统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷四热点问题专练热点十直线与圆文（附解析）

这是一份统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷四热点问题专练热点十直线与圆文（附解析），共5页。试卷主要包含了已知点在圆C，过点P作圆C，已知过原点的直线l与圆C等内容，欢迎下载使用。

A．相切B．相离C．内含D．相交
2．(圆的切线)过点(3，1)的圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
A．2x＋y－5＝0B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0D．x－2y－7＝0
3．(中点弦)若点P(1，1)为圆x2＋y2－6x＝0的弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程为( )
A．2x＋y－3＝0B．x＋2y－3＝0C．2x－y－1＝0D．x－2y＋1＝0
4．(圆的切线)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为( )
A．y＝－eq \f(\r(3),4)B．y＝－eq \f(1,2)C．y＝－eq \f(\r(3),2)D．y＝－eq \f(1,4)
5．[2023·山东大联考](点到直线的距离＋对称问题)已知圆C：x2＋y2＋4x－2y－4＝0关于直线l：x－2ay＋4＝0对称，则原点O到直线l的距离为( )
A．eq \f(4\r(37),37)B．1C．eq \f(4\r(5),5)D．eq \f(\r(5),5)
6．(对称问题)圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋8＝0对称的圆的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y＋2)2＝4B．(x＋4)2＋(y－6)2＝4
C．(x－4)2＋(y－6)2＝4D．(x＋6)2＋(y＋4)2＝4
7．(公共点问题)若直线kx－y＋1＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0有公共点，则实数k的取值范围是( )
A．[－3，＋∞) B．(－∞，－3] C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
8．(弦长问题)已知过原点的直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B，且线段AB的中点坐标为D(2，eq \r(2))，则弦AB的长为( )
A．2B．3C．4D．5
9．(对称问题)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－eq \f(5,3)或－eq \f(3,5)B．－eq \f(3,2)或－eq \f(2,3)C．－eq \f(5,4)或－eq \f(4,5)D．－eq \f(4,3)或－eq \f(3,4)
10．[2023·长春市高三质量监测(三)](圆与不等式的综合)已知直线l：ax＋2by＋4＝0被圆C：x2＋y2＝5截得的弦长为2，则ab的最大值为( )
A．eq \r(5)B．2C．eq \r(3)D．1
11．(最值问题)已知直线ax＋by－6＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2eq \r(5)，则ab的最大值为( )
A．eq \f(5,2)B．4C．eq \f(9,2)D．9
12．(点的存在性问题)在平面直角坐标系xOy中，圆O的方程为x2＋y2＝4，直线l的方程为y＝k(x＋2)，若在圆O上至少存在三点到直线l的距离为1，则实数k的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),3)))B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
[答题区]
13.(弦长公式)直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．
14．(点的存在性问题)在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2－2ax＋y2－2ay＋2a2－1＝0上存在点P到点(0，1)的距离为2，则实数a的取值范围是________．
15．(距离最值问题)点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．
16．(最值＋求参数)已知P是直线l：kx＋4y－10＝0(k>0)上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，若四边形PACB的面积的最小值为2eq \r(2)，则k的值为________．
热点（十） 直线与圆
1．D 由已知得a2＋b2>r2，所以圆心到直线ax＋by＝r2的距离d＝eq \f(r2,\r(a2＋b2))2．B 由题意知点（3，1）在圆上，代入圆的方程可得r2＝5，圆的方程为（x－1）2＋y2＝5，
则过点（3，1）的切线方程为（x－1）×（3－1）＋y×（1－0）＝5，
即2x＋y－7＝0.故选B.
3．C 圆x2＋y2－6x＝0的标准方程为（x－3）2＋y2＝9，
又因为点P（1，1）为圆x2＋y2－6x＝0的弦AB的中点，
圆心与点P确定的直线的斜率为eq \f(1－0,1－3)＝－eq \f(1,2)，
所以弦AB所在直线的斜率为2，
所以直线AB的直线方程为y－1＝2（x－1），即2x－y－1＝0.
4．B 圆（x－1）2＋y2＝1的圆心为（1，0），半径为1，以|PC|＝eq \r(（1－1）2＋（－2－0）2)＝2为直径的圆的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－eq \f(1,2).故选B.
5．C 圆C的标准方程为（x＋2）2＋（y－1）2＝9，则圆心C（－2，1），因为圆C关于直线l：x－2ay＋4＝0对称，所以圆心C（－2，1）在直线l上，则－2－2a＋4＝0，解得a＝1，即直线l的方程为x－2y＋4＝0，所以原点O到直线l的距离d＝eq \f(4,\r(12＋（－2）2))＝eq \f(4\r(5),5)，故选C.
6．C 圆关于直线的对称图形仍然是圆，只不过圆心位置发生了变化，半径不变，因此只需求出圆心（－2，12）关于直线x－y＋8＝0的对称点．设对称的圆的圆心为（m，n），则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(n－12,m＋2)＝－1,\f(m－2,2)－\f(n＋12,2)＋8＝0))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝4,n＝6))，所以所求圆的圆心为（4，6），故所求圆的方程为（x－4）2＋（y－6）2＝4，故选C.
7．D 通解 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(kx－y＋1＝0,x2＋y2＋2x－4y＋1＝0))消去y并化简得（1＋k2）x2＋（2－2k）x－2＝0，判别式Δ＝（2－2k）2＋8（1＋k2）>0，所以直线与圆必有公共点，所以k的取值范围是（－∞，＋∞）.故选D.
优解 直线kx－y＋1＝0过定点（0，1），由于02＋12＋2×0－4×1＋1＝－2<0，所以点（0，1）在圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0内，所以直线与圆必有公共点，所以k的取值范围是（－∞，＋∞）.故选D.
8．A 将圆C：x2＋y2－6x＋5＝0整理，得其标准方程为（x－3）2＋y2＝4，∴圆C的圆心坐标为（3，0），半径为2.
∵线段AB的中点坐标为D（2，eq \r(2)），
∴|CD|＝eq \r(1＋2)＝eq \r(3)，∴|AB|＝2eq \r(4－3)＝2.
9．D 点（－2，－3）关于y轴的对称点为（2，－3），由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点（2，－3）.设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k（x－2），即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，得圆心到直线的距离d＝eq \f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq \f(4,3)或k＝－eq \f(3,4)，故选D.
10．D 圆心到直线的距离d＝eq \f(|4|,\r(a2＋4b2))，圆的半径为eq \r(5)，由勾股定理可得（eq \r(5)）2＝d2＋12，整理得a2＋4b2＝4，所以4＝a2＋4b2≥2eq \r(a2×4b2)＝4|ab|，当且仅当a2＝4b2＝2时等号成立，所以ab≤|ab|≤1，故选D.
11．C x2＋y2－2x－4y＝0化成标准方程为（x－1）2＋（y－2）2＝（eq \r(5)）2，因为直线ax＋by－6＝0（a>0，b>0）被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2eq \r(5)，故直线ax＋by－6＝0（a>0，b>0）经过圆心（1，2），即a＋2b＝6.又6＝a＋2b≥2eq \r(2ab)，即ab≤eq \f(9,2)，当且仅当a＝2b＝3时取等号，故ab的最大值为eq \f(9,2)，故选C.
12．B 根据直线与圆的位置关系可知，若圆O：x2＋y2＝4上至少存在三点到直线l：y＝k（x＋2）的距离为1，则圆心（0，0）到直线kx－y＋2k＝0的距离d应满足d≤1，即eq \f(|2k|,\r(k2＋1))≤1，解得k2≤eq \f(1,3)，即－eq \f(\r(3),3)≤k≤eq \f(\r(3),3).
13．答案：2eq \r(2)
解析：由题意得，圆x2＋（y－2）2＝4的圆心为（0，2），半径为2，
圆心到直线x－y＝0的距离d＝eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2).
设截得的弦长为l，则由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))eq \s\up12(2)＋（eq \r(2)）2＝22，得l＝2eq \r(2).
14．答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(17),2)，0))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(1＋\r(17),2)))
解析：根据题意，C：x2－2ax＋y2－2ay＋2a2－1＝0，即（x－a）2＋（y－a）2＝1，其圆心C（a，a），半径r＝1，以点（0，1）为圆心，半径为2的圆的方程为x2＋（y－1）2＝4，若圆C：x2－2ax＋y2－2ay＋2a2－1＝0上存在点P到点（0，1）的距离为2，则圆C与圆x2＋（y－1）2＝4有交点，则有2－1≤eq \r(a2＋（a－1）2)≤2＋1，变形可得：0≤a2－a≤4，解得eq \f(1－\r(17),2)≤a≤0或1≤a≤eq \f(1＋\r(17),2)，即a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(17),2)，0))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(1＋\r(17),2))).
15．答案：3eq \r(5)－5
解析：把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得
（x－4）2＋（y－2）2＝9，（x＋2）2＋（y＋1）2＝4.
圆C1的圆心坐标是（4，2），半径长是3；圆C2的圆心坐标是（－2，－1），半径是2.圆心距d＝eq \r(（4＋2）2＋（2＋1）2)＝3eq \r(5).
所以|PQ|的最小值是3eq \r(5)－5.
16．答案：3
解析：圆的标准方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝1，则圆心为C（1，－2），半径为1，则直线与圆相离，如图，
S四边形PACB＝S△PAC＋S△PBC，而S△PAC＝eq \f(1,2)|PA|·|CA|＝eq \f(1,2)|PA|，S△PBC＝eq \f(1,2)|PB|·|CB|＝eq \f(1,2)|PB|，
又|PA|＝|PB|＝eq \r(|PC|2－1)，所以当|PC|取最小值时，|PA|＝|PB|取最小值，即S△PAC＝S△PBC取最小值，此时，CP⊥l，四边形PACB面积的最小值为2eq \r(2)，S△PAC＝S△PBC＝eq \r(2)，所以|PA|＝2eq \r(2)，则|CP|＝3，得eq \f(|k－8－10|,\r(k2＋16))＝3.因为k>0，所以k＝3.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案