河北省石家庄市第四十四中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份河北省石家庄市第四十四中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（1-10题每题3分，11-16题每题2分，共42分）
1．九（2）班“环保小组”的5位同学在一次活动中捡废弃塑料袋的个数分别为：4，6，8，16，16．这组数据的中位数、众数分别为【 】
A．16，16B．10，16C．8，8D．8，16
2．甲乙两班的学生在同一次数学测试，两班的平均分都是95分，方差分别为，，那么成绩比较整齐的班级是（ ）
A．甲班B．乙班C．两班一样整齐D．无法确定
3．若，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
4．如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1：2的坡面向上前进了2m，此时小球距离地面的高度为（ ）
A．5mB．2mC．2mD．m
5．如图，的对角线交于点，点为中点，连接交于点，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
6．关于x的方程，下列结论正确的是（ ）
A．当时，方程无实数根B．当时，方程只有一个实数根
C．当时，有两个不相等的实数根D．当时，方程有两个相等的实数根
7．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知反比例函数，下列说法中正确的是（ ）
A．该函数的图像分布在第一、三象限
B．点（-4，-3）在函数图像上
C．y随x的增大而增大
D．若点（-2，y1）和（-1，y2）在该函数图像上，则y1＜y2
11．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容，设铁塔顶端到地面的高度为，根据以上条件，可以列出的方程为 （ ）
A．B．
C．D．
12．在中，，用直尺和圆规在AB上确定点D，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
13．函数与在同一直角坐标系中的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
14．如图，平面直角坐标系中，过点作轴于点，连接，将绕点逆时针旋转，、两点的对应点分别为、．当双曲线与有公共点时，的取值范围是（ ）

A．B．C．D．
15．有一题目：“已知；点为的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆，连接，，如图．由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，且的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，应得50°
D．两人都不对，应有3个不同值
16．如图，在x轴正半轴上依次截取，过点、、、…、、分别作x轴的垂线，与反比例函数的图像依次相交于、、，…、、，得到直角三角形、、…、，并设其面积分别为、、…、，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分，共12分）
17．若一个直角三角形的两条直角边长分别为7cm和24cm，则这个三角形的外接圆的直径长为 cm．
18．若锐角满足，求＝ 度
19．如图，已知点坐标为，为轴正半轴上一动点，则度数为 ，在点运动的过程中的最小值为 ．
三、解答题（共66分）
20．计算：
(1)
(2)
21．解方程：
(1)；
(2)．
22．如图，的顶点都在网格点上，点A的坐标为．

(1)以点O为位似中心，把按大，在y轴的左侧，画出放大后的；
(2)点A的对应点D的坐标是______；
(3)______．
23．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为B，已知AB＝BO＝4．反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过AO的中点C（2，2），交AB于点D．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求经过C、D两点的直线所对应的函数表达式；
(3)设点E是x轴上的动点，请直接写出使△OCE为直角三角形的点E的坐标．
24．图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°．
（1）求点M到地面的距离；
（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：1.73，结果精确到0.01米）
25．如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足．
（1）求点，点的坐标．
（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动，连接AP，设的面积为，点P的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，反比例函数（）的图象经过点，并与线段交于点，反比例函数（）的图象经过点，交轴于点．已知．
（1）求点的坐标及反比例函数（）的表达式；
（2）直接写出点的坐标 ；
（3）如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数（）与反比例函数（）的图象于点，设点的坐标为
①当时，求的值；
②在点运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据众数和中位数的定义求解．找出次数最多的数为众数；把5个数按大小排列，位于中间位置的为中位数．
【详解】解：在这一组数据中16是出现次数最多的，故众数是16；而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是8，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是8．
故选D．
【点睛】本题考查统计知识中的中位数和众数的定义．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
2．B
【分析】本题考查了方差的意义．根据方差的定义，方差越小数据越稳定、整齐．解题的关键是掌握方差的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：，，
，
成绩比较整齐的班级是乙班；
故选：．
3．B
【分析】先把要求的式子进行化简，再把代入进行计算即可．
【详解】∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了比例的基本性质，注意整体代入思想的运用．
4．C
【分析】可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长．
【详解】解：∵AB＝2m，tanA＝＝．
∴设BC＝x，AC＝2x，
由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，
即（2）2＝x2+4x2，
解得：x＝2，
故小球距离地面的高度为2m．
故选C．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．
5．A
【分析】设BF=x，根据题意则有OB=OD=x+1，DF=x+2，然后根据相似三角形的性质及题意进行求解即可．
【详解】解：的对角线交于点，点为中点，
，
，
，
设BF=x，则有OB=OD=x+1，DF=x+2，
，解得；
故选A．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
6．C
【分析】根据的值确定方程的类型，若为一元一次方程，直接求解；若为一元二次方程，根的个数用判别式进行判断．
【详解】A．当时，原方程可化为：，解得，有一个实数根，故A错误；
B．当时，原方程可化为：，解得，有两个相等的实数根，故B错误；
C．当时，原方程可化为：，解得，有两个不相等的实数根，故C正确；
D．当时，，所以方程有两个相等的实数根或两个不相等的实数根，故D错误
故选：C．
【点睛】本题考查了含有参数的一元一次方程，一元二次方程的解法，熟练掌握方程根的个数的判断方法是解题的关键．
7．C
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠C的度数，根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝125°，
∴∠C＝180°−∠A＝55°，
∴∠BOD＝2∠C＝110°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8．A
【分析】确定所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解；
【详解】由题可知，△ABD是直角三角形，，
，,．
选项B、C、D都是错误的，
故答案选A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形中三角函数的定义理解，准确理解是解题的关键．
9．A
【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．
【详解】∵和∠ABC所对的弧长都是，
∴根据圆周角定理知，∠ABC＝，
∴在Rt△ACB中，AB=
根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝，
∴=，
故选A．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．
10．D
【分析】根据反比例函数的性质逐一进行判断即可得出结果
【详解】解：A、k=-6，函数的图象在第二、四象限，故说法错误；
B、因为-3×（-4）=12，所以点（-4，-3）不在函数图像上，故说法错误
C、k=-6，在每个象限内，y随着x的增大而增大，故说法错误；
D、k=-6，在每个象限内，y随着x的增大而增大，因为-2<-1<0，则y1＜y2，故说法正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
11．A
【分析】过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，根据矩形的性质得到HE＝CD＝10，CE＝DH，求得FH＝x−10，得到CE＝x−10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．
【详解】过D作DH⊥EF于H，
则四边形DCEH是矩形，
∴HE＝CD＝10，CE＝DH，
∴FH＝x−10，
∵∠FDH＝α＝45°，
∴DH＝FH＝x−10，
∴CE＝x−10，
∵tanβ＝tan50°＝＝，
∴x＝（x−10）tan 50°，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出边角关系的等式，正确的识别图形是解题的关键．
12．C
【分析】要使△ACD∽△CBD，则∠ADC=∠CDB，即可推出∠ADC=∠CDB=90°，则CD是AB边的垂线即可，由此求解即可．
【详解】解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；
B选项中，CD是斜边AB的中线，不与AB垂直，不符合题意；
C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；
D选项中，∠DCB=∠B，CD不与AB垂直，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，作垂线，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件．
13．B
【分析】分a＞0与a＜0两种情况，根据一次函数和反比例函数的图象与性质解答即可．
【详解】解：当a＞0时，y＝|a|x+a＝ax+a的图象在第一、二、三象限，的图象在第一、三象限，此时选项B正确；
当a＜0时，y＝|a|x+a＝﹣ax+a的图象在第一、三、四象限，的图象在第二、四象限，此时没有正确选项；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题关键．
14．C
【分析】由旋转的性质得D（3，2），由双曲线过A、D点时有一个公共点，在点A与点D之间有两个公共点，由此可得解．
【详解】∵A（1，2）
∴OB=1，AB=2，
∵将绕点逆时针旋转，
∴AD=2，
∴D(3，2)
当双曲线经过点A（1，2）时，k=2；
当双曲线经过点D（3，2）时，k=6；
∴当双曲线与有公共点时，的取值范围是．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，以及反比例函数关系式中k的求法，关键是通过旋转确定双曲线上点的坐标．
15．A
【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵∠BOC=130°，
∴∠A=65°，
∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′＝180°−65°＝115°．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．
16．A
【分析】设，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，，，，，然后根据三角形面积公式可计算出．
【详解】解：设，则，，，，，
所以．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
17．25
【分析】先用勾股定理求值直角三角形的斜边长，再根据直角三角形的外接圆的特征，即可求解．
【详解】∵一个直角三角形的两条直角边长分别为7cm和24cm，
∴直角三角形的斜边长=（cm），
∵直角三角形的外接圆的直径就是直角三角形的斜边，
∴这个三角形的外接圆的直径长为25cm．
故答案是：25．
【点睛】本题主要考查勾股定理以及直角三角形的外接圆，掌握直角三角形的外接圆的直径就是直角三角形的斜边，是解题的关键．
18．或
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，因式分解法解一元二次方程，先根据因式分解法求出，进而得出答案．
【详解】，
因式分解，得，
∴或，
∴或．
故答案为：45或60．
19． 30°
【分析】过点A作A关于x轴的对称点C，交x轴于点D，过点C作CM⊥OA于点M，交x轴于点B，根据A点坐标，写出AD和OD长，根据三角函数知识求出∠AOB即可，证BM=，AB=BC，得到，然后在Rt△ACM中，根据三角函数知识求出CM即可.
【详解】解：过点A作A关于x轴的对称点C，交x轴于点D，过点C作CM⊥OA于点M，交x轴于点B，
∵点坐标为，AD⊥x轴，
∴AD=1，OD=，
∴在Rt△AOD中，
，
∴∠AOB=30°；
∵CM⊥OA，
∴∠OMB=∠AMB=90°，
∴BM=，
∵∠OBM=∠DBC，
∴∠ACM=30°，
∵A，C关于x轴对称，
∴AB=BC，AD=CD=1，
∴AC=2，
∴，
∴当C，B，M三点共线时，有最小值，即CM长，
在Rt△ACM中，
CM=，
故答案为：30°；.
【点睛】本题是对解直角三角形的考查，熟练掌握三角函数知识和证明当C，B，M三点共线时，有最小值，是解决本题的关键.
20．(1)
(2)2
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值即可化简求解；
（2）根据实数的性质化简，再合并求解．
此题主要考查实数的计算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
【详解】（1）
=
=
=
（2）
=
=
=2
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据因式分解法即可求解；
（2）根据直接配方法即可求解．
此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知其解法的运用．
【详解】（1）
∴或
∴
（2）
∴
∴．
22．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）位似中心为点，根据位似比，求得点的坐标，连接点，即可求解；
（2）由（1）的结果即可得解；
（3）由题意可知相似比为，可求出，设，再根据，即可求解．
【详解】（1）解：位似中心为点，位似比，已知，，，
∴对应点的坐标分别是，，，
连接点，如图所示，
；
（2）解：由（1）知，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，
∴设，则，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查位似的知识，掌握位似的定义，性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
23．(1)
(2)
(3)点E的坐标为（2，0）或（4，0）
【分析】（1）把点C坐标代入中，求出k即可；
（2）求出点D坐标，利用的待定系数法解决问题即可；
（3）分两种情形：①∠OEC＝90°．②∠OCE＝90°，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵C（2，2）在反比例函数上，
∴
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵点C是OA的中点，C（2，2），
∴A（4，4），
∵AB⊥x轴，
∴D点横坐标为4，
∴D（4，1）
∵点 C（2，2），D（4，1），
设直线 CD 的解析式为 y＝ax+b，
则，
解得：，
∴直线 CD 的解析式为 ；
（3）解：当∠OEC＝90°时，点E的横坐标与点C的横坐标相等，C（2，2），
∴E（2，0）．
当∠OCE＝90°时．
设点E的坐标为（m，0）
∵C（2，2），
∴，，，
∵，
∴，
解得
∴E（4，0）．
综上所述，点E的坐标为（2，0）或（4，0）．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上的点的坐标特征，求一次函数解析式，坐标与图形，两点距离公式，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
24．（1）3.9米；（2）货车能安全通过．
【分析】(1)过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，在Rt△OMN中，求出ON的长，即可求得BN的长，即可求得点M到地面的距离；
(2)左边根据要求留0.65米的安全距离，即取CE=0.65，车宽EH=2.55，计算高GH的长即可，与3.5作比较，可得结论．
【详解】(1)如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，
在Rt△OMN中，∠NOM＝60°，OM＝1.2，∴∠M＝30°，
∴ONOM＝0.6，
∴NB＝ON+OB＝3.3+0.6＝3.9，
即点M到地面的距离是3.9米；
(2)取CE＝0.65，EH＝2.55，∴HB＝3.9﹣2.55﹣0.65＝0.7，
过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P，
∵∠GOP＝30°，∴tan30°，
∴GPOP0.404，
∴GH＝3.3+0.404＝3.704≈3.70＞3.5，
∴货车能安全通过．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题的关键.
25．（1）A(1，0)，B(0，)（2）（3）；
【分析】（1）根据条件，可求得OB=，OA=1，根据图象可知A（1，0），B（0，）；
（2）在直角三角形中的勾股定理和动点运动的时间和速度分别把相关的线段表示出来，设CP=t，过P作PQ⊥CA于Q，由，易得PQ=，S=S△ABC-S△APC=-t
（3）由于∠ABP=∠AOB=90°，所以分两种情况讨论：①△ABP∽△AOB；②△ABP∽△BOA．
【详解】解：（1）
，
，
点，点分别在轴，轴的正半轴上
（2）∵OB=，OA=1，∠AOB=90°，
∴, AC＝4，
同理：，
∵，即：，
∴，
过P作PQ⊥CA于Q，
∵，，
∴，
∴S=S△ABC-S△APC=-t
（3）由（2）得AC＝4，，，
∴AB2+BC2＝22+（2）2＝16＝AC2．
∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°．
以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似，分两种情况：
①△ABP∽△AOB
∴
∴
∴
点P与点C重合P1（－3，0）；
②△ABP∽△BOA，
∴，
∴，
∴，
∴
过P作PQ⊥CA于Q，
∵PQ⊥CA，BO⊥CA，
∴PQ∥BO，
∴△CPQ∽△CBO，
∴，
∴CQ=2，PQ=，
∴，
∴P2（－1，），
∴存在这样的点P，．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，坐标与图形，非负数的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件．
26．（1）D（4，4）；（x>0）；（2）E（-3，）；（3）①m=5；②存在，P点坐标为（0，4+）或（0，4-）.
【分析】（1）把A（-1，a）代入，可求出a的值，即可得A点坐标，根据B点坐标，利用勾股定理可求出AB的长，根据菱形的性质可知AB=AD，即可得D点坐标，把D点坐标代入（x>0），即可求出k值，即可得答案；（2）根据A、B坐标可得直线AB的解析式，联立即可求出E点坐标；（3）①由MN//x轴，P（0，m），可得M、N的坐标为M（，m），N（，m），根据MN=OB列方程即可求出m的值；②根据坐标可求出AE的长，即可得AP的长，由AG=1，利用勾股定理即可求出PG的长，即可得答案.
【详解】(1)过A作AQ⊥x轴于Q，
∵A在反比例函数上，
∴a==4，
∴A点坐标为（-1，4），
又∵B（-4，0），
∴BQ=3，
∴AB==5，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=5，
∴D（4，4），
又∵D在反比例函数（x>0）上，
∴k=4×4=16，
∴反比例函数的表达式为
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,代入A、B坐标得：，
解得，
∴直线AB的解析式为y=x+，
联立反比例函数y=得，
解得：，（舍去）
∴E点坐标为（-3，），
（3）①∵B（-4，0）
∴OB=4，
∵MN//x轴，P（0，m），
∴M（，m），N（，m）
∴
∵MN=OB
∴MN==4
∴m=5
②∵A（-1，4），E（-3，），
∴AE==，
∴AP=AE=，
∵G（0，4），
∴AG=1，
∴PG====，
∴m=4+或m=4-，
∴存在某一时刻，使，P点坐标为（0，4+）或（0，4-）.
【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用及用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，也考查了菱形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键.
题目
测量铁塔顶端到地面的高度
测量目标示意图


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