2023-2024学年山东省淄博市桓台县八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省淄博市桓台县八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．要使分式有意义，则x应满足的条件是（ ）
A．x≠﹣1B．x≠1C．x＞﹣1D．x＞1
2．已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（ ）
A．6B．﹣6C．1D．﹣1
3．若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
4．为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲、乙两组数据，如下表：
关于以上数据，说法正确的是（ ）
A．甲、乙的众数相同
B．甲、乙的中位数相同
C．甲的平均数小于乙的平均数
D．甲的方差小于乙的方差
5．计算的结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知m2﹣3m的值为5，那么代数式2023﹣2m2+6m的值是（ ）
A．2033B．2023C．2013D．2003
7．计算的结果为（ ）
A．1B．﹣1C．D．
8．若关于x的分式方程﹣1＝有增根，则a的值为（ ）
A．﹣3B．3C．2D．﹣
9．某校航模兴趣小组共有50位同学，他们的年龄分布如表：
由于表格污损，15和16岁人数不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（ ）
A．平均数、众数B．众数、中位数
C．平均数、方差D．中位数、方差
10．有两个整数x，y，把整数对（x，y）进行操作后可得到（x+y，y），（x﹣y，y），（y，x）中的某一个整数对，将得到的新整数对继续按照上述规则操作下去，每得到一个新的整数对称为一次操作．若将整数对（2，32）按照上述规则进行操作，则以下结论正确的个数是（ ）
①若m次操作后得到的整数对仍然为（2，32），则m的最小值为2；
②三次操作后得到的整数对可能为（2，﹣30）；
③不管经过多少次操作，得到的整数对都不会是（﹣3，18）．
A．3个B．2个C．1个D．0个
二、填空题
11．因式分解：2m2﹣4m＝ ．
12．方程的解是 ．
13．已知关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围为 ．
14．某商场销售A，B，C，D四种商品，它们的单价依次是10元，20元，30元，50元．某天这四种商品销售数量的百分比如图所示，则这天销售的四种商品的平均单价是 元．
15．计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣1＝ ．
三、解答题：
16．因式分解：
（1）9x3﹣36x；
（2）2a2﹣12a+18；
（3）（x+2）（x+4）+x2﹣4．
17．计算：
（1）﹣；
（2）．
18．解分式方程：
（1）；
（2）．
19．先化简，再求值：（）÷，其中x是方程的解．
20．已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程有增根，求m的值；
（2）若分式方程的解是负数，求m的取值范围．
21．阅读材料：要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n），这时a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是可以提出（m+n），从而得到（m+n）（a+b），因此有am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b），这种方法称为分组法．请回答下列问题：
（1）尝试填空：2x﹣18+xy﹣9y＝ ；
（2）解决问题：因式分解；ac﹣bc+a2﹣b2．
（3）拓展应用：已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
22．京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．
23．某学校八年级（1），（2）班进行了一次数学测试，各班前5名的成绩（满分：100分）分别是：八（1）班：92，86，85，85，77；八（2）班：92，89，85，85，79．
两班的有关统计数据见表：
请解决下面问题：
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）分别计算两个班前5名同学的成绩的方差；
（3）根据以上信息，说明哪个班前5名的整体成绩较好．
参考答案
一、选择题
1．要使分式有意义，则x应满足的条件是（ ）
A．x≠﹣1B．x≠1C．x＞﹣1D．x＞1
【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解．
解：由题意可得：x﹣1≠0，
解得：x≠1，
故选：B．
【点评】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件（分母不为零）是解题关键．
2．已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（ ）
A．6B．﹣6C．1D．﹣1
【分析】将a2b+ab2变形为ab（a+b），再代入计算即可．
解：因为ab＝﹣3，a+b＝2，
所以a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝﹣3×2
＝﹣6，
故选：B．
【点评】本题考查提公因式法分解因式和代数式求值，将a2b+ab2变形为ab（a+b）是正确解答的关键．
3．若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
【分析】先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项，分解因式后再逐个判断即可．
解：（2k+3）2﹣4k2
＝4k2+12k+9﹣4k2
＝12k+9
＝3（4k+3），
∵k为任意整数，
∴（2k+3）2﹣4k2的值总能被3整除，
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的应用，能求出（2k+3）2﹣4k2＝3（4k+3）是解此题的关键．
4．为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲、乙两组数据，如下表：
关于以上数据，说法正确的是（ ）
A．甲、乙的众数相同
B．甲、乙的中位数相同
C．甲的平均数小于乙的平均数
D．甲的方差小于乙的方差
【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；对于n个数x1，x2，…，xn，则x¯＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数；s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]进行计算即可．
解：A、甲的众数为7，乙的众数为8，故原题说法错误；
B、甲的中位数为7，乙的中位数为4，故原题说法错误；
C、甲的平均数为6，乙的平均数为5，故原题说法错误；
D、甲的方差为4.4，乙的方差为6.4，甲的方差小于乙的方差，故原题说法正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了众数、中位数、方差和平均数，关键是掌握三种数的概念和方差公式．
5．计算的结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分式的乘法法则解决此题．
解：
＝
＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的基本性质、分式的乘法，熟练掌握分式的基本性质、分式的乘法法则是解决本题的关键．
6．已知m2﹣3m的值为5，那么代数式2023﹣2m2+6m的值是（ ）
A．2033B．2023C．2013D．2003
【分析】将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可．
解：∵m2﹣3m的值为5，
∴m2﹣3m＝5，
∴原式＝2023﹣2（m2﹣3m）
＝2023﹣2×5
＝2023﹣10
＝2013．
故选：C．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
7．计算的结果为（ ）
A．1B．﹣1C．D．
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
解：原式＝﹣
＝
＝
＝1．
故选：A．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．若关于x的分式方程﹣1＝有增根，则a的值为（ ）
A．﹣3B．3C．2D．﹣
【分析】先求出方程的解，因为方程有增根，所以x﹣2＝0，所以x＝2，根据方程的解等于2，求得a的值．
解：方程两边都乘以（x﹣2）得：6﹣（x﹣2）＝﹣ax，
解得：x＝，
∵方程有增根，
∴x﹣2＝0，
∴x＝2，
∴＝2，
解得：a＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的增根，求出方程的解和增根的值是解题的关键．
9．某校航模兴趣小组共有50位同学，他们的年龄分布如表：
由于表格污损，15和16岁人数不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（ ）
A．平均数、众数B．众数、中位数
C．平均数、方差D．中位数、方差
【分析】根据众数、中位数的定义进行判断即可．
解：一共有50人，中位数是从小到大排列后处在第25、26位两个数的平均数，而13岁的有5人，14岁的有23人，因此从小到大排列后，处在第25、26位两个数都是14岁，因此中位数是14岁，不会受15岁，16岁人数的影响；
因为14岁有23人，而13岁的有5人，15岁、16岁共有22人，因此众数是14岁；
故选：B．
【点评】本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
10．有两个整数x，y，把整数对（x，y）进行操作后可得到（x+y，y），（x﹣y，y），（y，x）中的某一个整数对，将得到的新整数对继续按照上述规则操作下去，每得到一个新的整数对称为一次操作．若将整数对（2，32）按照上述规则进行操作，则以下结论正确的个数是（ ）
①若m次操作后得到的整数对仍然为（2，32），则m的最小值为2；
②三次操作后得到的整数对可能为（2，﹣30）；
③不管经过多少次操作，得到的整数对都不会是（﹣3，18）．
A．3个B．2个C．1个D．0个
【分析】根据把整数对（x，y）进行操作后可得到（x+y，y），（x﹣y，y），（y，x） 中的某一个整数对，对（2，32）分别进行操作，对各结论逐一判断即可得答案．
解：对（2，32）分别进行（x+y，y），（x﹣y，y），（y，x），
第一次操作得（34，32），（﹣30，32），（32，2），
第二次操作得（66，32），（﹣62，32），（32，34），（2，32），（﹣62，32），（32，﹣30），（34，2）（30，2），（2，32），
∴若m次操作后得到的整数对仍然为（2，32），则m的最小值为2，故①正确；
∵第二次操作中的 （32，﹣30）经过（x+y，y）的操作可得 （2，﹣30），
∴三次操作后得到的整数对可能为（2，﹣30），故②正确；
∵2和32都是偶数，
∴进行 （x+y，y） 或（x﹣y，y）或（y，x）操作的结果都是偶数，
∴不管经过多少次操作，得到的整数对都不会是 （﹣3，18），故③正确；
综上所述：正确的结论为①②③，共3个，
故选：A．
【点评】本题属于新定义问题，读懂题意，正确运用题目中的运算法则是解题的关键．
二、填空题
11．因式分解：2m2﹣4m＝ 2m（m﹣2） ．
【分析】提公因式即可解答．
解：2m2﹣4m＝2m（m﹣2）．
故答案为：2m（m﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，掌握提取公因式法是解题关键．
12．方程的解是 a＝﹣1 ．
【分析】方程两边都乘2a+1得出a﹣1＝2（2a+1），求出方程的解，再进行检验即可．
解：，
方程两边都乘2a+1，得a﹣1＝2（2a+1），
解得：a＝﹣1，
检验：当a＝﹣1时，2a+1≠0，
所以分式方程的解是a＝﹣1．
故答案为：a＝﹣1．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
13．已知关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围为 m≤6且m≠4 ．
【分析】先解分式方程得x＝6﹣m，由分式方程的解是非负数可列不等式6﹣m≥0，然后解不等式，注意还要使分式的分母不为0即可得到答案．
【解答】由．
解得x＝6﹣m．
由分式方程的解是非负数．
得6﹣m≥0．
解得m≤6．
由分式方程有意义得x﹣2≠0
即6﹣m﹣2≠0，
解得m≠4，
故答案为：m≤6且m≠4．
【点评】本题考查了解分式方程的解，利用分式方程的解为非负数得出不等式是解题的关键，注意分母不能为0．
14．某商场销售A，B，C，D四种商品，它们的单价依次是10元，20元，30元，50元．某天这四种商品销售数量的百分比如图所示，则这天销售的四种商品的平均单价是 30.5 元．
【分析】根据加权平均数定义即可求出这天销售的四种商品的平均单价．
解：这天销售的四种商品的平均单价是：
10×10%+20×15%+30×55%+50×20%＝30.5（元）．
故答案为：30.5．
【点评】本题考查了加权平均数、扇形统计图，解决本题的关键是掌握加权平均数的定义．
15．计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣1＝ 5050 ．
【分析】把所求的式子的第一项与最后一项结合，第二项与倒数第二项结合，依次结合了50组，把结合后的偶次项提取﹣1，然后分别运用平方差公式变形，提取101后得到25个2相加，从而计算出结果．
解：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12
＝（1002﹣12）﹣（992﹣22）+（982﹣32）﹣…+（522﹣492）﹣（512﹣502）
＝（100+1）（100﹣1）﹣（99+2）（99﹣2）+（98+3）（98﹣3）﹣…+（52+49）（52﹣49）﹣（51+50）（51﹣50）
＝101×99﹣101×97+101×95﹣…+101×3﹣101×1
＝101×（99﹣97+95﹣…+3﹣1）
＝101×（2+2+…+2）
＝101×25×2
＝5050．
故答案为：5050．
【点评】此题考查了平方差公式的运用，技巧性比较强，要求学生多观察式子的特点，注意结合的方法，找到第一项与最后一项结合，第二项与倒数第二项结合，依此类推的结合方法是解本题的关键．
三、解答题：
16．因式分解：
（1）9x3﹣36x；
（2）2a2﹣12a+18；
（3）（x+2）（x+4）+x2﹣4．
【分析】（1）首先提取公因式9x，得9x3﹣36x＝9x（x2﹣4），然后再利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）首先提取公因式2，得2a2﹣12a+18＝2（a2﹣6a+9），然后再利用完全平方公式公式进行因式分解即可；
（2）首先利用平方差公式将x2﹣4进行因式分解，得（x+2）（x+4）+x2﹣4＝（x+2）（x+4）+（x+2）（x﹣2），然后在提取公因式即可．
解：（1）9x3﹣36x
＝9x（x2﹣4）
＝9x（x+2）（x﹣2）；
（2）2a2﹣12a+18
＝2（a2﹣6a+9）
＝2（a﹣3）2；
（3）（x+2）（x+4）+x2﹣4
＝（x+2）（x+4）+（x+2）（x﹣2）
＝（x+2）（x+4+x﹣2）
＝（x+2）（2x+2）
＝2（x+2）（x+1）．
【点评】此题主要考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法，利用乘法公式法，分组分解法进行因式分解是解决问题的关键．
17．计算：
（1）﹣；
（2）．
【分析】（1）先通分，再根据分式的加减法则进行计算即可；
（2）先算括号里面的，再算除法即可．
解：（1）﹣
＝+
＝+
＝；
（2）
＝•
＝•
＝．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
18．解分式方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程两边都乘x﹣2得出5（x﹣2）＝3x，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘2（x﹣1）得出4（x﹣1）+2x＝5，求出方程的解，再进行检验即可．
解：（1）＝，
方程两边都乘x﹣2，得5（x﹣2）＝3x，
解得：x＝5，
检验：当x＝5时，x﹣2≠0，
所以分式方程的解是x＝5；
（2），
2+＝，
方程两边都乘2（x﹣1），得4（x﹣1）+2x＝5，
解得：x＝，
检验：当x＝时，2（x﹣1）≠0，
所以分式方程的解是x＝．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
19．先化简，再求值：（）÷，其中x是方程的解．
【分析】根据分式的混合运算法则进行化简，再解分式方程得x＝﹣2，再计算即可．
解：原式＝[﹣]•
＝•
＝，
解方程，得x＝﹣2，
∴当x＝﹣2时，x（x+2）＝0，
所以当x＝﹣2时，无意义．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是关键．
20．已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程有增根，求m的值；
（2）若分式方程的解是负数，求m的取值范围．
【分析】（1）由分式方程有增根，得到x＝1，代入整式方程计算即可求出m的值；
（2）表示出分式方程的解，由分式方程的解是负数，求出m的范围即可．
解：（1）分式方程有增根，则方程的增根为x＝1，
原方程去分母并整理得5x﹣m+2＝0，
将x＝1代入得5﹣m+2＝0，
解得m＝7；
（2）由（1）得5x﹣m+2＝0，
解这个方程得，
∵方程的解是负数，
∴，
解得m＜2，
∴当m＜2时，分式方程的解是负数．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
21．阅读材料：要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n），这时a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是可以提出（m+n），从而得到（m+n）（a+b），因此有am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b），这种方法称为分组法．请回答下列问题：
（1）尝试填空：2x﹣18+xy﹣9y＝ （y+2）（x﹣9） ；
（2）解决问题：因式分解；ac﹣bc+a2﹣b2．
（3）拓展应用：已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【分析】（1）把多项式的前两项分成一组，后两项分成一组，利用提公因式法分解因式；
（2）把多项式的前两项分成一组，后两项分成一组，利用提公因式法和公式法分解因式；
（3）把所给等式左边的2b2拆成2个b2相加的形式，一个与前两项组成一组，一个与后两项组成一组，利用公式法分解因式，再根据平方数的非负性，求出a﹣b和b﹣c，从而得到答案．
解：（1）2x﹣18+xy﹣9y，
＝（2x﹣18）+（xy﹣9y），
＝2（x﹣9）+y（x﹣9），
＝（y+2）（x﹣9），
故答案为：（y+2）（x﹣9）；
（2）ac﹣bc+a2﹣b2
＝c（a﹣b）+（a+b）（a﹣b），
＝（a﹣b）（a+b+c），
（3）这个三角形是等边三角形，理由如下：
a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，
a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0，
（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，
∴（a﹣b）2＝0，（b﹣c）2＝0，
∴a＝b，b＝c，
∴a＝b＝c，
∴这个三角形是等边三角形．
【点评】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握分解因式的几种方法．
22．京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．
【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量＝工作效率×工作时间列方程求解；
（2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断．
解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要x天．根据题意，得 ．
解得 x＝90．
经检验，x＝90是原方程的根．
∴x＝×90＝60．
答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天．
（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，
则有 ．
解得 y＝36．
需要施工费用：36×（8.4+5.6）＝504（万元）．
∵504＞500．
∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元．
【点评】此题考查分式方程的应用，涉及方案决策问题，所以综合性较强．
23．某学校八年级（1），（2）班进行了一次数学测试，各班前5名的成绩（满分：100分）分别是：八（1）班：92，86，85，85，77；八（2）班：92，89，85，85，79．
两班的有关统计数据见表：
请解决下面问题：
（1）a＝ 86 ，b＝ 85 ，c＝ 85 ；
（2）分别计算两个班前5名同学的成绩的方差；
（3）根据以上信息，说明哪个班前5名的整体成绩较好．
【分析】（1）根据平均数，中位数，众数的定义求解即可；
（2）分别将两组数据代入方差公式，求方差即可；
（3）成绩越高越稳定即成绩较好，其中方差表示一组数据的波动情况，方差越小表示数据越稳定．
解：（1）a＝×（92+89+85+85+79）＝86，
∴a＝86，b＝85，c＝85，
故答案为：86，85，85；
（2）＝×[（92﹣85）2+（86﹣85）2+（85﹣85）2×2+（77﹣85）2]＝22.8，
＝×[（92﹣86）2+（89﹣86）2+（85﹣86）2×2+（79﹣86）2]＝19.2，
∴八（1）和八（2）班前5名同学的成绩的方差分别是22.8，19.2；
（3）由于八（2）班的平均分大于八（1）班，而方差小于八（1）班，
∴八（2）班前5名的整体成绩较好．
【点评】本题考查了中位数，众数，平均数以及方差公式，解题的关键是掌握中位数，众数，平均数的定义及方差公式．
甲
2
6
7
7
8
乙
2
3
4
8
8
年龄/岁
13
14
15
16
人数
5
23
▃
▃
平均分
中位数
众数
八（1）
85
b
c
八（2）
a
85
85
甲
2
6
7
7
8
乙
2
3
4
8
8
年龄/岁
13
14
15
16
人数
5
23
▃
▃
平均分
中位数
众数
八（1）
85
b
c
八（2）
a
85
85