黑龙江省哈尔滨市松雷中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市松雷中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：（每小题3分，共计30分）
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．2
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．用科学记数法表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线解析式为（ ）
A．B．
C．D．
7．反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，是的外接圆，为的切线，经过圆心O，且，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，是的边的中点，过点作的平行线交于点，连接，过点作的平行线交于点，若，则长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又每千克降价元出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象，若降价后他将剩余土豆售完时手中的钱（含备用零钱）是元，则他一共带了（ ）千克土豆．
A．B．C．D．
二、填空题：（每小题3分，共计30分）
11．函数的自变量的取值范围是 ．
12．把多项式分解因式的结果是 ．
13．在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色外，形状、大小、质地等完全相同的球，如果口袋中装有2个红球和3个白球，那么从中摸出一个小球，摸到白球的概率为 ．
14．抛物线的顶点坐标是 .
15．计算：﹣= ．
16．不等式组的解集为 .
17．某产品原来每件元，由于连续两次降价，现价为每件元，如果两次降价率相同，则每次降价率为 ．
18．一个扇形的圆心角为150°，弧长，则此扇形的半径是 .
19．矩形中，对角线交于点O，点E在对角线上，若，，，则的长度为 ．
20．如图，四边形中，，则 ．

三、解答题：（21、22题各7分，23、24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．先化简，再求值：，其中．
22．如图，在小正方形的边长均为的方格纸中，有线段，点、均在小正方形的顶点上．

图1 图2
(1)在图1中画一个以线段为一边的平行四边形，点、均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为；
(2)在图2中以为边画一个直角，点在小正方形的顶点上，满足的面积为．
23．我国北方又进入了火灾多发季节，为此，某校在全校1200名学生中随机抽取一部分人进行“安全防火，警钟长鸣”知识问卷调查活动，对问卷调查成绩按“很好”、“较好”、“一般”“较差”四类汇总分析，并绘制了如下扇形统计图和条形统计图．
（1）本次活动共抽取了多少名同学？
（2）补全条形统计图；
（3）根据以上调查结果分析，估计该校1200名学生中，对“安全防火”知识了解“较好”和“很好”的学生大约共计有多少名．
24．如图，在四边形ABCD中，点E在BC上，连接DE、AC相交于点F，∠BAE＝∠CAD，AB＝AE，AD＝AC．
（1）求证：∠DEC＝∠BAE；
（2）如图2，当∠BAE＝∠CAD＝30°，AD⊥AB时，延长DE、AB交于点G，请直接写出图中除△ABE、△ADC以外的等腰三角形．
25．某服装店老板到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装，每套A品牌服装进价比每套B品牌服装进价多25元，若用2000元购进A种服装的数量是用750元购进B种服装数量的2倍．
(1)求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？
(2)若A品牌服装每套售价为130元，B品牌服装每套售价为95元，服装店老板决定，购进B品牌服装的数量比购进A品牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，要使总的获利超过1200元，则最少购进A品牌的服装多少套？
26．如图1，为圆内接三角形，于、交⊙于点，于、交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，作于，求证：；
(3)在（2）的条件下，连接、，若，，，求长．
27．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且．
图1 图2 图3
(1)求抛物线解析式；
(2)如图2，P为第二象限抛物线上的一点，连接、、，若点P的横坐标为t，的面积为S，用含t的式子表示S；
(3)如图3，在（2）的条件下，将线段绕点A逆时针旋转90度，得到线段（O的对应点为H），D为y轴负半轴上一点，F为线段上一点，连接、，连接交于点Q，连接，若，，，求S的值．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符合不同的两个数互为相反数即可求解．
【详解】解：因为只有符合不同的两个数互为相反数，
所以的相反数是，
故选：D．
2．C
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法，幂的乘方，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
故选C．
3．A
【分析】根据三视图的特点即可求解．
【详解】解：正视图中，包括上下两层，且第一层有左右两个组成，第二层有一个，
∴左视图应该有两层组成，且左右没有多余的正方形，
故选：．
【点睛】本题主要考查立体几何的三视图，理解并掌握三视图的特点是解题的关键．
4．B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后两部分重合．理解中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．
5．C
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．的值取决于原数变成时，小数点移动的位数，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
【详解】解：，
故选：C．
6．C
【分析】根据左加上加的原则计算即可．
【详解】因为抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，
所以所得抛物线解析式为即，
故选C．
【点睛】本题考查了抛物线的平移，熟练掌握左加上加的原则是解题的关键．
7．D
【分析】根据反比例函数中，当时函数图象在二、四象限，在每个象限内随的增大而增大，故反比例函数中，得出，求出的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而增大，
∴，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握根据反比例函数的增减性求参数范围是解题的关键．
8．C
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，先根据切线的性质和三角形内角和定理求出，再由平角的定义求出，则由圆周角定理可得．
【详解】解：如图所示，连接，
∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
9．D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
【详解】，，
，，
是的边的中点，
，，
，
，
，
．
故选：D．
10．D
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据图像获取信息是解题的关键．根据图像先求出农民自带的零钱和降价前的销售量，再求出降价前的单价，从而得到降价后的单价，结合图形求出降价后的销售量，最后根据“总量=降价前的销售量+降价前的销售量”即可求解．
【详解】解：由图像可得，农民自带的零钱为元，降价前的销量为千克，
降价前的单价：（元），
降价后的单价：（元），
降价后的销售量：（千克），
土豆总量：（千克），
故选：D．
11．
【分析】本题主要考查了自变量的取值范围，当函数表达式是分式时，分式的分母不能为．该函数由分式组成，故分母不等于，即可求出的范围．
【详解】解：根据题意得：，
解得，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了综合运用提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握相关知识是解题关键．先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：，
，
，
分解因式的结果是，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用白球的数量除以球的总数即可得到答案．
【详解】解：∵口袋中装有2个红球和3个白球，每个球被摸到的概率相同，
∴从中摸出一个小球，摸到白球的概率为，
故答案为：．
14．（3，-4）
【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可.
【详解】解：抛物线y=2（x-3）2-4的顶点坐标是（3，-4），
故答案为（3，-4）．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键.
15．
【分析】先将二次根式化简，然后合并同类二次根式即可．
【详解】原式=3-2
=．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题得关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
16．x＞3
【详解】解：
由（1）得：x≥1；
由（2）得：x＞3，∴原不等式的解集为：x＞3．故答案为x＞3．
17．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据实际问题找到等量关系并列出方程．解答此题利用的数量关系是：商品原来价格（每次降价的百分率）2 现在价格，设出未知数，列方程解答即可．
【详解】解：设每次降价率为，
由题意得：，
解得：或（舍去），
每次降价率为，
故答案为：．
18．24
【分析】根据弧长公式即可得到关于扇形半径的方程即可求解．
【详解】解：设扇形的半径是R，则
解得：R=24．
故答案为24．
【点睛】题主要考查了扇形的弧长，正确理解公式是解题的关键．
19．或
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，过点A作于F，由矩形的性质得到，利用勾股定理求出，进而证明是等边三角形，得到，则，再分当点E在上时，当点E在上时，两种情况求出的长，再利用勾股定理求出答案即可．
【详解】解：如图所示，过点A作于F，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
当点E在上时，
∵，
∴，
∴；
当点E在上时，则，
∴；
综上所述，的长度为或，
故答案为：或．
20．
【分析】过作于，过作于，根据矩形的判定得出四边形是矩形，根据矩形的性质得出，设，则，根据得出，求出，再根据勾股定理求出即可．
【详解】解：过作于，过作于，则

∵，
四边形是矩形，
设则
即，
由勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了梯形的性质，解直角三角形，矩形的性质和判定，平行线的性质等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．
21．，
【分析】根据分式的除法和减法法则对原式进行约分化简，然后根据特殊角三角形函数值求出x，再将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：
，
∵x＝2tan60°﹣4sin30°＝，
∴原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值及特殊角三角函数值的运算，解答本题的关键是明确分式化简求值的计算方法．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了应用设计与作图，平行四边形的性质，勾股定理，正确结合网格分析是解题关键．
（1）画一个平行四边形，使其面积为即可；
（2）以为底，则直角三的面积为即可．
【详解】（1）如图1，四边形即为所求；
（2）如图2，即为所求，
，，
．
23．（1）60人；（2）答案见解析；（3）900人．
【分析】（1）用调查成绩“很好”的人数除以所占的百分比即可求出总人数；
（2）用总人数乘以“较好”所占的百分比即可求出“较好”的人数，即可补全条形统计图；
（3）先求出样本中对“安全防火”知识了解“较好”和“很好”的学生所占的百分比，然后用1200乘以这个百分比即可求出答案．
【详解】（1）（人）
∴本次活动共抽取了60名同学；
（2）“较好”的人数为 ，
条形统计图如下：
（3）（人）
∴该校1200名学生中，对“安全防火”知识了解“较好”和“很好”的学生大约共计有多900名．
【点睛】本题主要考查条形统计图和扇形统计图，能够从条形统计图和扇形统计图中获取有效信息是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）△AEF、△ADG、△DCF、△ECD
【分析】（1）根据已知条件得到∠BAE＝∠CAD，根据全等三角形的性质得到∠AED＝∠ABC，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠AEB，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】证明：（1）如图1，∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE＋∠CAE＝∠CAD＋∠CAE，
即∠BAC＝∠EAD，
在△AED与△ABC中，
∴△AED≌△ABC，
∴∠AED＝∠ABC，
∵∠BAE＋∠ABC＋∠AEB＝180°，
∠CED＋∠AED＋∠AEB＝180°，
∵AB＝AE，
∴∠ABC＝∠AEB，
∴∠BAE＋2∠AEB＝180°，
∠CED＋2∠AEB＝180°，
∴∠DEC＝∠BAE；
（2）解：如图2，
①∵∠BAE＝∠CAD＝30°，
∴∠ABC＝∠AEB＝∠ACD＝∠ADC＝75°，
由（1）得：∠AED＝∠ABC＝75°，
∠DEC＝∠BAE＝30°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∴∠CAE＝30°，
∴∠AFE＝180°−30°−75°＝75°，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形，
②∵∠BEG＝∠DEC＝30°，∠ABC＝75°，
∴∠G＝45°，
在Rt△AGD中，∠ADG＝45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
③∠CDF＝75°−45°＝30°，
∴∠DCF＝∠DFC＝75°，
∴△DCF是等腰直角三角形；
④∵∠CED＝∠EDC＝30°，
∴△ECD是等腰三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25．(1)A每套100元，B每套75元
(2)17套
【分析】（1）设每套A品牌服装进价为x元，则每套B品牌服装进价为元，根据题意，求解即可．
（2）设购进a套A品牌服,购进套B品牌，根据题意，求解即可．
【详解】（1）设每套A品牌服装进价为x元，则每套B品牌服装进价为元，
根据题意，
解得，
经检验，是原方程的根，
故，
答：每套A品牌服装进价为100元，则每套B品牌服装进价为75元．
（2）设购进a套A品牌服，则购进套B品牌，
根据题意，
解得，
故至少17套．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，根据数量关系列出方程和不等式是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，利用垂直的定义，直角三角形的性质和圆周角定理得到，再利用等腰三角形的判定与性质即可求解；
（2）连接并延长，交⊙于点，连接，利用圆周角定理，垂直的定义，直角三角形的性质得到，利用圆周角定理、垂径定理和三角形的中位线定理即可求解；
（3）延长交⊙于点，连接，，过点作于点，利用等腰三角形三线合一的性质，圆周角定理，线段垂直平分线的性质和等弧对等弦的性质得到，利用全等三角形的判定与性质和直角三角形的性质得到为等腰直角三角形，从而利用等腰直角三角形的性质，结合（2）的结论和相似三角形的判定与性质即可求解．
【详解】（1）证明：连接，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：连接并延长，交⊙于点，连接，如图，
则为⊙的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的中位线，
，
，
即；
（3）延长交⊙于点，连接，，过点作于点，如图，
由（1）知：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）知：，
，
是线段的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
延长交⊙于点，连接，则为圆的直径，
，
，，
∽，
，
由（2）知：，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，连接直径所对的圆周角，添加辅助线是解题的关键．
27．(1)
(2)
(3)3
【分析】（1）求出，，则有，再由可求；
（2）先求直线的解析式为y=x+3，过P点作轴交于点G，再由，则有，即可求出结果；
（3）在上取点使得，连接交于点E，在上取点，使得，连接交于点，可得，作平行四边形，设，则，，作于N，交于R，证，进而可证，进一步可证，得到四边形是矩形，再由，，得到方程，求出t，即可求S．
【详解】（1）解：，
令，则，
解得：，，
，，
，
，
，
，
；
（2）如图，过点作轴交于点G，
设直线的解析式为，
，，
则，解得：，
，
点P的横坐标为t，
（3）如图，在上取点使得，连接交于点E，在上取点，使得，连接交于点，

，即，
，
，
，
作平行四边形，
设，
，
，
，
作于N，交于R，
，，
，
，
，
，
，
，
设线段，
，
，
（舍去）或，
，
，
解得：，
，
延长到K，使，
，
，
，，
作交于点，作于点S，
，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
过点P作轴交于，
，
，
，，
，
（舍去）或，
．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，求二次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正切值求边长，熟练掌握二次函数的图象及性质，构造三角形全等是解题的关键．