河北省石家庄市栾城区石家庄市第四十八中学2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份河北省石家庄市栾城区石家庄市第四十八中学2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．面积为 2 的正方形的边长是（ ）
A．2的平方根B．2的算术平方根C．2开平方的结果D．2的立方根
2．分式，的最简公分母是（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示，，下面四个结论中，不正确的是（ ）．
A．和的面积相等B．和的周长相等
C．D．，且
4．在，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加），其中无理数的个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
5．下列式子为最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，已知，，.若，，则的长为（ ）
A．4B．3.5C．3D．2.5
7．若，为实数，且满足，则的值为（ ）
A．2B．0C．D．以上都不对
8．下列各图中a、b、c为△ABC的边长，根据图中标注数据，判断甲、乙、丙、丁四个三角形和如图△ABC不一定全等的是（ ）
A．B．
C．D．
9．定义新运算：且，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
10．如图（1）所示，已知线段，，求作，使，，张蕾的作法如图（2）所示，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．作的依据为B．弧是以长为半径画的
C．弧是以点A为圆心，为半径画的D．弧是以长为半径画的
11．解分式方程，去分母后得到的方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．若实数的立方根与的立方根互为相反数，则与的关系是（ ）
A．B．C．D．
13．下列二次根式：①；②；③；④中，能与合并的是（ ）
A．①②B．②③C．①④D．③④
14．如图所示，数轴上表示1，的点分别为，且两点到点A的距离相等，则点C所表示的数是（ ）

A．B．C．D．
15．下列说法错误的是（ ）
A．近似数与表示的意义不同
B．近似数精确到
C．保留两位小数的近似数是
D．近似数万精确到了千分位
16．如图，在中，，，点是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图（）放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与，重合，连接，与交于点．下列判断正确的有（ ）
①； ②；
③； ④．
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
二、填空题
17．分式有意义的的取值范围是 ．
18．①化简： ；②比较大小： （填“”，“”或“”）；③和之间的所有整数之和为 .
19．如图，点 C在线段 BD上，AB⊥BD于 B，ED⊥BD于 D．∠ACE＝90°，且 AC＝5cm，CE＝6cm，点 P以 2cm/s的速度沿 A→C→E向终点 E运动，同时点 Q以 3cm/s的速度从 E 开始，在线段 EC上往返运动（即沿 E→C→E→C→…运动），当点 P到达终点时，P，Q同时停止运动．过 P，Q分别作 BD的垂线，垂足为 M，N．设运动时间为 ts，当以 P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为 ．
三、解答题
20．计算
(1)计算：；
(2)计算：；
(3)化简：．
21．已知一块面积为的正方形画布．
(1)求该正方形画布的边长；
(2)甲乙两名同学想沿着该正方形画布边的方向裁下一块长方形画布．其中，甲的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：；乙的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：．问甲乙两人的方案是否可行？并说明理由．
22．如图，在中，是边上的中线，是边上一点，延长至点，使，连结．
(1)求证：．（要求写出每一步的理论依据）
(2)当，时，求的度数．
23．实数与满足．
(1)写出与的取值范围；
(2)已知是有理数．
①当是正整数时，求的值；
②当是整数时，将符合条件的的值从大到小排列，请直接写出排在第3个位置和第11个位置的数．
24．为防控“新型冠状病毒”，某药店分别用1600元、6000元购进两批防护口罩，第二批防护口罩的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元，请问药店第一批防护口罩购进了多少只？
（1）填空
①同学甲：设__________，则方程为__________；
②同学乙：设__________，则方程为．
（2）请选择其中一名同学的设法，写出完整的解答过程．
25．直线经过的顶点，．，分别是直线上两点，且．

【数学思考】
若直线经过的内部，且，在射线上，请解决下面两个问题：
（1）①如图1，若，，求证：；
（2）②如图2，若，当与之间满足怎样的数量关系时，①中结论仍然成立，并给予证明．
【问题拓展】
（3）如图3，若直线经过的外部，，请直接写出，和之间数量关系．
参考答案与解析
1．B
【分析】分别根据平方根的定义，算术平方根的定义以及立方根的定义判断即可．
【详解】解：面积为2的正方形的边长是2的算术平方根．
故选：．
【点睛】本题考查了立方根，平方根、算术平方根，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
2．B
【分析】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此作答即可．
【详解】分式，的分母分别是、，故最简公分母是；
故选：B．
3．C
【分析】本题主要考查全等三角形的性质及应用，熟练掌握全等三角形对应边、对应角相等的性质是解答本题的关键．
【详解】解：∵，
∴两个全等的三角形是一定能够完全重合的图形，
∴和的面积与周长都相等．
∴选项A、B都正确，不符合题意．
又∵，
∴
∴（全等三角形的对应角相等）
∴与不一定相等，
∴选项C不正确，符合题意．
又∵，
∴（全等三角形的对应边相等）
又∵
∴（内错角相等两直线平行）
∴选项D正确，不符合题意．
4．A
【分析】本题考查了无理数的定义，无理数是无限不循环小数．根据定义回答即可找到答案．
【详解】解：，，这三个是无理数．
故选：A．
5．A
【详解】解：选项A，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式， A符合题意；
选项B，被开方数含能开得尽方的因数4，B不符合题意；
选项C，被开方数含能开得尽方的因式， C不符合题意；
选项D，被开方数含分母， D不符合题意，
故选A．
6．B
【分析】由已知，，，运用角边角可判定，得到，再根据线段之间的长度关系计算即可.
【详解】解：，，，
，
，
.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和线段长度的计算，观察图形，熟练运用相关知识点是解答关键.
7．C
【分析】本题主要考查了非负数的应用，先根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可．掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，解得，
∴．
故选：C．
8．A
【分析】由已知得∠A=180º-∠B-∠C =180º-70º-50º=60º，利用全等三角形的判定即可判断．
【详解】
由已知得∠A=180º-∠B-∠C =180º-70º-50º=60º
A.a与c的夹角没定，为此与△ABC不一定全等，则选择A
B.利用SAS可证全等，
C.利用AAS可证全等，
D. 利用SSS可证全等，
故选择：A．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，掌握三角形的判定方法，会用SSS，SAS ，AAS ，ASA ，来识别图形是否全等，看清条件，选则恰当的判定方法是关键．
9．B
【分析】本题考查了实数的新定义运算，根据题意列出算式，进行计算即可求解．
【详解】解：依题意，
故选：B．
10．A
【分析】根据作图痕迹可得，先在射线上截取，再分别以B,C为顶点，在线段的两端作，从而可得出所要求的三角形，熟悉掌握尺规作图原理是解决本题的关键．
【详解】A、根据作图知，作的依据为，故选项正确；
B、弧是以长为半径画的，故选项错误；
C、弧是以B为圆心，为半径画的，故选项错误；
D、弧是以长为半径画的，故选项错误．
故选：A
11．D
【分析】分析：分式方程两边乘以（x−2）即可得到结果．
【详解】
去分母得：2x＝（x−2）＋1，
故选：D．
【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．C
【分析】本题考查了实数的运算，相反数，立方根，根据题意列出，移项，再两边同时进行3次方，即可判断．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：C．
13．C
【分析】先化简各二次根式，然后找出被开方数为3的二次根式即可．
【详解】解：①②不能化简，③④
与是同类二次根式，能合并，
故选C．
【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
14．D
【分析】利用数轴上两点间的距离公式，根据距离相等列方程，求解即可．
【详解】解：设C所表示的数是x，
点C与点B关于点A对称，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查的是数轴上两点间的距离，实数与数轴，关键是理解距离的含义，就是用右边的数减去左边的数．
15．D
【分析】本题考查了近似数的相关知识点，熟记相关结论是解题关键．
【详解】解：近似数精确到了十分位，而精确到了百分位，故意义不同，A不符合题意；
近似数精确到，B不符合题意；
保留两位小数的近似数是，C不符合题意；
近似数万精确到了十分位，D符合题意
故选：D
16．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质和三角形的面积：利用为等腰直角三角形得到，，则，则可根据“”判断，从而对①进行判断；再利用证明，则可对②进行判断；由①②得出，可对③进行判断；由得到，由得到，从而可对④进行判断．
【详解】解：，点是线段的中点，
，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
，所以①正确；
，
，
，所以②正确；
由①②得，，
为等腰直角三角形．
，所以③正确；
，
，
，
在中，
，
，
，
，所以④错误．
故选：B．
17．
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解决此题的关键．根据分式有意义的条件得出，然后求解即可．
【详解】解：根据题意，得，
解得．
故答案为：．
18． ##
【分析】本题考查的知识点是实数的大小比较、求一个数的绝对值、无理数的大小估算，解题关键是熟练掌握平方根大小比较方法．
先判断是否大于，再根据绝对值性质求解；
通过比较和的大小关系即可判断与的大小关系；
先判断和的取值范围，再将范围内的所有整数相加即可求解．
【详解】解：，
，
；
，
；
，，
和之间所有的整数和为．
故答案为：；；．
19．1或或
【分析】根据全等三角形的性质可得PC＝CQ，然后分三种情况根据PC＝CQ分别得出关于t的方程，解方程即得答案．
【详解】解：当点P在AC上，点Q在CE上时，如图，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5﹣2t＝6﹣3t，解得：t＝1；
当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5﹣2t＝3t﹣6，解得：t＝；
当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴2t﹣5＝18﹣3t，解得：t＝；
综上所述：t的值为1或或．
故答案为：1或或．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，正确分类、灵活应用方程思想、熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先根据零指数幂、负整数指数幂的意义，二次根式的性质化简，再算加减；
（2）先逐项化简，再算加减；
（3）先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简．
【详解】（1）原式
（2）原式
（3）原式
【点睛】本题考查了零指数幂、负整数指数幂的意义，二次根式的混合运算，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21．(1)该正方形画布的边长为
(2)甲方案不可行，乙方案可行，理由见解析
【分析】（1）根据算术平方根的定义即可求解；
（2）甲方案中，设长方形纸片的长为，宽为，乙方案中，设长方形纸片的长为，宽为，分别列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）∵正方形画布的面积为400
∴该正方形画布的边长为．
（2）甲的方案不可行，乙方案可行
甲方案中，设长方形纸片的长为，宽为，
则，即，
，
解得：（负值舍去），
长方形的长为．
，但正方形纸片的边长只有，故甲方案不可行；
乙方案中，设长方形纸片的长为，宽为，
则，即，
解得：（负值舍去），
长方形的长为，故乙方案可行，
综上，甲方案不可行，乙方案可行．
【点睛】本题考查了算术平方根的实际应用，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
22．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】对于（1），先根据中线的定义得，再根据证明；
对于（2），先根据垂直定义，再根据证明，可求，然后根据三角形内角和定理得出答案．
【详解】（1）证明：是边上的中线（已知）．
（三角形中线的定义），
在和中，，
；
（2）（已知），
（垂直的定义）.
在和中，
，
（SAS），
（全等三角形的性质），
平分（角平分线的定义）.
（已知），
（等量代换），
在中，（三角形内角和定理），
（等式的基本性质）.
又（已证），
（全等三角形的性质）.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判断，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形的中线和高线的性质等，选择适当的全等三角形判定定理是解题的关键．
23．(1)
(2)①或②
【分析】（1）由二次根式有意义的条件解题即可；
（2）①把正整数的值一次代入，将是有理数的数值留下即可；②要使是有理数，则为的整数倍，即可以得到知第3个数，第11个数，代入求出的值．
【详解】（1）解：由题可知：
解得：;
（2）①∵是正整数时，
∴可以取，
这时b的对应值为：，
又∵是有理数，
∴或；
②∵是有理数，
∴的整数倍，
当是正整数时，则，
由①可知第3个数，第11个数，
即，
解得：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件和二次根式的乘法，掌握二次根式的有意义条件是解题的关键．
24．（1）①购进第一批防护口罩只、2②第一批防护口罩的单价为元；x+2；
（2）200只，过程见解析
【分析】（1）①根据等量关系：第二批的单价﹣第一批的单价＝2元，设未知数列方程即可；②根据等量关系：第一批防护口罩的单价×3＝第二批防护口罩的单价，设未知数列方程即可；
（2）根据（1）中的方程，写出过程即可．
【详解】解：（1）①同学甲：设药店第一批防护口罩购进了x只，则方程为﹣＝2；
②同学乙：设药店第一批防护口罩的单价为x元，则方程为3×＝．
故答案是：①药店第一批防护口罩购进了x只；2；②药店第一批防护口罩的单价为x元；x+2；
（2）同学甲：设药店第一批防护口罩购进了x只，则方程为﹣＝2，
解得x＝200．
经检验x＝200是原方程的解，且符合题意．
答：药店第一批防护口罩购进了200只；
同学乙：设药店第一批防护口罩的单价为x元，则方程为3×＝．
解得x＝8．
经检验x＝8是所列方程的解，
所以，＝200．
答：药店第一批防护口罩购进了200只；
【点睛】本题考查分式方程的应用，正确理解题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
25．（1）证明见解析；（2）时，①中的结论仍然成立，理由见解析；（3）
【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）证明，则，，；
（2）当时，，证明，则，，；
（3）证明，则，，．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：当时，①中的结论仍然成立，理由如下：
当时，则，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：；
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴．