统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷二主观题专练1平面向量三角函数与解三角形文（附解析）

这是一份统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷二主观题专练1平面向量三角函数与解三角形文（附解析），共7页。


(1)求函数f(x)的解析式；
(2)将函数f(x)的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，得到g(x)的图象，求函数g(x)在[0，eq \f(π,2)]上的最值并求出相应x的值．
2．[2023·安徽省定远县育才学校模拟]已知函数f(x)＝eq \f(1,2)sin2xsinφ＋cs2xcsφ－eq \f(1,2)sin (eq \f(π,2)＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(eq \f(π,6)，eq \f(1,2)).
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在[0，eq \f(π,4)]上的最大值和最小值．
3．[2023·吉林模拟预测(文)]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB＝bsin (A＋eq \f(π,3)).
(1)求角A的大小；
(2)若AB＝3，AC＝1，∠BAC的内角平分线交BC于点D，求AD.
4．[2023·山西太原三模(文)]已知锐角△ABC中，sin (A＋B)＝eq \f(7\r(2),10)，sin (A－B)＝eq \f(\r(2),10).
(1)求eq \f(tanA,tanB)；
(2)若AB＝7，求△ABC的面积S.
5．[2023·黑龙江齐齐哈尔三模(文)]已知△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，若eq \r(3)bcsC＋eq \r(3)ccsB＝2acsA.
(1)求A；
(2)若b＝4，c＝eq \r(3)，求sin (B－C)的值．
6．[2023·安徽巢湖市第一中学模拟(文)]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝eq \r(10)，c＝2，B＝eq \f(π,4).
(1)求△ABC的面积；
(2)若点M在线段AC上，且tan∠AMB＝eq \f(3,2)，求tan∠MBC的值．
平面向量、三角函数与解三角形（1）
1．解析：（1）由图象可知A＝2，eq \f(3,4)T＝eq \f(11π,12)－eq \f(π,6)＝eq \f(3π,4)，所以T＝eq \f(2π,ω)＝π，ω＝2，
所以f（x）＝2sin（2x＋φ），将（eq \f(π,6)，2）代入可得eq \f(π,3)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ（k∈Z），φ＝eq \f(π,6)，
所以f（x）＝2sin（2x＋eq \f(π,6)）.
（2）g（x）＝2sin [2（x＋eq \f(π,3)）＋eq \f(π,6)]＝2sin（2x＋eq \f(5π,6)），
因为x∈[0，eq \f(π,2)]，所以2x＋eq \f(5π,6)∈[eq \f(5π,6)，eq \f(11π,6)]，
当2x＋eq \f(5π,6)＝eq \f(5π,6)，即x＝0，g（x）max＝1；
当2x＋eq \f(5π,6)＝eq \f(3π,2)，即x＝eq \f(π,3)，g（x）min＝－2.
2．解析：（1）因为f（x）＝eq \f(1,2)sin2xsinφ＋cs2xcsφ－eq \f(1,2)sin（eq \f(π,2)＋φ）（0<φ<π），
所以f（x）＝eq \f(1,2)sin2xsinφ＋eq \f(1＋cs2x,2)csφ－eq \f(1,2)csφ＝eq \f(1,2)sin2xsinφ＋eq \f(1,2)cs2xcsφ＝eq \f(1,2)（sin2xsinφ＋cs2xcsφ）＝eq \f(1,2)cs（2x－φ）.
又函数图象过点（eq \f(π,6)，eq \f(1,2)），所以eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)cs（2×eq \f(π,6)－φ），即cs（eq \f(π,3)－φ）＝1.
又0<φ<π，所以φ＝eq \f(π,3).
（2）由（1）知，f（x）＝eq \f(1,2)cs（2x－eq \f(π,3)），
将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，可知g（x）＝eq \f(1,2)cs（4x－eq \f(π,3)），
因为x∈[0，eq \f(π,4)]，所以4x∈[0，π]，
因此4x－eq \f(π,3)∈[－eq \f(π,3)，eq \f(2π,3)]，故－eq \f(1,2)≤cs（4x－eq \f(π,3)）≤1.
所以－eq \f(1,4)≤eq \f(1,2)cs（4x－eq \f(π,3)）≤eq \f(1,2)，
所以y＝g（x）在[0，eq \f(π,4)]上的最大值和最小值分别为eq \f(1,2)和－eq \f(1,4).
3．解析：（1）∵asinB＝bsin（A＋eq \f(π,3)），
由正弦定理得sinAsinB＝sinBsin（A＋eq \f(π,3)），
∵B∈（0，π），∴sinB≠0，∴sinA＝sin（A＋eq \f(π,3)），∴sinA＝eq \f(1,2)sinA＋eq \f(\r(3),2)csA，
即eq \f(1,2)sinA＝eq \f(\r(3),2)csA，∴tanA＝eq \r(3)，∵A∈（0，π），∴A＝eq \f(π,3).
（2）方法一：∵S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，
∴eq \f(1,2)AB·AC·sin∠BAC＝eq \f(1,2)AB·AD·sin∠BAD＋eq \f(1,2)AD·AC·sin∠DAC，
∴eq \f(1,2)×3×1×sineq \f(π,3)＝eq \f(1,2)×3×AD×sineq \f(π,6)＋eq \f(1,2)×AD×1×sineq \f(π,6)，∴AD＝eq \f(3\r(3),4).
方法二：在△ABC中，由余弦定理：
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs∠BAC＝32＋12－2×3×1×cseq \f(π,3)＝7，∴BC＝eq \r(7).
在△ABD中，由正弦定理，eq \f(BD,sin∠BAD)＝eq \f(AB,sin∠ADB)，
在△ADC中，由正弦定理，eq \f(DC,sin∠DAC)＝eq \f(AC,sin∠ADC)，
∵sin∠BAD＝sin∠DAC，sin∠ADB＝sin∠ADC，∴eq \f(BD,DC)＝eq \f(AB,AC)＝eq \f(3,1)，∴DC＝eq \f(\r(7),4).
在△ADC中，由余弦定理：DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cs∠DAC，
设AD＝x，则eq \f(7,16)＝x2＋1－2x·eq \f(\r(3),2)，即x2－eq \r(3)x＋eq \f(9,16)＝0，解得x＝eq \f(3\r(3),4)或eq \f(\r(3),4).
△ABC中，由余弦定理：csC<0，∴C是钝角．
在△ADC中，AD>AC，∴AD＝eq \f(3\r(3),4).
方法三：在△ABD中，由正弦定理，eq \f(BD,sin∠BAD)＝eq \f(AB,sin∠ADB)，
在△ADC中，由正弦定理，eq \f(DC,sin∠DAC)＝eq \f(AC,sin∠ADC)，
∵sin∠BAD＝sin∠DAC，sin∠ADB＝sin∠ADC，∴eq \f(BD,DC)＝eq \f(AB,AC)＝eq \f(3,1).
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)（eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))）＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
∴|eq \(AD,\s\up6(→))|2＝（eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))）2＝eq \f(1,16)|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋eq \f(9,16)|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋eq \f(3,8)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,16)×9＋eq \f(9,16)×1＋eq \f(3,8)×3×1×eq \f(1,2)＝eq \f(27,16)，
∴AD＝eq \f(3\r(3),4).
4．解析：（1）因为sin（A＋B）＝eq \f(7\r(2),10)，sin（A－B）＝eq \f(\r(2),10)，
所以sinAcsB＋csAsinB＝eq \f(7\r(2),10)， ①
sinAcsB－csAsinB＝eq \f(\r(2),10)， ②
联立①②，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sinAcsB＝\f(2\r(2),5),csAsinB＝\f(3\r(2),10)))，所以eq \f(tanA,tanB)＝eq \f(sinAcsB,csAsinB)＝eq \f(4,3).
（2）由正弦定理得eq \f(BC,sinA)＝eq \f(AC,sinB)＝eq \f(AB,sinC)＝eq \f(7,\f(7\r(2),10))＝5eq \r(2)，
∴BC＝5eq \r(2)sinA，AC＝5eq \r(2)sinB，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BCsinC＝eq \f(35\r(2),2)sinAsinB.
又∵在锐角△ABC中，由sin（A＋B）＝eq \f(7\r(2),10)，sin（A－B）＝eq \f(\r(2),10)，
所以cs（A＋B）＝－eq \f(\r(2),10)，cs（A－B）＝eq \f(7\r(2),10)，
∴csAcsB＋sinAsinB＝eq \f(7\r(2),10)，csAcsB－sinAsinB＝－eq \f(\r(2),10)；
∴sinAsinB＝eq \f(2\r(2),5)，∴S△ABC＝eq \f(35\r(2),2)·eq \f(2\r(2),5)＝14.
5．解析：（1）∵eq \r(3)bcsC＋eq \r(3)ccsB＝2acsA，
∴由正弦定理可知eq \r(3)sinBcsC＋eq \r(3)sinCcsB＝2sinAcsA.
∴eq \r(3)sin（B＋C）＝2sinAcsA，∴eq \r(3)sinA＝2sinAcsA.
又∵A∈（0，π），∴sinA≠0，∴csA＝eq \f(\r(3),2)，∴A＝eq \f(π,6).
（2）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccsA＝16＋3－2×4×eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝7，即a＝eq \r(7)，
∴csB＝eq \f(3＋7－16,2×\r(3)×\r(7))＝－eq \f(\r(21),7)，sinB＝eq \r(1－cs2B)＝eq \f(2\r(7),7)，
∴csC＝eq \f(7＋16－3,2×4×\r(7))＝eq \f(5\r(7),14)，sinC＝eq \r(1－cs2C)＝eq \f(\r(21),14).
∴sin（B－C）＝sinBcsC－csBsinC＝eq \f(2\r(7),7)×eq \f(5\r(7),14)＋eq \f(\r(21),7)×eq \f(\r(21),14)＝eq \f(13,14).
6．解析：（1）在△ABC中，由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accsB，
即a2－2eq \r(2)a－6＝0，解得a＝3eq \r(2)（负值已舍去），
∴△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsinB＝eq \f(1,2)×2×3eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝3.
（2）在△ABC中，由正弦定理得，eq \f(c,sinC)＝eq \f(b,sinB)，∴sinC＝eq \f(c·sinB,b)＝eq \f(2·\f(\r(2),2),\r(10))＝eq \f(\r(5),5)，
又c∵∠MBC＝∠AMB－∠C，
∴tan∠MBC＝tan（∠AMB－∠C）＝eq \f(tan∠AMB－tanC,1＋tan∠AMB·tanC)＝eq \f(\f(3,2)－\f(1,2),1＋\f(3,2)×\f(1,2))＝eq \f(4,7).