辽宁省营口市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份辽宁省营口市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0B．3x2﹣2x＝3（x2﹣2）
C．x3﹣2x﹣4＝0D．（x﹣1）2+1＝0
2．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣5）x2﹣2x+2＝0有实数根，则整数k的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．（3分）已知二次函数y＝x2﹣4x+k（k为常数）的图象与x轴的一个交点是（﹣1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣5B．x1＝1，x2＝5
C．x1＝﹣1，x2＝5D．x1＝1，x2＝﹣5
4．（3分）已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长度是关于x的方程x2﹣13x+36＝0的两个实数根，则此菱形的面积是（ ）
A．18B．30C．36D．不确定
5．（3分）华为某型号手机经过2次降价后的价格是2次降价前价格的，则每次降价的百分比是（ ）
A．10%B．15%C．20%D．25%
6．（3分）设点A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是抛物线y＝（x+1）2﹣ab（a、b是常数）的图象上三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
7．（3分）将抛物线y＝（x﹣1）2﹣4平移得到抛物线y＝x2，这个平移过程是（ ）
A．向左平移1个单位，再向上平移4个单位
B．向左平移1个单位，再向下平移4个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移4个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移4个单位
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）若a，b（a＜b）是关于方程（x﹣m）（x﹣n）+1＝0（m＜n）的两个实数根，则实数a，b，m，n的大小关系是（ ）
A．a＜b＜m＜nB．m＜n＜a＜bC．a＜m＜n＜bD．m＜a＜b＜n
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的局部对应值如表：
以下结论：
①ac＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
③当x＝2时，y＝5；
④3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根．
其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每小题3分共18分）
11．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+4x+a2﹣4＝0的常数项为0，则a的值为 ．
12．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是 ．
13．（3分）一个直角三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15＝0的两根，则这个直角三角形的第三边长为 ．
14．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a+1，当时，函数有最大值2a，则a＝ ．
15．（3分）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠EAF＝45°．
（1）线段BE，EF，DF之间的关系是 ；
（2）若正方形的边长为4，DF＝2BE，则EF＝ ．
16．（3分）下列关于二次函数y＝﹣x2+2kx﹣2k+3（k为常数）的结论：
①该函数的图象与x轴总有两个公共点；
②无论k为何值，该函数的图象必经过一个定点；
③若A（x1，y1），B（x2，y2）为此抛物线图象上两点，当|x1﹣k|＞|x2﹣k|时，y1＜y2；
④该函数图象的顶点一定不在直线y＝2的下方．
其中正确的结论是 ．（填写正确结论的序号）
三、解答题（本大题共9道题，满分102分）（17题8分，18-20每题10分，21-23每题12分，24-25每题14分）
17．（8分）解方程：
（1）（2x﹣1）2﹣9＝0；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0．
18．（10分）关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+（m﹣2）＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有实数根；
（2）已知方程有一根大于6，求m的取值范围．
19．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，AC＝10cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，P、Q两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为t．
（1）几秒后四边形APQC的面积是19平方厘米；
（2）若用S表示四边形APQC的面积，经过多长时间S取得最小值，并求出S的最小值．
20．（10分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝x+k（k≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）写出二次函数值y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（3）写出不等式ax2+bx+c﹣x﹣k＜0的解集；
（4）若方程ax2+bx+c＝m有两个不等的实数根，写出m的取值范围．
21．（12分）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？
（3）为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．
22．（12分）为了有效预防和控制疫情，及时监测疫情发展态势，实施定期核酸检测．某社区准备搭建一个动态核酸检测点，现有33米可移动的隔离带，搭围成如图的临时检测点，这是一个一面靠墙（墙面为AE）的矩形，内部分成两个区，M区为登记区，N区为检测区，入口通道在BC边上，两区通道在CD边上，出口通道在EF边上，通道宽均为1米．
（1）若设AB＝x米，则BF可表示为 ；
（2）问所围成矩形ABFE的面积能否达到96平方米？如果能，求出AB的长；如果不能，说明理由；
（3）检测点使用一天后，发现检测点面积需要扩大，问现有的33米隔离带，能否围出147平方米的面积？如果能，请说明理由；如果不能，请求出能围出的最大面积是多少？
23．（12分）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是y＝，销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示．
（1）第15天的日销售量为 件；
（2）0＜x≤30时，求日销售额的最大值；
（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？
24．（14分）（1）数学理解：如图①，△ABC是等腰直角三角形，过斜边AB的中点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，求AB，BE，AF之间的数量关系；
（2）问题解决：如图②，在任意直角△ABC内，找一点D，过点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，若AB＝BE+AF，求∠ADB的度数；
（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长ED，FD，交AB于点M，N，求MN，AM，BN的数量关系．
25．（14分）抛物线y＝ax2﹣ax+b交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C，直线y＝﹣x+4经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，以点A、C、M、N为顶点，AC为边的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点N的坐标．
（3）如图②，P为直线BC上方的抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D点，过点D作DE⊥AC于E点．设m＝PD+DE，求m的最大值．
2022-2023学年辽宁省营口市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分共30分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0B．3x2﹣2x＝3（x2﹣2）
C．x3﹣2x﹣4＝0D．（x﹣1）2+1＝0
【解答】解：A、当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；
B、由原方程得到2x﹣6＝0，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项错误；
C、未知数最高次数是3，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；
D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
故选：D．
2．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣5）x2﹣2x+2＝0有实数根，则整数k的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣5）x2﹣2x+2＝0有实数根，
∴，
解得：k≤且k≠5．
∵k为整数，
∴k的最大值为4．
故选：A．
3．（3分）已知二次函数y＝x2﹣4x+k（k为常数）的图象与x轴的一个交点是（﹣1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣5B．x1＝1，x2＝5
C．x1＝﹣1，x2＝5D．x1＝1，x2＝﹣5
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+k（k为常数）的图象的对称轴为直线x＝﹣＝2，
而抛物线与x轴的一个交点是（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点是（5，0），
∴关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根是x1＝﹣1，x2＝5．
故选：C．
4．（3分）已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长度是关于x的方程x2﹣13x+36＝0的两个实数根，则此菱形的面积是（ ）
A．18B．30C．36D．不确定
【解答】解：x2﹣13x+36＝0，
（x﹣9）（x﹣4）＝0，
∴x﹣9＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝9，x2＝4，
即菱形ABCD的对角线AC，BD的长度为9和4，
∴此菱形的面积＝×9×4＝18．
故选：A．
5．（3分）华为某型号手机经过2次降价后的价格是2次降价前价格的，则每次降价的百分比是（ ）
A．10%B．15%C．20%D．25%
【解答】解：设华为某型号手机的原价为a元，每次降价的百分比是x，
依题意得：a（1﹣x）2＝a，
化简得：（1﹣x）2＝，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．
故选：C．
6．（3分）设点A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是抛物线y＝（x+1）2﹣ab（a、b是常数）的图象上三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
【解答】解：∵y＝（x+1）2﹣ab（a、b是常数），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，开口向上，
而点A（﹣2，y1）离对称轴最近，点C（2，y3）离对称轴最远，
∴y1＜y2＜y3，
故选：A．
7．（3分）将抛物线y＝（x﹣1）2﹣4平移得到抛物线y＝x2，这个平移过程是（ ）
A．向左平移1个单位，再向上平移4个单位
B．向左平移1个单位，再向下平移4个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移4个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移4个单位
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线y＝（x﹣1+1）2﹣4+4，即y＝x2，
故选：A．
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选：D．
9．（3分）若a，b（a＜b）是关于方程（x﹣m）（x﹣n）+1＝0（m＜n）的两个实数根，则实数a，b，m，n的大小关系是（ ）
A．a＜b＜m＜nB．m＜n＜a＜bC．a＜m＜n＜bD．m＜a＜b＜n
【解答】解：∵a是关于x的一元二次方程（x﹣m）（x﹣n）+1＝0的根，
∴（a﹣m）（a﹣n）+1＝0，
∴（a﹣m）（a﹣n）＝﹣1＜0，
∵m＜n，
∴m＜a＜n，
同理：m＜b＜n，
∵a＜b，
∴m＜a＜b＜n．
故选：D．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的局部对应值如表：
以下结论：
①ac＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
③当x＝2时，y＝5；
④3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根．
其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由表格可得x＝﹣1，0，1时，y＝﹣1，3，5，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+3x+3，
∴ac＝﹣3＜0．
故①正确；
∵当x＝0和x＝3时，对应的y的值相等，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝，抛物线开口向下，
∴当1＜x＜时，y随x增大而增大．
故②不正确；
③当x＝2时，y＝﹣22+3×2+3＝5．
故③正确；
∵，
由ax2+（b﹣1）x+c＝0可得﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
故④正确；
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3开口向下，由③可得抛物线经过（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
故④正确．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：C．
二、填空题（每小题3分共18分）
11．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+4x+a2﹣4＝0的常数项为0，则a的值为 ﹣2 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+4x+a2﹣4＝0的常数项为0，
∴a﹣2≠0且a2﹣4＝0，
解得：a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
12．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是 ﹣1＜x＜3 ．
【解答】解：由二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象可知：抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0），
所以当y＞0时，x的取值范围是：﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
13．（3分）一个直角三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15＝0的两根，则这个直角三角形的第三边长为 或4 ．
【解答】解：∵直角三角形的两边长恰好是方程x2﹣8x+15＝0的两个根，
∴直角三角形的两边是3，5，
当是原方程的两边的是两条直角边时，根据勾股定理得其斜边为＝；
当是原方程的两边的是一条直角边和斜边时，斜边一定是5，根据勾股定理得其另一条直角边为＝4．
故答案为或4．
14．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a+1，当时，函数有最大值2a，则a＝ ．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a+1，
∴该函数图象对称轴是直线x＝1，
当a＜0时，当x＝1时，该函数取到最大值﹣a+1，
∵当时，函数有最大值2a，
∴﹣a+1＝2a，
解得a＝，（不合题意，舍去），
当a＞0时，当x＝2时，该函数取到最大值2a，
∴a﹣a+1＝2a，
解得a＝
故答案为：．
15．（3分）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠EAF＝45°．
（1）线段BE，EF，DF之间的关系是 EF＝BE+DF ；
（2）若正方形的边长为4，DF＝2BE，则EF＝ ．
【解答】解：（1）延长CD到M，使DM＝BE，
∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADM，
∴△ABE≌△ADM（SAS），
∴AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，
∵∠EAF＝45°，
∴∠MAF＝∠MAD+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝45°＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AMF（SAS），
∴EF＝MF＝DM+DF＝BE+DF；
故答案为：EF＝BE+DF；
（2）∵DF＝2BE，
∴设BE＝x，则DF＝2x，
由（1）得EF＝BE+DF＝3x，
在Rt△CEF中，EF2＝EC2+FC2，
∴（3x）2＝（4﹣x）2+（4﹣2x）2，
解得（舍去），．
∴．
故答案为：．
16．（3分）下列关于二次函数y＝﹣x2+2kx﹣2k+3（k为常数）的结论：
①该函数的图象与x轴总有两个公共点；
②无论k为何值，该函数的图象必经过一个定点；
③若A（x1，y1），B（x2，y2）为此抛物线图象上两点，当|x1﹣k|＞|x2﹣k|时，y1＜y2；
④该函数图象的顶点一定不在直线y＝2的下方．
其中正确的结论是 ①②③④ ．（填写正确结论的序号）
【解答】解：∵Δ＝（2k）2﹣4×（﹣1）×（﹣2k+3）
＝4k2﹣8k+12
＝4（k﹣1）2+8＞0，
∴该函数的图象与x轴总有两个公共点；所以①正确；
∵y＝﹣x2+2kx﹣2k+3，
∴2k（x﹣1）＝y+x2﹣3，
∵k有无数个值，
∴x﹣1＝0且y+x2﹣3＝0，
解得x＝1，y＝2，
∴无论k为何值，该函数的图象必经过一个定点（1，2）；所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝k，
而抛物线的开口向下，
∴当|x1﹣k|＞|x2﹣k|时，y1＜y2；所以③正确；
∵y＝﹣x2+2kx﹣2k+3＝﹣（x﹣k）2+k2﹣2k+3，
∴抛物线的顶点坐标为（k，k2﹣2k+3），
∵k2﹣2k+3＝（k﹣1）2+2≥2，
∴该函数图象的顶点一定不在直线y＝2的下方，所以④正确．
故答案为：①②③④．
三、解答题（本大题共9道题，满分102分）（17题8分，18-20每题10分，21-23每题12分，24-25每题14分）
17．（8分）解方程：
（1）（2x﹣1）2﹣9＝0；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0．
【解答】解：（1）∵（2x﹣1）2＝9，
则2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3，
解得x1＝2，x2＝﹣1；
（2）∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴Δ＝16﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，
则x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
18．（10分）关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+（m﹣2）＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有实数根；
（2）已知方程有一根大于6，求m的取值范围．
【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×（m﹣2）
＝m2﹣2m+1﹣4m+8
＝m2﹣6m+9
＝（m﹣3）2≥0，
∴无论m取何值，方程总有实数根；
（2）由求根公式得x＝＝，
∴x1＝1，x2＝m﹣2，
∵方程有一根大于6，
∴m﹣2＞6，解得m＞8．
19．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，AC＝10cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，P、Q两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为t．
（1）几秒后四边形APQC的面积是19平方厘米；
（2）若用S表示四边形APQC的面积，经过多长时间S取得最小值，并求出S的最小值．
【解答】解：（1）由题意得S四边形APQC＝S△ABC﹣S△BPQ＝AB•AC﹣BP•BQ＝×6×8﹣×2t（6﹣t）＝t2﹣6t+24，
令t2﹣6t+24＝19，
解得t＝1或t＝5（不符合题意，舍去）．
∴1秒后四边形APQC的面积是19平方厘米．
（2）由（1）得S＝t2﹣6t+24＝（t﹣3）2+15，
∴t＝3时，S取最小值为15平方厘米．
20．（10分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝x+k（k≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）写出二次函数值y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（3）写出不等式ax2+bx+c﹣x﹣k＜0的解集；
（4）若方程ax2+bx+c＝m有两个不等的实数根，写出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为（﹣3，0），（﹣1，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣3，x2＝﹣1；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∴当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；
（3）∵当﹣3＜x＜﹣1时，ax2+bx+c＜x+k，
∴不等式ax2+bx+c﹣x﹣k＜0的解集为﹣3＜x＜﹣1；
（4）∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣2），
∴当m＞﹣2时，直线y＝m与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）有2个交点，
即m＞﹣2时，方程ax2+bx+c＝m有两个不等的实数根．
21．（12分）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？
（3）为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（0，200），（10，300）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y与x的函数关系式为y＝10x+200；
（2）根据题意得：（100﹣60﹣x）（10x+200）＝8910，
整理得：x2﹣20x+91＝0，
解得：x1＝7，x2＝13，
又∵要求优惠力度最大，
∴x＝13，
∴100﹣x＝100﹣13＝87．
答：每双运动鞋的售价应该定为87元；
（3）公司每天能获得9000元的利润，理由如下：
根据题意得：（100﹣60﹣x）（10x+200）＝9000，
整理得：x2﹣20x+100＝0，
解得：x1＝x2＝10．
∵每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，
∴100﹣60﹣x≥60×50%，
∴x≤10，
∴x＝10符合题意，
∴公司每天能获得9000元的利润．
22．（12分）为了有效预防和控制疫情，及时监测疫情发展态势，实施定期核酸检测．某社区准备搭建一个动态核酸检测点，现有33米可移动的隔离带，搭围成如图的临时检测点，这是一个一面靠墙（墙面为AE）的矩形，内部分成两个区，M区为登记区，N区为检测区，入口通道在BC边上，两区通道在CD边上，出口通道在EF边上，通道宽均为1米．
（1）若设AB＝x米，则BF可表示为 （36﹣3x）米 ；
（2）问所围成矩形ABFE的面积能否达到96平方米？如果能，求出AB的长；如果不能，说明理由；
（3）检测点使用一天后，发现检测点面积需要扩大，问现有的33米隔离带，能否围出147平方米的面积？如果能，请说明理由；如果不能，请求出能围出的最大面积是多少？
【解答】解：（1）根据题意得：BF﹣1+（3AB﹣2）＝33，
∴3x﹣3+BF＝33，
∴BF＝（36﹣3x）米，
则BF可表示为：（36﹣3x），
故答案为：（36﹣3x）米；
（2）根据题意得：x•（36﹣3x）＝96，
∴x2﹣12x+32＝0，
∴（x﹣4）（x﹣8）＝0，
∴x＝4或x＝8，
∴AB长为4米或8米；
（3）根据题意得：矩形ABFE的面积＝x•（36﹣3x）＝﹣3x2+36x，
当x＝﹣＝6时，矩形ABFE的面积有最大值，最大值＝﹣3×62+36×6＝108＜147，
∴不可能围出147m的面积．
23．（12分）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是y＝，销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示．
（1）第15天的日销售量为 30 件；
（2）0＜x≤30时，求日销售额的最大值；
（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？
【解答】解：（1）∵日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是y＝，
∴第15天的销售量为2×15＝30件，
故答案为：30；
（2）由销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数图象得：
p＝，
①当0＜x≤20时，
日销售额＝40×2x＝80x，
∵80＞0，
∴日销售额随x的增大而增大，
∴当x＝20时，日销售额最大，最大值为80×20＝1600（元）；
②当20＜x≤30时，
日销售额＝（50﹣x）×2x＝﹣x2+100x＝﹣（x﹣50）2+2500，
∵﹣1＜0，
∴当x＜50时，日销售额随x的增大而增大，
∴当x＝30时，日销售额最大，最大值为2100（元），
综上，当0＜x≤30时，日销售额的最大值为2100元；
（3）由题意得：
当0＜x≤30时，2x≥48，
解得：24≤x≤30，
当30＜x≤40时，﹣6x+240≥48，
解得：30＜x≤32，
∴当24≤x≤32时，日销售量不低于48件，
∵x为整数，
∴x的整数值有9个，
∴“火热销售期”共有9天．
24．（14分）（1）数学理解：如图①，△ABC是等腰直角三角形，过斜边AB的中点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，求AB，BE，AF之间的数量关系；
（2）问题解决：如图②，在任意直角△ABC内，找一点D，过点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，若AB＝BE+AF，求∠ADB的度数；
（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长ED，FD，交AB于点M，N，求MN，AM，BN的数量关系．
【解答】解：
数学理解：
（1）AB＝（AF+BE）
理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形
∴AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，AB＝AC
∵四边形DECF是正方形
∴DE＝DF＝CE＝CF，∠DFC＝∠DEC＝90°
∴∠A＝∠ADF＝45°
∴AF＝DF＝CE
∴AF+BE＝BC＝AC
∴AB＝（AF+BE）
问题解决：
（2）如图，延长AC，使FM＝BE，连接DM，
∵四边形DECF是正方形
∴DF＝DE，∠DFC＝∠DEC＝90°
∵BE＝FM，∠DFC＝∠DEB＝90°，DF＝ED
∴△DFM≌△DEB（SAS）
∴DM＝DB
∵AB＝AF+BE，AM＝AF+FM，FM＝BE，
∴AM＝AB，且DM＝DB，AD＝AD
∴△ADM≌△ADB（SSS）
∴∠DAC＝∠DAB＝∠CAB
同理可得：∠ABD＝∠CBD＝∠ABC
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°
∴∠DAB+∠ABD＝（∠CAB+∠CBA）＝45°
∴∠ADB＝180°﹣（∠DAB+∠ABD）＝135°
联系拓广：
（3）∵四边形DECF是正方形
∴DE∥AC，DF∥BC
∴∠CAD＝∠ADM，∠CBD＝∠NDB，∠MDN＝∠AFD＝90°
∵∠DAC＝∠DAB，∠ABD＝∠CBD
∴∠DAB＝∠ADM，∠NDB＝∠ABD
∴AM＝MD，DN＝NB
在Rt△DMN中，MN2＝MD2+DN2，
∴MN2＝AM2+NB2，
25．（14分）抛物线y＝ax2﹣ax+b交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C，直线y＝﹣x+4经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，以点A、C、M、N为顶点，AC为边的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点N的坐标．
（3）如图②，P为直线BC上方的抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D点，过点D作DE⊥AC于E点．设m＝PD+DE，求m的最大值．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
令y＝0，则x＝4，
∴B（4，0），
将C（0，4），B（4，0）代入y＝ax2﹣ax+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+4；
（2）∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
设M（t，﹣t2+t+4），N（，n），
令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，
解得x＝4或x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
①当AN为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴N（，）；
②当AM为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴N（，﹣）；
综上所述：N点坐标为（，）或（，﹣）；
（3）设P（t，﹣t2+t+4），则D（t，﹣t+4），
∴PD＝﹣t2+t+4+t﹣4＝﹣t2+t，
连接AD，延长PD交x轴于G，
∵C（0，4），A（﹣3，0），
∴AC＝5，
∴×AC×DE＝×AB×CO﹣×BA×DG，
∴5DE＝7×4﹣7×（4﹣t），
∴DE＝t，
∵m＝PD+DE，
∴m＝﹣t2+t+×t＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，
当t＝时，m有最大值．
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3