2019年辽宁省葫芦岛市中考数学真题及答案

这是一份2019年辽宁省葫芦岛市中考数学真题及答案，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．﹣6的绝对值是（ ）
A．6B．﹣6C．D．﹣
2．下列运算正确的是（ ）
A．x2•x2＝x6B．x4+x4＝2x8
C．﹣2（x3）2＝4x6D．xy4÷（﹣xy）＝﹣y3
3．甲、乙、丙、丁四位同学都参加了5次数学模拟测试，每个人这5次成绩的平均数都是125分，方差分别是S甲2＝0.65，S乙2＝0.55，S丙2＝0.50，S丁2＝0.45，则这5次测试成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
5．某校女子排球队12名队员的年龄分布如下表所示：
则该校女子排球队12名队员年龄的众数、中位数分别是（ ）
A．13，14B．14，15C．15，15D．15，14
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的2倍，因此提前5天完成任务．设原计划每天生产零件x个，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．﹣＝5B．﹣＝5
C．﹣＝5D．﹣＝5
8．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（ ）
A．70°B．55°C．45°D．35°
10．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上由点B向点D运动（点E不与点B重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转90得到线段AF，连接BF交AO于点G．设BE的长为x，OG的长为y，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．太阳的半径大约为696000000，将数据696000000用科学记数法表示为 ．
12．分解因式：x3y﹣xy3＝ ．
13．若关于x的一元二次方程x2+（2+a）x＝0有两个相等的实数根，则a的值是 ．
14．在一个不透明的袋子中只装有n个白球和2个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是，那么n的值为 ．
15．如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠PAB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB＝80米，则河两岸之间的距离约为 米．（≈1.73，结果精确到0.1米）
16．如图，BD是▱ABCD的对角线，按以下步骤作图：①分别以点B和点D为圆心，
大于BD的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF，分别交AD，BC于点M，N，连接BM，DN．若BD＝8，MN＝6，则▱ABCD的边BC上的高为 ．
17．如图，在Rt△ABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13．点D在边BC上，以AD
为折痕将△ADB折叠得到△ADB′，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形
，则BD的长是 ．
18．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD延长线上的一点，连接PA，过点P作PE⊥PA交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F，则下列结论中：
①PA＝PE；②CE＝PD；③BF﹣PD＝BD；④S△PEF＝S△ADP
正确的是 （填写所有正确结论的序号）
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：÷（﹣），其中a＝（）﹣1﹣（﹣2）0．
20．（12分）某学校为了解学生“第二课堂“活动的选修情况，对报名参加A．跆拳道，B．声乐，C．足球，D．古典舞这四项选修活动的学生（每人必选且只能选修一项）进行抽样调查．并根据收集的数据绘制了图①和图②两幅不完整的统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查选修古典舞的学生中有4名团员，其中有1名男生和3名女生，学校想从这4人中任选2人进行古典舞表演．请用列表或画树状图的方法求被选中的2人恰好是1男1女的概率．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣1，1），B（﹣4，1），C（﹣3，3）
（1）将△ABC向下平移5个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；并判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状（直接写出结果）；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，并求出点C旋转到C2所经过的路径长．
22．（12分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，点C（2，4），点B是线段AC的中点．
（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出当x取什么值时，k1x+b＜．
五、解答题（满分12分）
23．（12分）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：
（1）根据图象，直接写出y与x的函数关系式；
（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
六、解答题（满分12分）
24．（12分）如图，点M是矩形ABCD的边AD延长线上一点，以AM为直径的⊙O交矩形对角
线AC于点F，在线段CD上取一点E，连接EF，使EC＝EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若cs∠CAD＝，AF＝6，MD＝2，求FC的长．
七、解答题（满分12分）
25．（12分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是射线CB上一点（点D不与点B重合），以AD为斜边作等腰直角三角形ADE（点E和点C在AB的同侧），连接CE．
（1）如图①，当点D与点C重合时，直接写出CE与AB的位置关系；
（2）如图②，当点D与点C不重合时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当∠EAC＝15°时，请直接写出的值．
八、解答题（满分14分）
26．（14分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当＝时，求t的值；
（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值．
2019年葫芦岛市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目）
1．﹣6的绝对值是（ ）
A．6B．﹣6C．D．﹣
【解答】解：|﹣6|＝6，
故选：A．
2．下列运算正确的是（ ）
A．x2•x2＝x6B．x4+x4＝2x8
C．﹣2（x3）2＝4x6D．xy4÷（﹣xy）＝﹣y3
【解答】解：∵x2•x2＝x4，
∴选项A不符合题意；
∵x4+x4＝2x4，
∴选项B不符合题意；
∵﹣2（x3）2＝﹣2x6，
∴选项C不符合题意；
∵xy4÷（﹣xy）＝﹣y3，
∴选项D符合题意．
故选：D．
3．甲、乙、丙、丁四位同学都参加了5次数学模拟测试，每个人这5次成绩的平均数都是125分，方差分别是S甲2＝0.65，S乙2＝0.55，S丙2＝0.50，S丁2＝0.45，则这5次测试成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【解答】解：∵S甲2＝0.65，S乙2＝0.55，S丙2＝0.50，S丁2＝0.45，
∴S丁2＜S丙2＜S乙2＜S甲2，
∴成绩最稳定的是丁．
故选：D．
4．如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：从上面看是四个小正方形，如图所示：
故选：B．
5．某校女子排球队12名队员的年龄分布如下表所示：
则该校女子排球队12名队员年龄的众数、中位数分别是（ ）
A．13，14B．14，15C．15，15D．15，14
【解答】解：∵这组数据中15出现5次，次数最多，
∴众数为15岁，
中位数是第6、7个数据的平均数，
∴中位数为＝15岁，
故选：C．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：解不等式3x＜2x+2，得：x＜2，
解不等式﹣x≤1，得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
故选：A．
7．某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的2倍，因此提前5天完成任务．设原计划每天生产零件x个，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．﹣＝5B．﹣＝5
C．﹣＝5D．﹣＝5
【解答】解：由题意可得，
，
故选：C．
8．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由二次函数图象，得出a＜0，﹣＜0，b＜0，
A、一次函数图象，得a＞0，b＞0，故A错误；
B、一次函数图象，得a＜0，b＞0，故B错误；
C、一次函数图象，得a＞0，b＜0，故C错误；
D、一次函数图象，得a＜0，b＜0，故D正确；
故选：D．
9．如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（ ）
A．70°B．55°C．45°D．35°
【解答】解：连接OA、OC，
∵∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，
∴∠AOB＝2（∠ADC+∠BAC）＝70°，
∵OA＝OB（都是半径），
∴∠ABO＝∠OAB＝（180°﹣∠AOB）＝55°．
故选：B．
10．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上由点B向点D运动（点E不与点B重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转90得到线段AF，连接BF交AO于点G．设BE的长为x，OG的长为y，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：连接FD，
∵∠BAE+∠EAD＝90°，∠FAD+∠EAD＝90°，
∴∠BAE＝∠FAD．
又BA＝DA，EA＝FA，
∴△BAE≌△DAF（SAS）．
∴∠ADF＝∠ABE＝45°，FD＝BE．
∴∠FDO＝45°+45°＝90°．
∵GO⊥BD，FD⊥BD，
∴GO∥FD．
∵O为BD中点，
∴GO为△BDF的中位线．
∴OG＝FD．
∴y＝x，且x＞0，是在第一象限的一次函数图象．
故选：A．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．太阳的半径大约为696000000，将数据696000000用科学记数法表示为 6.96×108 ．
【解答】解：将数据6 9600 0000用科学记数法表示为6.96×108．
故答案为：6.96×108．
12．分解因式：x3y﹣xy3＝ xy（x+y）（x﹣y） ．
【解答】解：x3y﹣xy3，
＝xy（x2﹣y2），
＝xy（x+y）（x﹣y）．
13．若关于x的一元二次方程x2+（2+a）x＝0有两个相等的实数根，则a的值是 ﹣2 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+（2+a）x＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（2+a）2﹣4×1×0＝0，
解得：a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
14．在一个不透明的袋子中只装有n个白球和2个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是，那么n的值为 4 ．
【解答】解：根据题意得＝，
解得n＝4，
经检验：n＝4是分式方程的解，
故答案为：4．
15．如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠PAB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB＝80米，则河两岸之间的距离约为 54.6 米．（≈1.73，结果精确到0.1米）
【解答】解：过点A作AE⊥a于点E，过点B作BD⊥PA于点D，
∵∠PBC＝75°，∠PAB＝30°，
∴∠DPB＝45°，
∵AB＝80，
∴BD＝40，AD＝40，
∴PD＝DB＝40，
∴AP＝AD+PD＝40+40，
∵a∥b，
∴∠EPA＝∠PAB＝30°，
∴AE＝AP＝20+20≈54.6，
故答案为：54.6
16．如图，BD是▱ABCD的对角线，按以下步骤作图：①分别以点B和点D为圆心，
大于BD的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF，分别交AD，BC于点M，N，连接BM，DN．若BD＝8，MN＝6，则▱ABCD的边BC上的高为 ．
【解答】解：由作法得MN垂直平分BD，
∴MB＝MD，NB＝ND，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠MDB＝∠NBD，
而MB＝MD，
∴∠MBD＝∠MDB，
∴∠MBD＝∠NBD，
而BD⊥MN，
∴△BMN为等腰三角形，
∴BM＝BN，
∴BM＝BN＝ND＝MD，
∴四边形BMDN为菱形，
∴BN＝＝5，
设▱ABCD的边BC上的高为h，
∵MN•BD＝2BN•h，
∴h＝＝，
即▱ABCD的边BC上的高为．
故答案为．
17．如图，在Rt△ABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13．点D在边BC上，以AD
为折痕将△ADB折叠得到△ADB′，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形
，则BD的长是 7或 ．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝＝＝12，
（1）当∠EDB′＝90°时，如图1，
过点B′作B′F⊥AC，交AC的延长线于点F，
由折叠得：AB＝AB′＝13，BD＝B′D＝CF，
设BD＝x，则B′D＝CF＝x，B′F＝CD＝12﹣x，
在Rt△AFB′中，由勾股定理得：
（5+x）2+（12﹣x）2＝132，
即：x2﹣7x＝0，解得：x1＝0（舍去），x2＝7，
因此，BD＝7．
（2）当∠DEB′＝90°时，如图2，此时点E与点C重合，
由折叠得：AB＝AB′＝13，则B′C＝13﹣5＝8，
设BD＝x，则B′D＝x，CD＝12﹣x，
在Rt△B′CD中，由勾股定理得：（12﹣x）2+82＝x2，解得：x＝，
因此BD＝．
故答案为：7或．
18．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD延长线上的一点，连接PA，过点P作PE⊥PA交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F，则下列结论中：
①PA＝PE；②CE＝PD；③BF﹣PD＝BD；④S△PEF＝S△ADP
正确的是 ①②③ （填写所有正确结论的序号）
【解答】解：①解法一：如图1，在EF上取一点G，使FG＝FP，连接BG、PG，
∵EF⊥BP，
∴∠BFE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FBC＝∠ABD＝45°，
∴BF＝EF，
在△BFG和△EFP中，
∵，
∴△BFG≌△EFP（SAS），
∴BG＝PE，∠PEF＝∠GBF，
∵∠ABD＝∠FPG＝45°，
∴AB∥PG，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝∠APF+∠FPE＝∠FPE+∠PEF＝90°，
∴∠APF＝∠PEF＝∠GBF，
∴AP∥BG，
∴四边形ABGP是平行四边形，
∴AP＝BG，
∴AP＝PE；
解法二：如图2，连接AE，∵∠ABC＝∠APE＝90°，
∴A、B、E、P四点共圆，
∴∠EAP＝∠PBC＝45°，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝90°，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴AP＝PE，
故①正确；
②如图3，连接CG，由①知：PG∥AB，PG＝AB，
∵AB＝CD，AB∥CD，
∴PG∥CD，PG＝CD，
∴四边形DCGP是平行四边形，
∴CG＝PD，CG∥PD，
∵PD⊥EF，
∴CG⊥EF，即∠CGE＝90°，
∵∠CEG＝45°，
∴CE＝CG＝PD；
故②正确；
③如图4，连接AC交BD于O，由②知：∠CGF＝∠GFD＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠COF＝90°，
∴四边形OCGF是矩形，
∴CG＝OF＝PD，
∴BD＝OB＝BF﹣OF＝BF﹣PD，
故③正确；
④如图4中，在△AOP和△PFE中，
∵，
∴△AOP≌△PFE（AAS），
∴S△AOP＝S△PEF，
∴S△ADP＜S△AOP＝S△PEF，
故④不正确；
本题结论正确的有：①②③，
故答案为：①②③．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：÷（﹣），其中a＝（）﹣1﹣（﹣2）0．
【解答】解：÷（﹣）
＝
＝
＝
＝，
当a＝（）﹣1﹣（﹣2）0＝3﹣1＝2时，原式＝．
20．（12分）某学校为了解学生“第二课堂“活动的选修情况，对报名参加A．跆拳道，B．声乐，C．足球，D．古典舞这四项选修活动的学生（每人必选且只能选修一项）进行抽样调查．并根据收集的数据绘制了图①和图②两幅不完整的统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 200 人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是 144° ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查选修古典舞的学生中有4名团员，其中有1名男生和3名女生，学校想从这4人中任选2人进行古典舞表演．请用列表或画树状图的方法求被选中的2人恰好是1男1女的概率．
【解答】解：（1）本次调查的学生共有30÷15%＝200（人），
扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是360°×＝144°，
故答案为：200、144；
（2）C活动人数为200﹣（30+80+20）＝70（人），
补全图形如下：
（3）画树状图为：
或列表如下：
∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况，
∴被选中的2人恰好是1男1女的概率＝．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣1，1），B（﹣4，1），C（﹣3，3）
（1）将△ABC向下平移5个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；并判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状（直接写出结果）；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，并求出点C旋转到C2所经过的路径长．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，
∵OB＝＝，OA1＝＝，BA1＝＝，
∴OB2+OA12＝BA12，
∴以O，A1，B为顶点的三角形为等腰直角三角形；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点C旋转到C2所经过的路径长＝＝π．
22．（12分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，点C（2，4），点B是线段AC的中点．
（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出当x取什么值时，k1x+b＜．
【解答】解：（1）∵点C（2，4）在反比例函数y＝的图象上，
∴k2＝2×4＝8，
∴y2＝；
如图，作CE⊥x轴于E，
∵C（2，4），点B是线段AC的中点，
∴B（0，2），
∵B、C在y1＝k1x+b的图象上，
∴，
解得k1＝1，b＝2，
∴一次函数为y1＝x+2；
（2）由，
解得或，
∴D（﹣4，﹣2），
∴S△COD＝S△BOC+S△BOD＝×2×2+×2×4＝6；
（3）由图可得，当0＜x＜2或x＜﹣4时，k1x+b＜．
五、解答题（满分12分）
23．（12分）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：
（1）根据图象，直接写出y与x的函数关系式；
（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0，b为常数）
将点（50，160），（80，100）代入得
解得
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣2x+260
（2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+260）＝3000
化简得：x2﹣180x+8000＝0
解得：x1＝80，x2＝100
∵x≤50×（1+90%）＝95
∴x2＝100＞95（不符合题意，舍去）
答：销售单价为80元．
（3）设每天获得的利润为w元，由题意得
w＝（x﹣50）（﹣2x+260）
＝﹣2x2+360x﹣13000
＝﹣2（x﹣90）2+3200
∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下
∴w有最大值，当x＝90时，w最大值＝3200
答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．
六、解答题（满分12分）
24．（12分）如图，点M是矩形ABCD的边AD延长线上一点，以AM为直径的⊙O交矩形对角
线AC于点F，在线段CD上取一点E，连接EF，使EC＝EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若cs∠CAD＝，AF＝6，MD＝2，求FC的长．
【解答】（1）证明：连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD+∠DCA＝90°，
∵EC＝EF，
∴∠DCA＝∠EFC，
∵OA＝OF，
∴∠CAD＝∠OFA，
∴∠EFC+∠OFA＝90°，
∴∠EFO＝90°，
∴EF⊥OF，
∵OF是半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）连接MF，
∵AM是直径，
∴∠AFM＝90°，
在Rt△AFM中，cs∠CAD＝＝，
∵AF＝6，
∴＝，
∴AM＝10，
∵MD＝2，
∴AD＝8，
在Rt△ADC中，cs∠CAD＝＝，
∴＝，
∴AC＝，
∴FC＝﹣6＝
七、解答题（满分12分）
25．（12分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是射线CB上一点（点D不与点B重合），以AD为斜边作等腰直角三角形ADE（点E和点C在AB的同侧），连接CE．
（1）如图①，当点D与点C重合时，直接写出CE与AB的位置关系；
（2）如图②，当点D与点C不重合时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当∠EAC＝15°时，请直接写出的值．
【解答】解：（1）当点D与点C重合时，CE∥AB，
理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE＝45°，
∴∠CAB＝∠ADE，
∴CE∥AB；
（2）当点D与点C不重合时，（1）的结论仍然成立，
理由如下：在AC上截取AF＝CD，连接EF，
∵∠AED＝∠ACB＝90°，
∴∠EAF＝∠EDC，
在△EAF和△EDC中，
，
∴△EAF≌△EDC（SAS），
∴EF＝EC，∠AEF＝∠DEC，
∵∠AED＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ECA＝45°，
∴∠ECA＝∠CAB，
∴CE∥AB；
（3）如图②，∠EAC＝15°，
∴∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD，AC＝CD，
∴FC＝（﹣1）CD，
∵△CEF为等腰直角三角形，
∴EC＝FC＝CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝CD，
∴＝＝，
如图③，∠EAC＝15°，
由（2）得，∠EDC＝∠EAC＝15°，
∴∠ADC＝30°，
∴CD＝AC，AB＝AC，
延长AC至G，使AG＝CD，
∴CG＝AG﹣AC＝DC﹣AC＝AC﹣AC，
在△EAG和△EDC中，
，
∴△EAG≌△EDC（SAS），
∴EG＝EC，∠AEG＝∠DEC，
∴∠CEG＝90°，
∴△CEG为等腰直角三角形，
∴EC＝CG＝AC，
∴＝，
综上所述，当∠EAC＝15°时，的值为或．
八、解答题（满分14分）
26．（14分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当＝时，求t的值；
（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4
∴C（0，4）
当y＝﹣x+4＝0时，解得：x＝4
∴B（4，0）
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4
（2）∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90°
∴OB＝OC
∴∠OBC＝∠OCB＝45°
∵ME⊥x轴于点E，PB＝t
∴∠BEP＝90°
∴Rt△BEP中，sin∠PBE＝
∴BE＝PE＝PB＝t
∴xM＝xP＝OE＝OB﹣BE＝4﹣t，yP＝PE＝t
∵点M在抛物线上
∴yM＝﹣（4﹣t）2+3（4﹣t）+4＝﹣t2+5t
∴MP＝yM﹣yP＝﹣t2+4t
∵PN⊥y轴于点N
∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90°
∴四边形ONPE是矩形
∴ON＝PE＝t
∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t
∵MP∥CN
∴△MPQ∽△NCQ
∴
∴
解得：t1＝，t2＝4（点P不与点C重合，故舍去）
∴t的值为
（3）∵∠PEB＝90°，BE＝PE
∴∠BPE＝∠PBE＝45°
∴∠MPD＝∠BPE＝45°
①若MD＝MP，则∠MDP＝∠MPD＝45°
∴∠DMP＝90°，即DM∥x轴，与题意矛盾
②若DM＝DP，则∠DMP＝∠MPD＝45°
∵∠AEM＝90°
∴AE＝ME
∵y＝﹣x2+3x+4＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝4
∴A（﹣1，0）
∵由（2）得，xM＝4﹣t，ME＝yM＝﹣t2+5t
∴AE＝4﹣t﹣（﹣1）＝5﹣t
∴5﹣t＝﹣t2+5t
解得：t1＝1，t2＝5（0＜t＜4，舍去）
③若MP＝DP，则∠PMD＝∠PDM
如图，记AM与y轴交点为F，过点D作DG⊥y轴于点G
∴∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠CDF
∴CF＝CD
∵A（﹣1，0），M（4﹣t，﹣t2+5t），设直线AM解析式为y＝ax+m
∴ 解得：
∴直线AM：y＝tx+t
∴F（0，t）
∴CF＝OC﹣OF＝4﹣t
∵tx+t＝﹣x+4，解得：x＝
∴DG＝xD＝
∵∠CGD＝90°，∠DCG＝45°
∴CD＝DG＝
∴4﹣t＝
解得：t＝﹣1
综上所述，当△PDM是等腰三角形时，t＝1或t＝﹣1．
年龄（岁）
13
14
15
16
人数（人）
1
2
5
4
年龄（岁）
13
14
15
16
人数（人）
1
2
5
4
男
女1
女2
女3
男
﹣﹣﹣
（女，男）
（女，男）
（女，男）
女1
（男，女）
﹣﹣﹣
（女，女）
（女，女）
女2
（男，女）
（女，女）
﹣﹣﹣
（女，女）
女3
（男，女）
（女，女）
（女，女）
﹣﹣﹣