统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷二主观题专练8概率与统计理（附解析）

这是一份统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷二主观题专练8概率与统计理（附解析），共10页。

参考数据：
表中ti＝lnxi，zi＝lnyi(i＝1，2，…，10).
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝cxd，哪一个适宜作为粮食亩产量y关于每亩化肥施用量x的回归方程(给出判断即可，不必说明理由)；
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；并预测每亩化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量y的值；(e≈2.7)
(3)通过文献可知，当化肥施用量达到一定程度，粮食产量的增长将趋于停滞，所以需提升化肥的有效利用率，经统计得，化肥有效利用率Z～N(0.54，0.022)，那么这种化肥的有效利用率超过56%的概率为多少？
附：①对于一组数据(ui，vi)(i＝1，2，3，…，n)，其回归直线eq \(v,\s\up6(^))＝eq \(β,\s\up6(^))u＋eq \(α,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq \(β,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,u)ivi－n\(u,\s\up6(－))\(v,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,u) eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) －n\(u,\s\up6(－))2)，eq \(α,\s\up6(^))＝eq \(v,\s\up6(－))－eq \(β,\s\up6(^))eq \(u,\s\up6(－))；②若随机变量Z～N(μ，σ2)，则有P(μ－σ2．[2023·贵州贵阳二模]重剑是击剑运动比赛项目之一．甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为eq \f(1,5)，甲赢丙的概率为eq \f(1,4)，丙赢乙的概率为eq \f(1,3).因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者(甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛)，每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束．
(1)若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；
(2)请帮助甲进行第一局的决策(甲乙、甲丙或乙丙比赛)，使得甲最终获得冠军的概率最大．
3．[2023·黑龙江齐齐哈尔三模]某校从甲、乙两个班级所有学生中分别随机抽取8名学生，对他们的航天知识进行评分调查(满分100分)，被抽取的学生的评分结果如茎叶图所示：
(1)若分别从甲、乙两个班级被抽取的8名学生中各抽取1名，在已知两人中至少有一人评分不低于80分的条件下，求抽到的甲班级学生评分低于80分的概率；
(2)用样本的频率分布估计总体的概率分布，若从甲班级所有学生中，再随机抽取4名学生进行评分细节调查，记抽取的这4名学生中评分不低于90分的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．
4．[2023·全国甲卷(理)]一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g)．
(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望．
(2)试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15．2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6 35.635．8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7．8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(ⅰ)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表：
(ⅱ)根据(ⅰ)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：K2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，
5．[2023·宁夏吴忠中学三模]北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便．石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜，从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有A材料、B材料可供选择，研究人员对附着在A材料、B材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图．
(1)根据等高堆积条形图，填写如上列联表(单位：次)，判断试验结果与材料是否有关？如果有关，你有多大把握认为它们相关？
(2)研究人员得到石墨烯后．再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层．第一、二环节生产合格的概率均为eq \f(1,2)，第三环节生产合格的概率为eq \f(2,3)，且各生产环节相互独立．已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为3000元，其余环节修复费用均为1000元．试问如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？
附：K2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.
6．[2023·西藏林芝一中模拟预测]第二十届林芝桃花旅游文化节2023年3月28日正式拉开帷幕，以“人间净地·醉美林芝”为主题，组织开展了丰富多彩、特色鲜明的系列活动．某研究小组为了了解开幕式文艺演出时林芝市民的观看情况，从全市随机调查了50名市民(男女各25名)，统计到全程观看、部分观看和没有观看的人数如下表：
(1)求出表中x，y的值；根据表中统计的数据，完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为全程观看与性别有关？
(2)从没有观看的人中随机抽取2人进一步了解情况，计抽取的2人中男性人数为η，求η的分布列与数学期望；
附：K2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).
概率与统计（8）
1．解析：（1）根据散点图可知y与x的关系不是线性的关系，则y＝cxd更适宜．
（2）∵y＝cxd，∴lny＝dlnx＋lnc，令t＝lnx，z＝lny，
则z＝dt＋lnc，eq \(t,\s\up6(－))＝1.5，eq \(z,\s\up6(－))＝1.5，
∴d＝eq \f(\i\su(i＝1,10,t)izi－10×\(t,\s\up6(－))×\(z,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,10,t) eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) －10×\(t,\s\up6(－))2)＝eq \f(30.5－10×1.52,46.5－10×1.52)＝eq \f(1,3)，lnc＝eq \(z,\s\up6(－))－deq \(t,\s\up6(－))＝1，c＝e，
∴y＝exeq \f(1,3)，当x＝27时，y＝3e≈8.1（百公斤）.
（3）根据Z服从正态分布可知，
P（Z>0.56）＝eq \f(1－P（0.54－0.02∴这种化肥的有效利用率超过56%的概率为0.15865.
2．解析：（1）若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况：
①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，其概率为eq \f(2,3)×eq \f(1,5)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,30)；
②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，其概率为eq \f(1,3)×eq \f(1,4)×eq \f(1,5)＝eq \f(1,60).
所以“只进行三局甲就成为冠军”的概率为eq \f(1,30)＋eq \f(1,60)＝eq \f(1,20).
（2）若第一局甲乙比，甲获得冠军的情况有三种：甲乙比甲胜，甲丙比甲胜；甲乙比甲胜，甲丙比丙胜，乙丙比乙胜，甲乙比甲胜；甲乙比乙胜，乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，
所以甲能获得冠军的概率为eq \f(1,5)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,5)×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)×eq \f(1,5)＋eq \f(4,5)×eq \f(1,3)×eq \f(1,4)×eq \f(1,5)＝eq \f(1,12).
若第一局为甲丙比，则同上可得甲获得冠军的概率为eq \f(1,4)×eq \f(1,5)＋eq \f(1,4)×eq \f(4,5)×eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＋eq \f(3,4)×eq \f(2,3)×eq \f(1,5)×eq \f(1,4)＝eq \f(11,120).
若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局，则甲获得冠军的概率即第（1）问的结果eq \f(1,20).
因为eq \f(11,120)>eq \f(1,12)>eq \f(1,20)，所以甲第一局选择和丙比赛，最终获得冠军的概率最大．
3．解析：（1）设事件A为两人中至少一人评分不低于80，事件B为甲班级学生评分低于80；
则P（B|A）＝eq \f(n（AB）,n（A）)＝eq \f(2×7,8×8－2×1)＝eq \f(7,31).
（2）由题意知，ξ～B（4，eq \f(1,4)），
则P（ξ＝k）＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(4)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(4－k)（k＝0，1，2，3，4）.
所以其分布列如下：
E（ξ）＝4×eq \f(1,4)＝1.
4．解析：（1）X的所有可能取值为0，1，2，
P（X＝0）＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(2)) ×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＝eq \f(1,4)，P（X＝1）＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＝eq \f(1,2)，P（X＝2）＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，所以X的分布列为
E（X）＝0×eq \f(1,4)＋1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(1,4)＝1.
（2）（ⅰ）根据试验数据可以知道40只小白鼠体重增加量的中位数m＝eq \f(23.2＋23.6,2)＝23.4.
列联表如下：
（ⅱ）根据（ⅰ）中结果可得K2＝eq \f(40×（6×6－14×14）2,20×20×20×20)＝6.4>3.841，
所以有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异．
5．解析：（1）根据题中所给等高堆积条形图，得列联表如下：
计算可得K2＝eq \f(100×（45×20－30×5）2,75×25×50×50)＝12>10.828，又P（K2≥10.828），
大约有99.9%的把握认为试验结果与材料有关．
（2）设生产1吨石墨烯发热膜所需的修复费用为X万元．
易知X的可能取值为0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5.
P（X＝0）＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,6)，P（X＝0.1）＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，P（X＝0.2）＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,6)，
P（X＝0.3）＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,12)，P（X＝0.4）＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝0.5))＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,12)，
则X的分布列为
修复费用X的期望E（X）＝0×eq \f(1,6)＋0.1×eq \f(1,3)＋0.2×eq \f(1,6)＋0.3×eq \f(1,12)＋0.4×eq \f(1,6)＋0.5×eq \f(1,12)＝0.2.
所以石墨烯发热膜的定价至少为0.2＋1＋1＝2.2（万元/吨），才能实现预期的利润目标．
6．解析：（1）由题意得：x＋9＋4＝25，解得x＝12, 18＋5＋y＝25，解得y＝2,
列联表为
K2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝eq \f(50（12×7－18×13）2,30×20×25×25)＝3<3.841，
所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，不能认为全程观看与性别有关．
（2）由（1）知没有观看的人共6人，男4女2，
从没有观看的人中随机抽取2人进一步了解情况，计抽取的2人中男性人数为η，则η＝0，1，2.
所以P（η＝0）＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) )＝eq \f(1,15)；P（η＝1）＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) )＝eq \f(8,15)；P（η＝2）＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) )＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5).
所以η的分布列为
所以η的数学期望为E（η）＝0×eq \f(1,15)＋1×eq \f(8,15)＋2×eq \f(2,5)＝eq \f(4,3). eq \i\su(i＝1,10,x)iyi
eq \i\su(i＝1,10,x)i
eq \i\su(i＝1,10,y)i
eq \i\su(i＝1,10,x) eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i))
eq \i\su(i＝1,10,t)izi
eq \i\su(i＝1,10,t)i
eq \i\su(i＝1,10,z)i
eq \i\su(i＝1,10,t) eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i))
650
91.5
52.5
1478.6
30.5
15
15
46.5
≥m
对照组
试验组
A材料
B材料
合计
试验成功
试验失败
合计
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
观看情况
全程观看
部分观看
没有观看
男生人数
x
9
4
女生人数
18
5
y
男性
女性
总计
全程观看
非全程观看
总计
P(K2≥k)
0.1
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
ξ
0
1
2
3
4
P
eq \f(81,256)
eq \f(27,64)
eq \f(27,128)
eq \f(3,64)
eq \f(1,256)
X
0
1
2
P
eq \f(1,4)
eq \f(1,2)
eq \f(1,4)
≥m
对照组
6
14
试验组
14
6
A材料
B材料
合计
试验成功
45
30
75
试验失败
5
20
25
合计
50
50
100
X
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
eq \f(1,12)
eq \f(1,6)
eq \f(1,12)
男性
女性
总计
全程观看
12
18
30
非全程观看
13
7
20
总计
25
25
50
η
0
1
2
P
eq \f(1,15)
eq \f(8,15)
eq \f(2,5)