第6讲　功与功率　功能关系（含解析）--2024年高考物理大二轮复习讲义

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第6讲 功与功率 功能关系
目标要求
1.会对功和功率进行分析和计算，会求解力的平均功率和瞬时功率。
2.掌握常见的功能关系，结合实际情境分析功和能的转化。
考点一 功、功率的分析与计算
1．功的计算
(1)恒力做功一般用功的公式或动能定理求解。
(2)变力做功通常应用动能定理、微元法、等效转化法、平均力法、图像法求解，或者利用恒定功率求功，即W＝Pt。
2．功率的计算
明确是求瞬时功率还是平均功率。
P＝eq \f(W,t)侧重于平均功率的计算，P＝Fvcs α(α为F和v的夹角)侧重于瞬时功率的计算。
3．机车启动(F阻不变)
(1)两个基本关系式：P＝Fv，F－F阻＝ma。
(2)两种常见情况：
①恒定功率启动：P不变，此时做加速度减小的加速运动，直至达到最大速度vm，此过程Pt－F阻s＝eq \f(1,2)mvm2；
②恒定加速度启动：开始阶段a不变，做匀加速直线运动，F－F阻＝ma，v＝at，达到额定功率P＝Fv，然后保持功率不变，加速度逐渐减小到零，最终做匀速直线运动。
无论哪种启动方式，最大速度都等于匀速直线运动时的速度，即vm＝eq \f(P,F阻)。
例1 (2023·江苏高邮市调研)仰卧起坐是《国家学生体质健康标准》中规定的女生测试项目之一。根据该标准高三女生一分钟内完成50个以上仰卧起坐记为优秀。若某女生一分钟内做了40个仰卧起坐，其质量为50 kg，上半身质量约为总质量的0.6倍，仰卧起坐时下半身重心位置不变，上半身高度约为总身高的0.4倍，g取10 m/s2，试估算测试的全过程中该女生克服重力做功的平均功率约为( )
A．10 W B．70 W C．150 W D．300 W
学习笔记：______________________________________________________________
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例2 水平桌面上，长6 m的轻绳一端固定于O点，如图所示(俯视图)，另一端系一质量m＝2 kg的小球，现对小球施加一个沿桌面方向大小恒为10 N的力F，F拉着物体从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成30°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则下列说法正确的是( )
A．拉力F对小球做的功为10eq \r(3)π J
B．拉力F对小球做的功为5eq \r(3)π J
C．小球克服摩擦力做的功为16π J
D．小球克服摩擦力做的功为4π J
学习笔记：______________________________________________________________
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例3 (2023·新课标卷·20改编)一质量为1 kg的物体在水平拉力的作用下，由静止开始在水平地面上沿x轴运动，出发点为x轴零点，拉力做的功W与物体坐标x的关系如图所示。物体与水平地面间的动摩擦因数为0.4，重力加速度大小取10 m/s2。下列说法正确的是( )
A．在x＝1 m时，拉力的功率为6 W
B．在x＝4 m时，物体的动能为2 J
C．从x＝0运动到x＝2 m，物体克服摩擦力做的功为10 J
D．从x＝0运动到x＝4 m的过程中，物体的动量最大为2 kg·m/s
学习笔记：______________________________________________________________
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例4 某码头采用斜面运送冷链食品，其简化图如图甲所示，电动机通过绕轻质定滑轮的轻质细绳与放在倾角为θ＝30°、足够长的斜面上的物体相连，启动电动机后物体沿斜面上升，在0～6 s时间内物体运动的v－t图像如图乙所示，其中除1～5 s时间段的图像为曲线外，其余时间段的图像均为直线，1 s后电动机的输出功率保持不变。已知物体的质量为2 kg，不计一切摩擦，重力加速度g＝10 m/s2。则下列判断正确的是( )
A．在0～1 s内电动机所做的功为25 J
B．1 s后电动机的输出功率为80 W
C．物体的最大速度为5 m/s
D．在0～5 s内物体沿斜面向上运动了35 m
学习笔记：______________________________________________________________
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考点二 功能关系
1．功能关系的理解和应用
功能关系反映了做功和能量转化之间的对应关系，功是能量转化的量度。
(1)根据功能之间的对应关系，判定能的转化情况。
(2)根据能量转化，可计算变力做的功。
2．常见功能关系
例5 如图所示，足够长粗糙斜面固定在水平地面上，绕过光滑定滑轮的轻绳连接质量相等的物块A和B(可看作质点)，当一沿斜面向下的恒力F作用在物块A上，使其加速下滑的过程中(物块B始终未与斜面、滑轮相碰)，下列说法中正确的是( )
A．恒力F做功小于物块A、B动能增量之和
B．恒力F做功等于物块A、B动能增量之和
C．物块A与斜面因摩擦产生的热量与B的机械能增量之和等于恒力F做功
D．物块A克服绳的拉力做功一定大于物块A的重力势能减少量
例6 如图所示，某段滑雪道倾角为30°，总质量为m(包括雪具在内)的滑雪运动员从距底端高为h处的雪道上由静止开始匀加速下滑，加速度为eq \f(1,3)g，g为重力加速度。在运动员从上向下滑到底端的过程中，下列说法正确的是( )
A．运动员减少的重力势能全部转化为动能
B．运动员获得的动能为eq \f(1,3)mgh
C．运动员克服摩擦力做功为eq \f(2,3)mgh
D．系统减少的机械能为eq \f(1,3)mgh
学习笔记：______________________________________________________________
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例7 (2020·全国卷Ⅰ·20改编)一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s2。则( )
A．物块下滑过程中机械能守恒
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C．物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2
D．当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J
学习笔记：______________________________________________________________
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1.如图所示，密度为ρ、棱长为a的正立方体木块漂浮在水面上(h为木块在水面上的高度)。现用竖直向下的力F将木块按入水中，直到木块上表面刚浸没，则此过程中木块克服浮力做功为(已知水的密度为ρ0、重力加速度为g)( )
A．ρa3gh
B.eq \f(1,2)a3gh(ρ＋ρ0)
C．ρ0a3gh(a－h)
D.eq \f(1,2)a3gh(a－h)(ρ＋ρ0)
2．(2023·江苏南通市期末)将一小球从地面以一定的初速度竖直向上抛出并落回地面，小球所受空气阻力始终与速度成正比，则整个过程中小球的重力的瞬时功率大小P与时间t、机械能E与路程s的关系图像可能正确的是( )
第6讲 功与功率 功能关系
例1 B [设该同学身高为1.6 m，上半身高度约为0.64 m，每次上半身重心上升距离约为0.32 m，则每次克服重力做功为W＝0.6mgh＝0.6×50×10×0.32 J＝96 J，则功率P＝eq \f(40,t)W＝eq \f(40×96,60) W＝64 W，该女生克服重力做功的平均功率约为70 W，故选B。]
例2 A [根据题意可知，F的方向始终与小球的运动方向成30°角，由W＝Flcs α可得，拉力F对小球做的功为WF＝F·eq \f(60°,360°)·2πR·cs 30°＝10eq \r(3)π J，故A正确，B错误；根据题意可知，小球所受摩擦力为滑动摩擦力，方向与运动方向相反，则摩擦力做的功为Wf＝－Ffl＝－μmg·eq \f(60°,360°)·2πR＝－8π J，即小球克服摩擦力做的功为8π J，故C、D错误。]
例3 B [由题图可知，W－x图像的斜率表示拉力F,0～2 m过程中拉力大小为6 N,2～4 m过程中拉力大小为3 N，由牛顿第二定律可知，a1＝eq \f(F1－μmg,m)＝2 m/s2，a2＝eq \f(F2－μmg,m)＝－1 m/s2，故0～2 m过程中，物体做匀加速运动，2～4 m过程中，物体做匀减速运动。在x＝1 m时，由公式v12＝2a1x1，解得v1＝2 m/s，此时拉力的功率P＝F1v1＝12 W，故A错误；在x＝4 m时，物体的动能Ek＝W总－Ffx4＝18 J－16 J＝2 J，故B正确；从x＝0运动到x＝2 m，物体克服摩擦力做的功W克f＝Ffx2＝8 J，故C错误；从x＝0运动到x＝4 m的过程中，物体在x＝2 m时速度最大，由v22＝2a1x2，解得v2＝2eq \r(2) m/s，此时物体的动量p＝mv2＝2eq \r(2) kg·m/s，故D错误。]
例4 D [在0～1 s内，物体位移大小为x1＝eq \f(1,2)v1t1＝2.5 m，设0～1 s内电动机做的功为W1，由动能定理得W1－mgx1sin 30°＝eq \f(1,2)mv12，解得W1＝50 J，选项A错误；在0～1 s内，物体的加速度大小为a＝eq \f(v1,t1)＝5 m/s2，设0～1 s内细绳拉力的大小为F1，由牛顿第二定律得F1－mgsin 30°＝ma，解得F1＝20 N，由题意知，1 s后电动机的输出功率为P＝F1v1＝100 W，选项B错误；当物体达到最大速度vm后，根据平衡条件可得细绳的拉力大小为F2＝mgsin 30°＝10 N，则vm＝eq \f(P,F2)＝10 m/s，选项C错误；设1～5 s内物体沿斜面向上运动的距离为x2，对物体由动能定理得Pt2－mgx2sin 30°＝eq \f(1,2)mvm2－eq \f(1,2)mv12，解得x2＝32.5 m，所以在0～5 s内物体沿斜面向上运动的距离为x＝x1＋x2＝35 m，选项D正确。]
例5 D [以A、B整体为研究对象，设A沿斜面下滑的距离为L，斜面倾角为θ，根据动能定理得WF－mgL＋mgLsin θ－W克f＝EkA＋EkB－0，可得WF＝EkA＋EkB＋W克f＋mgL－mgLsin θ，故A、B错误；由功能关系可知物块A与斜面因摩擦产生的热量与A、B的机械能增量之和等于恒力F做功，故C错误；以B为研究对象可得WT－mgL＝eq \f(1,2)mv2，可得WT＝eq \f(1,2)mv2＋mgL，而A重力势能的减少量为ΔEp＝mgLsin θ，可得WT>ΔEp，故D正确。]
例6 D [运动员的加速度大小为eq \f(1,3)g，小于gsin 30°＝eq \f(1,2)g，所以其必受摩擦力，且大小为eq \f(1,6)mg，克服摩擦力做功为eq \f(1,6)mg×eq \f(h,sin 30)＝eq \f(1,3)mgh，故C错误；摩擦力做负功，机械能不守恒，减少的重力势能没有全部转化为动能，有eq \f(1,3)mgh转化为内能，故A错误，D正确；由动能定理知，运动员获得的动能为eq \f(1,3)mg×eq \f(h,sin 30°)＝eq \f(2,3)mgh，故B错误。]
例7 B [由E－s图像知，物块动能与重力势能的和减小，则物块下滑过程中机械能不守恒，故A错误；由E－s图像知，整个下滑过程中，物块机械能的减少量为ΔE＝30 J－10 J＝20 J，重力势能的减少量ΔEp＝mgh＝30 J，又ΔE＝μmgcs α·s，其中cs α＝eq \f(\r(s2－h2),s)＝0.8，h＝3.0 m，g＝10 m/s2，则可得m＝1 kg，μ＝0.5，故B正确；物块下滑时的加速度大小a＝gsin α－μgcs α＝2 m/s2，故C错误；物块下滑2.0 m时损失的机械能为ΔE′＝μmgcs α·s′＝8 J，故D错误。]
高考预测
1．B [设木块浸入的深度为x，则浮力大小为F浮＝ρ液gV排＝ρ0ga2x，可见浮力与木块进入水中的位移成正比。木块漂浮在水面上时有F浮1＝G＝ρga3，木块上表面刚浸没时受到的浮力为F浮2＝ρ0ga3，浮力做的功为W＝eq \f(F浮1＋F浮2,2)h＝eq \f(1,2)ga3h(ρ＋ρ0)，故选B。]
2．B [小球上升过程中受到重力和空气阻力的作用，方向均向下，速度逐渐减小，则空气阻力逐渐减小，加速度逐渐减小，下降过程中重力方向向下，空气阻力方向向上，速度逐渐增大，则空气阻力逐渐增大，加速度逐渐减小，且上升过程的平均速度大于下降过程的平均速度，上升过程的时间小于下降过程的时间，所以v－t图像如图所示，根据P＝mgv，P－t图像如图所示故A错误，B正确；小球上升过程中速度逐渐减小，则空气阻力逐渐减小，经过相同路程空气阻力做功逐渐减小，机械能损失逐渐减小；小球下降过程中速度逐渐增大，则空气阻力逐渐增大，经过相同路程空气阻力做功逐渐增大，机械能损失逐渐增大，且上升过程中空气阻力做功大于下降过程中空气阻力做功，则上升过程中损失的机械能大于下降过程中损失的机械能，则E－s图像如图所示故C、D错误。]
能量
功能关系
表达式
势能
重力做功等于重力势能减少量
W＝Ep1－Ep2
＝－ΔEp
弹力做功等于弹性势能减少量
静电力做功等于电势能减少量
分子力做功等于分子势能减少量
动能
合外力做功等于物体动能变化量
W＝Ek2－Ek1＝
eq \f(1,2)mv2－ eq \f(1,2)mv02
机械能
除重力和弹簧弹力之外的其他力做功等于机械能变化量
W其他＝E2－E1
＝ΔE机
摩擦产生
的内能
一对相互作用的摩擦力做功之和的绝对值等于产生的内能
Q＝Ff·s相对
s相对为相对路程
电能
克服安培力做功等于电能增加量
W克安＝E2－E1＝ΔE