广西北海市2022-2023学年高二下学期数学期中考试试卷

这是一份广西北海市2022-2023学年高二下学期数学期中考试试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知函数f(x)在区间(a，b)上恒有f′(x)>0，对于x1，x2∈(a，b)，则“x1>x2”是“f(x1)>f(x2)”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．函数f(x)=xe−x的单调递减区间是（ ）
A．(1，+∞)B．(−∞，−1)C．(−∞，1)D．(−1，+∞)
3．某职业体验活动共设置五个职业，五位同学各选其中一个职业，若至少选出四个职业，活动才能正常进行，则不同的选择方案共有（ ）
A．1320种B．1200种C．325种D．600种
4．(x−1)(1x−2)5的展开式中的常数项是（ ）
A．－112B．－48C．48D．112
5．设在一次试验中事件A出现的概率为p，在n次独立重复试验中事件A出现k次的概率为pk，则( )
A．p1+p2+⋯+pn=1B．p0+p1+p2+⋯+pn=1
C．p0+p1+p2+⋯+pn=0D．p1+p2+⋯+pn−1=1
6．抛掷2枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是（ ）
A．19B．118C．16D．112
7．函数f(x)=(1+1|x|)|x|的部分图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成，其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻．若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻．若每一枚钱币正面向上的概率为12，则一卦中恰有四个变爻的概率为（ ）
A．18B．1564C．73586D．13546
二、多选题
9．下列运算正确的是（ ）
A．(csπ6)′=−12B．[ln(3x+1)]′=33x+1
C．(13x)′=−133x4D．(e−x)′=e−x
10．已知两种不同型号的电子元件（分别记为 X ， Y ）的使用寿命均服从正态分布， X~N (μ1,σ12) ， Y~N(μ2,σ22) ，这两个正态分布密度曲线如图所示（ ）
参考数据：若 Z~N(μ,σ2) ，则 P(μ−σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827 ， P(μ−2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545
A．P(μ1−σ1x2时，f(x1)>f(x2)成立，
当f(x1)>f(x2)时，x1>x2成立，
故“x1>x2”是“f(x1)>f(x2)”的充分必要条件.
故答案为：C
【分析】由题知f′(x)>0，所以f(x)在区间(a，b)上单调递增，根据函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义可得答案.
2．【答案】A
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：f′(x)=e−x+x(−e−x)=(1−x)e−x
令f'(x)＜0，得x＞1，
所以函数f(x)=xe−x的单调递减区间是(1，+∞).
故答案为：A.
【分析】求出导函数，令导函数小于0，即可求出递减区间.
3．【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：5位同学选了4个职业，则必有2个同学选择了同一个职业，先对5位同学分为4组，再进行排列，有C52C31C21C11A33⋅A54=1200种选择，5位同学选了5个职业，进行全排列即可，有 A55=120种选择，
故不同的选择方案共有种1200+120=1320选择.
故答案为：A.
【分析】分5位同学选了4个职业和选了5个职业两种情况讨论，分别计算相加求出结果即可.
4．【答案】D
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：1x−25展开式的通项公式为：Tr+1=C5r1x5−r·−2r=−2r·C5r·xr−5，
令r-5=0 ，解得r=5，则T6=−25×C55=−32，
令r-5=-1，解得r=4，则T5=−24×C54·x−1=80x−1，
所以展开式中常数项为，1×80+（-1）×（32）=112.
故答案为：D.
【分析】主要考查二项式定理的特定项的求法问题，可以先展开，把问题转化为求2个特定项的系数，最后再把系数加起来即可求出结果.
5．【答案】B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意可知此事件为二项分布X~Bn，p，
根据二项分布的性质可知p0+p1+p2+⋯+pn=1，
故答案为：B.
【分析】主要考查二项分布列的问题，根据题意可知符合二项分布，概率和为1.
6．【答案】C
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：抛掷2枚骰子，有 6×6 = 36种情况，
向上的点数之差的绝对值为3的情况有：（1，4），（4，1），（2，5），（5，2），（3，6），（6，3）这6种情况，
所以概率为P=66×6=16，
故答案为：C.
【分析】此题考查古典概型的算法，先求出符合的情况，除以总事件，即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】fx=1+1xx ，则f−x=1+1−x−x=1+1xx=fx为偶函数，图像关于y轴对称， 排除B
f(1) = 2， 排除C和D
故答案：A
【分析】判定函数为偶函数，则图像关于y轴对称，在取特殊值x=1，时f1=2，即可选出答案.
8．【答案】D
【知识点】等可能事件的概率；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】根据题意知道1个 变爻 的概率为：2×123=122=14（三枚钱币全部正面向上：，同理三枚反面向上的概率：123），则不是变爻的概率：1−14=34则一卦中恰有四个变爻的概率为 ：
P=C64144342=13546.
故答案：D.
【分析】根据题意算出1个 变爻 的概率为14，则不是变爻的概率：1−14=34，在 根据独立实验的概率公式进行求解即可.
9．【答案】B,C
【知识点】简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】对于A选项：csπ6，=0（常熟的导数为0），故A选项错误；ln3x+1'=13x+1×3=33x+1，故B选项正确；
13x'=1x13'=x−13'=−13x−13−1=−13x−43=−133x4，故C选项正确
e−x'=e−x×−1=−e−x，故D选项错误；
故答案：B、C
【分析】根距求导公式及复合函数求导原则即可求解.
10．【答案】A,B,D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】对于A， P(μ1−σ10，然后通过分类讨论a的取值范围，得到函数f(x)的单调区间，再结合函数的极大值进行判定，即可求出a的取值范围.
17．【答案】（1）解：设物理、历史两门学科分别为A，B，思想政治、地理、化学、生物学四门学科分别为a，b，c，d．从选择性考试科目中随机选择三科，共有12种结果，分别是(A，a，b)，(A，a，c)，(A，a，d)，(A，b，c)，(A，b，d)，(A，c，d)，(B，a，b)，(B，a，c)，(B，a，d)，(B，b，c)，(B，b，d)，(B，c，d)．
所以该生恰好选到政史地的概率为P=112．
（2）解：∵K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(40×20−10×30)250×50×70×30=10021=4.76．
∵4.7620，csB>0，
故A，B∈(0，π2)，2A，2B∈(0，π)
由lga−lgb≠0，得a≠b⇒A≠B，
所以2A=π−2B，即A+B=π2，
故△ABC为直角三角形；
（2）解：由m=(2a，b)，n=(a，−3b)，m⊥n，得
2a2−3b2=0①
|n|=a2+(−3b)2=a2+9b2，|m|=(2a)2+b2=4a2+b2，
又(m+n)⋅(−m+n)=n2−m2=14，即8b2−3a2=14②
联立①②解得a2=6，b2=4，即a=6，b=2，
在直角Rt△ABC中，由勾股定理，得c=a2+b2=6+4=10，
所以a=6，b=2，c=10.
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦函数的性质；空间向量的数量积运算；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据对数的运算公式对：lga−lgb=lgcsB−lgcsA≠0进行化简可得：acsA=bcsB，然后在结合正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R进行化简即可求解.
（2）运用两向量垂直，数量积为0及向量的坐标运算即可求解.
21．【答案】（1）解：依题意1a2+94b2=1a=2，得a2=4，b2=3，
故C的方程为x24+y23=1．
（2）解：依题意，A(−2，0)，B(0，3)，设M(x0，y0)，则3x02+4y02=12，
所以直线AM：y−0y0−0=x+2x0+2，令x=0，yE=2y0x0+2，
则|BE|=3−yE=3−2y0x0+2=3x0+23−2y0x0+2．
直线BM：y−3y0−3=x−0x0−0，令y=0，xF=−3x0y0−3．
则|AF|=2+xF=2+−3x0y0−3=2y0−23−3x0y0−3，
又易知AF⊥BE，所以四边形ABFE的面积S1=12|BE|⋅|AF|
=12⋅3⋅x0+23−2y0x0+2⋅2y0−23−3x0y0−3=−3x02−4y2−12+43x0y0−12x0+83y02(x0y0−3x0+2y0−23)
=43(x0y0−3x0+2y0−23)2(x0y0−3x0+2y0−23)=23．
由题意可知AB的直线方程为3x−2y+23=0，
再设椭圆的参数方程为x=2csθ，y=3sinθ，θ为参数，
则动点M到直线AB的距离d=|3×2csθ−23sinθ+23|3+4，θ∈(−π2，0)，
化简得d=|26cs(θ+π4)+23|7，θ∈(−π2，0)．
∵θ∈(−π2，0)，θ+π4∈(−π4，π4)，cs(θ+π4)∈(22，1]，
∴4370ℎ(0)=2>0
解方程组得：a>4
（2）证明 ：由（1）知： f(x)存在两个极值点当且仅当a>4
由于f(x)的两个极值点x1，x2满足2x2−ax+2=0，所以x1x2=1.
不妨设x11，
由于f(x1)−f(x2)x1−x2=−2x1x2−2+alnx1−lnx2x1−x2=−4+alnx1−lnx2x1−x2=−4+a−2lnx21x2−x2.
所以f(x1)−f(x2)x1−x2