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    新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题2与平面向量数量积有关的最值问题(附解析)

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    新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题2与平面向量数量积有关的最值问题(附解析)

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    这是一份新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题2与平面向量数量积有关的最值问题(附解析),共9页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题等内容,欢迎下载使用。


    1.[2023·山东济南历城模拟]已知向量a=(x+1,1),b=(1,eq \f(2,x)),若x>0,则a·b的最小值为( )
    A.2eq \r(2)B.1+2eq \r(2)C.2+2eq \r(2)D.2eq \r(2)-1
    2.已知向量a,b,且|a|=|b|=5,|a+b|=6,则|ta+b|(t∈R)的最小值为( )
    A.eq \f(24,5)B.4C.eq \f(16,5)D.eq \f(12,5)
    3.如图所示,在正方形ABCD中,已知|eq \(AB,\s\up6(→))|=2,若点N为正方形内(含边界)任意一点,则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))的最大值是( )
    A.2B.3C.4D.5
    4.[2023·湖北武汉模拟]如图,已知AOB是半径为2,圆心角为eq \f(π,2)的扇形,点E,F分别在OA,OB上,且OA=3OE,OB=3OF,点P是圆弧eq \x\t(AB)上的动点(包括端点),则eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))的最小值为( )
    A.4-eq \f(4\r(2),3)B.4+eq \f(4\r(2),3)C.eq \f(8,3)D.eq \f(16,3)
    5.[2023·福建福州模拟]在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,eq \(AE,\s\up6(→))=xeq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1-x,3)eq \(AD,\s\up6(→)),x∈[0,1],则eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))的最小值为( )
    A.-2B.-eq \f(4,3)C.-eq \f(2,3)D.-eq \f(1,2)
    6.[2023·广东佛山模拟]已知A(-1,0),B(2,0),若动点M满足|MB|=2|MA|,则eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))的最大值是( )
    A.18B.9C.3D.eq \f(9,4)
    7.[2023·辽宁抚顺模拟]已知双曲线C:eq \f(y2,4)-eq \f(x2,2)=1的焦点分别是F1,F2,点P在双曲线C上,则下列结论正确的是( )
    8.[2023·辽宁沈阳模拟]已知向量b,c和单位向量a满足|a-b|=2|b|,|c-a|+|c+a|=4,则b·c的最大值为( )
    A.eq \f(4\r(2),3)B.eq \r(2)C.2D.eq \f(\r(5),2)
    9.[2023·湖南长沙模拟]已知△ABC是单位圆O的内接三角形,若A=eq \f(π,4),则eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))的最大值为( )
    A.eq \r(2)+1B.2eq \r(2)C.2D.1-eq \r(2)
    10.[2023·浙江杭州模拟]已知点P是边长为1的正十二边形A1A2…A12边上任意一点,则A1P·A1A2的最小值为( )
    A.-eq \f(\r(3)-1,2)B.-eq \f(\r(3)+1,2)C.-eq \r(3)D.-2
    二、多项选择题
    11.如图,在边长为2的正方形ABCD中,P为以A为圆心、AB为半径的圆弧eq \x\t(BD)(包含B,D)上的任意一点,且eq \(AP,\s\up6(→))=xeq \(AB,\s\up6(→))+yeq \(AD,\s\up6(→)),则下列结论正确的是( )
    A.x+y的最大值为eq \r(2)B.x+y的最小值为eq \f(\r(2),2)
    C.eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))的最大值为4D.eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))的最小值为4-4eq \r(2)
    12.[2023·湖南长郡中学模拟]已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=4,恒过点A(1,3)的直线l与圆C交于P,Q两点.下列说法正确的是( )
    A.|PQ|的最小值为2eq \r(2)
    B.eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PQ,\s\up6(→))∈[6,8]
    C.eq \(CP,\s\up6(→))·eq \(CQ,\s\up6(→))的最大值为-2
    D.过点C作直线l的垂线,垂足为点B,则点B的运动轨迹在某个定圆上
    [答题区]
    三、填空题
    13.[2023·云南昆明模拟]已知平面向量a,b满足|a|=|b|=1,则|a+b|的最小值为________.
    14.已知O是坐标原点,点A(-2,1),若点M(x,y)为△BCD内一点,其中B(-2,-1),C(0,-1),D(-1,0)内的一个动点,则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))的最大值为________.
    15.已知平面向量a,b,c中,|a|=eq \r(3),|b|=1,(c-a)·(b-a)=0且|c-a|=|b-a|,则|c|的最大值为________.
    16.[2023·河北石家庄模拟]如图,在边长为2的正方形ABCD中.以C为圆心,1为半径的圆分别交CD,BC于点E,F.当点P在劣弧EF上运动时,eq \(BP,\s\up6(→))·eq \(DP,\s\up6(→))的最小值为________.
    微专题2 与平面向量数量积有关的最值问题
    1.解析:a·b=x+1+eq \f(2,x)≥2eq \r(x·\f(2,x))+1=2eq \r(2)+1,当且仅当x=eq \r(2)时等号成立,
    则a·b的最小值为1+2eq \r(2).故选B.
    答案:B
    2.解析:由题意,
    ∵|a+b|=6,
    ∴a2+b2+2a·b=36,
    ∵|a|=|b|=5,
    ∴a·b=-7,|ta+b|2=t2a2+2ta·b+b2=25t2+2t×(-7)+25=25t2-14t+25,
    当t=eq \f(7,25)时,|ta+b|2取得最小值eq \f(576,25),
    ∴|ta+b|的最小值为eq \f(24,5).故选A.
    答案:A
    3.解析:
    以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),设N(x,y),(0≤x≤2,0≤y≤2),则eq \(AB,\s\up6(→))=(2,0),eq \(AN,\s\up6(→))=(x,y),
    eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))=2x∈[0,4],所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))的最大值是4,当N在线段BC上时,都可以取到.故选C.
    答案:C
    4.解析:
    如图,以O为原点,OA,OB所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系,
    则A(2,0),B(0,2),E(eq \f(2,3),0),F(0,eq \f(2,3)),设P(x,y),x,y>0,则x2+y2=4,
    所以eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))=(eq \f(2,3)-x,-y)·(-x,eq \f(2,3)-y)=x2-eq \f(2,3)x+y2-eq \f(2,3)y=4-eq \f(2,3)(x+y),
    因为x2+y2=(x+y)2-2xy=4,所以(x+y)2=4+2xy,又x2+y2≥2xy,则4≥2xy,所以0则(x+y)2的最大值为8,所以x+y的最大值为2eq \r(2),即eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))的最小值为4-eq \f(4\r(2),3).故选A.
    答案:A
    5.解析:
    边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,如图所示,
    则|eq \(AB,\s\up6(→))|=|eq \(AD,\s\up6(→))|=2,eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))=|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AD,\s\up6(→))|·cs∠BAD=2×2×eq \f(1,2)=2,
    eq \(DE,\s\up6(→))=eq \(AE,\s\up6(→))-eq \(AD,\s\up6(→))=xeq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1-x,3)eq \(AD,\s\up6(→))-eq \(AD,\s\up6(→))=xeq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(-2-x,3)eq \(AD,\s\up6(→)),eq \(DC,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→)),
    eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))=(xeq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(-2-x,3)eq \(AD,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))=xeq \(AB,\s\up6(→))2+eq \f(-2-x,3)eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))=4x-eq \f(4,3)-eq \f(2,3)x=eq \f(10x-4,3),
    由于x∈[0,1],所以当x=0时,eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))有最小值-eq \f(4,3).故选B.
    答案:B
    6.解析:设M(x,y),因为|MB|=2|MA|,所以eq \r((x-2)2+y2)=2eq \r((x+1)2+y2),化简得(x+2)2+y2=4,
    方法一 因为eq \(AM,\s\up6(→))=(x+1,y),eq \(BM,\s\up6(→))=(x-2,y),
    所以eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))=eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))=(x+1)(x-2)+y2
    =x2-x-2+y2
    =x2-x-2+4-(x+2)2=-5x-2,
    又-4≤x≤0,所以-2≤-5x-2≤18,即eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))的最大值为18.
    方法二 设线段AB的中点为C,则C(eq \f(1,2),0),
    因为eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))=|MC|2-(eq \f(1,2)|AB|)2=|MC|2-eq \f(9,4),又|MC|max=eq \f(1,2)-(-2)+2=eq \f(9,2),
    所以eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))的最大值为(eq \f(9,2))2-eq \f(9,4)=18.故选A.
    答案:A
    7.解析:根据题意,F1,F2的坐标为(0,eq \r(6)),(0,-eq \r(6)),设点P的坐标为(x,y),则x∈R,
    故eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))=(-x,eq \r(6)-y)·(-x,-eq \r(6)-y)=x2+y2-6,
    又y2=4(1+eq \f(x2,2))=4+2x2,故eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))=x2+4+2x2-6=3x2-2,
    又x∈R,故当x=0时,取得最小值-2,且其没有最大值,
    故eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))的最小值为-2,无最大值.故选D.
    答案:D
    8.解析:
    设a=(1,0),b=(x,y),由|a-b|=2|b|可得(x-1)2+y2=4(x2+y2),
    化简可得3x2+3y2+2x-1=0,
    即(x+eq \f(1,3))2+y2=eq \f(4,9).
    设c=(x0,y0),则由|c-a|+|c+a|=4,
    可得eq \r((x0-1)2+y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) )+eq \r((x0+1)2+y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) )=4,
    故(x0,y0)的轨迹为以(-1,0),(1,0)为焦点,2a=4的椭圆,其方程为eq \f(x2,4)+eq \f(y2,3)=1.
    设b,c夹角为θ,则b·c=|b|·|c|csθ,
    由圆与椭圆的性质可得,|b|≤eq \f(2,3)+eq \f(1,3)=1,|c|≤2,csθ≤1,
    故当b,c同向,均与x轴负半轴同向时,b·c取得最大值2.故选C.
    答案:C
    9.解析:由圆O是△ABC的外接圆,且A=eq \f(π,4),故OB⊥OC,
    所以eq \(BA,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))-eq \(OB,\s\up6(→)),eq \(BC,\s\up6(→))=eq \(OC,\s\up6(→))-eq \(OB,\s\up6(→)),
    则eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))=(eq \(OA,\s\up6(→))-eq \(OB,\s\up6(→)))·(eq \(OC,\s\up6(→))-eq \(OB,\s\up6(→)))=eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))-eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))-eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))+eq \(OB,\s\up6(→))2
    =cs∠AOC-cs∠AOB-cs∠BOC+1=cs∠AOC-cs(eq \f(3π,2)-∠AOC)+1
    =cs∠AOC+sin∠AOC+1=eq \r(2)sin (∠AOC+eq \f(π,4))+1≤eq \r(2)+1,
    仅当∠AOC=eq \f(π,4)时等号成立.故选A.
    答案:A
    10.解析:延长A10A11,A2A1交于Q,由题意A10A11⊥A2A1,
    过A12分别作A1Q,A11Q的垂线,垂足为M,N,
    正十二边形A1A2…A12的每个内角为eq \f((12-2)×180°,12)=150°,
    在Rt△A12MA1中,|A1A12|=1,∠MA1A12=30°,|A1M|=|A1A12|cs30°=eq \f(\r(3),2),
    在Rt△A11NA12中,|A11A12|=1,∠NA11A12=30°,|QM|=|A12N|=|A11A12|sin30°=eq \f(1,2),
    则|A1Q|=|A1M|+|QM|=eq \f(\r(3)+1,2),
    ∵eq \(A1P,\s\up6(→))·eq \(A1A2,\s\up6(→))=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(eq \(A1A2,\s\up6(→))))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(eq \(A1P,\s\up6(→))))csθ,θ为eq \(A1P,\s\up6(→)),eq \(A1A2,\s\up6(→))的夹角,
    ∴数量积eq \(A1P,\s\up6(→))·eq \(A1A2,\s\up6(→))的几何意义:eq \(A1P,\s\up6(→))·eq \(A1A2,\s\up6(→))等于eq \(A1A2,\s\up6(→))的长度eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(eq \(A1A2,\s\up6(→))))与eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(eq \(A1P,\s\up6(→))))在eq \(A1A2,\s\up6(→))的方向上的投影eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(eq \(A1P,\s\up6(→))))csθ的乘积,
    由图可知,当P在线段A10A11上时,eq \(A1P,\s\up6(→))·eq \(A1A2,\s\up6(→))取得最小值,
    此时eq \(A1P,\s\up6(→))·eq \(A1A2,\s\up6(→))=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(eq \(A1A2,\s\up6(→))))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(eq \(A1P,\s\up6(→))))csθ=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(eq \(A1A2,\s\up6(→))))(-|A1Q|)=-eq \f(\r(3)+1,2).故选B.
    答案:B
    11.解析:分别以AB,AD所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系,
    则B(2,0),D(0,2).
    设P(2csθ,2sinθ),θ∈[0,eq \f(π,2)],则eq \(AB,\s\up6(→))=(2,0),eq \(AD,\s\up6(→))=(0,2),eq \(AP,\s\up6(→))=(2csθ,2sinθ),
    eq \(AP,\s\up6(→))=csθeq \(AB,\s\up6(→))+sinθeq \(AD,\s\up6(→)),eq \(PB,\s\up6(→))=(2-2csθ,-2sinθ),eq \(PD,\s\up6(→))=(-2csθ,2-2sinθ),
    由条件知:x=csθ,y=sinθ,x+y=eq \r(2)sin (θ+eq \f(π,4))∈[1,eq \r(2)],故A正确,B错误.eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))=4sinθ∈[0,4],eq \(PD,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))=4-4eq \r(2)sin (θ+eq \f(π,4))∈[4-4eq \r(2),0],故C,D正确.故选ACD.
    答案:ACD
    12.
    解析:圆C:(x-2)2+(y-3)2=4的圆心为C(2,3),半径为2,
    又A(1,3)满足(1-2)2+(3-3)2=1<4,所以A(1,3)在圆C内,
    所以,当AC⊥PQ时,|PQ|取得最小值,如图所示,
    此时|AC|=1,|PQ|=2eq \r(22-12)=2eq \r(3),所以A选项错误;
    设B是PQ的中点,eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PQ,\s\up6(→))=eq \(PC,\s\up6(→))·(2eq \(PB,\s\up6(→)))=2|eq \(PC,\s\up6(→))|·|eq \(PB,\s\up6(→))|·cs∠P=2|eq \(PB,\s\up6(→))|2=eq \f(|\(PQ,\s\up6(→))|2,2),由于2eq \r(3)≤|eq \(PQ,\s\up6(→))|≤4,12≤|eq \(PQ,\s\up6(→))|2≤16,所以eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PQ,\s\up6(→))=eq \f(|\(PQ,\s\up6(→))|2,2)∈[6,8],B选项正确;
    eq \(CP,\s\up6(→))·eq \(CQ,\s\up6(→))=|eq \(CP,\s\up6(→))|·|eq \(CQ,\s\up6(→))|·cs∠PCQ=|eq \(CP,\s\up6(→))|·|eq \(CQ,\s\up6(→))|·eq \f(|\(CP,\s\up6(→))|2+|\(CQ,\s\up6(→))|2-|PQ|2,\a\vs4\al(2|\(CP,\s\up6(→))|·|\(CQ,\s\up6(→))|))=eq \f(8-|PQ|2,2).
    由于12≤|eq \(PQ,\s\up6(→))|2≤16,-8≤8-|eq \(PQ,\s\up6(→))|2≤-4,所以eq \(CP,\s\up6(→))·eq \(CQ,\s\up6(→))=eq \f(8-|PQ|2,2)∈[-4,-2],所以eq \(CP,\s\up6(→))·eq \(CQ,\s\up6(→))的最大值为-2,C选项正确;设B(x,y),由题|eq \(AC,\s\up6(→))|2=|eq \(AB,\s\up6(→))|2+|eq \(BC,\s\up6(→))|2即(2-1)2+(3-3)2=(x-1)2+(y-3)2+(x-2)2+(y-3)2→eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(3,2)))eq \s\up12(2)+(y-3)2=eq \f(1,4)→点B在定圆上,D选项正确.故选BCD.
    答案:BCD
    13.解析:因为平面向量a,b满足|a|=|b|=1,又〈a,b〉∈[0,π],
    所以a·b=|a|·|b|cs〈a,b〉=1×1×cs〈a,b〉=cs〈a,b〉∈[-1,1],
    则|a+b|=eq \r((a+b)2)=eq \r(a2+b2+2a·b)=eq \r(2+2a·b),由a·b∈[-1,1],则2+2a·b∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,4)),故|a+b|∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,2)),
    则|a+b|的最小值为0.
    答案:0
    14.解析:
    由图可知,当点M与点B重合时,eq \(OM,\s\up6(→))在eq \(OA,\s\up6(→))上的投影数量最大,
    所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))的最大值为eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))=(-2,1)·(-2,-1)=4-1=3.
    答案:3
    15.解析:由(c-a)·(b-a)=0且|c-a|=|b-a|,
    不妨设c-a=(x,y),b-a=(-y,x),又因为|a|=eq \r(3),|b|=1,
    不妨设a=(eq \r(3),0),则c=(x+eq \r(3),y),b=(eq \r(3)-y,x),
    又|b|=eq \r((\r(3)-y)2+x2)=1,即x2+(y-eq \r(3))2=1;
    所以(x,y)的轨迹是以(0,eq \r(3))为圆心,半径为r=1的圆,
    而|c|=eq \r((x+\r(3))2+y2)表示(x,y)与(-eq \r(3),0)之间的距离,
    显然圆心(0,eq \r(3))与(-eq \r(3),0)之间的距离为d=eq \r(6),
    所以可得d-r≤|c|≤d+r,即|c|的最大值为eq \r(6)+1.
    答案:eq \r(6)+1
    16.解析:如图,以点C为坐标原点建立平面直角坐标系,
    则B(0,-2),D(-2,0),设P(csθ,sinθ),θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π,\f(3π,2))),
    则eq \(DP,\s\up6(→))=(csθ+2,sinθ),eq \(BP,\s\up6(→))=(csθ,sinθ+2),
    则eq \(BP,\s\up6(→))·eq \(DP,\s\up6(→))=csθ(csθ+2)+sinθ(sinθ+2)=2eq \r(2)sin (θ+eq \f(π,4))+1,
    由θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π,\f(3π,2))),得θ+eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,4),\f(7π,4))),
    所以当θ+eq \f(π,4)=eq \f(3π,2),即θ=eq \f(5π,4)时,eq \(BP,\s\up6(→))·eq \(DP,\s\up6(→))取得最小值1-2eq \r(2).
    答案:1-2eq \r(2)
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