湖南省长沙市华益中学2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份湖南省长沙市华益中学2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，如图所示的图案中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．据统计，全球每分钟约有8 500 000t污水排入江河湖海，把8 500 000这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．8.5×105B．8.5×106C．8.5×107D．85×106
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C．D．
4．整式为某完全平方式展开后的结果，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（）
A．B．C．D．
6．已知三角形的一边长为8，则它的另两边长分别可以是（ ）
A．2，9B．17，29C．3，12D．4，4
7．如图，中，，，以下结论中不一定正确的是（ ）

A．B．是的角平分线
C．为的中点D．
8．若的积中不含的一次项，那么与一定是（ ）
A．互为相反数B．互为倒数C．相等D．比大
9．如图，，，的垂直平分线交于点，连接，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
10．如图所示，在边长为2的等边三角形中，为的中点，为的中点，过点作交于，交于，是线段上一个动点，连接，，则的周长的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．把多项式分解因式的结果是 ．
12．已知，，则 ．
13．一个正多边形的内角和为，则这个多边形的边数为 ．
14．如图，在中，，点D为边的中点，于E，若，则的长为 ．

15．图中阴影部分是一块绿地，根据图中所给的数据（长度单位：），则阴影部分的面积为 （结果用含的式子表示）．
16．如图，在平面直角坐标系中，C（4，4），点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠ACB＝90°，则OA＋OB＝ ．
三、解答题（本大题共9个大题，共72分）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中，．
19．如图，网格中的和是轴对称图形．
(1)利用网格线，作出和的对称轴；
(2)如果每个小正方形的边长为1，则的面积为__________．
20．4月23日是世界读书日，为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中的值；
(2)请将条形统计图补充完整，求艺术类所占圆心角度数；
(3)若该校共有名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．
21．如图，与相交于点，，，．
（1）求证：
（2）求证：垂直平分．

22．随着新能源汽车的普及，为节省运输成本，某汽车运营公司计划购进型与型两种品牌的新能源汽车，据了解，2辆型汽车和3辆型汽车的进价共计万元；4辆型汽车和2辆型汽车的进价共计万元．
(1)型与型汽车每辆的进价分别是多少万元？
(2)该公司计划购进型与型两种汽车共辆，总购进费用不超过万元，那么该公司最多可购进型汽车多少辆？
23．如图，中，为上一点，，于点，于点，、相交于点，．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
24．对于任意实数，，我们规定：，，例如：，．
(1)填空：
①_________；
②若，则_________；
③若，则_________0．（填“”，“”或“=”）
(2)若，且，求与的值；
(3)若正整数，满足，，求的值．
25．已知，如图，在中，延长至点，过点作平分，且．
(1)求证：；
(2)如图2，若，在上取点，上取点，使，连接，，，求证：是等边三角形；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点作，分别交，，于，，，连接交于点．
①求证：；
②若，，，求的长．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可；
【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
2．B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：将8 500 000用科学记数法表示为8.5×106．
故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，解答关键要正确确定a的值以及n的值．
3．C
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，利用合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方的运算法则对各选项进行计算即可判断．
【详解】解：A．，故不符合题意；
B．，故不符合题意；
C．，故符合题意；
D．，故不符合题意；
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了完全平方公式．熟练掌握是解题的关键．
根据完全平方公式进行求解即可．
【详解】解：∵整式为某完全平方式展开后的结果，
∴由题意知，，
故选：B．
5．A
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：①关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
根据平面直角坐标系中任意一点，，关于轴的对称点的坐标是即可得出答案．
【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是．
故选：A．
6．A
【分析】根据三角形三边关系判断即可；
【详解】＞8，＜8，故A正确；
＞8，＞8，故B错误；
＞8，＞8，故C错误；
，故D错误；
故答案选A．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，准确分析判断是解题的关键．
7．D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质．熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形是轴对称图形是解题的关键．
由题意知，是等腰三角形，根据等腰三角形的性质进行判断作答即可．
【详解】解：∵中，，
∴是等腰三角形，
∵，
∴由等腰三角形的性质可知，，是的角平分线，为的中点，
∴A、B、C正确，故不符合要求；
∵与不一定相等，
∴D错误，故符合要求；
故选：D．
8．C
【分析】本题考查了多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键．
由题意知，，且，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，，
∵的积中不含的一次项，
∴，即，
故选：C．
9．B
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线的点到线段两端的距离相等．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
10．C
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称一最短路线问题，连接，首先证明是的垂直平分线，得，则的周长为，当B、P、A共线时，的最小值为2，从而得出答案．
【详解】解：连接，如下图：
∵点G是的中点，是等边三角形；
∴，
∵，
∴
∵为的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴的周长为
当B、P、A共线时，的最小值为边长2，
∴的周长最小值为3，
故选∶C．
11．
【分析】本题主要考查分解因式中提公因式法与公式法的综合运用．
【详解】解：
故答案为：．
12．12
【分析】根据同底数幂乘法的逆运算可知，由幂的乘方的逆运算可知，再将，代入求解．
【详解】解：
故答案为12．
【点睛】本题考查了幂的运算，同底数幂的乘法逆运算，幂的乘方的逆运算，灵活利用幂的逆运算将所求式转化为已知式是解题的关键．
13．6
【分析】本题主要考查多边形的内角和公式．掌握n边形的内角和为即可解题．
【详解】解：根据多边形的内角和公式得出：
解得：．
故答案为：6．
14．
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长，等角对等边，即可得出的长．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵D为边的中点，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查等角对等边，含30度角的直角三角形的性质．熟练掌握等角对等边，以及30度所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了列代数式，整式的加减运算．根据题意正确的表示阴影部分面积是解题的关键．
由题意知，大长方形的长为，宽为，两个相同的小长方形的长为，宽为，依题意得，，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，大长方形的长为，宽为，两个相同的小长方形的长为，宽为，
依题意得，，
故答案为：．
16．8
【分析】过C作CM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N，得出四边形CMON是正方形，推出OM=ON=CN=4，证△ACM≌△BCN，推出AM=BN，求出OA+OB=ON+OM，代入求出即可．
【详解】解：过C作CM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N，
∵C（4，4），
∴CN=CM=4，
∵x轴⊥y轴，
∴∠MON=∠CNO=∠CMO=90°，
∴∠MCN=360°-90°-90°-90°=90°，
则四边形MONC是正方形，
∴OM=ON=CN=CM=4，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠MON，
∴∠MCA=90°-∠ACN，∠BCN=90°-∠ACN，
∴∠ACM=∠BCN，
在△ACM和△BCN中，
，
∴△ACM≌△BCN（ASA），
∴AM=BN，
∴OA+OB
=OA+ON+BN
=OA+ON+AM
=ON+OM
=4+4
=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，关键是推出AM=BN和推出OA+OB=OM+ON．
17．
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，根据运算法则是解题即可．
【详解】解：
18．，
【分析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，完全平方公式．熟练掌握平方差公式，完全平方公式是解题的关键．
利用平方差公式，完全平方公式计算，然后合并同类项可得化简结果，最后代值求解即可．
【详解】解：由题意知，
，
将，，代入原式．
19．(1)作图见解析
(2)
【分析】本题考查了根据轴对称的性质作图，利用网格求三角形面积．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：由轴对称的性质可知，如图，直线即为所求；
（2）解：由题意知，，
故答案为：．
20．(1)
(2)补图见解析，
(3)
【分析】（1）用最喜欢“其他类”学生人数除以所占百分比求出被抽查的总人数，再用最喜欢“科技类”学生人数除以总人数，即可求出的值；
（2）由题意知，艺术类人数为，然后补图即可，再根据，计算求解圆心角即可；
（3）根据，计算求解即可；
【详解】（1）解：由题意知，被调查的总人数为（人），
∴，
∴的值为；
（2）解：由题意知，艺术类人数为（人），
补图如下：
∴艺术类所占圆心角度数为；
（3）解：估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数为（人），
∴估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数为人．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角，用样本估计总体等知识．从统计图中获取正确的信息是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）由“ASA”可证△AOB≌△COD，可得OB=OD；
（2）由OB=OD，且BE=DE，可得OE垂直平分BD．
【详解】（1）证明：在△AOB与△COD中，

∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB=OD，
（2）∵OB=OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE=DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明OB=OD是本题的关键．
22．(1)型每辆的进价是万元，型汽车每辆的进价是万元
(2)7辆
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用．根据题意正确的列等式、不等式是解题的关键．
（1）设型每辆的进价是万元，型汽车每辆的进价是万元，依题意得，，计算求解即可；
（2）设购进型汽车辆，则型两种汽车辆，依题意得，，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：设型每辆的进价是万元，型汽车每辆的进价是万元，
依题意得，，
解得，，
∴型每辆的进价是万元，型汽车每辆的进价是万元；
（2）解：设购进型汽车辆，则型两种汽车辆，
依题意得，，
解得，，
∴最多可购进型汽车7辆．
23．(1)
(2)2
【分析】（1）由三角形内角和定理得，则，根据，计算求解即可；
（2）由（1）可知，则，由三角形内角和定理求得，则，证明，根据，求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为；
（2）解：由（1）可知，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴的长为2．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等角对等边，含的直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等角对等边是解题的关键．
24．(1)①；②3；③0
(2)3，1
(3)3或6
【分析】（1）①由题意知，，计算求解即可；②由题意知，，计算求解即可；③由题意知，，则，然后作答即可；
（2）由题意知，，整理得，，根据，，计算求解即可；
（3）由题意知，，则，，，整理得，，即，分当时，当时，当时，当时，当时，当时；计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）①解：由题意知，，
故答案为：；
②解：由题意知，，
解得，，
故答案为：3；
③解：由题意知，，
∴，
故答案为：0；
（2）解：∵，
∴，整理得，，
∵，
∴，
∴；
∴的值为3，的值为1；
（3）解：∵，，
∴，
∴，即，
∵正整数，，
∴，即，
∴，即，
∵，
∴，整理得，，
∴，
∴当时，，（舍去）；
当时，，（舍去）；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
综上所述，的值为3或6．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，一元一次方程，二元一次方程，代数式求值．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
25．(1)见详解
(2)见详解
(3)①见详解；②1
【分析】（1）由平行线的性质可得，由角平分线的性质可得，得出即可求解；
（2）由“”可证，可得，可得结论；
（3）①由等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质证明和是等边三角形，可得，由“”可证．
②根据，可得，根据①中可得设，可得根据①中可得得出即可求解．
【详解】（1）证明：∵
平分
（2）证明：∵
是等边三角形，
又
是等边三角形；
（3）①是等边三角形，
是等边三角形，
即，
，
又
，
又
是等边三角形，
又
②
，
，
设，
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．