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物理选择性必修 第二册第一章 磁场第四节 洛伦兹力与现代技术学案
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这是一份物理选择性必修 第二册第一章 磁场第四节 洛伦兹力与现代技术学案，共27页。
3．知道回旋加速器、质谱仪的基本构造、原理及用途；体会逻辑推理思维方法。
知识点一 带电粒子在磁场中的运动(如图所示)
1．实验探究
(1)此装置是洛伦兹力演示仪，它是一个特制的电子射线管，管内下方的电子枪射出的电子束，可以使管内的稀薄的气体发出辉光，从而显示出电子的径迹。
(2)实验现象
①当没有磁场作用时，电子的运动轨迹是直线。
②当电子垂直射入磁场时，电子的运动轨迹是圆弧线。
③结论：增大电子的速度时圆周半径增大，增强磁场的磁感应强度时，圆周半径减小。
2．带电粒子在匀强磁场中的运动
(1)运动条件：不计重力的带电粒子沿着与磁场垂直的方向进入匀强磁场。
(2)洛伦兹力作用：提供带电粒子做圆周运动的向心力，即qvB＝mv2r。
(3)基本公式。
①半径：r＝mvqB；
②周期：T＝2πmqB。
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径和运动速度无关。
3．洛伦兹力的作用效果
洛伦兹力只改变带电粒子速度的方向，不改变带电粒子速度的大小，或者说洛伦兹力对带电粒子不做功，不改变粒子的能量。
知识点二 回旋加速器
1．主要构造：两个D形盒，两个大型电磁铁。
2．原理图
3．工作原理
磁场的作用：带电粒子垂直磁场方向射入磁场时，受到磁场的洛伦兹力作用而做匀速圆周运动。
交变电压的作用：在两D形盒狭缝间产生的周期性变化的电压使带电粒子每经过一次狭缝加速一次。
交变电压的周期(或频率)：与带电粒子在磁场中做圆周运动的周期(或频率)相同。
4．最大动能：由qvB＝mv2R和Ek＝12mv2得Ek＝q2B2R22m(R为D形盒的半径，即粒子在回旋加速器中获得的最大动能与q、m、B、R有关，与加速电压无关)。
5．用途：加速器是使带电粒子获得高能量的装置，是科学家探究物质奥秘的有力工具。
知识点三 质谱仪
1．原理图
2．加速：带电离子进入质谱仪的加速电场，由动能定理得
qU＝12mv2。①
3．偏转：离子进入质谱仪的偏转磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
qvB＝mv2r。②
由①②两式可以求出离子的半径r、质量m＝qB2r22U、比荷qm＝2Ur2B2等。
4．质谱仪的应用：可以测量带电粒子的质量和分析同位素。
1．思考判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径，与粒子的质量和速度无关。(×)
(2)回旋加速器中起加速作用的是磁场。(×)
(3)回旋加速器中起加速作用的是电场，所以加速电压越大，带电粒子获得的最大动能越大。(×)
(4)质谱仪可以分析同位素。(√)
(5)离子进入质谱仪的偏转磁场后洛伦兹力提供向心力。(√)
2．粒子甲的质量与电荷量分别是粒子乙的4倍与2倍，两粒子均带正电荷。让它们在匀强磁场中同一点以大小相等、方向相反的速度开始运动。已知磁场方向垂直于纸面向里。下列四个图中能正确表示两粒子运动轨迹的是( )
A B
C D
A [由洛伦兹力和牛顿第二定律，可得r甲＝m甲vq甲B，r乙＝m乙vq乙B，故r甲r乙＝2。由左手定则判断甲、乙两粒子所受洛伦兹力方向及其运动方向，可知选项A正确。]
3．(多选)质谱仪的构造原理如图所示，从粒子源S出来时的粒子速度很小，可以看作初速度为零，粒子经过电场加速后进入有界的垂直纸面向里的匀强磁场区域，并沿着半圆周运动而达到照相底片上的P点，测得P点到入口的距离为x，则下列说法正确的是( )
A．粒子一定带正电
B．粒子一定带负电
C．x越大，则粒子的质量与电量之比一定越大
D．x越大，则粒子的质量与电量之比一定越小
AC [根据粒子的运动方向和洛伦兹力方向，由左手定则知粒子带正电，故A正确，B错误；根据半径公式r＝mvqB知，x＝2r＝2mvqB，又qU＝12mv2，联立解得x＝ 8mUqB2，知x越大，质量与电荷量的比值越大，故C正确，D错误。]
如图所示的装置叫作洛伦兹力演示仪。玻璃泡内的电子枪(即阴极)发射出阴极射线，使泡内的低压稀薄气体发出辉光，这样就可显示出电子的轨迹。
(1)电子垂直射入磁场时，电子为什么会做圆周运动？向心力由谁提供？
提示：电子进入磁场后受到洛伦兹力，洛伦兹力与速度v垂直，不做功，只改变速度的方向，不改变速度的大小，电子将做圆周运动，此时的洛伦兹力提供向心力。
(2)带电粒子在磁场中运动在现代科技中有哪些应用？
提示：回旋加速器、质谱仪等。
带电粒子在磁场中的运动
1．带电粒子在磁场中的运动问题
(1)轨迹圆心的确定。
①已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，图中P为入射点，M为出射点)。
②已知入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，图中P为入射点，M为出射点)。
(2)半径的确定：用几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小。
(3)运动时间的确定：粒子在匀强磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间表示为t＝α360°T或t=α2πT。也可利用弧长s和线速度v求解，t＝sv。
2．圆心角与偏向角、圆周角的关系
(1)带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角φ叫作偏向角，偏向角等于圆弧PM所对应的圆心角α，即α＝φ，如图所示。
(2)圆弧PM所对应圆心角α等于弦PM与切线的夹角(弦切角)θ的2倍，即α＝2θ，如图所示。
3．带电粒子在有界磁场中的圆周运动的几种常见情形
(1)单直线边界：进出磁场具有对称性，射入和射出磁场时，速度与边界夹角大小相等，如图所示。
(2)平行边界：存在临界条件，如图所示。
(3)圆形边界：沿径向射入必沿径向射出，如图所示。
【典例1】 如图所示，直线MN上方为磁感应强度为B的足够大的匀强磁场，一电子(质量为m、电量为e)以v的速度从点O与MN成30°角的方向射入磁场中，求：
(1)电子从磁场中射出时距O点多远？
(2)电子在磁场中运动的时间是多少？
[思路点拨] 定圆心―→画轨迹―→求半径―→求圆心角
[解析] 设电子在匀强磁场中运动半径为R，射出时与O点距离为d，运动轨迹如图所示。
(1)根据牛顿第二定律知
evB＝mv2R，
由几何关系可得，d＝2R sin 30°，
解得d＝mvBe。
(2)电子在磁场中转过的角度为θ＝60°＝π3，
又周期T＝2πmeB，
因此运动时间t＝θT2π＝π32π·2πmeB＝πm3eB。
[答案] (1)mveB (2)πm3eB
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的解题步骤
(1)画轨迹：先确定圆心，再画出运动轨迹，然后用几何方法求半径。
(2)找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系。
(3)用规律：用牛顿第二定律列方程qvB＝mv2r，及圆周运动规律的一些基本公式。
[跟进训练]
1．(2022·四川棠湖中学高二月考)如图所示，在真空中，有一半径为r的圆形区域内充满垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一带电粒子质量为m、电荷量为q，以某一速度由a点沿半径方向射入磁场，从b点射出磁场时其速度方向改变了60°(粒子的重力可忽略)，试求：
(1)该粒子在磁场中的运动时间t；
(2)该粒子做圆周运动的半径R；
(3)该粒子运动的速度v0。
[解析] 设粒子做圆周运动的半径为R。
(1)粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝mv02R，
而T＝2πRv0，可得T＝2πmqB，速度方向改变60°，即轨迹所对应的圆心角为60°，则该粒子在磁场中的运动时间t＝16T＝πm3qB。
(2)该粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，由几何关系有R＝r·tan 60°＝3r。
(3)由(1)(2)得v0＝qBRm＝3qrBm。
[答案] (1)πm3qB (2)3r (3)3qrBm
回旋加速器
1．速度和周期的特点：在回旋加速器中粒子的速度逐渐增大，但粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝2πmqB始终不变。
2．最大半径及最大速度：粒子的最大半径等于D形盒的半径R＝mvqB，所以最大速度vm＝qBRm。
3．最大动能及决定因素：最大动能Ekm＝12mvm2＝q2B2R22m，即粒子所能达到的最大动能由磁场B、D形盒的半径R、粒子的质量m及带电量q共同决定，与加速电场的电压无关。
4．粒子被加速次数的计算：粒子在回旋加速器盒中被加速的次数n＝EkmqU(U是加速电压大小)，一个周期加速两次。设在电场中加速的时间为t1，缝的宽度为d，则nd＝vm2t1，t1＝2ndvm。
5．粒子在回旋加速器中运动的时间：在磁场中运动的时间t2＝n2T＝nπmqB，总时间为t＝t1＋t2，因为t1≪t2，一般认为在盒内的时间近似等于t2。
【典例2】 回旋加速器是用于加速带电粒子流，使之获得很大动能的仪器，其核心部分是两个D形金属扁盒，两盒分别和一高频交流电源两极相接，以便在盒间狭缝中形成匀强电场，使粒子每穿过狭缝都得到加速；两盒放在匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面。粒子源置于盒的圆心附近，若粒子源射出的粒子电荷量为q，质量为m，粒子最大回旋半径为Rm，其运动轨迹如图所示，问：
(1)粒子在盒内做何种运动？
(2)粒子在两盒间狭缝内做何种运动？
(3)所加交变电压频率为多大？粒子运动角速度多大？
(4)粒子离开加速器时速度多大？
[解析] (1)D形盒由金属导体制成，可屏蔽外电场，因而盒内无电场，盒内存在垂直盒面的磁场，故粒子在盒内磁场中做匀速圆周运动。
(2)两盒间狭缝内存在匀强电场，且粒子速度方向与电场方向在同一条直线上，故粒子做匀加速直线运动。
(3)粒子在电场中运动时间极短，高频交变电压频率要符合粒子回旋频率f＝1T＝qB2πm。
角速度ω＝2πf＝qBm。
(4)粒子最大回旋半径为Rm，由qvB＝mvm2Rm得vm＝qBRmm。
[答案] (1)匀速圆周运动 (2)匀加速直线运动 (3)qB2πm qBm (4)vm＝qBRmm
[跟进训练]
2．(2022·河南宜阳第一高级中学高二期中)回旋加速器是用来加速带电粒子的装置，如图所示。它的核心部分是两个D形金属盒，两盒相距很近，分别和高频交流电源相连接，两盒间的窄缝中形成匀强电场，使带电粒子每次通过窄缝都得到加速。两盒放在匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面，带电粒子在磁场中做圆周运动，通过两盒间的窄缝时反复被加速，直到达到最大圆周半径时通过特殊装置被引出。如果用同一回旋加速器分别加速质子(11H)和α粒子(24He，质量是质子的四倍，电荷量是质子的两倍)，则( )
A．加速质子的交流电源的周期较小，质子获得的最大动能也较小
B．加速质子的交流电源的周期较小，两种粒子获得的最大动能一样大
C．加速质子的交流电源的周期较小，质子获得的最大动能也较大
D．加速质子的交流电源的周期较大，质子获得的最大动能较小
B [只有回旋加速器所加交流电源的周期与粒子在磁场中运动的周期相同时，粒子才能一直被加速，根据周期公式T＝2πmqB，结合质子(11H)和α粒子(24He)可知，加速质子的交流电源的周期较小，而在回旋加速器工作时，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由qvB＝mv2r，得v＝qBrm，带电粒子射出时的动能Ek＝12mv2＝q2B2r22m，可知α粒子和质子获得的最大动能一样大，故选B。]
质谱仪
1．工作原理
(1)带电粒子在电场中加速使粒子获得一定的动能：qU＝mv22。
(2)使加速后的带电粒子垂直射入磁场中，粒子在磁场中受洛伦兹力偏转：x2＝mvqB。
(3)带电粒子的比荷qm＝8UB2x2。
由此可知，带电粒子的比荷与偏转距离x的平方成反比，凡是比荷不相等的粒子都被分开，并按比荷顺序的大小排列，故称之为“质谱仪”。
2．质谱仪的应用
(1)质谱仪最初是由阿斯顿设计的，他用质谱仪发现了氖20和氖22的质谱线，证实了同位素的存在。后来经过多次改进，质谱仪已经是一种测量带电粒子的质量和分析同位素的十分精密的重要仪器。
(2)根据质谱仪的工作原理，我们可以通过粒子打在底片上的位置测出圆周轨迹的半径，进而可以算出粒子的比荷qm或者算出它的质量。
(3)比荷相同的粒子经相同加速电场加速后再进入相同偏转磁场偏转，打到感光底片的位置是相同的。
(4)同位素粒子(即电荷量相同而质量不同的粒子)经相同加速电场加速后再进入相同偏转磁场偏转，偏转半径r∝m。
【典例3】 如图所示，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直。已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l。不计重力影响和离子间的相互作用。求：
(1)磁场的磁感应强度大小；
(2)甲、乙两种离子的比荷之比。
[解析] (1)甲离子经过电场加速，据动能定理有q1U＝12m1v12，
在磁场中偏转，洛伦兹力提供向心力，
有q1v1B＝m1v12R1，
由几何关系可得R1＝l2，
联立方程解得B＝4Uv1l。
(2)乙离子经过电场加速，
同理有q2U＝12m2v22，
q2v2B＝m2v22R2，
R2＝l4，
联立方程可得q1m1∶q2m2＝1∶4。
[答案] (1)4Uv1l (2)1∶4
应用质谱仪的两点注意
(1)质谱仪的原理中包括粒子的加速、受力的平衡(速度选择器)、牛顿第二定律和匀速圆周运动等知识。
(2)分析粒子的运动过程，建立各运动阶段的模型、理清各运动阶段之间的联系，根据带电粒子在不同场区的运动规律列出对应的方程。
[跟进训练]
3．现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图所示，其中加速电压恒定。质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场。若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍。此离子和质子的质量比约为( )
A．11 B．12 C．121 D．144
D [带电粒子在加速电场中运动时，有qU＝12mv2，在磁场中偏转时，其半径r＝mvqB，由以上两式整理得r＝1B2mUq。由于质子与一价正离子的电量相同，B1∶B2＝1∶12，当半径相等时，解得m2m1＝144，故D正确。]
1．(2023·辽宁大连八中高二阶段练习)在方向垂直于纸面向里的匀强磁场的区域中，一垂直磁场方向射入的带电粒子的运动轨迹如图所示，由于带电粒子运动过程中受到空气阻力的作用，因此带电粒子的动能逐渐减小，下列说法正确的是( )
A．粒子带正电，从A点运动到B点
B．粒子带正电，从B点运动到A点
C．粒子带负电，从A点运动到B点
D．粒子带负电，从B点运动到A点
D [带电粒子在磁场中运动，有qvB＝mv2R，解得R＝mvqB，又因为Ek＝12mv2，由题意可知，粒子的动能减小，即粒子的速度在减小，则粒子的半径在减小，所以粒子是从B点运动到A点，根据左手定则可知，该粒子带负电，故A、B、C错误，D正确。]
2．1922年物理学家和化学家阿斯顿因质谱仪的发明、同位素和质谱的研究荣获了诺贝尔化学奖。若速度相同的同一束粒子由左端水平射入质谱仪后的运动轨迹如图所示，不计粒子重力，则下列相关说法正确的是( )
A．该束带电粒子带负电
B．速度选择器的P1极板带负电
C．在B2磁场中运动半径越大的粒子，比荷qm越小
D．在B2磁场中运动半径越大的粒子，质量越大
C [带电粒子在磁场中向下偏转，磁场的方向垂直纸面向外，根据左手定则知，该粒子带正电，故A错误；在平行金属板间，根据左手定则知，带电粒子所受的洛伦兹力方向竖直向上，则电场力的方向竖直向下，知电场强度的方向竖直向下，所以速度选择器的P1极板带正电，故B错误；进入B2磁场中的粒子速度是一定的，根据qvB＝mv2r得r＝mvqB，知r越大，比荷qm越小，而质量m不一定大，故C正确，D错误。]
3．如图所示，一束电子(电量为e)以速度v垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与原来入射方向的夹角是30°，不计电子重力，试计算：
(1)电子的质量；
(2)穿出磁场所需的时间。
[解析] (1)电子在磁场中运动，只受洛伦兹力作用，故其轨迹是圆周的一部分，又因为F⊥v，故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛伦兹力指向的交点，如题图所示的O点。由几何知识可知，CD间圆心角θ＝30°，OD为半径。
r＝dsin30°＝2d，又由r＝mveB得m＝2deBv。
(2)CD间圆心角是30°，故穿过磁场的时间t＝T12，故t＝112×2πmeB＝πd3v。
[答案] (1)2deBv (2)πd3v
回归本节内容，自我完成以下问题：
1．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时的半径公式及周期公式是什么？
提示：qvB＝mv2r，r＝mvqB；T＝2πrv＝2πmqB。
2．回旋加速器的工作原理是什么？
提示：利用电场对带电粒子的加速作用和磁场对运动电荷的偏转作用来获得高能粒子。
3．质谱仪的作用是什么？
提示：质谱仪是测量带电粒子质量、分析同位素的重要工具。电荷量相同、质量不同的粒子打在感光片的不同位置，不同质量对应不同的谱线，称为质谱线。
课时分层作业(三) 洛伦兹力与现代技术
题组一 带电粒子在磁场中的运动
1．(多选)(2022·辽宁卷)粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通过磁场区域后打在探测器上的M点。粒子2经磁场偏转后打在探测器上的N点。装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是( )
A．粒子1可能为中子
B．粒子2可能为电子
C．若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的Q点
D．若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的Q点
AD [由题图可看出粒子1没有偏转，说明粒子1不带电，则粒子1可能为中子；粒子2向上偏转，根据左手定则可知粒子2应该带正电，A正确，B错误；由以上分析可知粒子1为中子，则无论如何增大磁感应强度，粒子1都不会偏转，C错误；粒子2在磁场中洛伦兹力提供向心力有qvB＝mv2r，解得r＝mvqB，可知若增大粒子入射速度，则粒子2的半径增大，粒子2可能打在探测器上的Q点，D正确。]
2．如图所示，在垂直纸面向里的足够大的匀强磁场中，有a、b两个电子从同一处沿垂直磁感线方向开始运动，a的初速度为v，b的初速度为2v。忽略电子重力及两电子间相互作用力，则( )
A．a先回到出发点 B．b先回到出发点
C．a、b同时回到出发点 D．不能确定
C [电子再次回到出发点，所用时间为运动的一个周期。电子在磁场中运动的周期T＝2πmqB，与电子运动速度无关，故C正确。]
3．如图所示，有界匀强磁场边界线SP∥MN，速度不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场，其中穿过a点的粒子速度v1与MN垂直，穿过b点的粒子，其速度方向与MN成60°角，忽略粒子重力及粒子间相互作用力，设两粒子从S到a、b所需的时间分别为t1、t2，则t1∶t2为( )
A．1∶3 B．4∶3
C．1∶1 D．3∶2
D [画出运动轨迹，过a点的粒子转过90°，运动时间为t1＝T4；过b点的粒子转过60°，运动时间t2＝T6，故t1∶t2＝3∶2，故D正确。]
4．如图所示为洛伦兹力演示仪的结构图。励磁线圈产生的匀强磁场方向垂直纸面向外，电子束由电子枪产生，其速度方向与磁场方向垂直。电子速度大小可通过电子枪的加速电压来控制，磁场强弱可通过励磁线圈的电流来调节。下列说法正确的是( )
A．仅增大励磁线圈的电流，电子束径迹的半径变大
B．仅提高电子枪的加速电压，电子束径迹的半径变大
C．仅增大励磁线圈的电流，电子做圆周运动的周期将变大
D．仅提高电子枪的加速电压，电子做圆周运动的周期将变大
B [电子在加速电场中加速，由动能定理有eU＝12mv02①，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有eBv0＝mv02r②，解得r＝mv0eB＝1B2mUe③，T＝2πmeB④，可见增大励磁线圈中的电流，电流产生的磁场增强，由③式可得，电子束的轨道半径变小，由④式知周期变小，故A、C错误；提高电子枪加速电压，电子束的轨道半径变大，周期不变，故B正确，D错误。]
5．(2021·全国乙卷)如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q＞0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°。不计粒子重力，则v1v2为( )
A．12 B．33
C．32 D．3
B [设磁场区域的半径为R，根据几何关系可知，带电粒子以v1射入磁场时，在磁场中运动的轨迹半径r1＝R，带电粒子以v2射入磁场时，在磁场中运动的轨迹半径r2＝Rtan60°2＝3R，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝mv2r，可得r＝mvqB，则r1＝mv1qB，r2＝mv2qB，解得v1v2＝33，故B正确。]
6．如图所示，一个质量为m，电量为－q，不计重力的带电粒子从x轴上的P(a，0)点以速度v，沿与x轴正方向成60°角的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度B；
(2)穿过第一象限的时间。
[解析] (1)作出带电粒子做圆周运动的圆心和轨迹，由图中几何关系知R cs 30°＝a，得R＝23a3，
qvB＝mv2R，
得B＝mvqR＝3mv2qa。
(2)带电粒子在第一象限内运动时间t＝120°360°·2πmqB＝43πa9v。
[答案] (1)3mv2qa (2)43πa9v
题组二 回旋加速器
7．1930年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图所示，这台加速器由两个铜质D形盒D1、D2构成，其间留有空隙，下列说法错误的是( )
A．带电粒子由加速器的中心附近进入加速器
B．带电粒子由加速器的边缘进入加速器
C．电场使带电粒子加速，磁场使带电粒子旋转
D．带电粒子从D形盒射出时的动能与加速电场的电压无关
B [由回旋加速器的加速原理知，被加速粒子只能由加速器的中心附近进入加速器，从边缘离开加速器，故A正确，B错误；由于在磁场中洛伦兹力不做功，而粒子通过电场时有qU＝12mv2，所以粒子是从电场中获得能量，故C正确；当粒子离开回旋加速器时，半径最大，动能最大，根据半径公式r＝mvqB知，v＝qrBm，则粒子的最大动能Ek＝12mv2＝B2q2r22m，与加速电场的电压无关，故D正确。]
题组三 质谱仪
8．(2022·湖北黄冈中学高二期中)现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的粒子，其示意图如图所示，其中加速电压恒定。质子(11H)在入口处从静止开始被电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场。若换作α粒子(24He)在入口处从静止开始被同一电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的倍数是( )
A．22 B．2
C．2 D．12
B [在电场中的直线加速过程根据动能定理得qU＝12mv2－0，得v＝2qUm，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有qvB＝mv2R，有R＝mvqB，联立可得B＝2mUqR2，质子与α粒子经同一加速电场则U相同，从同一出口离开磁场则R相同，则B∝mq，可得BαBH＝42×11＝2，即Bα＝2BH，故选B。]
9．(多选)如图所示是质谱仪的工作原理示意图，带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器。速度选择器内相互正交的匀强磁场的磁感应强度和匀强电场的场强分别为B和E。平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒子位置的胶片A1A2。平板S下方有磁感应强度为B0的匀强磁场，不计粒子重力。下列表述正确的是( )
A．质谱仪是分析同位素的重要工具
B．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外
C．能通过狭缝P的带电粒子的速率等于EB
D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的比荷越小
ABC [质谱仪是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具，故A正确；速度选择器中静电力与洛伦兹力是一对平衡力，即qvB＝qE，故v＝EB，故C正确；根据粒子在平板下方的匀强磁场中的偏转方向可知粒子带正电，则在速度选择器中粒子所受洛伦兹力方向向左，根据左手定则可以确定，速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外，故B正确；粒子在匀强磁场中运动的半径r＝mvqB，即粒子的比荷qm＝vBr，由此看出粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子运动的半径越小，粒子的比荷越大，故D错误。]
10．(多选)如图所示，两个匀强磁场的方向相同，磁感应强度分别为B1、B2，虚线MN为理想边界。现有一个质量为m、电量为e的电子以垂直于边界MN的速度v由P点沿垂直于磁场的方向射入磁感应强度为B1的匀强磁场中，其运动轨迹为图中虚线所示的心形图线不计电子重力，下列说法正确的是( )
A．电子的运动轨迹为P→D→M→C→N→E→P
B．电子运动一周回到P点所用的时间T＝2πmeB1
C．B1＝4B2
D．B1＝2B2
AD [由左手定则可知，电子在P点所受的洛伦兹力的方向向上，轨迹为P→D→M→C→N→E→P，故A正确；由题图得两磁场中轨迹圆的半径比为1∶2，由半径r＝mvqB可得B1B2＝2，故C错误，D正确；运动一周的时间t＝T1＋T22＝2πmeB1+πmeB2＝4πmeB1，故B错误。]
11．(2022·四川华阳高二期中)如图所示，从S处发出的热电子经加速电压U加速后垂直进入相互垂直的匀强电场和匀强磁场中，发现电子流向下极板偏转；设两极板间电场强度为E，磁感应强度为B；不计粒子重力，欲使电子沿直线从电场和磁场区域通过，只采取下列措施，其中可行的是( )
A．适当增大电场强度E
B．适当增大磁感应强度
C．适当减小加速电场两极板之间的距离
D．适当增大加速电压U
A [初始时，电子在混合场中向下偏转，故电子刚进入磁场时，对其受力分析可知evB＞eE，要使电子沿直线从电场和磁场区域通过，则要使电子刚进入磁场时，所受电场力和洛伦兹力大小相等。所以可以减小电子所受洛伦兹力，或者增大电子所受电场力。适当增大电场强度E，则可适当增大电子在混合场中所受电场力，则电子可以受力平衡。故A正确；适当增大磁感应强度，则增大电子在混合场中所受洛伦兹力，则电子受力不平衡，故B错误；设电子经过电场后的速度为v，则根据功能关系可得eU＝12mv2，可知适当增大加速电压U，电子进入混合场的初速度变大，电子在混合场中所受洛伦兹力变大，则电子受力不平衡，由上式可知，电子进入混合场的初速度与加速电场两极板之间的距离无关，故没有改变电子在混合场中所受电场力和洛伦兹力大小，故C、D错误。]
12．如图所示，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ为电场和磁场的理想边界，一束电子(电量为e，质量为m，重力不计)由静止状态从P点经过Ⅰ、Ⅱ间的电场加速后垂直到达边界Ⅱ的Q点，匀强磁场的磁感应强度为B，磁场边界宽度为d，电子从磁场边界Ⅲ穿出时的速度方向与电子原来的入射方向夹角为30°。求：
(1)电子在磁场中运动的时间t；
(2)若改变PQ间的电势差，使电子刚好不能从边界Ⅲ射出，则此时PQ间的电势差U是多少？
[解析] (1)由洛伦兹力提供向心力可得evB＝mv2R，且T＝2πRv，
得电子在磁场中运动周期T＝2πmeB，
由几何关系知电子在磁场中运动时间
t＝30°360°T＝112T＝πm6eB。
(2)电子刚好不从边界Ⅲ穿出时轨迹与边界相切，运动半径为R＝d，
由evB＝mv2R得v＝eBdm，
电子在PQ间由动能定理得eU＝12mv2－0，
解得U＝eB2d22m。
[答案] (1)πm6eB (2)eB2d22m
13．回旋加速器的工作原理如图甲所示，置于真空中的D形金属盒半径为R，两盒间狭缝的间距为d，磁感应强度为B的匀强磁场与盒底面垂直，被加速粒子的质量为m，电量为＋q，加在狭缝间的交变电压如图乙所示，电压的大小为U0，周期T＝2πmqB。一束该种粒子在t＝0～T2时间内从A处均匀地飘入狭缝，其初速度视为零。现考虑粒子在狭缝中的运动时间，假设能够出射的粒子每次经过狭缝均做加速运动，不考虑粒子重力及粒子间的相互作用。求：
(1)出射粒子的动能Em；
(2)粒子从飘入狭缝至动能达到Em所需的总时间t0。
[解析] (1)粒子运动半径为R时
qvB＝mv2R，
且Em＝12mv2，
解得Em＝q2B2R22m。
(2)粒子被加速n次达到动能Em，则Em＝nqU0，
粒子在狭缝间做匀加速运动，设n次经过狭缝的总时间为Δt，加速度a＝qU0md，匀加速直线运动有nd＝12a·Δt2，
由t0＝(n－1)·T2＋Δt，
解得t0＝πBR2+2BRd2U0-πmqB。
[答案] (1)q2B2R22m (2)πBR2+2BRd2U0-πmqB
3．知道回旋加速器、质谱仪的基本构造、原理及用途；体会逻辑推理思维方法。
知识点一 带电粒子在磁场中的运动(如图所示)
1．实验探究
(1)此装置是洛伦兹力演示仪，它是一个特制的电子射线管，管内下方的电子枪射出的电子束，可以使管内的稀薄的气体发出辉光，从而显示出电子的径迹。
(2)实验现象
①当没有磁场作用时，电子的运动轨迹是直线。
②当电子垂直射入磁场时，电子的运动轨迹是圆弧线。
③结论：增大电子的速度时圆周半径增大，增强磁场的磁感应强度时，圆周半径减小。
2．带电粒子在匀强磁场中的运动
(1)运动条件：不计重力的带电粒子沿着与磁场垂直的方向进入匀强磁场。
(2)洛伦兹力作用：提供带电粒子做圆周运动的向心力，即qvB＝mv2r。
(3)基本公式。
①半径：r＝mvqB；
②周期：T＝2πmqB。
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径和运动速度无关。
3．洛伦兹力的作用效果
洛伦兹力只改变带电粒子速度的方向，不改变带电粒子速度的大小，或者说洛伦兹力对带电粒子不做功，不改变粒子的能量。
知识点二 回旋加速器
1．主要构造：两个D形盒，两个大型电磁铁。
2．原理图
3．工作原理
磁场的作用：带电粒子垂直磁场方向射入磁场时，受到磁场的洛伦兹力作用而做匀速圆周运动。
交变电压的作用：在两D形盒狭缝间产生的周期性变化的电压使带电粒子每经过一次狭缝加速一次。
交变电压的周期(或频率)：与带电粒子在磁场中做圆周运动的周期(或频率)相同。
4．最大动能：由qvB＝mv2R和Ek＝12mv2得Ek＝q2B2R22m(R为D形盒的半径，即粒子在回旋加速器中获得的最大动能与q、m、B、R有关，与加速电压无关)。
5．用途：加速器是使带电粒子获得高能量的装置，是科学家探究物质奥秘的有力工具。
知识点三 质谱仪
1．原理图
2．加速：带电离子进入质谱仪的加速电场，由动能定理得
qU＝12mv2。①
3．偏转：离子进入质谱仪的偏转磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
qvB＝mv2r。②
由①②两式可以求出离子的半径r、质量m＝qB2r22U、比荷qm＝2Ur2B2等。
4．质谱仪的应用：可以测量带电粒子的质量和分析同位素。
1．思考判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径，与粒子的质量和速度无关。(×)
(2)回旋加速器中起加速作用的是磁场。(×)
(3)回旋加速器中起加速作用的是电场，所以加速电压越大，带电粒子获得的最大动能越大。(×)
(4)质谱仪可以分析同位素。(√)
(5)离子进入质谱仪的偏转磁场后洛伦兹力提供向心力。(√)
2．粒子甲的质量与电荷量分别是粒子乙的4倍与2倍，两粒子均带正电荷。让它们在匀强磁场中同一点以大小相等、方向相反的速度开始运动。已知磁场方向垂直于纸面向里。下列四个图中能正确表示两粒子运动轨迹的是( )
A B
C D
A [由洛伦兹力和牛顿第二定律，可得r甲＝m甲vq甲B，r乙＝m乙vq乙B，故r甲r乙＝2。由左手定则判断甲、乙两粒子所受洛伦兹力方向及其运动方向，可知选项A正确。]
3．(多选)质谱仪的构造原理如图所示，从粒子源S出来时的粒子速度很小，可以看作初速度为零，粒子经过电场加速后进入有界的垂直纸面向里的匀强磁场区域，并沿着半圆周运动而达到照相底片上的P点，测得P点到入口的距离为x，则下列说法正确的是( )
A．粒子一定带正电
B．粒子一定带负电
C．x越大，则粒子的质量与电量之比一定越大
D．x越大，则粒子的质量与电量之比一定越小
AC [根据粒子的运动方向和洛伦兹力方向，由左手定则知粒子带正电，故A正确，B错误；根据半径公式r＝mvqB知，x＝2r＝2mvqB，又qU＝12mv2，联立解得x＝ 8mUqB2，知x越大，质量与电荷量的比值越大，故C正确，D错误。]
如图所示的装置叫作洛伦兹力演示仪。玻璃泡内的电子枪(即阴极)发射出阴极射线，使泡内的低压稀薄气体发出辉光，这样就可显示出电子的轨迹。
(1)电子垂直射入磁场时，电子为什么会做圆周运动？向心力由谁提供？
提示：电子进入磁场后受到洛伦兹力，洛伦兹力与速度v垂直，不做功，只改变速度的方向，不改变速度的大小，电子将做圆周运动，此时的洛伦兹力提供向心力。
(2)带电粒子在磁场中运动在现代科技中有哪些应用？
提示：回旋加速器、质谱仪等。
带电粒子在磁场中的运动
1．带电粒子在磁场中的运动问题
(1)轨迹圆心的确定。
①已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，图中P为入射点，M为出射点)。
②已知入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，图中P为入射点，M为出射点)。
(2)半径的确定：用几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小。
(3)运动时间的确定：粒子在匀强磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间表示为t＝α360°T或t=α2πT。也可利用弧长s和线速度v求解，t＝sv。
2．圆心角与偏向角、圆周角的关系
(1)带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角φ叫作偏向角，偏向角等于圆弧PM所对应的圆心角α，即α＝φ，如图所示。
(2)圆弧PM所对应圆心角α等于弦PM与切线的夹角(弦切角)θ的2倍，即α＝2θ，如图所示。
3．带电粒子在有界磁场中的圆周运动的几种常见情形
(1)单直线边界：进出磁场具有对称性，射入和射出磁场时，速度与边界夹角大小相等，如图所示。
(2)平行边界：存在临界条件，如图所示。
(3)圆形边界：沿径向射入必沿径向射出，如图所示。
【典例1】 如图所示，直线MN上方为磁感应强度为B的足够大的匀强磁场，一电子(质量为m、电量为e)以v的速度从点O与MN成30°角的方向射入磁场中，求：
(1)电子从磁场中射出时距O点多远？
(2)电子在磁场中运动的时间是多少？
[思路点拨] 定圆心―→画轨迹―→求半径―→求圆心角
[解析] 设电子在匀强磁场中运动半径为R，射出时与O点距离为d，运动轨迹如图所示。
(1)根据牛顿第二定律知
evB＝mv2R，
由几何关系可得，d＝2R sin 30°，
解得d＝mvBe。
(2)电子在磁场中转过的角度为θ＝60°＝π3，
又周期T＝2πmeB，
因此运动时间t＝θT2π＝π32π·2πmeB＝πm3eB。
[答案] (1)mveB (2)πm3eB
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的解题步骤
(1)画轨迹：先确定圆心，再画出运动轨迹，然后用几何方法求半径。
(2)找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系。
(3)用规律：用牛顿第二定律列方程qvB＝mv2r，及圆周运动规律的一些基本公式。
[跟进训练]
1．(2022·四川棠湖中学高二月考)如图所示，在真空中，有一半径为r的圆形区域内充满垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一带电粒子质量为m、电荷量为q，以某一速度由a点沿半径方向射入磁场，从b点射出磁场时其速度方向改变了60°(粒子的重力可忽略)，试求：
(1)该粒子在磁场中的运动时间t；
(2)该粒子做圆周运动的半径R；
(3)该粒子运动的速度v0。
[解析] 设粒子做圆周运动的半径为R。
(1)粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝mv02R，
而T＝2πRv0，可得T＝2πmqB，速度方向改变60°，即轨迹所对应的圆心角为60°，则该粒子在磁场中的运动时间t＝16T＝πm3qB。
(2)该粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，由几何关系有R＝r·tan 60°＝3r。
(3)由(1)(2)得v0＝qBRm＝3qrBm。
[答案] (1)πm3qB (2)3r (3)3qrBm
回旋加速器
1．速度和周期的特点：在回旋加速器中粒子的速度逐渐增大，但粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝2πmqB始终不变。
2．最大半径及最大速度：粒子的最大半径等于D形盒的半径R＝mvqB，所以最大速度vm＝qBRm。
3．最大动能及决定因素：最大动能Ekm＝12mvm2＝q2B2R22m，即粒子所能达到的最大动能由磁场B、D形盒的半径R、粒子的质量m及带电量q共同决定，与加速电场的电压无关。
4．粒子被加速次数的计算：粒子在回旋加速器盒中被加速的次数n＝EkmqU(U是加速电压大小)，一个周期加速两次。设在电场中加速的时间为t1，缝的宽度为d，则nd＝vm2t1，t1＝2ndvm。
5．粒子在回旋加速器中运动的时间：在磁场中运动的时间t2＝n2T＝nπmqB，总时间为t＝t1＋t2，因为t1≪t2，一般认为在盒内的时间近似等于t2。
【典例2】 回旋加速器是用于加速带电粒子流，使之获得很大动能的仪器，其核心部分是两个D形金属扁盒，两盒分别和一高频交流电源两极相接，以便在盒间狭缝中形成匀强电场，使粒子每穿过狭缝都得到加速；两盒放在匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面。粒子源置于盒的圆心附近，若粒子源射出的粒子电荷量为q，质量为m，粒子最大回旋半径为Rm，其运动轨迹如图所示，问：
(1)粒子在盒内做何种运动？
(2)粒子在两盒间狭缝内做何种运动？
(3)所加交变电压频率为多大？粒子运动角速度多大？
(4)粒子离开加速器时速度多大？
[解析] (1)D形盒由金属导体制成，可屏蔽外电场，因而盒内无电场，盒内存在垂直盒面的磁场，故粒子在盒内磁场中做匀速圆周运动。
(2)两盒间狭缝内存在匀强电场，且粒子速度方向与电场方向在同一条直线上，故粒子做匀加速直线运动。
(3)粒子在电场中运动时间极短，高频交变电压频率要符合粒子回旋频率f＝1T＝qB2πm。
角速度ω＝2πf＝qBm。
(4)粒子最大回旋半径为Rm，由qvB＝mvm2Rm得vm＝qBRmm。
[答案] (1)匀速圆周运动 (2)匀加速直线运动 (3)qB2πm qBm (4)vm＝qBRmm
[跟进训练]
2．(2022·河南宜阳第一高级中学高二期中)回旋加速器是用来加速带电粒子的装置，如图所示。它的核心部分是两个D形金属盒，两盒相距很近，分别和高频交流电源相连接，两盒间的窄缝中形成匀强电场，使带电粒子每次通过窄缝都得到加速。两盒放在匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面，带电粒子在磁场中做圆周运动，通过两盒间的窄缝时反复被加速，直到达到最大圆周半径时通过特殊装置被引出。如果用同一回旋加速器分别加速质子(11H)和α粒子(24He，质量是质子的四倍，电荷量是质子的两倍)，则( )
A．加速质子的交流电源的周期较小，质子获得的最大动能也较小
B．加速质子的交流电源的周期较小，两种粒子获得的最大动能一样大
C．加速质子的交流电源的周期较小，质子获得的最大动能也较大
D．加速质子的交流电源的周期较大，质子获得的最大动能较小
B [只有回旋加速器所加交流电源的周期与粒子在磁场中运动的周期相同时，粒子才能一直被加速，根据周期公式T＝2πmqB，结合质子(11H)和α粒子(24He)可知，加速质子的交流电源的周期较小，而在回旋加速器工作时，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由qvB＝mv2r，得v＝qBrm，带电粒子射出时的动能Ek＝12mv2＝q2B2r22m，可知α粒子和质子获得的最大动能一样大，故选B。]
质谱仪
1．工作原理
(1)带电粒子在电场中加速使粒子获得一定的动能：qU＝mv22。
(2)使加速后的带电粒子垂直射入磁场中，粒子在磁场中受洛伦兹力偏转：x2＝mvqB。
(3)带电粒子的比荷qm＝8UB2x2。
由此可知，带电粒子的比荷与偏转距离x的平方成反比，凡是比荷不相等的粒子都被分开，并按比荷顺序的大小排列，故称之为“质谱仪”。
2．质谱仪的应用
(1)质谱仪最初是由阿斯顿设计的，他用质谱仪发现了氖20和氖22的质谱线，证实了同位素的存在。后来经过多次改进，质谱仪已经是一种测量带电粒子的质量和分析同位素的十分精密的重要仪器。
(2)根据质谱仪的工作原理，我们可以通过粒子打在底片上的位置测出圆周轨迹的半径，进而可以算出粒子的比荷qm或者算出它的质量。
(3)比荷相同的粒子经相同加速电场加速后再进入相同偏转磁场偏转，打到感光底片的位置是相同的。
(4)同位素粒子(即电荷量相同而质量不同的粒子)经相同加速电场加速后再进入相同偏转磁场偏转，偏转半径r∝m。
【典例3】 如图所示，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直。已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l。不计重力影响和离子间的相互作用。求：
(1)磁场的磁感应强度大小；
(2)甲、乙两种离子的比荷之比。
[解析] (1)甲离子经过电场加速，据动能定理有q1U＝12m1v12，
在磁场中偏转，洛伦兹力提供向心力，
有q1v1B＝m1v12R1，
由几何关系可得R1＝l2，
联立方程解得B＝4Uv1l。
(2)乙离子经过电场加速，
同理有q2U＝12m2v22，
q2v2B＝m2v22R2，
R2＝l4，
联立方程可得q1m1∶q2m2＝1∶4。
[答案] (1)4Uv1l (2)1∶4
应用质谱仪的两点注意
(1)质谱仪的原理中包括粒子的加速、受力的平衡(速度选择器)、牛顿第二定律和匀速圆周运动等知识。
(2)分析粒子的运动过程，建立各运动阶段的模型、理清各运动阶段之间的联系，根据带电粒子在不同场区的运动规律列出对应的方程。
[跟进训练]
3．现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图所示，其中加速电压恒定。质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场。若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍。此离子和质子的质量比约为( )
A．11 B．12 C．121 D．144
D [带电粒子在加速电场中运动时，有qU＝12mv2，在磁场中偏转时，其半径r＝mvqB，由以上两式整理得r＝1B2mUq。由于质子与一价正离子的电量相同，B1∶B2＝1∶12，当半径相等时，解得m2m1＝144，故D正确。]
1．(2023·辽宁大连八中高二阶段练习)在方向垂直于纸面向里的匀强磁场的区域中，一垂直磁场方向射入的带电粒子的运动轨迹如图所示，由于带电粒子运动过程中受到空气阻力的作用，因此带电粒子的动能逐渐减小，下列说法正确的是( )
A．粒子带正电，从A点运动到B点
B．粒子带正电，从B点运动到A点
C．粒子带负电，从A点运动到B点
D．粒子带负电，从B点运动到A点
D [带电粒子在磁场中运动，有qvB＝mv2R，解得R＝mvqB，又因为Ek＝12mv2，由题意可知，粒子的动能减小，即粒子的速度在减小，则粒子的半径在减小，所以粒子是从B点运动到A点，根据左手定则可知，该粒子带负电，故A、B、C错误，D正确。]
2．1922年物理学家和化学家阿斯顿因质谱仪的发明、同位素和质谱的研究荣获了诺贝尔化学奖。若速度相同的同一束粒子由左端水平射入质谱仪后的运动轨迹如图所示，不计粒子重力，则下列相关说法正确的是( )
A．该束带电粒子带负电
B．速度选择器的P1极板带负电
C．在B2磁场中运动半径越大的粒子，比荷qm越小
D．在B2磁场中运动半径越大的粒子，质量越大
C [带电粒子在磁场中向下偏转，磁场的方向垂直纸面向外，根据左手定则知，该粒子带正电，故A错误；在平行金属板间，根据左手定则知，带电粒子所受的洛伦兹力方向竖直向上，则电场力的方向竖直向下，知电场强度的方向竖直向下，所以速度选择器的P1极板带正电，故B错误；进入B2磁场中的粒子速度是一定的，根据qvB＝mv2r得r＝mvqB，知r越大，比荷qm越小，而质量m不一定大，故C正确，D错误。]
3．如图所示，一束电子(电量为e)以速度v垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与原来入射方向的夹角是30°，不计电子重力，试计算：
(1)电子的质量；
(2)穿出磁场所需的时间。
[解析] (1)电子在磁场中运动，只受洛伦兹力作用，故其轨迹是圆周的一部分，又因为F⊥v，故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛伦兹力指向的交点，如题图所示的O点。由几何知识可知，CD间圆心角θ＝30°，OD为半径。
r＝dsin30°＝2d，又由r＝mveB得m＝2deBv。
(2)CD间圆心角是30°，故穿过磁场的时间t＝T12，故t＝112×2πmeB＝πd3v。
[答案] (1)2deBv (2)πd3v
回归本节内容，自我完成以下问题：
1．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时的半径公式及周期公式是什么？
提示：qvB＝mv2r，r＝mvqB；T＝2πrv＝2πmqB。
2．回旋加速器的工作原理是什么？
提示：利用电场对带电粒子的加速作用和磁场对运动电荷的偏转作用来获得高能粒子。
3．质谱仪的作用是什么？
提示：质谱仪是测量带电粒子质量、分析同位素的重要工具。电荷量相同、质量不同的粒子打在感光片的不同位置，不同质量对应不同的谱线，称为质谱线。
课时分层作业(三) 洛伦兹力与现代技术
题组一 带电粒子在磁场中的运动
1．(多选)(2022·辽宁卷)粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通过磁场区域后打在探测器上的M点。粒子2经磁场偏转后打在探测器上的N点。装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是( )
A．粒子1可能为中子
B．粒子2可能为电子
C．若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的Q点
D．若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的Q点
AD [由题图可看出粒子1没有偏转，说明粒子1不带电，则粒子1可能为中子；粒子2向上偏转，根据左手定则可知粒子2应该带正电，A正确，B错误；由以上分析可知粒子1为中子，则无论如何增大磁感应强度，粒子1都不会偏转，C错误；粒子2在磁场中洛伦兹力提供向心力有qvB＝mv2r，解得r＝mvqB，可知若增大粒子入射速度，则粒子2的半径增大，粒子2可能打在探测器上的Q点，D正确。]
2．如图所示，在垂直纸面向里的足够大的匀强磁场中，有a、b两个电子从同一处沿垂直磁感线方向开始运动，a的初速度为v，b的初速度为2v。忽略电子重力及两电子间相互作用力，则( )
A．a先回到出发点 B．b先回到出发点
C．a、b同时回到出发点 D．不能确定
C [电子再次回到出发点，所用时间为运动的一个周期。电子在磁场中运动的周期T＝2πmqB，与电子运动速度无关，故C正确。]
3．如图所示，有界匀强磁场边界线SP∥MN，速度不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场，其中穿过a点的粒子速度v1与MN垂直，穿过b点的粒子，其速度方向与MN成60°角，忽略粒子重力及粒子间相互作用力，设两粒子从S到a、b所需的时间分别为t1、t2，则t1∶t2为( )
A．1∶3 B．4∶3
C．1∶1 D．3∶2
D [画出运动轨迹，过a点的粒子转过90°，运动时间为t1＝T4；过b点的粒子转过60°，运动时间t2＝T6，故t1∶t2＝3∶2，故D正确。]
4．如图所示为洛伦兹力演示仪的结构图。励磁线圈产生的匀强磁场方向垂直纸面向外，电子束由电子枪产生，其速度方向与磁场方向垂直。电子速度大小可通过电子枪的加速电压来控制，磁场强弱可通过励磁线圈的电流来调节。下列说法正确的是( )
A．仅增大励磁线圈的电流，电子束径迹的半径变大
B．仅提高电子枪的加速电压，电子束径迹的半径变大
C．仅增大励磁线圈的电流，电子做圆周运动的周期将变大
D．仅提高电子枪的加速电压，电子做圆周运动的周期将变大
B [电子在加速电场中加速，由动能定理有eU＝12mv02①，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有eBv0＝mv02r②，解得r＝mv0eB＝1B2mUe③，T＝2πmeB④，可见增大励磁线圈中的电流，电流产生的磁场增强，由③式可得，电子束的轨道半径变小，由④式知周期变小，故A、C错误；提高电子枪加速电压，电子束的轨道半径变大，周期不变，故B正确，D错误。]
5．(2021·全国乙卷)如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q＞0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°。不计粒子重力，则v1v2为( )
A．12 B．33
C．32 D．3
B [设磁场区域的半径为R，根据几何关系可知，带电粒子以v1射入磁场时，在磁场中运动的轨迹半径r1＝R，带电粒子以v2射入磁场时，在磁场中运动的轨迹半径r2＝Rtan60°2＝3R，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝mv2r，可得r＝mvqB，则r1＝mv1qB，r2＝mv2qB，解得v1v2＝33，故B正确。]
6．如图所示，一个质量为m，电量为－q，不计重力的带电粒子从x轴上的P(a，0)点以速度v，沿与x轴正方向成60°角的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度B；
(2)穿过第一象限的时间。
[解析] (1)作出带电粒子做圆周运动的圆心和轨迹，由图中几何关系知R cs 30°＝a，得R＝23a3，
qvB＝mv2R，
得B＝mvqR＝3mv2qa。
(2)带电粒子在第一象限内运动时间t＝120°360°·2πmqB＝43πa9v。
[答案] (1)3mv2qa (2)43πa9v
题组二 回旋加速器
7．1930年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图所示，这台加速器由两个铜质D形盒D1、D2构成，其间留有空隙，下列说法错误的是( )
A．带电粒子由加速器的中心附近进入加速器
B．带电粒子由加速器的边缘进入加速器
C．电场使带电粒子加速，磁场使带电粒子旋转
D．带电粒子从D形盒射出时的动能与加速电场的电压无关
B [由回旋加速器的加速原理知，被加速粒子只能由加速器的中心附近进入加速器，从边缘离开加速器，故A正确，B错误；由于在磁场中洛伦兹力不做功，而粒子通过电场时有qU＝12mv2，所以粒子是从电场中获得能量，故C正确；当粒子离开回旋加速器时，半径最大，动能最大，根据半径公式r＝mvqB知，v＝qrBm，则粒子的最大动能Ek＝12mv2＝B2q2r22m，与加速电场的电压无关，故D正确。]
题组三 质谱仪
8．(2022·湖北黄冈中学高二期中)现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的粒子，其示意图如图所示，其中加速电压恒定。质子(11H)在入口处从静止开始被电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场。若换作α粒子(24He)在入口处从静止开始被同一电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的倍数是( )
A．22 B．2
C．2 D．12
B [在电场中的直线加速过程根据动能定理得qU＝12mv2－0，得v＝2qUm，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有qvB＝mv2R，有R＝mvqB，联立可得B＝2mUqR2，质子与α粒子经同一加速电场则U相同，从同一出口离开磁场则R相同，则B∝mq，可得BαBH＝42×11＝2，即Bα＝2BH，故选B。]
9．(多选)如图所示是质谱仪的工作原理示意图，带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器。速度选择器内相互正交的匀强磁场的磁感应强度和匀强电场的场强分别为B和E。平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒子位置的胶片A1A2。平板S下方有磁感应强度为B0的匀强磁场，不计粒子重力。下列表述正确的是( )
A．质谱仪是分析同位素的重要工具
B．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外
C．能通过狭缝P的带电粒子的速率等于EB
D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的比荷越小
ABC [质谱仪是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具，故A正确；速度选择器中静电力与洛伦兹力是一对平衡力，即qvB＝qE，故v＝EB，故C正确；根据粒子在平板下方的匀强磁场中的偏转方向可知粒子带正电，则在速度选择器中粒子所受洛伦兹力方向向左，根据左手定则可以确定，速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外，故B正确；粒子在匀强磁场中运动的半径r＝mvqB，即粒子的比荷qm＝vBr，由此看出粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子运动的半径越小，粒子的比荷越大，故D错误。]
10．(多选)如图所示，两个匀强磁场的方向相同，磁感应强度分别为B1、B2，虚线MN为理想边界。现有一个质量为m、电量为e的电子以垂直于边界MN的速度v由P点沿垂直于磁场的方向射入磁感应强度为B1的匀强磁场中，其运动轨迹为图中虚线所示的心形图线不计电子重力，下列说法正确的是( )
A．电子的运动轨迹为P→D→M→C→N→E→P
B．电子运动一周回到P点所用的时间T＝2πmeB1
C．B1＝4B2
D．B1＝2B2
AD [由左手定则可知，电子在P点所受的洛伦兹力的方向向上，轨迹为P→D→M→C→N→E→P，故A正确；由题图得两磁场中轨迹圆的半径比为1∶2，由半径r＝mvqB可得B1B2＝2，故C错误，D正确；运动一周的时间t＝T1＋T22＝2πmeB1+πmeB2＝4πmeB1，故B错误。]
11．(2022·四川华阳高二期中)如图所示，从S处发出的热电子经加速电压U加速后垂直进入相互垂直的匀强电场和匀强磁场中，发现电子流向下极板偏转；设两极板间电场强度为E，磁感应强度为B；不计粒子重力，欲使电子沿直线从电场和磁场区域通过，只采取下列措施，其中可行的是( )
A．适当增大电场强度E
B．适当增大磁感应强度
C．适当减小加速电场两极板之间的距离
D．适当增大加速电压U
A [初始时，电子在混合场中向下偏转，故电子刚进入磁场时，对其受力分析可知evB＞eE，要使电子沿直线从电场和磁场区域通过，则要使电子刚进入磁场时，所受电场力和洛伦兹力大小相等。所以可以减小电子所受洛伦兹力，或者增大电子所受电场力。适当增大电场强度E，则可适当增大电子在混合场中所受电场力，则电子可以受力平衡。故A正确；适当增大磁感应强度，则增大电子在混合场中所受洛伦兹力，则电子受力不平衡，故B错误；设电子经过电场后的速度为v，则根据功能关系可得eU＝12mv2，可知适当增大加速电压U，电子进入混合场的初速度变大，电子在混合场中所受洛伦兹力变大，则电子受力不平衡，由上式可知，电子进入混合场的初速度与加速电场两极板之间的距离无关，故没有改变电子在混合场中所受电场力和洛伦兹力大小，故C、D错误。]
12．如图所示，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ为电场和磁场的理想边界，一束电子(电量为e，质量为m，重力不计)由静止状态从P点经过Ⅰ、Ⅱ间的电场加速后垂直到达边界Ⅱ的Q点，匀强磁场的磁感应强度为B，磁场边界宽度为d，电子从磁场边界Ⅲ穿出时的速度方向与电子原来的入射方向夹角为30°。求：
(1)电子在磁场中运动的时间t；
(2)若改变PQ间的电势差，使电子刚好不能从边界Ⅲ射出，则此时PQ间的电势差U是多少？
[解析] (1)由洛伦兹力提供向心力可得evB＝mv2R，且T＝2πRv，
得电子在磁场中运动周期T＝2πmeB，
由几何关系知电子在磁场中运动时间
t＝30°360°T＝112T＝πm6eB。
(2)电子刚好不从边界Ⅲ穿出时轨迹与边界相切，运动半径为R＝d，
由evB＝mv2R得v＝eBdm，
电子在PQ间由动能定理得eU＝12mv2－0，
解得U＝eB2d22m。
[答案] (1)πm6eB (2)eB2d22m
13．回旋加速器的工作原理如图甲所示，置于真空中的D形金属盒半径为R，两盒间狭缝的间距为d，磁感应强度为B的匀强磁场与盒底面垂直，被加速粒子的质量为m，电量为＋q，加在狭缝间的交变电压如图乙所示，电压的大小为U0，周期T＝2πmqB。一束该种粒子在t＝0～T2时间内从A处均匀地飘入狭缝，其初速度视为零。现考虑粒子在狭缝中的运动时间，假设能够出射的粒子每次经过狭缝均做加速运动，不考虑粒子重力及粒子间的相互作用。求：
(1)出射粒子的动能Em；
(2)粒子从飘入狭缝至动能达到Em所需的总时间t0。
[解析] (1)粒子运动半径为R时
qvB＝mv2R，
且Em＝12mv2，
解得Em＝q2B2R22m。
(2)粒子被加速n次达到动能Em，则Em＝nqU0，
粒子在狭缝间做匀加速运动，设n次经过狭缝的总时间为Δt，加速度a＝qU0md，匀加速直线运动有nd＝12a·Δt2，
由t0＝(n－1)·T2＋Δt，
解得t0＝πBR2+2BRd2U0-πmqB。
[答案] (1)q2B2R22m (2)πBR2+2BRd2U0-πmqB
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