统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷四热点问题专练热点十一离心率文（附解析）

这是一份统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷四热点问题专练热点十一离心率文（附解析），共8页。试卷主要包含了已知点F1，F2分别是双曲线C等内容，欢迎下载使用。

A．eq \f(4,5)B．eq \f(3,5)C．eq \f(2,5)D．eq \f(1,5)
2．(双曲线离心率)已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线eq \f(x2,m)＋y2＝1的离心率为( )
A．eq \f(\r(30),6)B．eq \r(7)C．eq \f(\r(30),6)或eq \r(7)D．eq \f(5,6)或eq \r(7)
3．(双曲线渐近线)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(3)，则其渐近线方程为( )
A．y＝±eq \r(2)xB．y＝±eq \r(3)xC．y＝±eq \f(\r(2),2)xD．y＝±eq \f(\r(3),2)x
4．(椭圆的离心率)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为( )
A．eq \r(2)－1B．eq \f(\r(5)－1,2)C．eq \f(\r(2),2)D．eq \r(2)＋1
5．[2023·江西省七校联考(一)](双曲线的离心率)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x2＋y2－2x＋eq \f(1,5)＝0相切，则双曲线C的离心率为( )
A．eq \f(\r(5),2)B．eq \r(2)C．eq \r(5)D．eq \f(\r(17),2)
6．(椭圆性质)已知F1，F2分别为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限的点，延长PF2交椭圆于点Q，若PF1⊥PQ，且|PF1|＝|PQ|，则椭圆的离心率为( )
A．2－eq \r(2)B．eq \r(3)－eq \r(2)C．eq \r(2)－1D．eq \r(6)－eq \r(3)
7．(双曲线离心率的取值范围)已知点F1，F2分别是双曲线C：x2－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点，点O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1≥4，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A．(1，eq \f(\r(17),3)] B．[eq \f(\r(17),3)，＋∞) C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(17,9)))D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,9)，＋∞))
8．[2023·石家庄教学质量检测(一)](双曲线离心率)已知F1，F2分别为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点A在双曲线上，且∠F1AF2＝60°，若∠F1AF2的角平分线经过线段OF2(O为坐标原点)的中点，则双曲线的离心率为( )
A．eq \r(7)B．eq \f(\r(7),2)C．eq \r(14)D．eq \f(\r(14),2)
9．[2023·大庆实验中学调研](椭圆离心率的取值范围)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，过原点的直线交椭圆于A，B两点，以AB为直径的圆过右焦点F，若∠FAB＝α，α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,3)))，则此椭圆离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\r(3)－1))B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(6),3)))C．(0，eq \f(\r(2),2)] D．[eq \f(\r(6),3)，1)
10．[2023·昆明市“三诊一模”教学质量检测](椭圆离心率)已知F1，F2分别是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是椭圆短轴的端点，点N在椭圆上，若eq \(MF1,\s\up6(→))＝3eq \(NF2,\s\up6(→))，则椭圆E的离心率为( )
A．eq \f(1,3)B．eq \f(1,2)C．eq \f(\r(2),2)D．eq \f(\r(6),3)
11．[2023·福建龙岩调研](双曲线离心率的取值范围)设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2c，过F2作x轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A，点Q坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(3a,2)))，且满足|F2Q|>|F2A|，若双曲线C的右支上存在点P使得|PF1|＋|PQ|A．(1, eq \r(\f(10,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))C．(eq \f(3,2)，eq \f(\r(10),2)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
12．(综合运用)设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F作x轴的垂线l交两条渐近线于A，B两点，l与双曲线的一个交点为P.设O为坐标原点，若eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，且mn＝eq \f(2,9)，则该双曲线的离心率为( )
A．eq \f(3\r(2),2)B．eq \f(3\r(5),5)C．eq \f(3\r(2),4)D．eq \f(8,9)
[答题区]
13.(双曲线离心率)已知M为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支上一点，A，F分别为双曲线C的左顶点和右焦点，线段FA的垂直平分线过点M，∠MFA＝60°，则C的离心率为________．
14．(椭圆离心率)已知点P(m，4)是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2分别是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆的半径为eq \f(3,2)，则此椭圆的离心率为________．
15．[2023·长春市高三质量监测(三)](双曲线离心率)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，且tan∠PF2O＝eq \f(1,3)，则双曲线的离心率为________．
16．(椭圆、双曲线离心率综合)已知椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，双曲线N：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
热点（十一） 离心率
1．B 由题意得2b＝a＋c，所以4（a2－c2）＝a2＋c2＋2ac，3a2－2ac－5c2＝0，两边同除以a2得到3－2e－5e2＝0，因为02．C 由已知得m＝±6，当m＝6时，圆锥曲线是椭圆，a＝eq \r(6)，b＝1，c＝eq \r(5)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(30),6)；当m＝－6时，圆锥曲线是双曲线，a＝1，b＝eq \r(6)，c＝eq \r(7)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(7)，故选C.
3．A 双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为bx±ay＝0.
又∵离心率eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \r(3)，
∴a2＋b2＝3a2，∴b＝eq \r(2)a.
∴渐近线方程为eq \r(2)ax±ay＝0，即y＝±eq \r(2)x.故选A.
4．A
不妨设椭圆E的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1（a>b>0），如图所示，因为△PF1F2为直角三角形，所以PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝2eq \r(2)c，所以|PF1|＋|PF2|＝2c＋2eq \r(2)c＝2a，所以椭圆E的离心率e＝eq \r(2)－1.故选A.
5．C 不妨取双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）的一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，即bx－ay＝0，化圆x2＋y2－2x＋eq \f(1,5)＝0的方程为标准方程，得（x－1）2＋y2＝eq \f(4,5)，则圆心坐标为（1，0），半径为eq \f(2\r(5),5).由题意可得eq \f(|b|,\r(a2＋b2))＝eq \f(2\r(5),5)，即eq \f(b2,a2＋b2)＝eq \f(4,5)，即eq \f(c2－a2,c2)＝eq \f(4,5)，所以c2＝5a2，所以双曲线C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5)，故选C.
6．D 设|PF1|＝|PQ|＝m（m>0），则|PF2|＝2a－m，|QF2|＝2m－2a，|QF1|＝4a－2m.由题意知△PQF1为等腰直角三角形，所以|QF1|＝eq \r(2)|PF1|，故m＝4a－2eq \r(2)a.因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，所以（4a－2eq \r(2)a）2＋[2a－（4a－2eq \r(2)a）]2＝4c2，整理得4·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))eq \s\up12(2)＝36－24eq \r(2)，即eq \f(c,a)＝eq \r(9－6\r(2))＝eq \r(6)－eq \r(3)，故选D.
7．A ∵|F1F2|＝2|OP|，∴F1P⊥F2P.
记|PF1|＝x，|PF2|＝y，则x2＋y2＝（2c）2＝4c2.
又x－y＝2a，∴2xy＝4c2－4a2，
∴（x＋y）2＝4c2＋4c2－4a2＝8c2－4a2，
∴x＋y＝2eq \r(2c2－a2).
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝2a，,x＋y＝2\r(2c2－a2)))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(2c2－a2)＋a，,y＝\r(2c2－a2)－a.))
∵tan∠PF2F1＝eq \f(x,y)≥4，
∴eq \r(2c2－a2)＋a≥4（eq \r(2c2－a2)－a），解得e2≤eq \f(17,9).
又e>1，∴18．B 不妨设点A在第一象限，OF2的中点为M，则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)，0))，
由角平分线分线段成比例得，eq \f(|AF1|,|AF2|)＝eq \f(|F1M|,|MF2|)＝eq \f(\f(3,2)c,\f(1,2)c)＝3，即|AF1|＝3|AF2|，
由双曲线的定义得|AF1|－|AF2|＝2a，所以|AF1|＝3a，|AF2|＝a.
在△AF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cs60°，即4c2＝9a2＋a2－2×3a×a×eq \f(1,2)，即4c2＝7a2，所以e2＝eq \f(7,4)，又e>1，所以e＝eq \f(\r(7),2)，故选B.
9．B
设椭圆的另一个焦点为F′，连接AF′，BF，BF′，如图所示，则四边形AFBF′是矩形，所以|AB|＝|FF′|＝2c，|FA|＝2c·csα，|FB|＝2c·sinα，由椭圆的定义可知，|FA|＋|AF′|＝|FA|＋|FB|＝2a，即2c·csα＋2c·sinα＝2a.
所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,sinα＋csα)＝eq \f(1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))).
因为α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,3)))，所以eq \f(π,4)＋α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(7π,12)))，eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，\r(2)))，所以e∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(6),3))).故选B.
10．C 不妨设M（0，b），F1（－c，0），F2（c，0），N（x，y），因为eq \(MF1,\s\up6(→))＝3eq \(NF2,\s\up6(→))，所以（－c，－b）＝3（c－x，－y），
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,3)c,y＝\f(b,3)))，代入椭圆方程得eq \f(16,9)e2＋eq \f(1,9)＝1，得e＝eq \f(\r(2),2)，故选C.
11．C 将x＝c代入双曲线的方程可得y＝±beq \r(\f(c2,a2)－1)＝±eq \f(b2,a)，由|F2Q|>|F2A|，可得eq \f(3a,2)>eq \f(b2,a)，则3a2>2b2＝2（c2－a2），
所以离心率e＝eq \f(c,a)又存在点P，使得|PF1|＋|PQ|当F2，P，Q共线且P在第一象限时，|PF2|＋|PQ|取得最小值，最小值为|F2Q|＝eq \f(3,2)a，所以eq \f(7,3)c>2a＋eq \f(3,2)a，
所以e＝eq \f(c,a)>eq \f(3,2). ②
由e>1及①②可得，e的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(10),2))).故选C.
12．C
如图所示，设双曲线的右焦点F的坐标为（c，0），易知Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(bc,a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(bc,a)))，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a))).
由eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(mc，\f(mbc,a)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(nc，\f(－nbc,a)))，所以m＋n＝1，mc－cn＝b.又mn＝eq \f(2,9)，解得m＝eq \f(2,3)，n＝eq \f(1,3)，c＝3b.因为a＝eq \r(c2－b2)＝eq \r(9b2－b2)＝2eq \r(2)b，所以双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3b,2\r(2)b)＝eq \f(3\r(2),4).故选C.
13．答案：4
解析：如图所示，设双曲线C的左焦点为F1，连接MF1，由题意知|MF|＝a＋c，|MF1|＝3a＋c，在△MF1F中，由余弦定理得|MF1|2＝|F1F|2＋|MF|2－2|F1F||MF|cs60°，所以（3a＋c）2＝（2c）2＋（a＋c）2－2×2c（a＋c）·eq \f(1,2)，整理得4a2＋3ac－c2＝0，因为e＝eq \f(c,a)，所以e2－3e－4＝0，因为e>1，所以e＝4.
14．答案：eq \f(3,5)
解析：因为△PF1F2的内切圆的半径为eq \f(3,2)，所以△PF1F2的面积S＝eq \f(1,2)（|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|）r，其中r为△PF1F2的内切圆的半径，即S＝（a＋c）r＝eq \f(3,2)（a＋c），又△PF1F2的面积S＝eq \f(1,2)·|F1F2|·4＝4c，所以eq \f(3,2)（a＋c）＝4c，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,5).
15．答案：eq \r(10)
解析：由题意可知，焦点到渐近线的距离等于虚半轴长，在Rt△OPF2中，|PF2|＝b，|OF2|＝c，则|OP|＝a，又tan∠PF2O＝eq \f(|OP|,|PF2|)＝eq \f(a,b)＝eq \f(1,3)，所以e＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \r(10).
16．答案：eq \r(3)－1 2
解析：方法一 如图，∵双曲线N的渐近线方程为y＝±eq \f(nx,m)，∴eq \f(n,m)＝tan60°＝eq \r(3)，
∴双曲线N的离心率e1满足e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝1＋eq \f(n2,m2)＝4，∴e1＝2.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)x，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))得x2＝eq \f(a2b2,3a2＋b2).
设D点的横坐标为x，由正六边形的性质得|ED|＝2x＝c，∴4x2＝c2.
∴eq \f(4a2b2,3a2＋b2)＝a2－b2，得3a4－6a2b2－b4＝0，
∴3－eq \f(6b2,a2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,a2)))eq \s\up12(2)＝0，解得eq \f(b2,a2)＝2eq \r(3)－3.
∴椭圆M的离心率e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝1－eq \f(b2,a2)＝4－2eq \r(3).
∴e2＝eq \r(3)－1.
方法二 ∵双曲线N的渐近线方程为y＝±eq \f(n,m)x，
则eq \f(n,m)＝tan60°＝eq \r(3)，
又c1＝eq \r(m2＋n2)＝2m，
∴双曲线N的离心率为eq \f(c1,m)＝2.
如图，连接EC，由题意知，F，C为椭圆M的两焦点，设正六边形边长为1，则|FC|＝2c2＝2，即c2＝1，|EF|＝1，又△EFC为直角三角形，|EC|＝eq \r(|FC|2－|EF|2)＝eq \r(3).
又E为椭圆M上一点，则|EF|＋|EC|＝2a，即1＋eq \r(3)＝2a，a＝eq \f(1＋\r(3),2).
∴椭圆M的离心率为eq \f(c2,a)＝eq \f(2,1＋\r(3))＝eq \r(3)－1.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案