统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷四热点问题专练热点三等差等比数列理（附解析）

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A．66B．68C．70D．80
2．(等比数列求和)数列{an}是等比数列，首项为1，前3项和为7，则前5项和为( )
A．31B．61C．31或61D．31或81
3．(等差数列的项和项数的关系)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝( )
A．0B．37C．100D．－37
4．(等比数列的项数和项的关系)已知等比数列{an}中，a2＝2，a6＝8，则a3a4a5＝( )
A．±64B．64C．32D．16
5．[2023·合肥市第二次教学质量检测](求数列的项)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2a6＝16，2S3＝a2＋a3＋a4，则a1＝( )
A．eq \f(1,2)B．2C．eq \f(1,4)D．4
6．(项和项数的关系)若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2＋S3＝4，a3＋S5＝12，则a4＋S7的值是( )
A．20B．36C．24D．72
7．(等比数列前n项和)数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b＝( )
A．－1B．0C．1D．4
8．(等差数列前n项和)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )
A．－12B．－10C．10D．12
9．[2023·河南洛阳市高三模拟](等差数列和的性质)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝63，则a7＋a8＋a9＝( )
A．63B．71C．99D．117
10．(等比数列和的性质)设Sn是等比数列{an}的前n项和，若eq \f(S4,S2)＝3，则eq \f(S6,S4)＝( )
A．2B．eq \f(7,3)C．eq \f(3,10)D．1或2
11．[2023·陕西咸阳市高三模拟](等差数列＋等比数列综合)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，且a1＝b1＝1，b4＝2a4＝8，则S3＋T5＝( )
A．13B．25C．37D．41
12．(等差性质＋向量共线)已知数列{an}为等差数列，且满足eq \(OA,\s\up6(→))＝a1eq \(OB,\s\up6(→))＋a2017eq \(OC,\s\up6(→))，若eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，点O为直线BC外一点，则a1009＝( )
A．3B．2C．1D．eq \f(1,2)
[答题区]
13.(等差数列的性质)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为________．
14．(等比数列的性质)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________．
15．[2023·广西玉林市第十一中学模拟](等差数列求和)设Sn为正项数列{an}的前n项和，若对于任意m，n∈N*，n>m，都有an＝2aman－m，且a2＝2，则eq \f(S4,S2)＝________．
16．(等比数列求和＋参数)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－n，若Sk－ak＝28，则k＝________．
热点（三） 等差、等比数列
1．C 设等差数列{an}的公差为d，根据等差数列的通项公式，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝a1＋d＝0,a6＝a1＋5d＝8))，经计算得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－2，,d＝2，))根据等差数列的前n项和公式得S10＝10a1＋eq \f(10×（10－1）d,2)＝70.故选C.
2．C 设数列{an}的公比为q，数列{an}的前n项和为Sn，显然q≠1.由S3＝eq \f(1－q3,1－q)＝7，得q3－7q＋6＝0，即（q＋3）（q－1）（q－2）＝0，
解得q＝－3或q＝1（舍去）或q＝2.
当q＝－3时，S5＝eq \f(1－q5,1－q)＝eq \f(1－（－3）5,1＋3)＝61，
当q＝2时，S5＝eq \f(1－q5,1－q)＝eq \f(1－25,1－2)＝31.
所以S5＝31或61，故选C.
3．C ∵{an}，{bn}都是等差数列，∴{an＋bn}也是等差数列．
∵a1＋b1＝25＋75＝100，a2＋b2＝100，∴{an＋bn}的公差为0.
∴a37＋b37＝100，故选C.
4．B 由等比数列的性质可知a2a6＝a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝16，而a2，a4，a6同号，所以a4＝4，所以a3a4a5＝a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ＝64，故选B.
5．A 方法一 设正项等比数列{an}的公比为q，则q>0，因为a2a6＝16，所以a1q·a1q5＝16 ①，又2S3＝a2＋a3＋a4，所以2a1（1＋q＋q2）＝a1（q＋q2＋q3） ②，联立①②，解得q＝2，a1＝eq \f(1,2)，故选A.
方法二 设正项等比数列{an}的公比为q，则q>0，因为a2a6＝16，所以a2a6＝a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝16，所以a4＝4，又2S3＝a2＋a3＋a4，即2（a1＋a2＋a3）＝a2＋a3＋a4，所以q＝eq \f(a2＋a3＋a4,a1＋a2＋a3)＝2，所以a1＝a4q－3＝4×eq \f(1,8)＝eq \f(1,2)，故选A.
6．C 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＋S3＝4，,a3＋S5＝12))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a1＋4d＝4，,6a1＋12d＝12，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝0，,d＝1，))
∴a4＋S7＝8a1＋24d＝24.故选C.
7．A ∵a1＝S1＝4＋b，a2＝S2－S1＝（42＋b）－（4＋b）＝12，a3＝S3－S2＝（43＋b）－（42＋b）＝48，且{an}为等比数列，∴a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝a1a3，即122＝48（4＋b），解得b＝－1.故选A.
8．B 3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3a1＋\f(3×2,2)×d))＝2a1＋d＋4a1＋eq \f(4×3,2)×d⇒9a1＋9d＝6a1＋7d⇒3a1＋2d＝0⇒6＋2d＝0⇒d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2＋4×（－3）＝－10.故选B.
9．C 由等差数列{an}的前n项和性质，
得：S3，S6－S3，S9－S6也成等差数列，
即2（S6－S3）＝S3＋S9－S6，
又因S3＝9，S6＝63，则解得S9＝162，
因此a7＋a8＋a9＝S9－S6＝162－63＝99.
故选C.
10．B 设S2＝k，则S4＝3k，由数列{an}为等比数列（易知数列{an}的公比q≠－1），得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，又S2＝k，S4－S2＝2k，
∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴eq \f(S6,S4)＝eq \f(7k,3k)＝eq \f(7,3)，故选B.
11．C 设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
因为a1＝b1＝1，b4＝2a4＝8，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(q3＝\f(b4,b1)＝8,2a4＝2（a1＋3d）＝8))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(d＝1,q＝2))，
因此S3＋T5＝3a1＋3d＋eq \f(b1（1－q5）,1－q)＝3＋3＋eq \f(1－25,1－2)＝37.
故选C.
12．D ∵数列{an}为等差数列，满足eq \(OA,\s\up6(→))＝a1eq \(OB,\s\up6(→))＋a2017eq \(OC,\s\up6(→))，
由eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))（λ∈R）得A，B，C在一条直线上，又O为直线BC外一点，∴a1＋a2017＝1，∵数列{an}是等差数列，
∴2a1009＝a1＋a2017＝1，∴a1009＝eq \f(1,2).
故选D.
13．答案：4
解析：设{an}的公差为d，则由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a4＋a5＝24，,S6＝48，))
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋3d＋a1＋4d＝24，,6a1＋\f(6×5,2)d＝48，))解得d＝4.
14．答案：5eq \r(2)
解析：各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)) ＝5，a7a8a9＝a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) ＝10，则a4a5a6＝a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ＝eq \r(a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)) a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) )＝5eq \r(2).
15．答案：5
解析：因为对于任意m，n∈N*，n>m，都有an＝2aman－m，a2＝2，令m＝1，n＝2，所以a2＝2a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ，所以a1＝1，所以S2＝a1＋a2＝3，当n＝4，m＝2时，a4＝2a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝8，当n＝3，m＝1时，a3＝2a1a2＝4，所以S4＝1＋2＋4＋8＝15，
所以eq \f(S4,S2)＝eq \f(15,3)＝5.
16．答案：5
解析：方法一 由题意知，当k＝1时不合题意，当k≥2时，ak＝Sk－Sk－1，由Sk－（Sk－Sk－1）＝28，得Sk－1＝28，因为Sn＝2n2－n，所以Sk－1＝2（k－1）2－（k－1）＝28，解得k＝5或k＝－eq \f(5,2)，因为k∈N*，所以k＝5.
方法二 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－3，当n＝1时，a1＝S1＝1适合上式，所以an＝4n－3，由Sk－ak＝2k2－k－（4k－3）＝28，得k＝5或k＝－eq \f(5,2)，因为k∈N*，所以k＝5.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案