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统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷四热点问题专练热点七解三角形文（附解析）
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这是一份统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷四热点问题专练热点七解三角形文（附解析），共4页。试卷主要包含了答案等内容，欢迎下载使用。
A．有一解B．有两解
C．无解D．有解但解的个数不确定
2．(解三角形求面积)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq \r(3)，则△ABC的面积为( )
A．4eq \r(3)B．4eq \r(2)C．2eq \r(3)D．2eq \r(2)
3．(解三角形判断三角形形状)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq \f(c,b)A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形
4．(解三角形求角)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acsC－(eq \r(2)b－c)csA＝0，则角A的大小为( )
A．eq \f(π,4)B．eq \f(π,3)C．eq \f(π,2)D．eq \f(3π,4)
5．(解三角形求面积最值)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(2a－c,b)＝eq \f(csC,csB)，b＝4，则△ABC的面积的最大值为( )
A．4eq \r(3)B．2eq \r(3)C．2D．eq \r(3)
[答题区]
6.[2023·东北三校第二次联合模拟考试](解三角形求边)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为eq \r(15)，b－c＝2，csA＝eq \f(1,4)，则a的值为________．
7．[2023·开封一模](解三角形应用)平面四边形ABCD中，BC⊥CD，∠B＝eq \f(3π,4)，AB＝3eq \r(2)，AD＝2eq \r(10)，若AC＝3eq \r(5)，则CD＝________．
8．(解三角形应用求高)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
9．[2023·成都市第二次诊断性检测](和三角形面积有关的问题)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(eq \r(2)b－a)csC＝ccsA.
(1)求角C的大小；
(2)若a＝eq \r(2)，c(acsB－bcsA)＝b2，求△ABC的面积．
10．(解三角形综合)已知△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)S.
(1)求csA的值；
(2)若a，b，c成等差数列，求sinC的值．
热点（七） 解三角形
1．C 由eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)，得sinB＝eq \f(bsinC,c)＝eq \f(40×\f(\r(3),2),20)＝eq \r(3)>1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在，故选C.
2．C 由余弦定理，得（2eq \r(3)）2＝AB2＋42－2×4×ABcs60°，化简为AB2－4AB＋4＝0，解得AB＝2，所以S△ABC＝eq \f(1,2)AC·AB·sinA＝eq \f(1,2)×4×2×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)，故选C.
3．A 由eq \f(c,b)即sin（A＋B）所以sinAcsB<0，
因为在三角形中sinA>0，所以csB<0，
所以B为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故选A.
4．A ∵acsC－（eq \r(2)b－c）csA＝0，∴由正弦定理，得sinAcsC＋sinCcsA＝eq \r(2)sinBcsA，
即sinB＝eq \r(2)sinBcsA.
∵sinB≠0，∴csA＝eq \f(\r(2),2).
∵05．A 因为在△ABC中，eq \f(2a－c,b)＝eq \f(csC,csB)，
所以（2a－c）csB＝bcsC，
所以（2sinA－sinC）csB＝sinBcsC，
所以2sinAcsB＝sinCcsB＋sinBcsC＝sin（B＋C）＝sinA，所以csB＝eq \f(1,2)，即B＝eq \f(π,3)，由余弦定理可得16＝a2＋c2－2accsB＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，所以ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsinB＝eq \f(\r(3),4)ac≤4eq \r(3).
6．答案：4
解析：因为A∈（0，π），csA＝eq \f(1,4)，
所以sinA＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(\r(15),4)，又S△ABC＝eq \f(1,2)bcsinA＝eq \r(15)，所以bc＝8，结合b－c＝2，解得b＝4，c＝2.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccsA，得a2＝16＋4－2×8×eq \f(1,4)＝16，故a＝4.
7．答案：1或5
解析：记∠ACB＝α，∠ACD＝β，则α＋β＝eq \f(π,2)，在△ABC中，由正弦定理eq \f(AC,sinB)＝eq \f(AB,sinα)，得sinα＝eq \f(\r(5),5)，∴csβ＝sinα＝eq \f(\r(5),5).
在△ACD中，由余弦定理得csβ＝eq \f(45＋CD2－40,6\r(5)·CD)＝eq \f(\r(5),5)，解得CD＝1或CD＝5.
8．答案：100eq \r(6)
解析：在△ABC中，∵∠BAC＝30°，∠CBA＝105°，∴∠ACB＝45°.
又∵AB＝600m，
∴由正弦定理eq \f(BC,sin∠BAC)＝eq \f(AB,sin∠BCA)，得BC＝300eq \r(2)m.
在Rt△BCD中，∠DBC＝30°，BC＝300eq \r(2)m，
tan∠DBC＝eq \f(DC,BC)＝eq \f(\r(3),3)，∴DC＝100eq \r(6)m.
9．解析：（1）由已知及正弦定理，得eq \r(2)sinBcsC－sinAcsC＝sinCcsA，
∴eq \r(2)sinBcsC＝sinAcsC＋csAsinC＝sin（A＋C）.
∵A＋C＝π－B，∴sin（A＋C）＝sinB，
∴eq \r(2)sinBcsC＝sinB.
又sinB≠0，∴csC＝eq \f(\r(2),2).
∵C∈（0，π），∴C＝eq \f(π,4).
（2）由已知及余弦定理，得ac·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)－bc·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝b2，化简得a2＝2b2，
∵a＝eq \r(2)，∴b＝1.
∴△ABC的面积S△ABC＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×1×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,2).
10．解析：（1）由eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)S，得bccsA＝eq \f(3,2)×eq \f(1,2)bcsinA，即sinA＝eq \f(4,3)csA，代入sin2A＋cs2A＝1，整理得cs2A＝eq \f(9,25)，由sinA＝eq \f(4,3)csA，知csA>0，所以csA＝eq \f(3,5).
（2）由a，b，c成等差数列，可得2b＝a＋c，
结合正弦定理可得2sinB＝sinA＋sinC，
即2sin（A＋C）＝sinA＋sinC，
所以2sinAcsC＋2csAsinC＝sinA＋sinC， ①
将csA＝eq \f(3,5)，sinA＝eq \f(4,3)csA＝eq \f(4,5)代入①，整理得
csC＝eq \f(4－sinC,8)，代入sin2C＋cs2C＝1，整理得
65sin2C－8sinC－48＝0，解得sinC＝eq \f(12,13)或sinC＝－eq \f(4,5)，
因为C为△ABC的内角，所以C∈（0，π），则sinC>0，
所以sinC＝eq \f(12,13).题号
1
2
3
4
5
答案
A．有一解B．有两解
C．无解D．有解但解的个数不确定
2．(解三角形求面积)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq \r(3)，则△ABC的面积为( )
A．4eq \r(3)B．4eq \r(2)C．2eq \r(3)D．2eq \r(2)
3．(解三角形判断三角形形状)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq \f(c,b)
4．(解三角形求角)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acsC－(eq \r(2)b－c)csA＝0，则角A的大小为( )
A．eq \f(π,4)B．eq \f(π,3)C．eq \f(π,2)D．eq \f(3π,4)
5．(解三角形求面积最值)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(2a－c,b)＝eq \f(csC,csB)，b＝4，则△ABC的面积的最大值为( )
A．4eq \r(3)B．2eq \r(3)C．2D．eq \r(3)
[答题区]
6.[2023·东北三校第二次联合模拟考试](解三角形求边)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为eq \r(15)，b－c＝2，csA＝eq \f(1,4)，则a的值为________．
7．[2023·开封一模](解三角形应用)平面四边形ABCD中，BC⊥CD，∠B＝eq \f(3π,4)，AB＝3eq \r(2)，AD＝2eq \r(10)，若AC＝3eq \r(5)，则CD＝________．
8．(解三角形应用求高)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
9．[2023·成都市第二次诊断性检测](和三角形面积有关的问题)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(eq \r(2)b－a)csC＝ccsA.
(1)求角C的大小；
(2)若a＝eq \r(2)，c(acsB－bcsA)＝b2，求△ABC的面积．
10．(解三角形综合)已知△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)S.
(1)求csA的值；
(2)若a，b，c成等差数列，求sinC的值．
热点（七） 解三角形
1．C 由eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)，得sinB＝eq \f(bsinC,c)＝eq \f(40×\f(\r(3),2),20)＝eq \r(3)>1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在，故选C.
2．C 由余弦定理，得（2eq \r(3)）2＝AB2＋42－2×4×ABcs60°，化简为AB2－4AB＋4＝0，解得AB＝2，所以S△ABC＝eq \f(1,2)AC·AB·sinA＝eq \f(1,2)×4×2×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)，故选C.
3．A 由eq \f(c,b)
因为在三角形中sinA>0，所以csB<0，
所以B为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故选A.
4．A ∵acsC－（eq \r(2)b－c）csA＝0，∴由正弦定理，得sinAcsC＋sinCcsA＝eq \r(2)sinBcsA，
即sinB＝eq \r(2)sinBcsA.
∵sinB≠0，∴csA＝eq \f(\r(2),2).
∵0
所以（2a－c）csB＝bcsC，
所以（2sinA－sinC）csB＝sinBcsC，
所以2sinAcsB＝sinCcsB＋sinBcsC＝sin（B＋C）＝sinA，所以csB＝eq \f(1,2)，即B＝eq \f(π,3)，由余弦定理可得16＝a2＋c2－2accsB＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，所以ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsinB＝eq \f(\r(3),4)ac≤4eq \r(3).
6．答案：4
解析：因为A∈（0，π），csA＝eq \f(1,4)，
所以sinA＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(\r(15),4)，又S△ABC＝eq \f(1,2)bcsinA＝eq \r(15)，所以bc＝8，结合b－c＝2，解得b＝4，c＝2.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccsA，得a2＝16＋4－2×8×eq \f(1,4)＝16，故a＝4.
7．答案：1或5
解析：记∠ACB＝α，∠ACD＝β，则α＋β＝eq \f(π,2)，在△ABC中，由正弦定理eq \f(AC,sinB)＝eq \f(AB,sinα)，得sinα＝eq \f(\r(5),5)，∴csβ＝sinα＝eq \f(\r(5),5).
在△ACD中，由余弦定理得csβ＝eq \f(45＋CD2－40,6\r(5)·CD)＝eq \f(\r(5),5)，解得CD＝1或CD＝5.
8．答案：100eq \r(6)
解析：在△ABC中，∵∠BAC＝30°，∠CBA＝105°，∴∠ACB＝45°.
又∵AB＝600m，
∴由正弦定理eq \f(BC,sin∠BAC)＝eq \f(AB,sin∠BCA)，得BC＝300eq \r(2)m.
在Rt△BCD中，∠DBC＝30°，BC＝300eq \r(2)m，
tan∠DBC＝eq \f(DC,BC)＝eq \f(\r(3),3)，∴DC＝100eq \r(6)m.
9．解析：（1）由已知及正弦定理，得eq \r(2)sinBcsC－sinAcsC＝sinCcsA，
∴eq \r(2)sinBcsC＝sinAcsC＋csAsinC＝sin（A＋C）.
∵A＋C＝π－B，∴sin（A＋C）＝sinB，
∴eq \r(2)sinBcsC＝sinB.
又sinB≠0，∴csC＝eq \f(\r(2),2).
∵C∈（0，π），∴C＝eq \f(π,4).
（2）由已知及余弦定理，得ac·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)－bc·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝b2，化简得a2＝2b2，
∵a＝eq \r(2)，∴b＝1.
∴△ABC的面积S△ABC＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×1×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,2).
10．解析：（1）由eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)S，得bccsA＝eq \f(3,2)×eq \f(1,2)bcsinA，即sinA＝eq \f(4,3)csA，代入sin2A＋cs2A＝1，整理得cs2A＝eq \f(9,25)，由sinA＝eq \f(4,3)csA，知csA>0，所以csA＝eq \f(3,5).
（2）由a，b，c成等差数列，可得2b＝a＋c，
结合正弦定理可得2sinB＝sinA＋sinC，
即2sin（A＋C）＝sinA＋sinC，
所以2sinAcsC＋2csAsinC＝sinA＋sinC， ①
将csA＝eq \f(3,5)，sinA＝eq \f(4,3)csA＝eq \f(4,5)代入①，整理得
csC＝eq \f(4－sinC,8)，代入sin2C＋cs2C＝1，整理得
65sin2C－8sinC－48＝0，解得sinC＝eq \f(12,13)或sinC＝－eq \f(4,5)，
因为C为△ABC的内角，所以C∈（0，π），则sinC>0，
所以sinC＝eq \f(12,13).题号
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答案
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