四川省南充市南部中学2024届高三第四次月考数学（文）试题（Word版附解析）

这是一份四川省南充市南部中学2024届高三第四次月考数学（文）试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题．本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求集合的补集，再根据并集运算求出结果.
【详解】因为，，所以；
因为，所以.
故选：B.
2. 复数的共轭复数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再求出其共轭复数.
【详解】因为，
所以复数的共轭复数是.
故选：C
3. 在△中，“”是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由正弦定理，得，由得，即，由大边对大角得；当得，即，由正弦定理得，因此“”是“”的充要条件，故答案为C.
考点：1、正弦定理的应用；2、充要条件的判断.
4. 若变量x，y满足约束条件则，则的最小值是（ ）
A. -1B. -6C. -10D. -15
【答案】B
【解析】
【分析】
根据约束条件作出不等式组表示的平面区域,将目标函数化成，表示直线在轴上的截距,然后将目标函数平移经过可行域，可得其最值.
详解】由作出可行域，如图.
设，化成，表示直线在轴上的截距.
的最小值,即直线在轴上的截距最小.
由图可知，直线过点时截距最小。
此时.
故选：B
【点睛】本题考查线性规划问题，作图要准确，其目标函数的几何意义常有截距、斜率、距离等几种，属于基础题.
5. 已知，则下列大小关系正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式性质，不等式两边同时乘负数，改变不等号，不等式两边同时乘正数，不改变不等号，可得答案.
【详解】对于A，因为，所以，故错误；
对于B，因为，所以，又因为，所以，
则，故正确；易知C，D错误.
故选：B.
6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位
【答案】A
【解析】
【分析】先将化简为，再根据三角函数的图象平移即可得出答案.
【详解】，所以的图象向左平移个单位得：.
故选：A.
7. 若，，，则（ ）
A.
B.
C
D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数，对数函数以及三角函数的图象与性质即可求解.
【详解】根据指数、对数的性质可得：，，
因为，
所以，
所以
故选：C．
8. 已知数列中，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意求出数列的通项公式，再求数列的前项和即可.
【详解】当时，，当时，因为，
所以，两式相减得：，
经验证时，，符合，
所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
故选：A.
9. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以为整体，利用诱导公式和二倍角的余弦公式运算求解.
【详解】∵，
故选：D.
10. 已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（ ）
A. B. [-1，2）C. （0，2）D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出函数的值域，而的值域为，进而得，由此可求出的取值范围.
【详解】解：因为函数的值域为，而的值域为，
所以，解得，
故选：B
【点睛】此题考查由分段函数的值域求参数的取值范围，分段函数的值域等于各段上的函数的值域的并集是解此题的关键，属于基础题.
11. 在锐角三角形中，a，b，c分别是内角A，B，C的对应边，设A＝2C，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦定理把边化角，再用三角恒等变换化简，转化为三角函数的值域问题，即可求解
【详解】由正弦定理可得
又因为三角形是锐角三角形，
所以，即，也即,
所以，
所以，，，
，
所以取值范围是，
故选：A
12. 已知函数，，若，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先由，，再结合函数函数的图象可知，，这样转化，利用导数求函数的最大值.
【详解】由题意得，，，即，
令函数，则，
所以，时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
又当时，，时，，
作函数的图象如图所示.
由图可知，当时，有唯一解，故，且，

∴.设，，则，
令解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
∴，即的最大值为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求函数最值，本题的关键是观察与变形， ，并且由函数图象判断，只有一个零点，所以，这样后面的问题迎刃而解.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知命题：，总有．则为______．
【答案】，使得
【解析】
【分析】全称命题改否定，首先把全称量词改成特称量词，然后把后面结论改否定即可.
【详解】解：因为命题，总有，
所以的否定为：，使得
故答案为，使得
【点睛】本题考查了全称命题的否定，全称命题（特称命题）改否定，首先把全称量词（特称量词）改成特称量词（全称量词），然后把后面结论改否定即可.
14. 已知函数，则___________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据解析式求函数值即可.
【详解】因为
所以，
故答案为：2
15. 若函数，则_________
【答案】
【解析】
【分析】
先根据时，得当时，，进而得函数是以为周期的周期函数，再根据函数周期性求值即可得答案.
【详解】解：因为时，，
所以，故，
所以，
所以当时，.
即当时，函数是以为周期的周期函数.
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数的周期性，解题的关键在于根据时，得当时，，进而根据周期性得.
16. 已知函数，若不等式上恒成立，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由已知不等式化为，当时，比较、的大小关系，得出在的单调性，即可求出的取值范围.
【详解】因为，则，
由，可得在上恒成立，
令，其中，则，
所以，函数在上为增函数，则，即，
所以，函数在上为增函数，
则在上恒成立，即在上恒成立，故.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，解题的关键就是利用同构思想，将所求不等式转化为，将问题转化为函数在上的单调性问题，结合导数求解.
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知函数
（I）求的值
（II）求的最小正周期及单调递增区间.
【答案】（I）2；（II）的最小正周期是，.
【解析】
【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．
（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．
【详解】（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣cs2xsin x cs x，
＝﹣cs2xsin2x，
＝﹣2，
则f（）＝﹣2sin（）＝2，
（Ⅱ）因为．
所以的最小正周期是．
由正弦函数的性质得
，
解得，
所以，的单调递增区间是．
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．
18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角A；
（2）若，求△ABC的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理求出；（2）由正弦定理及三角恒等变换得到，结合求出，结合第一问求出，利用面积公式进行求解.
【小问1详解】
由题意及正弦定理得，
即，即
所以，因为，所以
【小问2详解】
由，得，
所以由正弦定理得，
又因为，所以，
，
所以
又，所以，所以，
从而△ABC是等边三角形．因为，
所以．
19. 设是等差数列，是等比数列，公比大于0.已知，，.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）， ；（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意列出关于公差和公比的方程组，求解即可得出通项公式（2）根据错位相减法即可求出数列的和.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.
依题意，得
又因为公比大于0，
解得
故，.
所以，的通项公式为，的通项公式为.
（2）由（1）知，
记的前n项和为，则
记，①
则，②
①−②得，，
，
,
所以.
【点睛】本题主要考查了等差等比数列的基本量的计算，错位相减法求和，属于中档题.
20. 已知函数在处有极值.
（1）求的值；
（2）求函数在上的最大值与最小值.
【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为
【解析】
【分析】
（1）对函数求导，根据函数在处取极值得出，再由极值为，得出，构造一个关于的二元一次方程组，便可解出的值；
（2）由（1）可知，求出，利用导数研究函数在上的单调性，比较极值和端点值的大小，即可得出在上的最大值与最小值.
【详解】解：（1）由题可知，，的定义域为，
，
由于在处有极值，
则，即，
解得：，，
（2）由（1）可知，其定义域是，
，
令，而，解得，
由，得；由，得，
则在区间上，，，的变化情况表如下：
可得，
，，
由于，则，
所以，
函数在区间上的最大值为，最小值为.
【点睛】本题考查已知极值求参数值和函数在闭区间内的最值问题，考查利用导函数研究函数在给定闭区间内的单调性，以及通过比较极值和端点值确定函数在闭区间内的最值，考查运算能力.
21. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，，求证：．
【答案】（1）在单调递增，在单调递减；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）分别令，求出单调性；
（2）设，则， 要证：，即证：，而，令，，等价于， ，证明的单调性即可.
【详解】（1）函数定义域为 ，
令得，令得，
故在单调递增，在单调递减.
（2），不妨设，则，
要证：，即证：……（*），
而，令，，
（*）等价于， ，
设，，

令，在恒成立，
则在单调递增，故，故在单调递增，
故，故原命题得证．
【点睛】本题考查利用导数求单调区间以及利用导数证明不等式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于高考常考题型.
选做题：第22题，23题中 选做一题，多做或做错按照第一题计分
选修4-4（本题满分10分）
22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为，曲线C的参数方程为(t为参数).以O点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；
（2）设射线与直线l和曲线C分别交于点M，N，求的最小值.
【答案】（1）,；（2）1．
【解析】
【分析】（1）由参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化公式，结合同角三角函数的平方关系，可得所求；
（2）求得，， 运用辅助角公式，结合正弦函数的最值，计算可得所求最小值．
【详解】将代入，
得直线的极坐标方程为，
即，
由消去参数，
得曲线的普通方程为，
将代入，
得曲线的极坐标方程为，
由射线与交于点，
得，
即，
由射线与曲线交于点，
得，即，
则
，
所以当时，
得时，取得最小值.
选修4-5
23. 设函数．
（1）解不等式；
（2）若关于x的方程没有实数根，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；
（2）先将题意转化为没有实数根， 再求值域，利用取值为值域的补集，计算即得结果.
【详解】解：（1）当时，，
得，所以；
当时，，
得，所以；
当时，，得，所以．
综上，原不等式的解集为；
（2）方程没有实数根，即没有实数根，
令，
当且仅当时，即时等号成立，即值域为，
若没有实数根，则，即，
所以实数m的取值范围为．
【点睛】方法点睛：
1、绝对值不等式的解法：
（1）利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
（2）利于“零点分段法”去绝对值进行求解，体现了分类讨论思想；
（3）通过构造函数，利用函数图象求解，体现了函数与方程思想.
2、不等式恒成立问题通常可转化成函数最值来处理.
1
2
0
单调递减
单调递增