四川省绵阳市南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省绵阳市南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间:120分钟 总分:150分
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解．
【详解】设直线的倾斜角为，，
直线可化为，
所以直线的斜率，
，
故选：D．
2. 已知空间向量，，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量垂直得，即可求出的值.
【详解】.
故选：B.
3. 已知直线，相互平行，则、之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行得到关于a的方程，求出的值，再由两平行线之间的距离公式计算即可.
【详解】因为直线，相互平行，
所以，解得，
所以，即，
所以、之间的距离.
故选：A.
4. 已知某地、、三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，当地政府为巩固拓展脱贫攻坚成果，全面推进乡村振兴，决定采用分层随机抽样的方法抽取20%的户数进行调查，则样本容量和抽取村贫困户的户数分别是（ ）

A. 150，15B. 150，20C. 200，15D. 200，20
【答案】D
【解析】
【分析】将饼图中的、、三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以得出样本容量，得出村抽取的户数，再乘以可得出村贫困户的抽取的户数.
【详解】将饼图中的、、三个村的人口户数全部相加，
再将所得结果乘以得出样本容量为，
村抽取的户数为户，
则抽取村贫困户户数为户．
故选：D.
5. 已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，焦距为4.若P为椭圆C上一点，且△PF1F2的周长为10，则椭圆C的离心率e为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的定义与焦距的性质即可求解.
【详解】依题意知，
焦距：，
由椭圆的定义得△PF1F2的周长为：，
解得：，所以离心率
故选：C.
6. 若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求解的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程.
【详解】圆经过点，，
可得线段的中点为，又，
所以线段的中垂线的方程为，
即，
由，解得，
即，圆的半径，
所以圆的方程为.
故选：A.
7. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（ ）
A. A与互斥B. 与相互独立
C. D. A与互斥
【答案】B
【解析】
【分析】根据互斥的定义和相互独立的公式即可求解.
【详解】对于选项A：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A，也满足事件B,因此A与能够同时发生，所以A与不互斥，故选项A错误；
对于选项B：，，，所以，所以与相互独立，即选项B正确；
对于选项C：，故选项C错误；
对于选项D：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A，也满足事件C,因此A与C能够同时发生，所以A与C不互斥，故选项D错误；
故选：B.
8. 若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即和，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有；再利用基本不等式放缩即可得出的最大值．
【详解】解：由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过点定点，
注意到动直线和动直线始终垂直，又是两条直线的交点，
则有，．
故（当且仅当时取“”
故选：．
【点睛】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．
二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知椭圆与椭圆，则下列说法错误的是（ ）
A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等
【答案】ABC
【解析】
【分析】分别求出这两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，比较即可得到答案.
【详解】由已知条件得椭圆中，，，，
则该椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为；
椭圆中，焦点在轴上，，，，故这两个椭圆只有焦距相等.
故选：.
10. 已知空间中三点，，，则下列结论错误的是（ ）
A. 与是共线向量B. 与同向的单位向量是
C. 与夹角的余弦值是D. 平面的一个法向量是
【答案】AC
【解析】
【分析】A：利用共线向量定义进行判断；B：与同向的单位向量；C：利用向量夹角余弦公式判断；D：设平面的法向量为，则，由此能求出结果．
【详解】对于A：，
与不是共线向量，故A错误；
对于B：，则与同向的单位向量是，故B正确；
对于C：，
∴，故C错误；
对于D：，
设平面的法向量为，
则，取，得，故D正确．
故选：AC．
11. 光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线经过的点为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】先求点关于直线的对称点，得出反射后的直线，再对选项逐一检验
【详解】由题意知，，设点关于直线的对称点为，
则，解得，所以反射光线所在的直线方程为，
所以当时，；当时，，
故选：BC
12. 对于平面直角坐标系内任意两点，定义它们之间的一种“折线距离”：，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若为定点，为动点，且满足，则点的轨迹是一个圆
C. 若为定点，为动点，且满足，则点的轨迹是一个椭圆
D. 若点线段上，则
【答案】AD
【解析】
【分析】由新定义直接计算可判断A，设，，结合新定义可判断BC，设且，结合新定义可判断D
【详解】由题意可得：当，，时
，所以A正确；
不妨设，，由题意可得，此时表示的几何图形是正方形，
所以BC错误；
设且，
所以
，所以D正确．
故选：AD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）
13. 已知直线：与直线：互相垂直，则它们的交点坐标为_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用互相垂直求出，然后两直线联立即可求出交点坐标.
【详解】因为直线：与直线：互相垂直，
所以，解得，
联立，解得直线和的交点坐标为，
故答案为：
14. 如图，在平行六面体中，设，N是的中点，则向量_________．（用表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据向量的加减法运算法则及数乘运算求解即可.
【详解】由向量的减法及加法运算可得，
，
故答案为：
15. 某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：
则该单位党员一周学习党史时间的第60百分位数是______．
【答案】9
【解析】
【分析】根据百分位数的定义即可求出结果．
【详解】党员人数一共有，
，那么第60百分位数是第24和25个数的平均数，
第24和25个数分别为9，9，所以第60百分位数是，
故答案为：9．
16. 已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆的性质可得，若求的最大值，转化为求的最大值，再根据点关于线对称的性质，数形结合从而得解.
【详解】如图所示，
圆的圆心为，半径为3，
圆的圆心为，半径为1，
可知，
所以，
若求的最大值，转化为求的最大值，
设关于直线的对称点为B，设B坐标为，
则 ，解得，故B，
因为，可得，
当P，B，A三点共线，即P点为时，等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为；
（2）经过点和.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由长轴长及离心率求椭圆参数a、c，进而求参数b，即可写出椭圆方程.
（2）由题设知P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，即可得a、b，结合顶点坐标特征写出椭圆方程.
【小问1详解】
由已知,，，得：，，从而.
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由椭圆的几何性质知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，
所以点P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，于是有，.
又短轴、长轴分别在x轴和y轴上，所以椭圆的标准方程为.
18. 已知，以点为圆心的圆被轴截得的弦长为.
（1）求圆的方程；
（2）若过点的直线与圆相切，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理，可直接计算出圆的半径；
（2）根据直线的斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，可得到直线方程为的直线满足题意，斜率存在时，利用直线与圆相切，即到直线的距离等于半径，然后解出关于斜率的方程即可.
【小问1详解】
不妨设圆的半径为，根据垂径定理，可得：
解得：
则圆的方程为：
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，则有：
故此时直线与圆相切，满足题意
当直线的斜率存在时，不妨设直线的斜率为，点的直线的距离为
直线的方程为：
则有：
解得： ，此时直线的方程为：
综上可得，直线的方程为：或
19. 南山实验高二年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中．
（1）求出;
（2）估计测试成绩的平均分；
（3）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在内的概率．
【答案】（1），
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率之和即可求解，
（2）根据平均数的计算公式即可求解，
（3）由列举法列举所有基本事件，即可由古典概型概率公式求解.
【小问1详解】
由频率分布直方图可知，即，
又，所以，．
【小问2详解】
测试成绩的平均分为：
【小问3详解】
成绩在和内的人数之比为，
故抽取的4人中成绩在内的有3人，设为，，，成绩在内的有1人，设为，
再从这4人中选2人，这2人的所有可能情况为，，，，，，共6种，
这2人成绩均在内的情况有，，，共3种，
故这2人成绩都在内的概率为
20. 为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．
（1）试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；
（2）某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？
【答案】（1）；
（2）会驶入安全预警区，行驶时长为半小时
【解析】
【分析】（1）先求出A，B的坐标，再由距离公式得出A，B之间的距离；
（2）由三点的坐标列出方程组得出经过三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为，再由几何法得出直线与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长.
【小问1详解】
由题意得，∴；
【小问2详解】
设圆的方程为，
因为该圆经过三点，∴，得到.
所以该圆的方程为：，
化成标准方程为：.
设轮船航线所在的直线为，则直线的方程为：，
圆心（6，8）到直线的距离，
所以直线与圆相交，即轮船会驶入安全预警区.
直线与圆截得的弦长为，行驶时长小时.
即在安全警示区内行驶时长为半小时.
21. 甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
（1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；
（2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可；
（2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案.
【小问1详解】
设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件，
.
【小问2详解】
设事A＝“甲第一轮猜对”，B＝“乙第一轮猜对”，C＝“甲第二轮猜对”，D＝“乙第二轮猜对”，E＝““九章队”猜对三个数学名词”，
所以，
则，
由事件的独立性与互斥性，得
，
故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词的概率为．
22. 如图，等腰梯形中，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.

（1）证明：面面；
（2）若为上的一点，点到面的距离为，求的值及平面和平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见详解；
（2），
【解析】
【分析】（1）先证，利用线线垂直证线面垂直，由线面垂直的性质可判定面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算点面距离及二面角即可.
【小问1详解】

如图所示，在梯形中，取中点，连接，
易知四边形为平行四边形，可得，即，
又，平面，
所以平面，
因为平面，
所以面面；
【小问2详解】

取的中点，则，
因为，所以，结合（1）结论，
可以以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设，
即，
设面一个法向量为，
则有，令，
即，则点到面的距离为，即；
易知平面的一个法向量可为，
设平面和平面夹角为，易知,
所以.党史学习时间（小时）
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