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统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷四热点问题专练热点八平面向量文（附解析）
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这是一份统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷四热点问题专练热点八平面向量文（附解析），共6页。
A．eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up6(→))B．eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))
C．eq \(AD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up6(→))D．eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))
2．(向量共线的坐标表示)已知向量a＝(4，2)，向量b＝(x，3)，且a∥b，则x＝( )
A．9B．6C．5D．3
3．(平面向量的应用)长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度沿eq \(AD,\s\up6(→))方向行驶，到达对岸C点，且AC与江岸AB垂直，同时江水的速度为向东3km/h，则该船实际行驶的速度大小为( )
A．2km/hB．eq \r(34)km/hC．4km/hD．8km/h
4．[2023·长春市质量检测(三)](平面向量的模)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(2，1)，则|2a－b|＝( )
A．eq \r(15)B．eq \r(17)C．2eq \r(2)D．2eq \r(5)
5．(平面向量平行问题)若向量a＝(4，2)，b＝(6，k)，则a∥b的充要条件是( )
A．k＝－12B．k＝12C．k＝－3D．k＝3
6．[2023·广东省湛江市高三调研测试题](平面向量垂直问题)已知向量a＝(1，2)，向量b＝(2，－2)，a＋kb与a－b垂直，则k＝( )
A．2B．eq \f(10,7)C．eq \f(1,2)D．eq \f(7,10)
7．[2023·广西南宁三校联考](平面向量的投影)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝eq \r(2)，且a⊥(a＋2b)，则b在a方向上的投影为( )
A．－eq \f(1,2)B．－1C．eq \f(1,2)D．1
8．(平面向量的夹角)设平面向量a＝(－2，1)，b＝(λ，2)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞) B．(－∞，－4)∪(－4，1) C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
9．[2023·四川省阆中中学高三月考](平面向量的数量积)已知在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD＝1，eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(CD,\s\up6(→))＝0，E是BC的中点，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(3,2)B．2C．3D．4
10．(数量积的应用)在△ABC中，设|eq \(AC,\s\up6(→))|2－|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝2eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))，则动点M的轨迹必通过△ABC的( )
A．垂心B．内心C．重心D．外心
11．(平面向量与数列综合)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若点A，B，C，O满足：①eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))(λ≠0)；②A，B，O确定一个平面；③eq \(OB,\s\up6(→))＝a3eq \(OA,\s\up6(→))＋a98eq \(OC,\s\up6(→)).则S100＝( )
A．29B．40C．45D．50
12．[2023·湖北省随州市联考](平面向量的数量积)设A、B、C是半径为1的圆上三点，若AB＝eq \r(2)，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的最大值为( )
A．3＋eq \r(3)B．eq \f(3,2)＋eq \r(3)C．1＋eq \r(2)D．eq \r(2)
[答题区]
13.[2023·合肥市第二次教学质量检测](平面向量的模)已知向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a∥b，则|a－b|＝________．
14．(向量的夹角)已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，x)，a＋b与a垂直，设a与b的夹角为α，则csα＝________．
15．(平面向量在物理中的应用)在平面直角坐标系中，力F＝(2，3)作用于一物体，使该物体从点A(2，0)移动到点B(4，0)，则力F对物体做的功为________．
16．[2023·河南省郑州市模拟](平面向量的数量积)已知P为边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，则eq \(PC,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PD,\s\up6(→)))的最小值为________．
热点（八） 平面向量
1．C eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)（eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))）＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up6(→))，故选C.
2．B 因为向量a＝（4，2），向量b＝（x，3）且a∥b，所以4×3＝2x，x＝6，故选B.
3．C （以下解析中速度按向量处理）不妨设该船经过1h到达点C，由题意画出向量图如图所示，
则eq \(AD,\s\up6(→))为船速，eq \(AB,\s\up6(→))为水速，eq \(AC,\s\up6(→))为该船实际行驶的速度，易知|eq \(AC,\s\up6(→))|＝4.故选C.
4．C 方法一 由题意，得|a－b|2＝22＋12＝5，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝5－2a·b＝5，所以a·b＝0，所以|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，所以|2a－b|＝2eq \r(2)，故选C.
方法二 设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝a－b.
由题意，得|a－b|＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，所以|eq \(OA,\s\up6(→))|2＋|eq \(OB,\s\up6(→))|2＝|eq \(BA,\s\up6(→))|2，
所以OA⊥OB，
所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，即a·b＝0，所以|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，所以|2a－b|＝2eq \r(2)，故选C.
5．D 因为向量a＝（4，2），b＝（6，k），若a∥b，则4k－2×6＝0，解得k＝3，
即a∥b⇒k＝3；
反之，若k＝3，则a＝（4，2），b＝（6，3），所以a＝eq \f(2,3)b，所以a∥b，即k＝3⇒a∥b.故选D.
6．D 因为向量a＝（1，2），向量b＝（2，－2），所以a2＝5，b2＝8，a·b＝－2，
又a＋kb与a－b垂直，所以（a＋kb）·（a－b）＝a2－kb2＋（k－1）a·b
＝5－8k－2（k－1）＝7－10k＝0，所以k＝eq \f(7,10)，故选D.
7．B 因为a⊥（a＋2b），a·（a＋2b）＝a2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，a·b＝－2，
所以b在a方向上的投影为eq \f(a·b,|a|)＝eq \f(－2,2)＝－1.故选B.
8．B 方法一 因为a与b的夹角为锐角，所以cs〈a，b〉∈（0，1）.
又向量a＝（－2，1），b＝（λ，2），所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－2λ＋2,\r(5)·\r(λ2＋4))∈（0，1），
整理得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2λ＋2>0，,λ2＋8λ＋16>0，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ<1，,λ≠－4，))
所以λ的取值范围为（－∞，－4）∪（－4，1）.故选B.
方法二 因为a与b的夹角为锐角，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a·b>0，,a，b不共线．))
又向量a＝（－2，1），b＝（λ，2），所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2λ＋2>0，,\f(λ,－2)≠\f(2,1)，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ<1，,λ≠－4，))
所以λ的取值范围为（－∞，－4）∪（－4，1）.故选B.
9．C
四边形ABCD如图：
因为AB⊥AD，eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(CD,\s\up6(→))＝0，所以四边形ABCD是直角梯形，由CD＝1，eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(CD,\s\up6(→))＝0，可得|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2.E是BC的中点，过E作EF⊥AB于F，则|eq \(AF,\s\up6(→))|＝eq \f(3,4)|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \f(3,2)，
可得eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AE,\s\up6(→))|cs∠EAB＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AF,\s\up6(→))|＝2×eq \f(3,2)＝3.故选C.
10．D |eq \(AC,\s\up6(→))|2－|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝（eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))）·（eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))）＝（eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))）·eq \(BC,\s\up6(→))＝2eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))，
∴eq \(BC,\s\up6(→))·（eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))－2eq \(AM,\s\up6(→))）＝0⇒eq \(BC,\s\up6(→))·（eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→))）＝eq \(BC,\s\up6(→))·（eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))）＝0，
设E为BC的中点，则eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＝2eq \(ME,\s\up6(→))，
∴eq \(BC,\s\up6(→))·2eq \(ME,\s\up6(→))＝0⇒eq \(BC,\s\up6(→))⊥eq \(ME,\s\up6(→))⇒ME为BC的垂直平分线，
∴M的轨迹必过△ABC的外心，故选D.
11．D 通解 因为eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))（λ≠0），所以A，B，C三点共线．又A，B，O确定一个平面，即A，B，O不共线，所以A，C，O不共线，即eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))不共线．由eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))（λ≠0），得eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝λ（eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))），当λ≠－1时，eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(1,1＋λ)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(λ,1＋λ)eq \(OC,\s\up6(→))，当λ＝－1时，eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))（舍去）.因为eq \(OB,\s\up6(→))＝a3eq \(OA,\s\up6(→))＋a98eq \(OC,\s\up6(→))，所以a3＝eq \f(1,1＋λ)，a98＝eq \f(λ,1＋λ)，则a3＋a98＝1，又数列{an}为等差数列，所以a1＋a100＝a3＋a98＝1，所以S100＝eq \f(（a1＋a100）×100,2)＝50.故选D.
优解 由eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))（λ≠0），得A，B，C三点共线，又A，B，O确定一个平面，所以A，B，C，O四点共面．根据eq \(OB,\s\up6(→))＝a3eq \(OA,\s\up6(→))＋a98eq \(OC,\s\up6(→))，得a3＋a98＝1，因为数列{an}为等差数列，所以a1＋a100＝a3＋a98＝1，所以S100＝eq \f(（a1＋a100）×100,2)＝50，故选D.
12．C 设圆心为点O，则OA＝OB＝1，∵AB＝eq \r(2)，∴AB2＝OA2＋OB2，则OA⊥OB，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝（eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))）·（eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))）＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))2＝（eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))）·eq \(OC,\s\up6(→))＋1＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＋1＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(OC,\s\up6(→))|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))〉＋1≤eq \r(2)＋1，当且仅当eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))方向相同时取等号．
13．答案：eq \f(3\r(5),2)
解析：由a∥b，a＝（x，1），b＝（1，－2），可得－2x＝1，解得x＝－eq \f(1,2)，所以a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，进而得到a－b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))，则|a－b|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))\s\up12(2)＋32)＝eq \f(3\r(5),2).
14．答案：－1
解析：a＋b＝（0，2＋x），根据题意有0＋2×（2＋x）＝0，解得x＝－2，所以csα＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－1－4,\r(5)×\r(5))＝－1.
15．答案：4
解析：根据题意得，力F对物体做的功为W＝F·eq \(AB,\s\up6(→)).
因为A（2，0），B（4，0），所以eq \(AB,\s\up6(→))＝（4－2，0－0）＝（2，0）.
又F＝（2，3），所以W＝F·eq \(AB,\s\up6(→))＝2×2＋3×0＝4.
16．答案：－1
解析：建立如图所示坐标系，
设P（x，y），则A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2），
所以eq \(PC,\s\up6(→))＝（2－x，2－y），eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PD,\s\up6(→))＝（2－x，－y）＋（－x，2－y）＝（2－2x，2－2y），
所以eq \(PC,\s\up6(→))·（eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PD,\s\up6(→))）＝（2－x）（2－2x）＋（2－y）（2－2y）
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2－eq \f(1,2)＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2－eq \f(1,2)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))eq \s\up12(2)－1.
所以当x＝y＝eq \f(3,2)时，eq \(PC,\s\up6(→))·（eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PD,\s\up6(→))）的最小值为－1.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A．eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up6(→))B．eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))
C．eq \(AD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up6(→))D．eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))
2．(向量共线的坐标表示)已知向量a＝(4，2)，向量b＝(x，3)，且a∥b，则x＝( )
A．9B．6C．5D．3
3．(平面向量的应用)长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度沿eq \(AD,\s\up6(→))方向行驶，到达对岸C点，且AC与江岸AB垂直，同时江水的速度为向东3km/h，则该船实际行驶的速度大小为( )
A．2km/hB．eq \r(34)km/hC．4km/hD．8km/h
4．[2023·长春市质量检测(三)](平面向量的模)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(2，1)，则|2a－b|＝( )
A．eq \r(15)B．eq \r(17)C．2eq \r(2)D．2eq \r(5)
5．(平面向量平行问题)若向量a＝(4，2)，b＝(6，k)，则a∥b的充要条件是( )
A．k＝－12B．k＝12C．k＝－3D．k＝3
6．[2023·广东省湛江市高三调研测试题](平面向量垂直问题)已知向量a＝(1，2)，向量b＝(2，－2)，a＋kb与a－b垂直，则k＝( )
A．2B．eq \f(10,7)C．eq \f(1,2)D．eq \f(7,10)
7．[2023·广西南宁三校联考](平面向量的投影)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝eq \r(2)，且a⊥(a＋2b)，则b在a方向上的投影为( )
A．－eq \f(1,2)B．－1C．eq \f(1,2)D．1
8．(平面向量的夹角)设平面向量a＝(－2，1)，b＝(λ，2)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞) B．(－∞，－4)∪(－4，1) C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
9．[2023·四川省阆中中学高三月考](平面向量的数量积)已知在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD＝1，eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(CD,\s\up6(→))＝0，E是BC的中点，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(3,2)B．2C．3D．4
10．(数量积的应用)在△ABC中，设|eq \(AC,\s\up6(→))|2－|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝2eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))，则动点M的轨迹必通过△ABC的( )
A．垂心B．内心C．重心D．外心
11．(平面向量与数列综合)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若点A，B，C，O满足：①eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))(λ≠0)；②A，B，O确定一个平面；③eq \(OB,\s\up6(→))＝a3eq \(OA,\s\up6(→))＋a98eq \(OC,\s\up6(→)).则S100＝( )
A．29B．40C．45D．50
12．[2023·湖北省随州市联考](平面向量的数量积)设A、B、C是半径为1的圆上三点，若AB＝eq \r(2)，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的最大值为( )
A．3＋eq \r(3)B．eq \f(3,2)＋eq \r(3)C．1＋eq \r(2)D．eq \r(2)
[答题区]
13.[2023·合肥市第二次教学质量检测](平面向量的模)已知向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a∥b，则|a－b|＝________．
14．(向量的夹角)已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，x)，a＋b与a垂直，设a与b的夹角为α，则csα＝________．
15．(平面向量在物理中的应用)在平面直角坐标系中，力F＝(2，3)作用于一物体，使该物体从点A(2，0)移动到点B(4，0)，则力F对物体做的功为________．
16．[2023·河南省郑州市模拟](平面向量的数量积)已知P为边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，则eq \(PC,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PD,\s\up6(→)))的最小值为________．
热点（八） 平面向量
1．C eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)（eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))）＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up6(→))，故选C.
2．B 因为向量a＝（4，2），向量b＝（x，3）且a∥b，所以4×3＝2x，x＝6，故选B.
3．C （以下解析中速度按向量处理）不妨设该船经过1h到达点C，由题意画出向量图如图所示，
则eq \(AD,\s\up6(→))为船速，eq \(AB,\s\up6(→))为水速，eq \(AC,\s\up6(→))为该船实际行驶的速度，易知|eq \(AC,\s\up6(→))|＝4.故选C.
4．C 方法一 由题意，得|a－b|2＝22＋12＝5，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝5－2a·b＝5，所以a·b＝0，所以|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，所以|2a－b|＝2eq \r(2)，故选C.
方法二 设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝a－b.
由题意，得|a－b|＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，所以|eq \(OA,\s\up6(→))|2＋|eq \(OB,\s\up6(→))|2＝|eq \(BA,\s\up6(→))|2，
所以OA⊥OB，
所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，即a·b＝0，所以|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，所以|2a－b|＝2eq \r(2)，故选C.
5．D 因为向量a＝（4，2），b＝（6，k），若a∥b，则4k－2×6＝0，解得k＝3，
即a∥b⇒k＝3；
反之，若k＝3，则a＝（4，2），b＝（6，3），所以a＝eq \f(2,3)b，所以a∥b，即k＝3⇒a∥b.故选D.
6．D 因为向量a＝（1，2），向量b＝（2，－2），所以a2＝5，b2＝8，a·b＝－2，
又a＋kb与a－b垂直，所以（a＋kb）·（a－b）＝a2－kb2＋（k－1）a·b
＝5－8k－2（k－1）＝7－10k＝0，所以k＝eq \f(7,10)，故选D.
7．B 因为a⊥（a＋2b），a·（a＋2b）＝a2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，a·b＝－2，
所以b在a方向上的投影为eq \f(a·b,|a|)＝eq \f(－2,2)＝－1.故选B.
8．B 方法一 因为a与b的夹角为锐角，所以cs〈a，b〉∈（0，1）.
又向量a＝（－2，1），b＝（λ，2），所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－2λ＋2,\r(5)·\r(λ2＋4))∈（0，1），
整理得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2λ＋2>0，,λ2＋8λ＋16>0，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ<1，,λ≠－4，))
所以λ的取值范围为（－∞，－4）∪（－4，1）.故选B.
方法二 因为a与b的夹角为锐角，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a·b>0，,a，b不共线．))
又向量a＝（－2，1），b＝（λ，2），所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2λ＋2>0，,\f(λ,－2)≠\f(2,1)，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ<1，,λ≠－4，))
所以λ的取值范围为（－∞，－4）∪（－4，1）.故选B.
9．C
四边形ABCD如图：
因为AB⊥AD，eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(CD,\s\up6(→))＝0，所以四边形ABCD是直角梯形，由CD＝1，eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(CD,\s\up6(→))＝0，可得|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2.E是BC的中点，过E作EF⊥AB于F，则|eq \(AF,\s\up6(→))|＝eq \f(3,4)|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \f(3,2)，
可得eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AE,\s\up6(→))|cs∠EAB＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AF,\s\up6(→))|＝2×eq \f(3,2)＝3.故选C.
10．D |eq \(AC,\s\up6(→))|2－|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝（eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))）·（eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))）＝（eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))）·eq \(BC,\s\up6(→))＝2eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))，
∴eq \(BC,\s\up6(→))·（eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))－2eq \(AM,\s\up6(→))）＝0⇒eq \(BC,\s\up6(→))·（eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→))）＝eq \(BC,\s\up6(→))·（eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))）＝0，
设E为BC的中点，则eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＝2eq \(ME,\s\up6(→))，
∴eq \(BC,\s\up6(→))·2eq \(ME,\s\up6(→))＝0⇒eq \(BC,\s\up6(→))⊥eq \(ME,\s\up6(→))⇒ME为BC的垂直平分线，
∴M的轨迹必过△ABC的外心，故选D.
11．D 通解 因为eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))（λ≠0），所以A，B，C三点共线．又A，B，O确定一个平面，即A，B，O不共线，所以A，C，O不共线，即eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))不共线．由eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))（λ≠0），得eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝λ（eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))），当λ≠－1时，eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(1,1＋λ)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(λ,1＋λ)eq \(OC,\s\up6(→))，当λ＝－1时，eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))（舍去）.因为eq \(OB,\s\up6(→))＝a3eq \(OA,\s\up6(→))＋a98eq \(OC,\s\up6(→))，所以a3＝eq \f(1,1＋λ)，a98＝eq \f(λ,1＋λ)，则a3＋a98＝1，又数列{an}为等差数列，所以a1＋a100＝a3＋a98＝1，所以S100＝eq \f(（a1＋a100）×100,2)＝50.故选D.
优解 由eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))（λ≠0），得A，B，C三点共线，又A，B，O确定一个平面，所以A，B，C，O四点共面．根据eq \(OB,\s\up6(→))＝a3eq \(OA,\s\up6(→))＋a98eq \(OC,\s\up6(→))，得a3＋a98＝1，因为数列{an}为等差数列，所以a1＋a100＝a3＋a98＝1，所以S100＝eq \f(（a1＋a100）×100,2)＝50，故选D.
12．C 设圆心为点O，则OA＝OB＝1，∵AB＝eq \r(2)，∴AB2＝OA2＋OB2，则OA⊥OB，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝（eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))）·（eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))）＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))2＝（eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))）·eq \(OC,\s\up6(→))＋1＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＋1＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(OC,\s\up6(→))|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))〉＋1≤eq \r(2)＋1，当且仅当eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))方向相同时取等号．
13．答案：eq \f(3\r(5),2)
解析：由a∥b，a＝（x，1），b＝（1，－2），可得－2x＝1，解得x＝－eq \f(1,2)，所以a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，进而得到a－b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))，则|a－b|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))\s\up12(2)＋32)＝eq \f(3\r(5),2).
14．答案：－1
解析：a＋b＝（0，2＋x），根据题意有0＋2×（2＋x）＝0，解得x＝－2，所以csα＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－1－4,\r(5)×\r(5))＝－1.
15．答案：4
解析：根据题意得，力F对物体做的功为W＝F·eq \(AB,\s\up6(→)).
因为A（2，0），B（4，0），所以eq \(AB,\s\up6(→))＝（4－2，0－0）＝（2，0）.
又F＝（2，3），所以W＝F·eq \(AB,\s\up6(→))＝2×2＋3×0＝4.
16．答案：－1
解析：建立如图所示坐标系，
设P（x，y），则A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2），
所以eq \(PC,\s\up6(→))＝（2－x，2－y），eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PD,\s\up6(→))＝（2－x，－y）＋（－x，2－y）＝（2－2x，2－2y），
所以eq \(PC,\s\up6(→))·（eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PD,\s\up6(→))）＝（2－x）（2－2x）＋（2－y）（2－2y）
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2－eq \f(1,2)＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2－eq \f(1,2)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))eq \s\up12(2)－1.
所以当x＝y＝eq \f(3,2)时，eq \(PC,\s\up6(→))·（eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PD,\s\up6(→))）的最小值为－1.题号
1
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4
5
6
7
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9
10
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12
答案
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