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四川省绵阳市江油市2023-2024学年九年级上学期 期中数学试卷
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这是一份四川省绵阳市江油市2023-2024学年九年级上学期 期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）将方程x2+5x＝7化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，则一次项系数、常数项分别为（ ）
A．5，﹣7B．5，7C．﹣5，7D．﹣5，﹣7
2．（3分）下列函数中，是二次函数的有（ ）
①；
②；
③y＝3x（1﹣3x）；
④y＝（1﹣2x）（1+2x）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（3分）用数学的眼光观察下列图形，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）用绳子围成周长为10（m）的矩形，记矩形的一边长为x（m），面积为S（m2）．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（ ）
A．一次函数关系B．二次函数关系
C．反比例函数关系D．正比例函数关系
5．（3分）用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A．B．C．2D．
6．（3分）小王同学在求一元二次方程﹣2x2+4x+1＝0的近似根时，先在平面直角坐标系中作出了二次函数y＝﹣2x2+4x+1的图象（如图），接着观察图象与x轴的交点A和B的位置，然后得出该一元二次方程两个根的范围是﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，小王同学的这种方法运用的主要数学思想是（ ）
A．数形结合思想B．类比思想
C．公理化思想D．模型思想
7．（3分）若方程（m﹣1）x|m|+1﹣2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．不存在
8．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）x＝6210B．3（x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210D．3x＝6210
9．（3分）将抛物线y＝2x2向上平移1个单位，再向右平移2个单位，则平移后的抛物线为（ ）
A．y＝2（x+2）2+1B．y＝2（x﹣2）2+1
C．y＝2（x+2）2﹣1D．y＝2（x﹣2）2﹣1
10．（3分）如图：已知点A的坐标为，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则C点的坐标是（ ）
A．B．C．D．（﹣2，﹣2）
11．（3分）代数式4x2+y2﹣2y﹣4x+15的最小值是（ ）
A．15B．9C．13D．10
12．（3分）关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（ ）
A．＜t＜B．﹣1＜t≤C．﹣≤t＜D．﹣1＜t＜
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.将答案直接填写在题中横线上）。
13．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3m﹣1，2﹣m）与点P′关于原点对称，且点P′在第三象限，则m的取值范围是 ．
14．（3分）国旗上的每一个五角星是旋转对称图形，它至少需要旋转 °后才能与自身重合．
15．（3分）若m，n是一元二次方程x2+2022x﹣2023＝0的两个实数根，则+＝ ．
16．（3分）若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么那么a的值是 ．
17．（3分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．进馆人次的月平均增长率是 ．
18．（3分）如图，已知△ABC，∠ABC＜60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P．下列结论：
①∠EPC＝60°；
②AC与DE互相平分；
③PA+PC＝PE；
④PA平分∠BPE，其中正确结论的是 ．
三、解答题：（本大题共6个小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤。)
19．（10分）（1）解方程：x2﹣2x﹣24＝0．
（2）△ABC和点S在平面直角坐标系中的位置如图所示．
①将△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，画出平移后的图形；
②将△ABC绕点S按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形．
20．（10分）（1）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，求：
①抛物线与x轴、y轴相交的交点坐标．
②抛物线的顶点坐标．
③画出此抛物线的图象，利用图象回答问题：当x取何值时，函数值大于0？
（2）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
①求实数k的取值范围．
②设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．
21．（6分）一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理．
22．（6分）如图，等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．
（1）求∠DCE的度数；
（2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的长．
23．（6分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（﹣2，0），抛物线经过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且∠BAO＝∠DAO，求证：OB＝OD；
（3）在问题2的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴l交于点E，连接BE，在平面内是否存在一点P，使以B．E．A．P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年四川省绵阳市江油市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个符合题目要求，请把你认为正确的题号填入题后面的括号内）
1．（3分）将方程x2+5x＝7化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，则一次项系数、常数项分别为（ ）
A．5，﹣7B．5，7C．﹣5，7D．﹣5，﹣7
【解答】解：方程整理得：x2+5x﹣7＝0，
则一次项系数、常数项分别为5，﹣7，
故选：A．
2．（3分）下列函数中，是二次函数的有（ ）
①；
②；
③y＝3x（1﹣3x）；
④y＝（1﹣2x）（1+2x）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①y＝1﹣x2＝﹣x2+1，是二次函数；
②y＝，分母中含有自变量，不是二次函数；
③y＝3x（1﹣3x）＝﹣9x2+3x，是二次函数；
④y＝（1﹣2x）（1+2x）＝﹣4x2+1，是二次函数．
二次函数共三个．
故选：C．
3．（3分）用数学的眼光观察下列图形，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：选项A、B、C的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
4．（3分）用绳子围成周长为10（m）的矩形，记矩形的一边长为x（m），面积为S（m2）．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（ ）
A．一次函数关系B．二次函数关系
C．反比例函数关系D．正比例函数关系
【解答】解：设另一边为y，
由题意得，2（x+y）＝10，
∴x+y＝5，
∴y＝5﹣x，
∵S＝xy＝x（5﹣x）＝﹣x2+5x，
∴函数关系为S＝﹣x2+5x，
即满足二次函数关系，
故选：B．
5．（3分）用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A．B．C．2D．
【解答】解：∵3x2+6x﹣1＝0，
∴3x2+6x＝1，
x2+2x＝，
则x2+2x+1＝，即（x+1）2＝，
∴a＝1，b＝，
∴a+b＝．
故选：B．
6．（3分）小王同学在求一元二次方程﹣2x2+4x+1＝0的近似根时，先在平面直角坐标系中作出了二次函数y＝﹣2x2+4x+1的图象（如图），接着观察图象与x轴的交点A和B的位置，然后得出该一元二次方程两个根的范围是﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，小王同学的这种方法运用的主要数学思想是（ ）
A．数形结合思想B．类比思想
C．公理化思想D．模型思想
【解答】解：根据函数解析式得到函数图象，结合函数图象得到抛物线与x轴交点的大体位置，属于数形结合的数学思想．
故选：A．
7．（3分）若方程（m﹣1）x|m|+1﹣2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．不存在
【解答】解：由题意得：|m|+1＝2，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1，
故选：B．
8．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）x＝6210B．3（x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210D．3x＝6210
【解答】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3（x﹣1）文．
依题意得：3（x﹣1）x＝6210．
故选：A．
9．（3分）将抛物线y＝2x2向上平移1个单位，再向右平移2个单位，则平移后的抛物线为（ ）
A．y＝2（x+2）2+1B．y＝2（x﹣2）2+1
C．y＝2（x+2）2﹣1D．y＝2（x﹣2）2﹣1
【解答】解：∵将抛物线y＝2x2向上平移1个单位再向右平移2个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：y＝2（x﹣2）2+1．
故选：B．
10．（3分）如图：已知点A的坐标为，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则C点的坐标是（ ）
A．B．C．D．（﹣2，﹣2）
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵点O为坐标原点，
∴点A和点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称，
∵点A的坐标为，
∴C点坐标为（2，﹣2），
故选：B．
11．（3分）代数式4x2+y2﹣2y﹣4x+15的最小值是（ ）
A．15B．9C．13D．10
【解答】解：∵4x2+y2﹣2y﹣4x+15
＝（4x2﹣4x+1）+（y2﹣2y+1）+13
＝（2x﹣1）2+（y﹣1）2+13≥13，
∴4x2+y2﹣2y﹣4x+15的最小值为13，
故选：C．
12．（3分）关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（ ）
A．＜t＜B．﹣1＜t≤C．﹣≤t＜D．﹣1＜t＜
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+的图象过点（﹣1，0），
∴a﹣b+＝0，
∴b＝a+，
而t＝2a+b，
∴t＝2a+a+＝3a+，
∵二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，
∴a＜0，△＝b2﹣4ac＝a2++a﹣2a＝（a﹣）2≥0，﹣＞0，
∴b＞0，
∴a+＞0，
∴a＞﹣，
∴﹣＜a＜0，
∴﹣1＜3a+＜，
∴﹣1＜t＜，
故选：D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.将答案直接填写在题中横线上）。
13．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3m﹣1，2﹣m）与点P′关于原点对称，且点P′在第三象限，则m的取值范围是 ．
【解答】解：因为在平面直角坐标系中，点P（3m﹣1，2﹣m）与点P′关于原点对称，且点P′在第三象限，
所以，
解得．
故答案为：．
14．（3分）国旗上的每一个五角星是旋转对称图形，它至少需要旋转 72 °后才能与自身重合．
【解答】解：根据旋转对称图形的概念可知：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而国旗上的每一个正五角星绕着它的中心至少旋转72度能与自身重合．
15．（3分）若m，n是一元二次方程x2+2022x﹣2023＝0的两个实数根，则+＝ ．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+2022x﹣2023＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2022，mn＝﹣2023，
∴+＝＝＝．
故答案为：．
16．（3分）若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么那么a的值是 或0 ．
【解答】解：①当函数为二次函数时，
∵y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，
∴Δ＝1﹣4a＝0，
∴a＝，
②当函数为一次函数时，a＝0，
此时y＝﹣x+1与x轴只有一个交点．
综上所述，a的值为或0．
故答案为：或0．
17．（3分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．进馆人次的月平均增长率是 50% ．
【解答】解：设进馆人次的月平均增长率为x，
则由题意得：128+128（1+x）+128（1+x）2＝608
化简得：4x2+12x﹣7＝0
∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，
∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍），
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
故答案为：50%．
18．（3分）如图，已知△ABC，∠ABC＜60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P．下列结论：
①∠EPC＝60°；
②AC与DE互相平分；
③PA+PC＝PE；
④PA平分∠BPE，其中正确结论的是 ①③④ ．
【解答】解：设AD交BC于点F，
由旋转的性质可得：∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE＝60°，AE＝AC，
∵∠B+∠BAD＝∠D+∠BPD，
∴∠BPD＝∠BAD＝60°，
∴∠EPC＝∠BPD＝60°，
故①正确；
设DE交AC于点H，连接CE，
∵∠CAE＝60°，AE＝AC，
∴△ACE是等边三角形，
若AC与DE互相平分，则AH＝CH，
∴PE⊥AC，
∵∠EPC＝60°，∠C的大小无法确定，
∴∠CHP不一定等于90°，
故②错误；
在BC上截取BG＝PD，
由旋转的性质得：∠B＝∠D，BC＝DE，AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴CG＝PE，
∴△ABG≌△ADP（SAS），
∴AG＝AP，∠BAG＝∠DAP，
∴∠BAG+∠DAG＝∠DAP+∠DAG，
即∠BAD＝∠GAP＝60°，
∴△APG是等边三角形，
∴AP＝PG，∠APB＝60°，
∴AP+PC＝PG+PC＝CG＝PE，
故③正确；
∵∠EPC＝60°，
∴∠BPE＝120°，
∴∠APE＝∠APB＝60°，
∴PA平分∠BPE，
故④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题：（本大题共6个小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤。)
19．（10分）（1）解方程：x2﹣2x﹣24＝0．
（2）△ABC和点S在平面直角坐标系中的位置如图所示．
①将△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，画出平移后的图形；
②将△ABC绕点S按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣24＝0，
∴x2﹣2x+1＝25，
∴（x﹣1）2＝25，
∴x﹣1＝±5，
解得：x1＝﹣4，x2＝6；
（2）①如图1所示，△A1B1C1即为所求：
；
②旋转后的图形如图2所示：
．
20．（10分）（1）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，求：
①抛物线与x轴、y轴相交的交点坐标．
②抛物线的顶点坐标．
③画出此抛物线的图象，利用图象回答问题：当x取何值时，函数值大于0？
（2）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
①求实数k的取值范围．
②设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．
【解答】解：（1）①由题意，令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线与x轴交点为（﹣1，0）和（3，0）；
令x＝0，则y＝﹣3，
∴抛物线与y轴交点为（0，﹣3）；
②∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
③如图所示：
由图象可知，当x＞3或x＜﹣1时，y＞0；
（2）①∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，
∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0，
解得：k≤
即k的取值范围是：k≤；
②∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝k﹣2，
∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1，
∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1，
∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1，
解得k＝3，
即k的值是3．
21．（6分）一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理．
【解答】解：设这个多边形是n边形，则
∵＝20，
∴n2﹣3n﹣40＝0，
（n﹣8）（n+5）＝0，
解得n＝8，n＝﹣5（舍去），
故多边形的边数为8；
∵＝18，
∴n2﹣3n﹣36＝0，
∵b2﹣4ac＝9+144＝153，
∴方程的根，无法求出整数，
故这样的多边形不存在．
22．（6分）如图，等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．
（1）求∠DCE的度数；
（2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的长．
【解答】解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAD＝∠BCD＝45°．
由旋转的性质可知∠BAD＝∠BCE＝45°．
∴∠DCE＝∠BCE+∠BCA＝45°+45°＝90°．
（2）∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝4．
∵CD＝3AD，
∴AD＝，DC＝3．
由旋转的性质可知：AD＝EC＝．
∴DE＝＝2．
23．（6分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将（10，30）、（16，24）代入，得：，
解得：，
所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤16）；
（2）根据题意知，W＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣x+40）
＝﹣x2+50x﹣400
＝﹣（x﹣25）2+225，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤16，
∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（﹣2，0），抛物线经过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且∠BAO＝∠DAO，求证：OB＝OD；
（3）在问题2的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴l交于点E，连接BE，在平面内是否存在一点P，使以B．E．A．P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）解：令y＝0，则﹣x+3＝0，
解得x＝6，
令x＝0，则y＝3，
∴A（6，0），B（0，3），
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
把A，B，C三点坐标代入解析式，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x+3；
（2）证明：在平面直角坐标系xOy中，∠BOA＝∠DOA＝90°，
在△BOA和△DOA中，
，
∴△BOA≌△DOA （ASA），
∴OB＝OD；
（3）解：在平面内存在一点P，使以B．E．A．P为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由（2）知OB＝OD，
∴D点坐标为（0，﹣3），
设AD解析式为y＝mx+n，将A、D代入得：
，
解得：，
∴AD的解析式为y＝x﹣3，
∵y＝x2+x+3＝（x﹣2）2+4，
∴抛物线的对称轴是直线x＝2，
∴E点的横坐标是2，
将x＝2代入y＝x﹣3得：y＝﹣2，
∴E点坐标为（2，﹣2），
如图，设P（m，n），
∵A（6，0），B（0，3），E（2，﹣2），
当AB为对角线时，AB与EP互相平分，
∴（6+0）＝（2+m），（0+3）＝（﹣2+n），
∴m＝4，n＝5，
∴P（4，5）；
当BE为对角线时，（0+2）＝（6+m），（3﹣2）＝（0+n），
∴m＝﹣4，n＝1，
∴P（﹣4，1）；
当AE为对角线时，（6+2）＝（0+m），（0﹣2）＝（3+n），
∴m＝8，n＝﹣5，
∴P（8，﹣5），
综上，满足条件的点P的坐标为（4，5）或（﹣4，1）或（8，﹣5）．
1．（3分）将方程x2+5x＝7化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，则一次项系数、常数项分别为（ ）
A．5，﹣7B．5，7C．﹣5，7D．﹣5，﹣7
2．（3分）下列函数中，是二次函数的有（ ）
①；
②；
③y＝3x（1﹣3x）；
④y＝（1﹣2x）（1+2x）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（3分）用数学的眼光观察下列图形，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）用绳子围成周长为10（m）的矩形，记矩形的一边长为x（m），面积为S（m2）．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（ ）
A．一次函数关系B．二次函数关系
C．反比例函数关系D．正比例函数关系
5．（3分）用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A．B．C．2D．
6．（3分）小王同学在求一元二次方程﹣2x2+4x+1＝0的近似根时，先在平面直角坐标系中作出了二次函数y＝﹣2x2+4x+1的图象（如图），接着观察图象与x轴的交点A和B的位置，然后得出该一元二次方程两个根的范围是﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，小王同学的这种方法运用的主要数学思想是（ ）
A．数形结合思想B．类比思想
C．公理化思想D．模型思想
7．（3分）若方程（m﹣1）x|m|+1﹣2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．不存在
8．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）x＝6210B．3（x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210D．3x＝6210
9．（3分）将抛物线y＝2x2向上平移1个单位，再向右平移2个单位，则平移后的抛物线为（ ）
A．y＝2（x+2）2+1B．y＝2（x﹣2）2+1
C．y＝2（x+2）2﹣1D．y＝2（x﹣2）2﹣1
10．（3分）如图：已知点A的坐标为，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则C点的坐标是（ ）
A．B．C．D．（﹣2，﹣2）
11．（3分）代数式4x2+y2﹣2y﹣4x+15的最小值是（ ）
A．15B．9C．13D．10
12．（3分）关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（ ）
A．＜t＜B．﹣1＜t≤C．﹣≤t＜D．﹣1＜t＜
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.将答案直接填写在题中横线上）。
13．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3m﹣1，2﹣m）与点P′关于原点对称，且点P′在第三象限，则m的取值范围是 ．
14．（3分）国旗上的每一个五角星是旋转对称图形，它至少需要旋转 °后才能与自身重合．
15．（3分）若m，n是一元二次方程x2+2022x﹣2023＝0的两个实数根，则+＝ ．
16．（3分）若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么那么a的值是 ．
17．（3分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．进馆人次的月平均增长率是 ．
18．（3分）如图，已知△ABC，∠ABC＜60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P．下列结论：
①∠EPC＝60°；
②AC与DE互相平分；
③PA+PC＝PE；
④PA平分∠BPE，其中正确结论的是 ．
三、解答题：（本大题共6个小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤。)
19．（10分）（1）解方程：x2﹣2x﹣24＝0．
（2）△ABC和点S在平面直角坐标系中的位置如图所示．
①将△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，画出平移后的图形；
②将△ABC绕点S按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形．
20．（10分）（1）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，求：
①抛物线与x轴、y轴相交的交点坐标．
②抛物线的顶点坐标．
③画出此抛物线的图象，利用图象回答问题：当x取何值时，函数值大于0？
（2）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
①求实数k的取值范围．
②设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．
21．（6分）一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理．
22．（6分）如图，等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．
（1）求∠DCE的度数；
（2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的长．
23．（6分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（﹣2，0），抛物线经过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且∠BAO＝∠DAO，求证：OB＝OD；
（3）在问题2的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴l交于点E，连接BE，在平面内是否存在一点P，使以B．E．A．P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年四川省绵阳市江油市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个符合题目要求，请把你认为正确的题号填入题后面的括号内）
1．（3分）将方程x2+5x＝7化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，则一次项系数、常数项分别为（ ）
A．5，﹣7B．5，7C．﹣5，7D．﹣5，﹣7
【解答】解：方程整理得：x2+5x﹣7＝0，
则一次项系数、常数项分别为5，﹣7，
故选：A．
2．（3分）下列函数中，是二次函数的有（ ）
①；
②；
③y＝3x（1﹣3x）；
④y＝（1﹣2x）（1+2x）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①y＝1﹣x2＝﹣x2+1，是二次函数；
②y＝，分母中含有自变量，不是二次函数；
③y＝3x（1﹣3x）＝﹣9x2+3x，是二次函数；
④y＝（1﹣2x）（1+2x）＝﹣4x2+1，是二次函数．
二次函数共三个．
故选：C．
3．（3分）用数学的眼光观察下列图形，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：选项A、B、C的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
4．（3分）用绳子围成周长为10（m）的矩形，记矩形的一边长为x（m），面积为S（m2）．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（ ）
A．一次函数关系B．二次函数关系
C．反比例函数关系D．正比例函数关系
【解答】解：设另一边为y，
由题意得，2（x+y）＝10，
∴x+y＝5，
∴y＝5﹣x，
∵S＝xy＝x（5﹣x）＝﹣x2+5x，
∴函数关系为S＝﹣x2+5x，
即满足二次函数关系，
故选：B．
5．（3分）用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A．B．C．2D．
【解答】解：∵3x2+6x﹣1＝0，
∴3x2+6x＝1，
x2+2x＝，
则x2+2x+1＝，即（x+1）2＝，
∴a＝1，b＝，
∴a+b＝．
故选：B．
6．（3分）小王同学在求一元二次方程﹣2x2+4x+1＝0的近似根时，先在平面直角坐标系中作出了二次函数y＝﹣2x2+4x+1的图象（如图），接着观察图象与x轴的交点A和B的位置，然后得出该一元二次方程两个根的范围是﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，小王同学的这种方法运用的主要数学思想是（ ）
A．数形结合思想B．类比思想
C．公理化思想D．模型思想
【解答】解：根据函数解析式得到函数图象，结合函数图象得到抛物线与x轴交点的大体位置，属于数形结合的数学思想．
故选：A．
7．（3分）若方程（m﹣1）x|m|+1﹣2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．不存在
【解答】解：由题意得：|m|+1＝2，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1，
故选：B．
8．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）x＝6210B．3（x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210D．3x＝6210
【解答】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3（x﹣1）文．
依题意得：3（x﹣1）x＝6210．
故选：A．
9．（3分）将抛物线y＝2x2向上平移1个单位，再向右平移2个单位，则平移后的抛物线为（ ）
A．y＝2（x+2）2+1B．y＝2（x﹣2）2+1
C．y＝2（x+2）2﹣1D．y＝2（x﹣2）2﹣1
【解答】解：∵将抛物线y＝2x2向上平移1个单位再向右平移2个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：y＝2（x﹣2）2+1．
故选：B．
10．（3分）如图：已知点A的坐标为，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则C点的坐标是（ ）
A．B．C．D．（﹣2，﹣2）
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵点O为坐标原点，
∴点A和点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称，
∵点A的坐标为，
∴C点坐标为（2，﹣2），
故选：B．
11．（3分）代数式4x2+y2﹣2y﹣4x+15的最小值是（ ）
A．15B．9C．13D．10
【解答】解：∵4x2+y2﹣2y﹣4x+15
＝（4x2﹣4x+1）+（y2﹣2y+1）+13
＝（2x﹣1）2+（y﹣1）2+13≥13，
∴4x2+y2﹣2y﹣4x+15的最小值为13，
故选：C．
12．（3分）关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（ ）
A．＜t＜B．﹣1＜t≤C．﹣≤t＜D．﹣1＜t＜
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+的图象过点（﹣1，0），
∴a﹣b+＝0，
∴b＝a+，
而t＝2a+b，
∴t＝2a+a+＝3a+，
∵二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，
∴a＜0，△＝b2﹣4ac＝a2++a﹣2a＝（a﹣）2≥0，﹣＞0，
∴b＞0，
∴a+＞0，
∴a＞﹣，
∴﹣＜a＜0，
∴﹣1＜3a+＜，
∴﹣1＜t＜，
故选：D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.将答案直接填写在题中横线上）。
13．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3m﹣1，2﹣m）与点P′关于原点对称，且点P′在第三象限，则m的取值范围是 ．
【解答】解：因为在平面直角坐标系中，点P（3m﹣1，2﹣m）与点P′关于原点对称，且点P′在第三象限，
所以，
解得．
故答案为：．
14．（3分）国旗上的每一个五角星是旋转对称图形，它至少需要旋转 72 °后才能与自身重合．
【解答】解：根据旋转对称图形的概念可知：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而国旗上的每一个正五角星绕着它的中心至少旋转72度能与自身重合．
15．（3分）若m，n是一元二次方程x2+2022x﹣2023＝0的两个实数根，则+＝ ．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+2022x﹣2023＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2022，mn＝﹣2023，
∴+＝＝＝．
故答案为：．
16．（3分）若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么那么a的值是 或0 ．
【解答】解：①当函数为二次函数时，
∵y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，
∴Δ＝1﹣4a＝0，
∴a＝，
②当函数为一次函数时，a＝0，
此时y＝﹣x+1与x轴只有一个交点．
综上所述，a的值为或0．
故答案为：或0．
17．（3分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．进馆人次的月平均增长率是 50% ．
【解答】解：设进馆人次的月平均增长率为x，
则由题意得：128+128（1+x）+128（1+x）2＝608
化简得：4x2+12x﹣7＝0
∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，
∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍），
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
故答案为：50%．
18．（3分）如图，已知△ABC，∠ABC＜60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P．下列结论：
①∠EPC＝60°；
②AC与DE互相平分；
③PA+PC＝PE；
④PA平分∠BPE，其中正确结论的是 ①③④ ．
【解答】解：设AD交BC于点F，
由旋转的性质可得：∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE＝60°，AE＝AC，
∵∠B+∠BAD＝∠D+∠BPD，
∴∠BPD＝∠BAD＝60°，
∴∠EPC＝∠BPD＝60°，
故①正确；
设DE交AC于点H，连接CE，
∵∠CAE＝60°，AE＝AC，
∴△ACE是等边三角形，
若AC与DE互相平分，则AH＝CH，
∴PE⊥AC，
∵∠EPC＝60°，∠C的大小无法确定，
∴∠CHP不一定等于90°，
故②错误；
在BC上截取BG＝PD，
由旋转的性质得：∠B＝∠D，BC＝DE，AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴CG＝PE，
∴△ABG≌△ADP（SAS），
∴AG＝AP，∠BAG＝∠DAP，
∴∠BAG+∠DAG＝∠DAP+∠DAG，
即∠BAD＝∠GAP＝60°，
∴△APG是等边三角形，
∴AP＝PG，∠APB＝60°，
∴AP+PC＝PG+PC＝CG＝PE，
故③正确；
∵∠EPC＝60°，
∴∠BPE＝120°，
∴∠APE＝∠APB＝60°，
∴PA平分∠BPE，
故④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题：（本大题共6个小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤。)
19．（10分）（1）解方程：x2﹣2x﹣24＝0．
（2）△ABC和点S在平面直角坐标系中的位置如图所示．
①将△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，画出平移后的图形；
②将△ABC绕点S按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣24＝0，
∴x2﹣2x+1＝25，
∴（x﹣1）2＝25，
∴x﹣1＝±5，
解得：x1＝﹣4，x2＝6；
（2）①如图1所示，△A1B1C1即为所求：
；
②旋转后的图形如图2所示：
．
20．（10分）（1）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，求：
①抛物线与x轴、y轴相交的交点坐标．
②抛物线的顶点坐标．
③画出此抛物线的图象，利用图象回答问题：当x取何值时，函数值大于0？
（2）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
①求实数k的取值范围．
②设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．
【解答】解：（1）①由题意，令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线与x轴交点为（﹣1，0）和（3，0）；
令x＝0，则y＝﹣3，
∴抛物线与y轴交点为（0，﹣3）；
②∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
③如图所示：
由图象可知，当x＞3或x＜﹣1时，y＞0；
（2）①∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，
∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0，
解得：k≤
即k的取值范围是：k≤；
②∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝k﹣2，
∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1，
∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1，
∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1，
解得k＝3，
即k的值是3．
21．（6分）一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理．
【解答】解：设这个多边形是n边形，则
∵＝20，
∴n2﹣3n﹣40＝0，
（n﹣8）（n+5）＝0，
解得n＝8，n＝﹣5（舍去），
故多边形的边数为8；
∵＝18，
∴n2﹣3n﹣36＝0，
∵b2﹣4ac＝9+144＝153，
∴方程的根，无法求出整数，
故这样的多边形不存在．
22．（6分）如图，等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．
（1）求∠DCE的度数；
（2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的长．
【解答】解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAD＝∠BCD＝45°．
由旋转的性质可知∠BAD＝∠BCE＝45°．
∴∠DCE＝∠BCE+∠BCA＝45°+45°＝90°．
（2）∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝4．
∵CD＝3AD，
∴AD＝，DC＝3．
由旋转的性质可知：AD＝EC＝．
∴DE＝＝2．
23．（6分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将（10，30）、（16，24）代入，得：，
解得：，
所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤16）；
（2）根据题意知，W＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣x+40）
＝﹣x2+50x﹣400
＝﹣（x﹣25）2+225，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤16，
∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（﹣2，0），抛物线经过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且∠BAO＝∠DAO，求证：OB＝OD；
（3）在问题2的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴l交于点E，连接BE，在平面内是否存在一点P，使以B．E．A．P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）解：令y＝0，则﹣x+3＝0，
解得x＝6，
令x＝0，则y＝3，
∴A（6，0），B（0，3），
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
把A，B，C三点坐标代入解析式，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x+3；
（2）证明：在平面直角坐标系xOy中，∠BOA＝∠DOA＝90°，
在△BOA和△DOA中，
，
∴△BOA≌△DOA （ASA），
∴OB＝OD；
（3）解：在平面内存在一点P，使以B．E．A．P为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由（2）知OB＝OD，
∴D点坐标为（0，﹣3），
设AD解析式为y＝mx+n，将A、D代入得：
，
解得：，
∴AD的解析式为y＝x﹣3，
∵y＝x2+x+3＝（x﹣2）2+4，
∴抛物线的对称轴是直线x＝2，
∴E点的横坐标是2，
将x＝2代入y＝x﹣3得：y＝﹣2，
∴E点坐标为（2，﹣2），
如图，设P（m，n），
∵A（6，0），B（0，3），E（2，﹣2），
当AB为对角线时，AB与EP互相平分，
∴（6+0）＝（2+m），（0+3）＝（﹣2+n），
∴m＝4，n＝5，
∴P（4，5）；
当BE为对角线时，（0+2）＝（6+m），（3﹣2）＝（0+n），
∴m＝﹣4，n＝1，
∴P（﹣4，1）；
当AE为对角线时，（6+2）＝（0+m），（0﹣2）＝（3+n），
∴m＝8，n＝﹣5，
∴P（8，﹣5），
综上，满足条件的点P的坐标为（4，5）或（﹣4，1）或（8，﹣5）．
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