新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题20平面向量在圆锥曲线中的应用（附解析）

这是一份新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题20平面向量在圆锥曲线中的应用（附解析），共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l交x轴于点H，过点H的直线与抛物线交于A，B两点，且eq \(HA,\s\up6(→))＝3eq \(HB,\s\up6(→))，则|eq \(FA,\s\up6(→))|＝( )
A．eq \f(4,3)B．4C．4eq \r(3)D．8
2．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，直线l：y＝－eq \f(a,b)(x－2)与渐近线和y轴分别交于点M，E，且eq \(FM,\s\up6(→))＝3eq \(ME,\s\up6(→))，则双曲线C的方程为( )
A．eq \f(x2,7)－eq \f(y2,3)＝1B．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1C．x2－eq \f(y2,3)＝1D．eq \f(x2,3)－y2＝1
3．[2023·黑龙江哈尔滨模拟]已知M，N是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上关于原点O对称的两点，P是椭圆C上异于M，N的点，且eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的最大值是eq \f(1,2)a2，则椭圆C的离心率是( )
A．eq \f(1,3)B．eq \f(1,2)C．eq \f(\r(2),2)D．eq \f(\r(3),3)
4．[2023·河北沧州模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(4，n)(n>0)为C上一点，且|AF|＝5，直线AF交C于另一点B，记坐标原点为O，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝( )
A．5B．－4C．3D．－3
5．[2023·重庆巴南模拟]椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，点M，N满足，，若四边形MONP的周长等于4b，则椭圆C的离心率e＝( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(2),2)C．eq \f(\r(3),2)D．eq \f(\r(6),3)
6．[2023·安徽宿州模拟]已知A，B，C是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上不同的三点，且eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝2eq \(OC,\s\up6(→))，直线AC，BC的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|＋|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为( )
A．eq \f(\r(5),2)B．eq \f(\r(6),2)C．eq \f(3,2)D．2
二、多项选择题
7．已知点M(1，0)，P是圆N：x2＋y2＋2x－15＝0上的动点，G为平面内一点．若直线NP上一点Q满足2eq \(QG,\s\up6(→))＝eq \(QM,\s\up6(→))＋eq \(QP,\s\up6(→))且eq \(QG,\s\up6(→))·eq \(MP,\s\up6(→))＝0，则∠MQN不可能为( )
A．eq \f(π,3)B．eq \f(π,2)C．eq \f(2π,3)D．eq \f(3π,4)
8．[2023·湖北十堰模拟]已知双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0).直线y＝eq \f(\r(3),3)(x＋c)与双曲线左、右两支分别交于A，B两点，M为线段AB的中点，且|AB|＝4，则下列说法正确的有( )
A．双曲线的离心率为eq \f(2\r(3),3)
D．|F1M|＝|F2A|
[答题区]
三、填空题
9．已知A，B，C，D，E为抛物线y＝eq \f(1,4)x2上不同的五点，抛物线焦点为F，满足eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＋eq \(FD,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＝0，则|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|＋|eq \(FD,\s\up6(→))|＋|eq \(FE,\s\up6(→))|＝________．
10．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点P(3c，0)作直线l交椭圆C于M，N两点，若eq \(PM,\s\up6(→))＝2eq \(NM,\s\up6(→))，则椭圆C的离心率为____________．
四、解答题
11．[2023·河北衡水模拟]已知直线l1：y＝2x和直线l2：y＝－2x，过动点E作平行l2的直线交l1于点A，过动点E作平行l1的直线交l2于点B，且四边形OAEB(O为原点)的面积为4.
(1)求动点E的轨迹方程；
(2)当动点E的轨迹的焦点在x轴时，记轨迹为曲线E0，若过点M(1，0)的直线m与曲线E0交于P，Q两点，且与y轴交于点N，若eq \(NM,\s\up6(→))＝λeq \(MP,\s\up6(→))，eq \(NM,\s\up6(→))＝μeq \(MQ,\s\up6(→))，求证：λ＋μ为定值．
解：
12．[2023·山东泰安模拟]已知点M(0，1)和点N(x0，2)(x0>0)之间的距离为2，抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点N，过点M的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，点E，F分别在直线NA，NB上，且eq \(MO,\s\up6(→))＝λ(eq \(NE,\s\up6(→))－eq \(NM,\s\up6(→)))，eq \(MO,\s\up6(→))＝μ(eq \(NF,\s\up6(→))－eq \(NM,\s\up6(→)))(O为坐标原点).
(1)求直线l的倾斜角的取值范围；
(2)求λ＋μ的值．
解：
微专题20 平面向量在圆锥曲线中的应用
1．解析：由抛物线对称性可知，不妨令A，B均在x轴上方，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \(HA,\s\up6(→))＝3eq \(HB,\s\up6(→))可得：y1＝3y2，
设直线HA的方程为：x＝my－1，与y2＝4x联立可得：y2－4my＋4＝0，∴y1y2＝4，
解得y1＝2eq \r(3)，代入y2＝4x可得：x1＝3，∴|eq \(FA,\s\up6(→))|＝x1＋1＝4.故选B.
答案：B
2．解析：双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，直线l：y＝－eq \f(a,b)(x－2)交y轴于点E(0，eq \f(2a,b))，而F(2，0)，
由eq \(FM,\s\up6(→))＝3eq \(ME,\s\up6(→))，得eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OF,\s\up6(→))＝3(eq \(OE,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→)))，即eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(OF,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(OE,\s\up6(→))＝(eq \f(1,2)，eq \f(3a,2b))，
显然点M(eq \f(1,2)，eq \f(3a,2b))在直线y＝eq \f(b,a)x上，则b2＝3a2，又a2＋b2＝4，解得a2＝1，b2＝3，
所以双曲线C的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.故选C.
答案：C
3．解析：由题意知M，N是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上关于原点O对称的两点，
故eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝(eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→)))·(eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→)))＝(eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→)))·(eq \(PO,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→)))＝eq \(PO,\s\up6(→))2－eq \(OM,\s\up6(→))2，
由椭圆的范围可知eq \(PO,\s\up6(→))，eq \(OM,\s\up6(→))∈[b，a]，
故eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的最大值为a2－b2，则a2－b2＝c2＝eq \f(1,2)a2，∴eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，
即椭圆C的离心率是eq \f(\r(2),2).故选C.
答案：C
4．解析：由题意得，抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为x＝－eq \f(p,2)，因为A(4，n)为C上一点，且|AF|＝5，所以|AF|＝4＋eq \f(p,2)＝5，n2＝8p，n>0，解得p＝2，n＝4，
故抛物线C：y2＝4x，焦点为F(1，0)，A(4，4)，所以AF的方程为y＝eq \f(4,3)(x－1)，
代入C：y2＝4x，得eq \f(16,9)(x－1)2＝4x，整理得4x2－17x＋4＝0，解得x＝eq \f(1,4)或x＝4，
因为B为C上一点，则y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(B)) ＝4×eq \f(1,4)，由于A在第一象限，所以yB＝－1，所以B(eq \f(1,4)，－1)，所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝1－4＝－3.故选D.
答案：D
5．解析：因为F1M＝eq \(MP,\s\up6(→))，所以点M为线段PF1的中点，
因为2eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))＋OF2，所以eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→))＝OF2－eq \(ON,\s\up6(→))，
即eq \(PN,\s\up6(→))＝NF2，所以点N为线段PF2的中点，
又因点O为线段F1F2的中点，
所以OM∥PF2且|OM|＝eq \f(1,2)|PF2|，ON∥PF1且|ON|＝eq \f(1,2)|PF1|，
所以四边形MONP的周长为|PF1|＋|PF2|，
又因点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，所以|PF1|＋|PF2|＝2a，
所以2a＝4b，即eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，
故椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(3),2).故选C.
答案：C
6．解析：根据题意，由eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝2eq \(OC,\s\up6(→))可得原点O是AB的中点，所以A，B两点关于原点对称；
不妨设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，C(x0，y0)，因为k1k2≠0，所以x0≠x1，x0≠－x1，
易知k1＝eq \f(y0－y1,x0－x1)，k2＝eq \f(y0＋y1,x0＋x1)，又因为A、B，C都在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，
所以|k1|·|k2|＝eq \f(b2,a2)，由基本不等式可知|k1|＋|k2|≥2eq \r(|k1|·|k2|)＝eq \f(2b,a)，当且仅当|k1|＝|k2|＝eq \f(b,a)时等号成立；
所以eq \f(2b,a)＝1，即a2＝4b2＝4(c2－a2)，可得eq \f(c2,a2)＝eq \f(5,4)，即离心率e＝eq \f(\r(5),2).故选A.
答案：A
7．解析：将圆N化为标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，则N(－1，0)，半径R＝4.由2eq \(QG,\s\up6(→))＝eq \(QM,\s\up6(→))＋eq \(QP,\s\up6(→))，eq \(QG,\s\up6(→))·eq \(MP,\s\up6(→))＝0，知G为MP的中点，且QG⊥PM，
∴|PQ|＝|QM|，∴|QN|＋|QM|＝|QN|＋|QP|＝4.
又∵M(1，0)，
∴|MN|＝2