A．3.13B．3.14C．3.15D．3.16
10．[2023·黄冈中学、华师附中等八校联考]如图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中乙中的两个数字被污损，且已知甲、乙两人在5次综合测评中的成绩的中位数相等，则乙的平均成绩低于甲的平均成绩的概率为( )
A.eq \f(2,9)B．eq \f(1,5)C．eq \f(3,10)D．eq \f(1,3)
11．[2023·全国乙卷(理)]甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A．30种B．60种C．120种D．240种
12．[2023·贵州黔东南苗族侗族自治州模拟]数学家阿基米德建立了这样的理论：“任何由直线与抛物线所围成的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．”如图，直线y＝2与抛物线x2＝4y交于M、N两点，M、N两点在x轴上的射影分别为A、B，从长方形ABNM内任取一点，则该点落在阴影部分的概率为( )
A．eq \f(1,5)B．eq \f(1,3)C．eq \f(2,5)D．eq \f(1,2)
[答题区]
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．[2023·辽宁省六校高三期中联考]将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，清华大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有________种．
14．[2023·百校联盟高三教学质量考试]张老师每天晚上20：05－20：50时间段通过班级群直播的形式为学生们在线答疑，某天一位高三学生在19：00至20：30之间的某个时刻加入群聊，则他等待直播的时间不超过30分钟的概率是________．
15．[2023·福建省漳州市高三质检]已知二项式(2xeq \r(x)－eq \f(1,\r(x)))n的展开式的二项式的系数和为256，则展开式的常数项为________．
16.
[2023·四川省眉山市仁寿一中高三模拟]太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y＝3sineq \f(π,4)x的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图所示).其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________．
概率（16）
1．B 由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.
故选B.
2．C 设事件A表示“甲部门攻克该技术难题”，事件B表示“乙部门攻克该技术难题”，
P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，
则该公司攻克这项技术难题的概率为：
P＝1－（1－P（A））（1－P（B））＝1－0.2×0.3＝0.94，故选C.
3．A 二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,x)))eq \s\up12(6)的展开式的通项公式为Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(6)) x6－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,x)))eq \s\up12(r)＝（－a）rC eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(6)) x6－2r
当r＝3时，为常数项．则C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) （－a）3＝－20⇒a＝1，
令6－2r＝4，得r＝1，所以含x4项的系数C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) （－1）1＝－6.
故选A.
4．A
方法一 如图，左圆表示爱好滑冰的学生所占比例，右圆表示爱好滑雪的学生所占比例，A表示爱好滑冰且不爱好滑雪的学生所占比例，B表示既爱好滑冰又爱好滑雪的学生所占比例，C表示爱好滑雪且不爱好滑冰的学生所占比例，则0.6＋0.5－B＝0.7，所以B＝0.4，C＝0.5－0.4＝0.1.所以若该学生爱好滑雪，则他也爱好滑冰的概率为eq \f(B,B＋C)＝eq \f(0.4,0.5)＝0.8，故选A.
方法二 令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则P（A）＝0.6，P（B）＝0.5，P（AB）＝P（A）＋P（B）－0.7＝0.4，所以P（C）＝P（A|B）＝eq \f(P（AB）,P（B）)＝eq \f(0.4,0.5)＝0.8，故选A.
5．D ∵tanB＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(4,2)＝2，∴tanB＝eq \f(EF,FB)＝2，EF＝2FB＝2（BC－EF）＝2（2－EF），解得EF＝eq \f(4,3)，
∴S△ACB＝eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)×4×2＝4，S四边形DEFC＝eq \f(4,3)×eq \f(4,3)＝eq \f(16,9)，
根据几何概型P＝eq \f(\f(16,9),4)＝eq \f(4,9).
故选D.
6．B 先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) 种方式；再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日，有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) 种安排方式．所以不同的安排方式共有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) ·A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝60（种）.故选B.
7．A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,\r(3,x))))eq \s\up12(8)的二项展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(8)) x8－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,\r(3,x))))eq \s\up12(r)＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(8)) （－a）rx8－eq \f(4,3)r，
令8－eq \f(4,3)r＝4，解得r＝3，所以x4的系数为C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) （－a）3＝7，解得a＝－eq \f(1,2)，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,\r(3,x))))eq \s\up12(8)的二项展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(8)) x8－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2\r(3,x))))eq \s\up12(r)＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(8)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(r)x8－eq \f(4,3)r，
令8－eq \f(4,3)r＝0，解得r＝6，所以展开式的常数项为C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(8)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(6)＝eq \f(7,16)，故选A.
8．C 从八卦中任取一卦，基本事件有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(8)) ＝8种，
其中恰有1根阳线和2根阴线，基本事件共有3种，
∴从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有1根阳线和2根阴线的概率为p＝eq \f(3,8).
故选C.
9．C 由题意可得，S正三角形＝4eq \r(3)，内切圆的半径r内＝eq \f(2\r(3),3)，S内切圆＝eq \f(4π,3)，
则eq \f(S内切圆,S正三角形)＝eq \f(\f(4π,3),4\r(3))＝eq \f(618,1000)，π＝3.1518≈3.15.
故选C.
10．A 由已知得甲的成绩从小到大为84，86，91，98，98，其中位数为91，平均成绩eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(84＋86＋91＋98＋98,5)＝eq \f(457,5)，因为甲、乙两人5次综合测评的成绩的中位数相等，所以乙的成绩的中位数也是91，两个被污损的数字其中一个必为1，另一个不小于1，不妨设该数字为a（a∈N，1≤a≤9），当乙的平均成绩低于甲的平均成绩时，eq \f(457,5)>eq \f(86＋88＋91＋90＋a＋99,5)，所以a<3，即1≤a<3（a∈N），所以乙的平均成绩低于甲的平均成绩的概率P＝eq \f(2,9)，故选A.
11．C 甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) ＝6（种）情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ＝20（种）情况，由分步乘法计数原理可得共有6×20＝120（种）选法，故选C.
12．B 由题可知，M（－2eq \r(2)，2），N（2eq \r(2)，2），
∴SABNM＝2×4eq \r(2)＝8eq \r(2)，
由阿基米德理论可知：
弓形面积为S弓＝eq \f(4,3)×eq \f(1,2)×4eq \r(2)×2＝eq \f(16\r(2),3)，
S阴＝8eq \r(2)－eq \f(16\r(2),3)＝eq \f(8\r(2),3)，
∴概率P＝eq \f(S阴,SABNM)＝eq \f(\f(8\r(2),3),8\r(2))＝eq \f(1,3).
故选B.
13．答案：150
解析：当5名学生分成2，2，1或3，1，1两种形式，
当5名学生分成2，2，1时，共有eq \f(1,2)C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝90种结果，
当5名学生分成3，1，1时，共有eq \f(1,2)C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝60种结果，
∴根据分类计数原理知共有90＋60＝150种．
14．答案：eq \f(11,18)
解析：由题意可知，该学生在19：00至20：30之间加入群聊，其时间长度为90分钟．该学生等待直播的时间不超过30分钟，则应该在19：35至20：30之间的任意时刻加入，区间长度为55.由测度比为长度比，可知他等待直播的时间不超过30分钟的概率是eq \f(55,90)＝eq \f(11,18).
15．答案：112
解析：二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x\r(x)－\f(1,\r(x))))eq \s\up12(n)的展开式的二项式的系数和为256，可得2n＝256，解得n＝8，
则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x\r(x)－\f(1,\r(x))))eq \s\up12(n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x\r(x)－\f(1,\r(x))))eq \s\up12(8)展开式的通项为Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(8)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x\s\up6(\f(3,2))))eq \s\up12(8－r)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(x))))eq \s\up12(r)＝（－1）rC eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(8)) 28－r·xeq \f(3,2)（8－r）－eq \f(r,2)（r＝0，1，2，3，…，8），
令eq \f(3,2)（8－r）－eq \f(r,2)＝0，解得r＝6，
可得常数项为C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(8)) 22＝112.
16．答案：eq \f(1,8)
解析：依题意，大圆的直径为y＝3sineq \f(π,4)x的最小正周期T＝eq \f(2π,\f(π,4))＝8，
所以大圆的面积S＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,2)))eq \s\up12(2)＝16π.
又一个小圆的面积S0＝π×12＝π.
故所求事件的概率P＝eq \f(2S0,S)＝eq \f(2π,16π)＝eq \f(1,8).题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案