浙江省金华市金东区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份浙江省金华市金东区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列所描述的事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B．任意买一张电影票，座位号是7的倍数
C．从一个只有红球的盒子里摸出一个球是红球
D．太阳从西边升起
2．（3分）下列各组线段中，成比例线段的一组是（ ）
A．1，2，3，4B．2，3，4，6C．1，3，5，7D．2，4，6，8
3．（3分）二次函数y＝2（x+1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）
4．（3分）如图，△OAB绕点O顺时针旋转得到△OCD，若∠BOC＝15°，∠AOD＝95°，当点C恰好在AB上时，则∠BCD的度数是（ ）
A．30°B．40°C．45°D．55°
5．（3分）两个相似三角形的周长之比是，则它们的面积之比为（ ）
A．1：3B．3：1C．D．
6．（3分）下列四个命题中，真命题的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．相等的圆心角所对的弦相等
C．圆心角是圆周角的2倍
D．90°的圆周角所对的弦是直径
7．（3分）如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB＝8，OE＝3，则CE的长是（ ）
A．8B．7C．6D．5
8．（3分）已知线段AB＝1，E，F分别为其上的两个黄金分割点，则EF的长是（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论错误的是（ ）
A．b2＞4acB．a+b+c＞0C．a﹣b+c＜0D．abc＞0
10．（3分）如图，点P为正方形ABCD的外接圆O的上一点，连结PA，PB，PC，则的值为（ ）
A．1B．C．D．2
二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若，则＝ ．
12．（4分）在不透明的口袋中装有5个红球，2个黄球，1个白球，它们除颜色外其余均相同，若从中随机摸一个球，是黄球的概率为 ．
13．（4分）如图，BC∥DE，且，DE＝4，则BC＝ ．
14．（4分）已知二次函数y＝x2﹣4x+1，当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是 ．
15．（4分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝3．将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则阴影部分的面积为 （结果保留π）．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，D为BC的中点，E，F分别在AB，AC上，若，则点D到AB的距离是 ，△AEF的周长是 ．
三、解答题（本大题共有8小题，共66分）
17．（6分）已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）经过点（1，4）．
（1）求二次函数与x轴的交点坐标．
（2）求a的值．
18．（6分）如图，在4×4的方格纸中，线段AB的两个端点都在1×1小方格的格点上，分别按下列要求画图．
（1）将线段AB绕点O顺时针旋转90°得线段A1B1．
（2）以点O为位似中心，画出线段A2B2，使线段A1B1与A2B2是位似图形，且位似比为1：2．
19．（6分）为备战区足球比赛，某校足球小将在距离门框15米处进行大量射门练习后，得到数据如下表：
（1）请你根据上表，估计该足球小将射中球门的概率为 （精确到0.01）．
（2）已知该足球小将1000次射门中包括左右脚射门、头球射门3个技术动作练习，若左脚、右脚、头球射门次数比为3：5：2，且左脚射中次数为240次，求左脚射中概率．
20．（8分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，∠AEB＝∠EDB．
（1）求证：△BDE∽△BEA．
（2）若∠C＝∠BEC，BD＝1，AD＝2，求BC的长度．
21．（8分）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
22．（10分）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC＝2∠ABE．
（1）求证：AB＝AC．
（2）当AE＝4，CE＝6时，求：
①的值；
②CD的长．
23．（10分）探究解决以下问题：
24．（12分）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，y轴上存在一点D，使⊙D经过B，C两点，求点D的坐标．
（3）如图3，连结BC，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连结BP，CP，在点P运动过程中，△BPC 中是否存在一个内角，使其等于∠ABC，若存在，求出此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年浙江省金华市金东区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请选出一个符合题意的正确选项填涂在答题卷内，不选、多选、错选均不给分）.
1．（3分）下列所描述的事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B．任意买一张电影票，座位号是7的倍数
C．从一个只有红球的盒子里摸出一个球是红球
D．太阳从西边升起
【解答】解：A、投掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机随机，不符合题意；
B、任意买一张电影票，座位号是7的倍数是随机随机，不符合题意；
C、从一个只有红球的盒子里摸出一个球是红球是必然事件，符合题意；
D、太阳从东边升起，西边落下，不符合题意；
故选：C．
2．（3分）下列各组线段中，成比例线段的一组是（ ）
A．1，2，3，4B．2，3，4，6C．1，3，5，7D．2，4，6，8
【解答】解：A、1×4≠2×3，故本选项错误；
B、2×6＝3×4，故本选项正确；
C、1×7≠3×5，故本选项错误；
D、2×8≠4×6，故本选项错误．
故选：B．
3．（3分）二次函数y＝2（x+1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）
【解答】解：∵二次函数y＝2（x+1）2﹣2
∴顶点坐标为（﹣1，﹣2），
故选：B．
4．（3分）如图，△OAB绕点O顺时针旋转得到△OCD，若∠BOC＝15°，∠AOD＝95°，当点C恰好在AB上时，则∠BCD的度数是（ ）
A．30°B．40°C．45°D．55°
【解答】解：∵△OAB绕点O顺时针旋转得到△OCD，
∴∠AOB＝∠COD，OA＝OC，∠OCD＝∠A，
∵∠BOC＝15°，∠AOD＝95°，
∴2∠AOB＝∠AOB+∠COD＝∠AOB+∠BOD+∠BOC＝∠AOD+∠BOC＝95°+15°＝110°，
∴∠AOB＝55°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝40°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝（180°﹣∠AOC）＝70°，
∴∠OCD＝70°，
∴∠BCD＝180°﹣∠ACO﹣∠OCD＝40°．
故选：B．
5．（3分）两个相似三角形的周长之比是，则它们的面积之比为（ ）
A．1：3B．3：1C．D．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比为1：，
∴两个相似三角形的相似比为1：，
∵相似三角形面积的比等于相似比的平方，
∴它们相应的面积之比是1：3．
故选：A．
6．（3分）下列四个命题中，真命题的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．相等的圆心角所对的弦相等
C．圆心角是圆周角的2倍
D．90°的圆周角所对的弦是直径
【解答】解：A、不共线的三点确定一个圆，故A不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故B不符合题意；
C、同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，故C不符合题意；
D、90°的圆周角所对的弦是直径，正确，故D符合题意．
故选：D．
7．（3分）如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB＝8，OE＝3，则CE的长是（ ）
A．8B．7C．6D．5
【解答】解：如图，连接OA，
∵线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴AE＝AB，
∵AB＝8，
∴AE＝4，
∵OE＝3，
∴OA＝＝5，
∴OC＝OA＝5，
∴CE＝OC+OE＝8，
故选：A．
8．（3分）已知线段AB＝1，E，F分别为其上的两个黄金分割点，则EF的长是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵E、F是线段AB的两个黄金分割点，AB＝1，
∴AF＝BE＝AB＝，
∴EF＝AF+BE﹣AB＝﹣2，
故选：C．
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论错误的是（ ）
A．b2＞4acB．a+b+c＞0C．a﹣b+c＜0D．abc＞0
【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，选项A正确．
∵x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，选项B正确．
由图象可得x＝﹣1时y＜0，
∴a﹣b+c＜0，选项C正确．
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，选项D错误．
故选：D．
10．（3分）如图，点P为正方形ABCD的外接圆O的上一点，连结PA，PB，PC，则的值为（ ）
A．1B．C．D．2
【解答】解：延长PA到E，使AE＝PC，连接BE，
∵∠BAE+∠BAP＝180°，∠BAP+∠PCB＝180°，
∴∠BAE＝∠PCB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
在△ABE和△CBP中，
，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴∠ABE＝∠CBP，BE＝BP，
∴∠ABE+∠ABP＝∠ABP+∠CBP＝90°，
∴△BEP是等腰直角三角形，
∴PA+PC＝PE＝PB．
即：＝，
故选：B．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若，则＝ ．
【解答】解：∵，
∴设b＝2k，a＝3k，
∴＝＝＝，
故答案为：．
12．（4分）在不透明的口袋中装有5个红球，2个黄球，1个白球，它们除颜色外其余均相同，若从中随机摸一个球，是黄球的概率为 ．
【解答】解：∵袋子中共有5+2+1＝8（个），其中黄球有2个，
∴从中随机摸一个球，是黄球的概率为＝．
故答案为：．
13．（4分）如图，BC∥DE，且，DE＝4，则BC＝ 2 ．
【解答】解：∵BC∥DE，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵，DE＝4，
∴＝，
解得BC＝2，
故答案为：2．
14．（4分）已知二次函数y＝x2﹣4x+1，当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是 ﹣3≤y＜6 ．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣3），
将x＝﹣1代入y＝x2﹣4x+1得y＝1+4+1＝6，
∴当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是﹣3≤y＜6，
故答案为：﹣3≤y＜6．
15．（4分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝3．将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则阴影部分的面积为 π﹣3 （结果保留π）．
【解答】解：连接OD交BC于点E．
扇形的面积＝π×32＝π，
∵点O与点D关于BC对称，
∴OE＝DE＝，OD⊥BC．
在Rt△OBE中，sin∠OBE＝，
∴∠OBC＝30°．
在Rt△COB中，＝tan30°，
∴＝．
∴CO＝．
∴△COB的面积＝×3×＝．
阴影部分的面积＝扇形面积﹣2倍的△COB的面积
＝π﹣3．
故答案为：π﹣3．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，D为BC的中点，E，F分别在AB，AC上，若，则点D到AB的距离是 ，△AEF的周长是 ．
【解答】解：连接AD，过点D作DG⊥AB交于点G，过点D作DM⊥EF交于点M，过点D作DN⊥AC交于点N，如图所示：
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴BD＝BC＝1，AD⊥BC，∠ADB＝∠ACD＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，
在Rt△ABD中，由勾股定理得AD，
∵，
∴DG＝，
又∵∠EDF＝90°﹣∠A，
∴∠ABD＝∠ACD＝∠EDF，
∵∠EDC＝∠ABC+∠BED，
∴∠BED＝∠FDC，
∵∠BED＝∠FDC，∠EBD＝∠DCF，
∴△BED～△CDF，
∴，∠BDE＝∠CFD，
∵D为BC的中点，
∴，
∴，
又∵∠EBD＝∠EDF，
∴△EBD～△EDF，
∴∠BED＝∠DEF，∠BDE＝∠DFE，
∵∠EGD＝∠EMD＝90°，∠BED＝∠DEF，DE＝DE，
∴△EGD≌△EMD，
∴EG＝EM，
同理可得：FN＝FM，
∵AB＝AC，
∴ABC是等腰三角形，
∵D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD＝AD，
∴△AGD≌△AND，
∴AG＝AN，
又∵AB＝AC，
∴BG＝CN，
∴EF＝EM+FM＝EG+FN＝BE﹣BG+CF﹣CN＝BE+CF﹣2BG，
∵∠B＝∠B，∠BGD＝∠ADB＝90°，
∴△DGB～△ADB，
∴，即，
∴BG＝，
∴EF＝BE+CF﹣，
∴△AEF的周长＝AE+AF+BE+CF﹣＝AB+AC﹣＝3+3﹣＝．
故答案为：；．
三、解答题（本大题共有8小题，共66分）
17．（6分）已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）经过点（1，4）．
（1）求二次函数与x轴的交点坐标．
（2）求a的值．
【解答】解：（1）令y＝a（x+1）（x﹣3）＝0，
解得：x＝3或﹣1，
故函数和x轴交点的坐标为：（﹣1，0）、（3，0）；
（2）将（1，4）代入抛物线表达式得：4＝a（1+1）（1﹣3），
解得：a＝﹣1．
18．（6分）如图，在4×4的方格纸中，线段AB的两个端点都在1×1小方格的格点上，分别按下列要求画图．
（1）将线段AB绕点O顺时针旋转90°得线段A1B1．
（2）以点O为位似中心，画出线段A2B2，使线段A1B1与A2B2是位似图形，且位似比为1：2．
【解答】解：（1）如图，线段A1B1即为所求；
（2）如图，线段A2B2即为所求．
19．（6分）为备战区足球比赛，某校足球小将在距离门框15米处进行大量射门练习后，得到数据如下表：
（1）请你根据上表，估计该足球小将射中球门的概率为 0.72 （精确到0.01）．
（2）已知该足球小将1000次射门中包括左右脚射门、头球射门3个技术动作练习，若左脚、右脚、头球射门次数比为3：5：2，且左脚射中次数为240次，求左脚射中概率．
【解答】解：（1）据上表，估计该足球小将射中球门的概率为0.72；
故答案为：0.72；
（2）240÷（1000×）＝0.8．
答：左脚射中概率为0.8．
20．（8分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，∠AEB＝∠EDB．
（1）求证：△BDE∽△BEA．
（2）若∠C＝∠BEC，BD＝1，AD＝2，求BC的长度．
【解答】解：（1）∵∠ABE＝∠EBD，∠AEB＝∠EDB，
∴△BDE∽△BEA；
（2）∵△BDE∽△BEA，
∴BD：BE＝BE：AB，即BE2＝BD•BA，
∵BD＝1，AD＝2，
∴AB＝3，
∴BE2＝1×3，
∴BE＝，
∵∠C＝∠BEC，
∴BC＝BE＝．
21．（8分）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
【解答】解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），
∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），
设水池的长为a m，则水池的面积为a×1＝a（m2），
∴36﹣a＝32，
解得a＝4，
∴DG＝4m，
∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），
即CG的长为8m、DG的长为4m；
（2）设BC长为x m，则CD长度为（21﹣3x）m，
∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣）2+，
∵﹣3＜0，
∴当x＝时，总种植面积有最大值为m2，
此时CD＝21﹣3×＝＜12，符合题意，
即BC应设计为m总种植面积最大，此时最大面积为m2．
22．（10分）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC＝2∠ABE．
（1）求证：AB＝AC．
（2）当AE＝4，CE＝6时，求：
①的值；
②CD的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABE，
∵∠BAC＝2∠ABE，
∴∠BAC＝2∠BAO，
∴∠BAO＝∠CAO，
∴∠AOB＝∠AOC，
∴＝，
∴AB＝AC；
（2）解：①∵∠ACD＝∠ABD，∠ABD＝∠CAO，
∴∠CAO＝∠ACD，
∴OA∥CD，
∴＝＝＝；
②过O点作OH⊥AC于H点，如图，设⊙O的半径为5x，则OA＝OD＝5x，
∵OE：DE＝2：3，
∴OE＝2x，
∴AH＝CH＝AC＝5，
∴EH＝AH﹣AE＝5﹣4＝1，
在Rt△OEH中，OH2＝OE2﹣EH2＝（2x）2﹣12＝4x2﹣1，
在Rt△OEH中，OH2＝OA2﹣AH2＝（5x）2﹣52＝25x2﹣25，
∴4x2﹣1＝25x2﹣25，
解得x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴OA＝5x＝，
∵OA∥CD，
∴＝，即＝，
∴CD＝．
23．（10分）探究解决以下问题：
【解答】任务1：证明：如图1，设AC与BE、CE分别相交于点G、F，
∵∠A+∠D＝∠BFG，∠C+∠E＝∠BGF，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠BFG+∠BGF+∠B，
∵∠BFG+∠BGF+∠B＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
任务2：解：如图2，作正六边形ABCDEF的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝60°，
∴∠DOE+∠EOF+∠FOA＝180°，∠EOF+∠FOA+∠AOB＝180°，
∴对角线AD、BD都经过圆心O，
设EC分别交AD、BD于点K、L，AC分别交BE、BD于点G、I，
∵△DOE、△DOC都是等边三角，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝DE＝DC＝4，
∴四边形OCDE是菱形，
∴OD⊥CE，OK＝DK＝OD＝2，
∴∠AKC＝∠OKE＝90°，AK＝4+2＝6，
∴CK＝EK＝＝2，
∴S△ACK＝×6×2＝6，S△EOK＝×2×2＝2，
∵∠LKD＝90°，∠LDK＝∠AOB＝30°，
∴LD＝2LK，
∴DK＝＝＝LK＝2，
∴LK＝，
∴S△DKL＝×2×＝，
同理求得S△BGI＝，
∴S五角星ABCDE＝S△ACK+S△EOK+S△DKL+S△BGI＝6+2++＝，
∴五角星ABCDE的面积为．
任务3：解：①如图3，作正五边形ABCDE的外接圆⊙O，
∵AB＝BC＝CD＝DE＝EA，
∴＝＝＝＝，
∵∠AED＝×（5﹣2）×180°＝108°，
∴∠EAD＝∠EDA＝×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠AEB＝∠BEC＝∠FED＝∠FDE＝36°，
∴DF＝EF，∠AEF＝∠AEB+∠BEC＝72°，∠AFE＝∠FED+∠FDE＝72°，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF＝DE＝4，
∵∠FDE＝EDA，∠FED＝∠EAD，
∴△DEF∽△DAE，
∴＝，
∴DE2＝AD•DF，
∴AF2＝AD•（AD﹣AF），
∴AF＝AD或AF＝AD（不符合题意，舍去），
∴AD＝4，
∴AD＝2+2，
∴AD的长是2+2．
∴②设S△DEF＝n，
∵＝＝，
∴＝＝，
∴S△AEF＝S△DEF＝n，
∴S△AED＝n+n＝n，
∵AF＝AB，∠CAF＝∠CAB＝∠EAD＝36°，AC＝AC，
∴△AFC≌△ABC（SAS），
∵AB＝ED，∠ABC＝∠EDC，BC＝DC，
∴△ABC≌△EDC，
同理△ABC≌△AED，
∴S△AFC＝S△ABC＝S△EDC＝S△AED＝n，
∴S正五边形ABCDE＝S△AFC+S△ABC+S△EDC+S△AEF＝3×n+n＝（2+5）n，
∴S正五角星ABCDE＝S正五边形ABCDE﹣5S△DEF＝（2+5）n﹣5n＝2n，
∴＝＝2﹣4，
∴正五角星与正五边形的面积之比是2﹣4．
24．（12分）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，y轴上存在一点D，使⊙D经过B，C两点，求点D的坐标．
（3）如图3，连结BC，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连结BP，CP，在点P运动过程中，△BPC 中是否存在一个内角，使其等于∠ABC，若存在，求出此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点，且点A坐标为（﹣1，0），
∴＝0，
解得c＝2，
∴抛物线的解析式为：+2；
（2）∵抛物线y＝+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
∴令y＝0，即+2＝0，
解得x＝﹣1或x＝4，
令x＝0，则y＝2，
∴B（4，0），C（0，2），
设点D的坐标为（0，d），由题可知，CD＝BD，
∴＝，
解得d＝﹣3，
∴D（0，﹣3）；
（3）存在，理由如下：在△OBC中，OB＝4，OC＝2，
∴tan∠ABC＝；
根据题意，△BPC 中是否存在一个内角，使其等于∠ABC，需要分以下三种情况：
①当∠CBP＝∠ABC时，如图3﹣1，过点C作CE⊥BP于点E，过点E作EF⊥y轴于点F，过点B作BG⊥x轴交EF于点G，
∴EF⊥BG，
∵∠CBP＝∠ABC，∠BOC＝∠BEC＝90°，BC＝BC，
∴Rt△OBC≌Rt△EBC（HL），
∴OB＝BE＝4，OC＝CE＝2，
∵EF⊥y轴，EF⊥BG，CE⊥BP，
∴∠CFE＝∠FGB＝∠CEB＝90°，
∴∠CEF+∠BEG＝∠CEF+∠CFE＝90°
∴∠BEG＝∠CFE，
∴△CEF∽△EBG，
∴EF：BG＝CF：GE＝CE：BE＝1：2，
设EF＝t，则BG＝2t，CF＝2t﹣2，
∴EG＝4t﹣4，
∴t+4t﹣4＝4，
∴t＝，
∴E（，），
∵B（4，0），
∴直线BE的解析式为：y＝﹣（x﹣4），
令﹣（x﹣4）＝+2，
解得x＝4（舍）或x＝；
②当∠BCP＝∠ABC时，
当点P在BC上方时，如图3﹣2，此时CP∥x轴，
∴令+2＝2，
解得x＝3；
当点P在x轴下方时，如图3﹣3，设CP与x轴交于点H，
∴CH＝BH，
∴OH＝4﹣BH，
在Rt△OCH中，由勾股定理可得，OC2+OH2＝CH2，
即22+（4﹣BH）2＝BH2，
解得BH＝，
∴H（，0），
∴直线CH的解析式为：y＝﹣x+2，
令﹣x+2＝+2，
解得x＝0（舍）或x＝；
③当∠BPC＝∠ABC时，如图3﹣4，过点B作BM⊥BP交PC的延长线于点M，过点B作BN∥y轴，分别过点M，P作x轴的平行线，交BN于点N，G，
∴△BMN∽△PBQ，
∴MN：BQ＝BN：PQ＝BM：BP＝tan∠BPC＝，
设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t2+t+2），
∴PQ＝4﹣t，BQ＝t2﹣t﹣2，
∴BN＝2﹣t，MN＝t2﹣t﹣1，
∴M（5﹣t2+t，2﹣t），
∴直线PC的解析式为：y＝（﹣t+）x+2，
将点M的坐标代入上述解析式，可得（﹣t+）（5﹣t2+t）+2＝2﹣t，
整理得t3﹣6t2﹣7t+60＝0，即（t+3）（t﹣4）（t﹣5）＝0，
∴t＝﹣3或t＝4（舍）或t＝5（如图3﹣5）；
综上，符合题意的点P的横坐标为：或3或或﹣3或5．
射门次数n（次）
10
50
100
200
500
800
1000
射中次数m（次）
7
37
75
142
365
576
720
射中频率
0.70
0.74
0.75
0.71
0.73
0.72
0.72
探究1
如图1，该兴趣小组在纸上画了一个圆，随机在圆上取5个点A，B，C，D，E，连结得到一个五角星，小组同学经过讨论，提出猜想：认为五角星的五个角之和为180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．

探究2
如图2，兴趣小组继续探讨，在边长为4的正六边形中取五个顶点A，B，C，D，E，连结得到一个五角星，发现这个五角星的形状大小是唯一确定的，因此可求出这个五角星的面积．

探究3
如图3，兴趣小组深入探讨，连结边长为4的正五边形的顶点A，B，C，D，E，得到一个5个角都相等的正五角星，小组同学想尝试探究正五角星和正五边形之间的联系．

问题解决
任务1
如图1，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
任务2
如图2，求五角星ABCDE的面积．
任务3
如图3，求：①AD的长；②正五角星与正五边形的面积之比．
射门次数n（次）
10
50
100
200
500
800
1000
射中次数m（次）
7
37
75
142
365
576
720
射中频率
0.70
0.74
0.75
0.71
0.73
0.72
0.72
探究1
如图1，该兴趣小组在纸上画了一个圆，随机在圆上取5个点A，B，C，D，E，连结得到一个五角星，小组同学经过讨论，提出猜想：认为五角星的五个角之和为180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．

探究2
如图2，兴趣小组继续探讨，在边长为4的正六边形中取五个顶点A，B，C，D，E，连结得到一个五角星，发现这个五角星的形状大小是唯一确定的，因此可求出这个五角星的面积．

探究3
如图3，兴趣小组深入探讨，连结边长为4的正五边形的顶点A，B，C，D，E，得到一个5个角都相等的正五角星，小组同学想尝试探究正五角星和正五边形之间的联系．

问题解决
任务1
如图1，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
任务2
如图2，求五角星ABCDE的面积．
任务3
如图3，求：①AD的长；②正五角星与正五边形的面积之比．