2023-2024学年河南省新乡市长垣县八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省新乡市长垣县八年级（上）期中数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，下列历届亚运会会徽是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（ ）
A．1，1，2B．1，2，4C．2，3，4D．2，3，5
3．如图，点B，F，C，E共线，∠A＝∠D，AB＝DE，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BF＝ECB．∠B＝∠EC．AC＝DFD．AC∥FD
4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝40°，∠ADC＝70°，则∠ACB的度数是（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
5．如图，在平分角的仪器中，AB＝AD，BC＝DC，将点A放在一个角的顶点，AB和AD分别与这个角的两边重合，能说明AC就是这个角的平分线的数学依据是（ ）
A．SSSB．ASAC．SASD．AAS
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝12，CG＝3，则△ABG的面积是（ ）
A．36B．24C．20D．18
7．如图，在△ABC中，点D、E分别是AC、BD的中点，S△ABC＝12，则S△ADE的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．6
8．如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADB的度数为（ ）
A．85°B．80°C．70°D．60°
9．如图，E为△ABC边AC上一点，且CE＝CB，CD平分∠ACB，与BE相交于D，∠A＝∠ABE．若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（ ）
A．0.5B．1C．2D．2.5
10．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC令进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标（1，2），则经过第2023次变换后点A的对应点的坐标为（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）
二、填空题（每题3分，共15分）
11．若正n边形的一个外角是36°，则n＝ ．
12．如图，一块三角形玻璃被摔成三块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，只需带一块去即可，则这块玻璃的编号是 ．（填序号）
13．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝ 度．
14．在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），当△ABP为等腰三角形时，∠CAP的度数为 ．
15．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为 ．
三、解答题（共75分）
16．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
17．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（2，4），B（1，1），C（3，2）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标：A1（ ， ）；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标：P（ ， ）．
18．如图，点C、B、E、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，CE＝FB，AC＝DF．求证：∠C＝∠F．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）在AC上求作一点P，使PA＝PB．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接PB，
①若∠A＝50°，求∠PBC的度数；
②若AB＝8，△ABC的周长是21，求△BPC的周长．
20．如图所示，∠A＝40°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E．
（1）求∠BFC的度数；
（2）试证明：DE＝BD+EC．
21．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M．
（1）求证：AC＝BD；
（2）求∠AMB的度数．
22．如图1，△ABC是边长为5cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的是速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）当运动时间为t秒时，BQ的长为 厘米，BP的长为 厘米；（用含t的式子表示）
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形；
（3）如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．
23．（1）教材呈现：
人教版数学教材八年级上册第56页有这样一道习题：“如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．”请直接写出此题的答案：BE的长为 cm；
（2）类比探究：
如图2，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角，已知：AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．
求证：CF+EF＝BE；
（3）拓展应用：
如图3，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为27，则△ABE与△CDF的面积之和为 ．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，下列历届亚运会会徽是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．
解：A选项不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
B选项不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
C选项不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
D选项是轴对称图形，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形，掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键．
2．下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（ ）
A．1，1，2B．1，2，4C．2，3，4D．2，3，5
【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
解：A、1+1＝2，不满足三边关系，故错误；
B、1+2＜4，不满足三边关系，故错误；
C、2+3＞4，满足三边关系，故正确；
D、2+3＝5，不满足三边关系，故错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用，判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
3．如图，点B，F，C，E共线，∠A＝∠D，AB＝DE，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BF＝ECB．∠B＝∠EC．AC＝DFD．AC∥FD
【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．
解：A、∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
∴BC＝EF，
∵∠A＝∠D，AB＝DE，
∴△ABC和△DEF不一定全等，
故A符合题意；
B、∵∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，
∴△ABC≌△DEF（ASA）
故B不符合题意；
C、∵AC＝DF，∠A＝∠D，AB＝DE，
∴△ABC≌△DEF（SAS）
故C不符合题意；
D、∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵∠A＝∠D，AB＝DE，∠ACB＝∠DFE，
∴△ABC≌△DEF（AAS）
故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝40°，∠ADC＝70°，则∠ACB的度数是（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
【分析】由∠ADC是△ABD的外角，利用三角形的外角性质，可求出∠BAD的度数，结合角平分线的定义，可求出∠BAC的度数，再在△ABC中，利用三角形内角和定理，即可求出∠ACB的度数．
解：∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝70°﹣40°＝30°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝2×30°＝60°．
在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义，利用三角形的外角性质及角平分线的定义，求出∠BAC的度数是解题的关键．
5．如图，在平分角的仪器中，AB＝AD，BC＝DC，将点A放在一个角的顶点，AB和AD分别与这个角的两边重合，能说明AC就是这个角的平分线的数学依据是（ ）
A．SSSB．ASAC．SASD．AAS
【分析】利用SSS证明△ABC≌△ADC，可得答案．
解：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，
故选：A．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝12，CG＝3，则△ABG的面积是（ ）
A．36B．24C．20D．18
【分析】过点G作GH⊥AB于点H，由作图可得，AF为∠BAC的平分线，由角平分线的性质可得GH＝CG＝3，再利用三角形的面积公式可得答案．
解：过点G作GH⊥AB于点H，
由作图可得，AF为∠BAC的平分线，
∵∠C＝90°，
∴GH＝CG＝3，
∴△ABG的面积为＝＝18．
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
7．如图，在△ABC中，点D、E分别是AC、BD的中点，S△ABC＝12，则S△ADE的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【分析】三角形的中线平分三角形的面积．
解：∵点D是AC的中点，S△ABC＝12，
∴S△ABD＝S△BCD＝6，
∵点E是BD的中点，S△ABD＝6，
∴S△ABE＝S△ADE＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的面积，关键是掌握三角形的中线平分三角形的面积．
8．如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADB的度数为（ ）
A．85°B．80°C．70°D．60°
【分析】根据三角形的内角和得到∠BAC＝110°，由折叠的性质得到∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，∠ADC＝∠ADE，根据平行线的性质得到∠BAE＝∠E＝30°，则∠CAD＝40°，根据三角形外角性质即可得到结论．
解：∵∠B＝40°，∠C＝30°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝110°，
由折叠的性质得，∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC，
∵DE∥AB，
∴∠BAE＝∠E＝30°，
∴∠CAD＝40°，
∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝70°，
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形的内角和，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
9．如图，E为△ABC边AC上一点，且CE＝CB，CD平分∠ACB，与BE相交于D，∠A＝∠ABE．若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（ ）
A．0.5B．1C．2D．2.5
【分析】根据线段的和差求出AE＝2，根据等腰三角形的判定推出BE＝2，根据等腰三角形三线合一的性质求解即可．
解：∵CE＝CB，BC＝3，
∴CE＝3，
∵AC＝5，AC＝AE+CE，
∴AE＝2，
∵∠A＝∠ABE，
∴AE＝BE＝2，
∵CE＝CB，CD平分∠ACB，
∴BD＝DE＝BE＝1，
故选：B．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC令进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标（1，2），则经过第2023次变换后点A的对应点的坐标为（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）
【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用2023除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，解答即可．
解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限，
点A第二次关于x轴对称后在第三象限，
点A第三次关于y轴对称后在第四象限，
点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2023÷4＝505……3，
∴经过第2023次变换后所得的A点与第三次变换的位置相同，在第四象限，坐标为（1，﹣2）．
故选：A．
【点评】本题考查图形规律及轴对称坐标点的规律，解题的关键是找出循环的规律及关于坐标轴对称点的坐标特点：关于谁对称谁不变另一个互为相反数．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．若正n边形的一个外角是36°，则n＝ 10 ．
【分析】利用多边形的外角和即可解决问题．
解：n＝360°÷36°＝10．
故答案为：10．
【点评】主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数直接让360度除以外角即可．
12．如图，一块三角形玻璃被摔成三块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，只需带一块去即可，则这块玻璃的编号是 ③ ．（填序号）
【分析】显然第③中有完整的三个条件，用ASA易证现要的三角形与原三角形全等．
解：因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第③块．
故答案为：③．
【点评】本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等）；学会把实际问题数学化石正确解答本题的关键．
13．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝ 180 度．
【分析】由∠GAD和∠GDA分别是△ABC和△DEF的外角可解决问题．
解：∵∠GAD＝∠2+∠4，∠GDA＝∠1+∠5，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝∠GAD+∠GDA+∠3＝180°．
故答案为：180．
【点评】本题主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
14．在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），当△ABP为等腰三角形时，∠CAP的度数为 30°或60° ．
【分析】由∠BAC＝100°可得∠B＝40°，然后分3种情况进行讨论即可．
解：①当AB＝AP时，点P与点C重合，不合题意；
②当AB＝BP时，∠BAP＝∠BPA＝70°，
∴∠CAP＝100°﹣70°＝30°；
③当BP＝AP时，∠B＝∠BAP＝40°，
∴∠CAP＝100°﹣40°＝60°．
综上所述，∠CAP的度数为：30°或60°．
故答案为：30°或60°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和，分类讨论是解题关键．
15．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为 11 ．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质找到最小值，再根据三角形的面积公式求解．
解：如图，连接AD．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝•BC•AD＝×6×AD＝24，
∴AD＝8，
∵点D为底边BC的中点，
∴CD＝3，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短为：AD+CD＝8+3＝11，
故答案为：11．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，理解转化思想是解题的关键．
三、解答题（共75分）
16．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
【分析】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．
解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，
∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，
∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，
∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．
故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB．
17．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（2，4），B（1，1），C（3，2）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标：A1（ 2 ， ﹣4 ）；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标：P（ 0 ， 2 ）．
【分析】（1）根据轴对称的性质，即可画出△A1B1C1；
（2）利用△ABC所在的矩形面积减去周围三个三角形面积即可；
（3）作点A关于y轴的对称点A'，连接A'B交y轴于P，从而解决问题．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（2，﹣4），
故答案为：2，﹣4；
（2）△ABC的面积＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3＝；
（3）如图所示，点P即为所求，P（0，2），
故答案为：0，2．
【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
18．如图，点C、B、E、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，CE＝FB，AC＝DF．求证：∠C＝∠F．
【分析】由CE＝FB，得到CB＝FE，又AC＝DF，由“HL”即可证明Rt△ABC和Rt△DEF，得到∠C＝∠F．
【解答】证明：∵AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，
∴∠ABC＝∠DEF＝90°，
∵CE＝FB，
∴CE﹣BE＝FB﹣BE，
∴CB＝FE，
∵AC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠C＝∠F．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定方法．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）在AC上求作一点P，使PA＝PB．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接PB，
①若∠A＝50°，求∠PBC的度数；
②若AB＝8，△ABC的周长是21，求△BPC的周长．
【分析】（1）如图所示，作线段AB的垂直平分线交AC于点P，点P即为所求；
（2）①利用等腰三角形的性质可得∠ABC，利用中垂线的性质和等边对等角的性质可得∠PBA，继而即可求解；
②利用等腰三角形的性质和三角形的周长公式可得AC和BC，利用中垂线的性质可得PB＝PA，等量代换即可求解．
解：（1）如图所示：作线段AB的垂直平分线交AC于点P，点P即为所求；
（2）①∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴，
∵P在AB中垂线上，
∴PA＝PB，
∴∠PBA＝∠A＝50°，
∴∠PBC＝∠ABC﹣∠PBA＝65°﹣50°＝15°；
②∵AB＝8，C△ABC＝21，
∴AC＝8，BC＝5，
由①知，PB＝PA，
∴C△BPC＝BP+PC+BC＝PA+PC+BC＝AC+BC＝8+5＝13，
即△BPC的周长为13．
【点评】本题考查作图—复杂作图、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握并运用线段垂直平分线的性质．
20．如图所示，∠A＝40°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E．
（1）求∠BFC的度数；
（2）试证明：DE＝BD+EC．
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，根据角平分线的定义可得∠FBC+∠FCB＝70°，进而根据三角形内角和定理即可求解；
（2）根据角平分线的定义可得∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB，根据平行线的性质可得∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，则∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，根据等角对等边可得DB＝DF，EC＝EF，进而即可得出结论．
解：（1）∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点F，
∴，，
∴，
∴∠BFC＝180°﹣（∠ABC+∠FCB）＝180°﹣70°＝110°，
（2）∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，
∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，
∴DB＝DF，EC＝EF，
∵DE＝DF+EF，
∴DE＝BD+EC．
【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握以上知识是解题的关键．
21．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M．
（1）求证：AC＝BD；
（2）求∠AMB的度数．
【分析】（1）证明△AOC≌△BOD（SAS）即可得出结论；
（2）根据全等三角形性质和三角形内角和定理即可求得∠AMB＝40°．
【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
∴∠BOD＝∠AOC，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD；
（2）解：由（1）知△AOC≌△BOD，
∴∠CAO＝∠DBO，
∵∠AOB＝40°，
∴∠OAB+∠ABO＝140°，
在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣140°＝40°．
【点评】本题考查了等腰直角三角形性质、全等三角形判定和性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形判定和性质，证明△AOC≌△BOD是解题关键．
22．如图1，△ABC是边长为5cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的是速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）当运动时间为t秒时，BQ的长为 t 厘米，BP的长为 （5﹣t） 厘米；（用含t的式子表示）
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形；
（3）如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．
【分析】（1）利用路程，速度，时间的关系解答即可；
（2）分∠PQB＝90°、∠BPQ＝90°两种情况，根据直角三角形的性质列式计算即可；
（3）证明△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质、等边三角形的内角是60°解答即可．
解：（1）由题意得，BQ＝t cm，BP＝（5﹣t）cm；
故答案为：t，（5﹣t）；
（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝5﹣t，
①当∠PQB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BPQ＝30°，
∴PB＝2BQ，得5﹣t＝2t，
解得，t＝，
②当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BQP＝30°，
∴BQ＝2BP，得t＝2（5﹣t），
解得，t＝，
∴当t＝或时，△PBQ为直角三角形；
（3）结论：∠CMQ不变，理由如下：
在△ABQ与△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ＝∠ACP，
∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°，
∴∠CMQ不会变化．
【点评】本题属于三角形综合题，考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
23．（1）教材呈现：
人教版数学教材八年级上册第56页有这样一道习题：“如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．”请直接写出此题的答案：BE的长为 0.8 cm；
（2）类比探究：
如图2，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角，已知：AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．
求证：CF+EF＝BE；
（3）拓展应用：
如图3，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为27，则△ABE与△CDF的面积之和为 18 ．
【分析】（1）利用同角的余角相等证明∠EBC＝∠DCA，再利用AAS证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质、结合图形解答；
（2）证明△ABE≌△CAF（ASA），由全等三角形的性质得出BE＝AF，CF＝AE，则可得出结论；
（3）由（2）可知△ABE≌△CAF，由全等三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）解：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm．
∵DC＝CE﹣DE，DE＝1.7cm，
∴DC＝2.5﹣1.7＝0.8（cm），
∴BE＝0.8cm；
故答案为：0.8；
（2）证明：∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（ASA），
∴BE＝AF，CF＝AE，
∴CF+EF＝AE+EF＝AF＝BE．
（3）解：∵△ABC的面积为27，CD＝2BD，
∴△ACD的面积是：，
由（2）中可知△ABE≌△CAF，
∴△ABE与△CDF的面积之和等于△ACF与△CDF的面积之和，即等于△ACD的面积，是18，
故答案为：18．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．