2023-2024学年江苏省南通市通州区八年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年江苏省南通市通州区八年级（上）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列计算的结果为a8的是（ ）
A．a2+a6B．（a6）2C．a6•a2D．a8÷a
3．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（2，3）
4．下列添括号正确的是（ ）
A．a+b﹣c＝a+（b﹣c）B．a+b﹣c＝a﹣（b﹣c）
C．a﹣b﹣c＝a﹣（b﹣c）D．a﹣b+c＝a+（b﹣c）
5．如图，△ABC≌△FDE，∠C＝50°，∠F＝100°，则∠B的度数为（ ）
A．20°B．30°C．35°D．40°
6．若□×xy＝3x2y+2xy，则□内应填的式子是（ ）
A．3x+2B．x+2C．3xy+2D．xy+2
7．如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（ ）
A．ASAB．AASC．SASD．HL
8．已知a+b＝5，ab＝6，则a2+b2的值等于（ ）
A．13B．12C．11D．10
9．如图，三角形地块ABC中，边AB＝40m，AC＝30m，其中绿化带AD是该三角形地块的角平分线．若三角形地块ABD的面积为320m2，则三角形地块ACD的面积为（ ）
A．120m2B．240m2C．400m2D．560m2
10．已知2m﹣n＝3，4m2﹣3mn+n2＝14，则mn的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空题（本大题共8小题，第11～12小题每小题3分，第13～18小题每小题3分，共30分.不需要写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（﹣2）0的值等于 ．
12．计算：a（b+3）＝ ．
13．（4分）如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD＝ °．
14．（4分）如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，要使△AOB≌△DOC，只需添加一个条件，则这个条件可以是 ．
15．（4分）已知一个正方形的边长增加1cm，它的面积就增加7cm2，那么这个正方形的边长是 cm．
16．（4分）请写出一个可以用图中已有图形的面积有关系等式： ．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，3），点B（﹣1，﹣1），点C是x轴正半轴上一点，若BC＝BA，则点C的坐标是 ．
18．（4分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝110°．若点B关于AC的对称点B恰好落在CD上（不与点D重合），则∠ACB＝ 度．
三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写说明，证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）8a3•（﹣5ab2）；
（2）（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）．
20．如图，C是BD的中点，AB＝ED，AC＝EC．求证：△ABC≌△EDC．
21．（12分）（1）已知a2+3ab＝5，求（a+b）（a+2b）﹣2b2的值；
（2）运用乘法公式计算：（x+y+1）（x+y﹣1）．
22．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°
（1）作边AB的垂直平分线MN，交AC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接BD，求∠DBC的度数．
23．如图，已知D是△ABC内一点，DA＝DB，∠CAD＝∠CBD．求证：∠ADC＝∠BDC．小红的解答如下：
证明：在△ADC和△BDC中，
∵DA＝DB，∠CAD＝∠CBD，CD＝CD，
∴△ADC≌△BDC．……第一步
∴∠ADC＝∠BDC．……第二步
（1）小红的证明过程从第 步开始出现错误；
（2）请写出你认为正确的证明过程．
24．（12分）如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B处，AB'交CD于点E．
（1）试判断重叠部分△AEC的形状，并证明你的结论；
（2）若AE平分∠CAD，AB＝12，求DE的长．（提示：长方形的四个角都是90°．）
25．（13分）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…
（1）写出192﹣172的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
26．（13分）如图，△ABC中，AB＝BC，点D在边BC上，CD＝CA，连接AD，∠CAE＝∠BAD，AE交BC的延长线于点E．
（1）根据题意补全图形（画图工具不限）；
（2）求证AD＝AE；
（3）延长CA到F，使AF＝CE，连接DF交AB于点G，探究线段AG，AC之间的数量关系，并证明．
2023-2024学年江苏省南通市通州区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
解：A、C、D中的图形不是轴对称图形，故A、C、D不符合题意；
B中的图形是轴对称图形，故B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2．【分析】利用合并同类项法则，幂的乘方法则，同底数幂乘法及除法法则将各式计算后判断即可．
解：a2与a6不是同类项，无法合并，则A不符合题意；
（a6）2＝a12，则B不符合题意；
a6•a2＝a8，则C符合题意；
a8÷a＝a7，则D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂乘法及除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3．【分析】根据点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（﹣x，y）易得到点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标为（2，3）．
解：点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标为（2，3）．
故选：D．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标：点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，﹣y），关于y轴对称的点的坐标为（﹣x，y）．
4．【分析】根据去括号法则和添括号法则即可判断．
解：A、a+b﹣c＝a+（b﹣c），正确；
B、a+b﹣c＝a﹣（﹣b+c），错误；
C、a﹣b﹣c＝a﹣（b+c），错误；
D、a﹣b+c＝a+（﹣b+c），错误；
故选：A．
【点评】本题考查添括号的方法：添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，添括号后，括号里的各项都改变符号．
5．【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠BAC＝∠F，然后根据三角形的内角和等于180°列式进行计算即可求解．
解：∵△ABC≌△FDE，
∴∠BAC＝∠F，
∵∠F＝100°，
∴∠BAC＝100°，
又∵∠C＝50°，
∴∠B＝180°﹣100°﹣50°＝30°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，准确确定对应角并求出∠BAC的度数是解题的关键．
6．【分析】利用乘除法的关系可得□内应填的式子是：（3x2y+2xy）与xy的商，计算即可．
解：（3x2y+2xy）÷xy，
＝3x+2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了单项式除以多项式，关键是掌握乘除法之间的关系．
7．【分析】根据ASA证明全等解答即可．
解：由图可得，三角形已知一个锐角和一个直角，以及两角的夹边，
所以根据ASA证明三角形全等，
故选：A．
【点评】此题考查直角三角形的全等，关键是根据全等三角形的判定方法解答．
8．【分析】根据完全平方公式进行计算即可．
解：∵a+b＝5，ab＝6，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣12＝13，
故选：A．
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式和完全平方公式，关键是掌握：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
9．【分析】过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由平分线的性质证得DE＝DF，由三角形的面积公式求出DF，再由三角形的面积公式即可求出△ACD的面积．
解：过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝40m，△ABD的面积为320m2，
∵，
∴△ACD的面积＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，根据角平分线的性质证得DE＝DF是解决问题的关键．
10．【分析】将已知等式两边平方，再代入所求式子可得答案．
解：∵2m﹣n＝3，
∴（2m﹣n）2＝32，即4m2﹣4mn+n2＝9，
∴4m2+n2＝9+4mn，
∴4m2﹣3mn+n2＝9+4mn﹣3mn＝14，
∴mn＝5，
故选：C．
【点评】此题考查的是完全平方公式，应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看作一项后，也可以用完全平方公式．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12小题每小题3分，第13～18小题每小题3分，共30分.不需要写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．【分析】根据a0＝1（a≠0），即可解答．
解：（﹣2）0的值等于1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案．
解：a（b+3）＝ab+3a．
故答案为：ab+3a．
【点评】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
13．【分析】由题意易得∠B＝60°，∠ADB＝90°，进而问题可求解．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝∠ADB﹣∠B＝30°；
故答案为30．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握等边三角形的性质及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
14．【分析】两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（ASA），
∴要使△AOB≌△DOC，只需添加一个条件，这个条件可以是AB＝DC（答案不唯一）．
故答案为：AB＝DC（答案不唯一）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：ASA．
15．【分析】根据正方形的面积的计算方法列方程求解即可．
解：设变化前正方形的边长为x cm，则变化后的正方形的边长为（x+1）cm，由题意得，
（x+1）2﹣x2＝7，
解得x＝3，
即原正方形的边长为3cm，
故答案为：3．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握正方形的面积公式是正确解答的前提．
16．【分析】右边阴影部分图形平移可得阴影部分面积＝边长为a的正方形面积﹣边长为b的正方形面积﹣边长为（a﹣b）的正方形面积，也可以看作2个长（a﹣b）宽为b的长方形面积，因此即可求解．
解：阴影部分面积＝a2﹣b2﹣（a﹣b）2，
阴影部分面积＝2b（a﹣b），
可得等式a2﹣b2﹣（a﹣b）2＝2b（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2﹣（a﹣b）2＝2b（a﹣b）．
【点评】本题考查列代数式，用不同的方法表示图形的面积是得出等式的前提．
17．【分析】取点D（﹣1，3），连接BD交x轴于点E，连接AD，则点E（﹣1，0），BD＝3﹣（﹣1）＝4，所以∠BEC＝∠ADB＝90°，BE＝AD＝1，可证明Rt△BEC≌Rt△ADB，得CE＝BD＝4，则点C的坐标为（3，0），于是得到问题的答案．
解：取点D（﹣1，3），连接BD交x轴于点E，连接AD，
∵点A（﹣2，3），点B（﹣1，﹣1），
∴点E（﹣1，0），BD＝3﹣（﹣1）＝4，
∴∠BEC＝∠ADB＝90°，BE＝AD＝1，
在Rt△BEC和Rt△ADB中，
，
∴Rt△BEC≌Rt△ADB（HL），
∴CE＝BD＝4，
∴xC＝﹣1+4＝3，
∴点C的坐标为（3，0），
故答案为：（3，0）．
【点评】此题重点考查图形与坐标、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
18．【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE＝∠BAD，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣∠BAD．
解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB＝AB'，
∴∠BAC＝∠B'AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD＝＝55°，
∴∠ACB＝∠ACB'＝35°．
故答案为：35．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，解决问题的关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写说明，证明过程或演算步骤）
19．【分析】（1）利用单项式乘单项式的法则进行计算，即可解答；
（2）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答．
解：（1）8a3•（﹣5ab2）＝﹣40a4b2；
（2）（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）
＝4x2+12xy+9y2﹣（4x2﹣y2）
＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2
＝12xy+10y2．
【点评】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．【分析】求出BC＝DC，根据全等三角形的判定定理证明即可．
【解答】证明：∵C是BD的中点，
∴BC＝DC，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SSS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
21．【分析】（1）直接利用多项式乘多项式运算法则化简，再合并同类项得出答案；
（2）利用平方差公式、完全平方公式计算进而得出答案．
解：（1）（a+b）（a+2b）﹣2b2
＝a2+2ab+ab+2b2﹣2b2
＝a2+3ab，
故原式＝5；
（2）（x+y+1）（x+y﹣1）
＝（x+y）2﹣12
＝x2+2xy+y2﹣1．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
22．【分析】（1）利用基本作图作AB的垂直平分线；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ABC＝70°，再利用线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，所以∠ABD＝∠A＝40°，然后计算∠ABC﹣∠ABD即可．
解：（1）如图，
（2）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣40°）＝70°，
∵MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
23．【分析】（1）题中所给的条件满足“两边和其中一边的对角分别相等”，不能由此直接证明△ADC≌△BDC，可知小红的证明从第一步开始出现错误，于是得到问题的答案；
（2）由DA＝DB，得∠DAB＝∠DBA，而∠CAD＝∠CBD，可推导出∠CAB＝∠CBA，得AC＝BC，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ADC≌△BDC，得∠ADC＝∠BDC．
【解答】（1）解：∵由DA＝DB，∠CAD＝∠CBD，CD＝CD不能证明△ADC≌△BDC，
∴从第一步开始出现错误，
故答案为：一．
（2）证明：∵DA＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠CAD+∠DAB＝∠CBD+∠DBA，
∴∠CAB＝∠CBA，
∴AC＝BC，
在△ADC和△BDC中，
，
∴△ADC≌△BDC（SAS），
∴∠ADC＝∠BDC．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，题中所给的条件是“两边和其中一边的对角分别相等”，不能由此直接证明△ADC≌△BDC，在解题时应特别注意．
24．【分析】（1）由矩形的性质可得AB∥CD，得到∠ACD＝∠CAB，再由折叠可知，∠CAB＝∠CAB′，即可得到∠ACD＝∠CAB′，于是得到AE＝CE，等腰三角形即可证明；
（2）先由角平分线定义结合（1）可得∠DAE＝∠CAB′＝∠CAB＝30°，先求出AD，设DE＝x，则CE＝AE＝12﹣x，根据勾股定理求出x即可．
解：（1）△AEC是等腰三角形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ACD＝∠CAB，
由折叠的性质可得，∠CAB＝∠CAB′，
∴∠ACD＝∠CAB′，
∴AE＝CE，
∴△AEC是等腰三角形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠DAB＝90°，BC＝AD，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE＝∠CAB′，
∵∠CAB＝∠CAB′，
∴∠DAE＝∠CAB＝∠CAB′＝30°，
∴BC＝AD＝AB•tan30°＝12×＝4，
设DE＝x，则CE＝AE＝12﹣x，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得：
（4）2+x2＝（12﹣x）2，
解得x＝4，
即DE的长为4．
【点评】本题考查翻折变换，角平分线的性质，矩形的性质，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与勾股定理的知识．
25．【分析】（1）根据题目中的例子，可以写出192﹣172的结果；
（2）根据题目中给出的式子，可以得到（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）将（2）中等号左边的式子利用平方差公式计算即可．
解：（1）∵17＝2×9﹣1，
∴192﹣172＝8×9＝72；
（2）由题意可得，
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]
＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）
＝4n×2
＝8n，
∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n正确．
【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点．
26．【分析】（1）根据题意画出图形，即可求解；
（2）由等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠BAC，∠CAD＝∠CDA，由外角的性质可证∠E＝∠CAD＝∠CDA，即可求解；
（3）由“SAS”可证△ACE≌△DNA，可得EC＝AN＝AF，由三角形中位线定理可求解．
【解答】（1）解：如图所示：
（2）证明：∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∠ACB＝∠CAE+∠E，∠CAE＝∠BAD，
∴∠E＝∠CAD，
∵CD＝CA，
∴∠CAD＝∠CDA，
∴∠CDA＝∠E，
∴AD＝AE；
（3）解：AC＝2AG，理由如下：
如图，过点D作DN∥AB，交AC于N，
∴∠BAD＝∠ADN，∠BAC＝∠DNC，
∴∠CAE＝∠BAD＝∠ADN，∠BCA＝∠BAC＝∠DNC，
∴DN＝DC＝AC，
又∵AD＝AE，
∴△ACE≌△DNA（SAS），
∴EC＝AN，
∵AF＝CE，
∴AF＝AN，
又∵AB∥DN，
∴AG是△DNF的中位线，
∴DN＝2AG，
∴AC＝2AG．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．