江苏省泗阳中学2023-2024学年高三上学期12月阶段测试数学试题

这是一份江苏省泗阳中学2023-2024学年高三上学期12月阶段测试数学试题，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1、已知集合，，若，则( )
A.B.C.D.
2、已知，则( )
A.B.iC.0D.1
3、若，，且，则等于( )
A.B.2或-2C.-2D.2
4、已知数列的前n项和，正项等比数列满足，，则使成立的n的最大值为( )
A.5B.6C.7D.8
5、函数的图象大致是( )
A.B.
C.D.
6、已知，是方程的两根，且，，则的值为( )
A.B.C.或D.或
7、在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于( )
A.B.C.D.
8、已知是R上的单调递增函数，，不等式恒成立，则m的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9、，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中错误的是( )
A.若，，，则
B.若，，，则
C.若，，则
D.若，，则
10、已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若为直角三角形，则( )
A.B.双曲线的离心率
C.双曲线的焦距为D.的面积为
11、利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是( )
A.B.
C.D.
12、已知，，且，则( )
A.有最大值B.有最小值
C.ab有最大值D.ab有最小值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、已知的面积为，求AC边的长为_______.
14、等差数列中，，，则满足不等式的正整数n的最大值是__________.
15、已知首项都是1的两个数列，（，）满足.若，则数列的前n项和____________.
16、如图，在矩形ABCD中，，，E为线段BC上的一个动点，现将沿AE折起得到，当二面角的平面角为时，点在平面ABCD上的投影为K，当点E从点B运动到点C时，则点K的轨迹的长度为__________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（10分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求的值；
(2)若，求面积的最大值.
18、（12分）设为等差数列的前n项和，已知与的等差中项是1，且，求通项.
19、（12分）如图1，在平面图形ABCDE中，，，，，沿BD将折起，使点C到F的位置，且，，如图2.
(1)求证：平面平面AEG.
(2)线段FG上是否存在点M，使得平面MAB与平面AEG所成角的余弦值为?若存在，求出GM的长；若不存在，请说明理由.
20、（12分）已知分别为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于x轴的直线，与双曲线C交于点M，N，且三角形为等边三角形，双曲线C与x轴两交点间距离为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设过的直线与双曲线C交于A，B两点，是否存在一个定点P使为定值？
如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由.
21、（12分）随着人们生活水平的提高，健康越来越成为当下人们关心的话题，因此，健身也成了广大市民的一项必修课.某健身机构统计了2022年1∼5月份某初级私人健身教练课程的月报名人数y（单位：人）与该初级私人健身教练价格x（单位：元/小时）的情况，如下表所示.
（1）求（，2，3，4，5）的相关系数r，并判断月报名人数y与价格x是否有很强的线性相关性?（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.001）
（2）请建立y关于x的线性回归方程；（精确到0.001）
（3）当价格为每小时230元时，估计该课程的月报名人数为多少人?（结果保留整数）
参考公式：对于一组数据（，2，3，…，n），相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
参考数据：.，，
.
22、（12分）已知函数.
（1）若，求函数的极值；
（2）当时，若对，恒成立，求的最小值.

参考答案
1、答案：C
解析：由题可知，.因为，所以，所以.
2、答案：A
解析：因为，所以，所以.故选A.
3、答案：C
解析：，
，
，
，，
，
则.故选C.
4、答案：D
解析：设等比数列的公比为q，由题意知，当时，；当时，，，，，，，，，，，n的最大值为8，故选D.
5、答案：A
解析：本题主要考查函数的概念与性质.
因为，
所以
所以函数是奇函数，关于原点对称，且有两条渐近线和，
所以选项C错误，
因为当时，，，
所以选项B、D错误，
当时，，，所
以选项A正确.
故本题正确答案为A.
6、答案：B
解析：由根与系数的关系得，
，
.
又，且，
.
7、答案：A
解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，所以直线BC的方程为.设，点P关于直线BC的对称点为，点P关于y轴的对称点为，易得，.易知直线就是RQ所在的直线.所以直线RQ的方程为.
设的重心为G，则，
所以，即，所以(舍去)或，所以，.
结合对称关系可知，，
所以的周长即线段的长度，为.故选A.
8、答案：D
解析：依题意，在R上是增函数，，不等式恒成立，即恒成立，等价于恒成立，.令，则，易得，，，故选D.
9、答案：ABC
解析：A.若，，，则或m与斜交或m与平行，该命题错误；
B.若，，，则或m与n异面，该命题错误；
C..若，，则或n与斜交或n与平行，该命题错误；
D.若，，由线面垂直的定义可知，该命题正确；
故选：ABC.
10、答案：BD
解析：如图所示:
若为直角三角形，由双曲线的对称性可知:
，且.
设，则由双曲线的定义得:，.
所以在直角三角形中，由勾股定理得:.
解得:，所以，
所以的面积为:.故D正确；
，所以，故C不正确;
由可知，，，
所以，故A不正确;
，故B正确.
故选:BD.
11、答案：ABC
解析：由题意知A, B, C为互斥事件, 故选项C正确; 从100件产品中抽取一件产品共有 100 种情 况, 其中抽取的一件产品是合格品的有 70 种情 况, 抽取的一件产品是一等品的有 20 种情况, 抽 取的一件产品是不合格品的有 10 种情况.所以,,则,故选 项A,B正确, 选项D错误.
12、答案：BD
解析：由可得.令，，则，当且仅当时取等号.由，解得，故，当且仅当时取等号.故选BD.
13、答案：
解析：如图，设点C的坐标为，
因为，所以B点坐标是.
所以.
因为，
所以，所以.
又，所以.
所以.
所以C点坐标为，
从而，所以.
故AC边的长为.
14、答案：59
解析：等差数列中，由得即.又，解得，故正整数n的最大值为59.
15、答案：
解析：因为，，所以，数列是以为首项，2为公差的等差数列，故.由，得，于是数列的前n项和，，两式相减得，所以.
16、答案：
解析：过点作，垂足为O，连接KO，因为，，所以平面，则，所以就是二面角的平面角，由题意知，得.因为，所以点K在线段BO上，且K是线段BO的中点.取BA的中点M，连接KM，则，所以点K的轨迹是以BM为直径的圆的一部分，当点E从点B运动到点C时，点K在圆周上从点B运动到，且，则这段弧所对的圆心角为，故点K的轨迹的长度为.
17、答案：(1).
(2)最大值为.
解析：(1)由及正弦定理，
可得
，
从而，得.
(2)由余弦定理可知，
则，
当且仅当时取等号，故面积的最大值为.
18、答案：或
解析：设，则，
由已知得
解得或
故或.
19、答案：(1)证明见解析
(2)线段FG上存在点M，使得平面MAB与平面AEG所成角的余弦值为，且
解析：(1)因为，所以，
又，所以.
因为，，
所以四边形ABDE为等腰梯形，
又，所以，
所以，所以，即，
因为，，平面AEG，所以平面AEG，
又平面GEBF，所以平面平面AEG.
(2)由(1)知EA，EB，EG两两互相垂直.
以E为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，四边形GEBF是矩形，所以，
即，，.
假设线段FG上存在点M满足题意，
令，则，，.
设平面MAB的一个法向量为，
则令，则.
由题知平面AEG的一个法向量为.
设平面MAB与平面AEG所成角为，
则，，
所以，所以，即.
综上，线段FG上存在点M，使得平面MAB与平面AEG所成角的余弦值为，且.
20、答案：(1)方程为.
(2)存在，.
解析：(1)因为双曲线C与x轴两交点间距离为2，
所以，则.
设点M在x轴的上方，则.
因为点M在双曲线C上，所以.
因为，所以，
所以.
因为为等边三角形，
所以为直角三角形.
在中，，
所以.
由双曲线的定义可知，
故双曲线C的方程为.
(2)存在.理由如下：
设直线AB的方程为，
根据双曲线的对称性可得如果存在这样的点P，则P点在x轴上，
设点，
则.
将代入得直线AB的方程为，
联立消去x得.
当时，，
则，
所以
，
若为定值和参数m无关，
即，
解得，故定点坐标为.
综上，存在一个定点使为定值.
21、答案：(1)y与x有很强的线性相关性
(2)
(3)4人
解析：（1）由已知数据可得：
，
，
相关系数.
因为，所以y与x有很强的线性相关性.
（2）因为，
，
所以y关于x的线性回归方程为.
（3）当时，，
故当价格为每小时230元时，估计该课程的月报名人数为4人.
22、答案：(1)
(2)
解析：（1）若，可得，
有，
令，可得，
故函数的增区间为，，减区间为，
函数的极小值为，极大值为；
（2）令，
有，
由函数单调递增及，，
可知存在，使得，即，
令得，可得函数的减区间为，增区间为，
可得
，
由，恒成立，
有，可得，
有，
可得，
令，
有
，
令，可得，可知函数的减区间为，增区间为，
有，
故的最小值为.
月份
1
2
3
4
5
初级私人健身教练价格x（元/小时）
210
200
190
170
150
初级私人健身教练课程的月报名人数y（人）
5
8
7
9
11