辽宁省鞍山市高新区2023—2024学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份辽宁省鞍山市高新区2023—2024学年上学期九年级期中数学试卷，共32页。

A．1，2B．1，3C．1，﹣2D．1，﹣3
2．（2分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）函数y＝3（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣4）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（0，3）
4．（2分）如图，直线a∥b∥c，直线m、n分别与直线a、b、c相交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝2，AC＝5，DE＝3，则EF＝（ ）
A．B．C．4D．
5．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣5x+6＝0的根的情况为（ ）
A．两个不相等的实数根B．两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
6．（2分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）绕原点顺时针旋转90°得到点P1，P1左平移8个单位长度得到点P2，则点P2的坐标是（ ）
A．（﹣5，2）B．（﹣2，5）C．（5，﹣2）D．（2，﹣5）
7．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2﹣4ac，a+b+c，4a﹣2b+c，这四个式子中，值为正数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边AD，CD的中点，连接MN，OM．若MN＝3，S菱形ABCD＝24，则OM的长为（ ）
A．3B．3.5C．2D．2.5
9．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，CD⊥AB，垂足为点D，动点M从点A出发沿AB方向以cm/s的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线DC方向以1cm/s的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接MN．设运动时间为t s，△MND的面积为S cm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，那么线段EF的长为（ ）
A．2B．C．D．
二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知a，b是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个根，则+＝ ．
12．（3分）cs30°＝ ．
13．（3分）抛物线y＝（x+2）2+3先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的解析式是 ．
14．（3分）如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则S四边形BEDC：S△ABC的值为 ．
15．（3分）某商品原价200元，连续两次降价后，售价为128元，则平均每次降价率为 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，，∠BAC＝90°，∠B＝30°，点D为AC上一点，且CD＝2，以CD为边向右侧作等边△CDE，点M为CE的中点，连接AM，将等边△CDE绕点C在平面内自由旋转，当B、D、E三点共线时，则AM的长为 ．
三.解答题（第17题，19题，20题，21题各8分，第18题6分，第22题23题各10分）
17．（8分）解方程：
（1）3x2﹣4x+5＝0；
（2）（x+1）（x+2）＝2x+4．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点的坐标．
19．（8分）已知：抛物线y＝x2﹣2（m+2）x+m2﹣1与x轴有两个交点．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为负整数时，求m的值及该抛物线与x轴的交点坐标．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝5，sin∠BCD＝．
（1）求BC的长；
（2）求∠ACB的正切值．
21．（8分）对于抛物线y＝x2﹣4x﹣6．
（1）将抛物线的解析式化为顶点式．
（2）完善下列表格中的数据，在坐标系中利用五点法画出此抛物线．
（3）结合图象，当﹣2＜x＜3时，y的取值范围 ．
（4）结合图象及所学习的知识，估算x2﹣4x﹣6＝0的两个根为 （精确到0.1，误差不超过0.2）．
22．（10分）育才中学九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在A处测得新教学楼房顶B点的仰角为45°，走7米到C处再测得B点的仰角为55°，已知O、A、C在同一条直线上．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求新教学楼OB的高度．
（参考数据：sin55°≈0.82，cs55°≈0.57，tan55°≈1.43，结果精确到0.1m）．
23．（10分）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．
（1）求y关于x的一次函数解析式；
（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
24．（12分）△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交线段BC于点E（点E与点C不重合），点F为直线AC上一点，点G为边AB上一点（点G与点A不重合），且∠GEF+∠BAC＝180°．
（1）如图1，当∠B＝45°时，判断线段AG和CF的数量关系：AG CF（用“＜”或“＞”或“＝”填空）；
（2）如图2，当∠B＝30°时，猜想线段AG和CF的数量关系，并说明理由；
（3）若BC＝12，DG＝，csB＝，直接写出线段CF的长．
25．（12分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．点P是抛物线上任意一点，连接PA，PC．
（1）求这个抛物线与直线AC解析式；
（2）如图1，如果点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）如图2，过点P与点B作直线BP，交直线AC与点Q，是否存在一点P，使得S△PQC：S△BQC＝1：2，存在直接写出点P的横坐标，不存在说明理由．
2023-2024学年辽宁省鞍山市高新区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每题2分共20分）
1．（2分）一元二次方程x2+2＝3x的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．1，2B．1，3C．1，﹣2D．1，﹣3
【分析】根据一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项，进行判断即可．
【解答】解：∵x2+2＝3x，
∴x2﹣3x+2＝0，
∴二次项系数是1，一次项系数是﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，要注意任何一个一元二次方程经过整理都能化成一般形式，在判断一个方程是不是一元二次方程时，要先化成一般形式，再判断．
2．（2分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念与中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故D选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（2分）函数y＝3（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣4）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（0，3）
【分析】根据顶点式直接求得顶点坐标．
【解答】解：∵y＝3（x﹣1）2+2，
∴抛物线顶点为（1，2）．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k中顶点坐标为（h，k）．
4．（2分）如图，直线a∥b∥c，直线m、n分别与直线a、b、c相交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝2，AC＝5，DE＝3，则EF＝（ ）
A．B．C．4D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出DF，进而求出EF．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴＝，
∵AB＝2，AC＝5，DE＝3，
∴＝，
解得：DF＝，
∴EF＝DF﹣DE＝﹣3＝，
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣5x+6＝0的根的情况为（ ）
A．两个不相等的实数根B．两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【分析】根据判别式进行判断即可．
【解答】解：一元二次方程x2﹣5x+6＝0中，
a＝1，b＝﹣5，c＝6，
Δ＝b2﹣4ac＝25﹣4×1×6＝1＞0，
方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系式解答本题的关键．
6．（2分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）绕原点顺时针旋转90°得到点P1，P1左平移8个单位长度得到点P2，则点P2的坐标是（ ）
A．（﹣5，2）B．（﹣2，5）C．（5，﹣2）D．（2，﹣5）
【分析】利用旋转变换、平移变换的性质作出图形，可得结论．
【解答】解：如图，P1（3，2），P2（﹣5，2）．
故选：A．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，平移等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．
7．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2﹣4ac，a+b+c，4a﹣2b+c，这四个式子中，值为正数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据二次函数的性质，对a、b、c的值进行判断．利用二次函数图象与x轴的交点个数，对判别式b2﹣4ac进行判断，将特殊值代入解析式，对a+b+c和a﹣b+c进行判断即可．
【解答】解：（1）abc＞0，理由是：
抛物线开口向上，a＞0，
抛物线交y轴负半轴，c＜0，
又∵对称轴交x轴的正半轴，﹣＞0，而a＞0，得b＜0，
∴abc＞0；
（2）b2﹣4ac＞0，理由是：
抛物线与x轴有两个交点，b2﹣4ac＞0；
（3）a+b+c＜0，理由是：
由图象可知，当x＝1时，y＜0；而当x＝1时，y＝a+b+c．即a+b+c＜0；
（4）4a﹣2b+c＞0，理由是：
由图象可知，当x＝﹣2时，y＞0；而当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c．即a﹣b+c0．
综上所述，abc，b2﹣4ac，a+b+c，a﹣b+c这四个式子中，值为正数的有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数之间的关系，同时结合了不等式的运算，此题是一道结论开放性题目，难度系数比较大．
8．（2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边AD，CD的中点，连接MN，OM．若MN＝3，S菱形ABCD＝24，则OM的长为（ ）
A．3B．3.5C．2D．2.5
【分析】由三角形中位线定理得AC＝2MN＝6，再由菱形的性质和勾股定理求出CD＝5，然后由三角形中位线定理即可得出结论．
【解答】解：∵点M，N分别是边AD，CD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
∴AC＝2MN＝2×3＝6，
∵四边形ABCD是菱形，S菱形ABCD＝24，
∴OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，AC•BD＝24，
即×6×BD＝24，
∴BD＝8，
∴OD＝BD＝4，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD＝＝＝5，
∵点M是AD的中点，OA＝OC，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD＝2.5，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
9．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，CD⊥AB，垂足为点D，动点M从点A出发沿AB方向以cm/s的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线DC方向以1cm/s的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接MN．设运动时间为t s，△MND的面积为S cm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出M在AD和在BD上时△MND的面积为S关于t的解析式即可判断．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，
∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，AC＝BC＝6，
∵CD⊥AB，
∴CD＝AC＝3，AD＝CD＝3，BD＝BC＝，
∴当M在AD上时，0≤t≤3，
MD＝AD﹣AM＝3﹣t，DN＝DC+CN＝3+t，
∴S＝MD•DN＝（3﹣t）（3+t）＝﹣t2+，
当M在BD上时，3＜t≤4，
MD＝AM﹣AD＝t﹣3，
∴S＝MD•DN＝（t﹣3）（3+t）＝t2﹣，
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
10．（2分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，那么线段EF的长为（ ）
A．2B．C．D．
【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，进而得到CO的长，然后证明△DAC∽△OFC，根据相似三角形的性质可得，然后代入具体数值可得FO的长，进而得到答案．
【解答】解：∵将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，
∴AC⊥EF，AO＝CO，
在矩形ABCD，∠D＝90°，
∴△ACD是Rt△，由勾股定理得AC＝＝2，
∴CO＝，
∵∠EOC＝∠D＝90°，∠ECO＝∠DCA，
∴△DAC∽△OFC，
∴，
∴，
∴FO＝，
∴EF＝2×＝．
故选：B．
【点评】此题主要考查了图形的翻折变换和相似三角形的判定与性质，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知a，b是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个根，则+＝ ．
【分析】利用根与系数的关系求出a+b与ab的值，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个根，
∴a+b＝6，ab＝4，
则原式＝＝＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
12．（3分）cs30°＝ ．
【分析】根据cs30°＝，继而代入可得出答案．
【解答】解：原式＝×＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是掌握一些特殊角的三角函数值，需要我们熟练记忆，难度一般．
13．（3分）抛物线y＝（x+2）2+3先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的解析式是 y＝（x﹣1）2+1 ．
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝（x+2）2+3向右平移3个单位长度所得直线解析式为：y＝（x+2﹣3）2+3；
再向下平移2个单位为：y＝（x+2﹣3）2+3﹣2，即y＝（x﹣1）2+1．
故答案为：y＝（x﹣1）2+1．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
14．（3分）如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则S四边形BEDC：S△ABC的值为 3：4 ．
【分析】根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，
∴＝＝，
∴S△ABC＝4S△ADE，S四边形BEDC＝3S△ADE，
∴S四边形BEDC：S△ABC＝3：4．
故答案为：3：4．
【点评】此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．
15．（3分）某商品原价200元，连续两次降价后，售价为128元，则平均每次降价率为 20% ．
【分析】设平均每次降价率为x，可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣x）＝128，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：设平均每次降价率为x，
则第一次降价后的价格为200×（1﹣x），两次连续降价后售价后的价格为：200×（1﹣x）×（1﹣x），
则列出的方程是200×（1﹣x）2＝128，
解得：x＝20%．即平均每次的降价率为20%．
故答案为：20%．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，，∠BAC＝90°，∠B＝30°，点D为AC上一点，且CD＝2，以CD为边向右侧作等边△CDE，点M为CE的中点，连接AM，将等边△CDE绕点C在平面内自由旋转，当B、D、E三点共线时，则AM的长为 （﹣1）或（+1） ．
【分析】当B、D、E三点共线时，要分情况讨论，一种是在直线BC上方共线，一种是在直线BC下方共线，分别画出两种图形，利用相似三角形的性质即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，
∴AC＝，∠BCA＝60°，
以CD为边向右侧作等边△CDE，点M为CE的中点，
∴CD＝CE＝DE＝2，CM＝EM＝1，∠DCE＝60°，
当B、D、E三点共线时，有两种情况：
①如图：
过C作CN⊥BE于点N，则DN＝EN＝1，CN＝，
在Rt△BCN中，由勾股定理可得BN＝＝，
∴BD＝﹣1，
∵＝，＝，
∴＝，
又∵∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACM，
∴△ACM∽△BCD，
∴，
∴AM＝（﹣1）．
②如图：
过C作CF⊥BE于点F，则DF＝EF＝1，CF＝，
在Rt△BCN中，由勾股定理可得BN＝＝，
∴BD＝+1，
∵＝，＝，
∴＝，
又∵∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACM，
∴△ACM∽△BCD，
∴，
∴AM＝（+1）．
故答案为：（﹣1）或（+1）．
【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质和判定，作出辅助线是解题的关键．
三.解答题（第17题，19题，20题，21题各8分，第18题6分，第22题23题各10分）
17．（8分）解方程：
（1）3x2﹣4x+5＝0；
（2）（x+1）（x+2）＝2x+4．
【分析】（1）根据公式法求解；
（2）根据因式分解法求解．
【解答】解：（1）3x2﹣4x+5＝0，
∵a＝3，b＝﹣4，c＝5，
∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4×3×5＝﹣44＜0，
∴方程无实数解；
（2）（x+1）（x+2）＝2x+4，
移项得：（x+1）（x+2）﹣2（x+2）＝0，
∴（x+2）（x+1﹣2）＝0，
∴x+2＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点的坐标．
【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把A、B、C点的横纵坐标都乘以2得到A2、B2、C2点的坐标，然后描点即可．
【解答】解；（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点C2点的坐标为（﹣6，4）．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了轴对称变换．
19．（8分）已知：抛物线y＝x2﹣2（m+2）x+m2﹣1与x轴有两个交点．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为负整数时，求m的值及该抛物线与x轴的交点坐标．
【分析】（1）抛物线与x轴有两个交点，则Δ＝b2﹣4ac＞0，从而求出m的取值范围．
（2）根据（1）求出m的值．然后将其代入关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2﹣1，通过解方程求得该方程的根，通过该方程的根是否是整数进行验证即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2（m+2）x+m2﹣1与x轴有两个交点，
a＝1，b＝﹣2（m+2），c＝m2﹣1，
Δ＝b2﹣4ac＝4（m+2）2﹣4（m2﹣1）＝16m+20＞0，
解得 ，
∴m的取值范围是 ．
（2）．且m为非正整数，
∴m＝﹣1．当m＝﹣1时，x2﹣2x＝0，
解得 x1＝0 或 x2＝2，
∴m的值是﹣1，该抛物线与x轴的交点坐标（0，0），（2，0）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：①抛物线与x轴有两个交点，则Δ＞0；②抛物线与x轴无交点，则Δ＜0；③抛物线与x轴有一个交点，则Δ＝0．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝5，sin∠BCD＝．
（1）求BC的长；
（2）求∠ACB的正切值．
【分析】（1）设DE＝3x，DE⊥BC，所以CD＝5x，CE＝4x，由CD＝5可求出x＝1，从而可求出答案．
（2）过点A作AF⊥BC于点F，由于D是AB的中点，所以DE是△ABF的中位线，从而可求出AF＝BF＝6，再求出CF＝1即可求出∠ACB的正切值．
【解答】解：（1）设DE＝3x，DE⊥BC，
∵sin∠BCD＝，
∴，
∴CD＝5x，CE＝4x，
∵CD＝5，
∴x＝1，
∴CE＝4，
∵∠B＝45°，
∴DE＝BE＝3x，
∴BC＝BE+CE＝7x＝7．
（2）过点A作AF⊥BC于点F，
∴DE∥AF，
∵D是AB的中点，
∴DE是△ABF的中位线，
∴AF＝2DE，BF＝2BE，
由（1）可知：DE＝BE＝3，
∴AF＝6，BF＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝1，
∴tan∠ACB＝6．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是求出DE、CE的长度，本题属于中等题型．
21．（8分）对于抛物线y＝x2﹣4x﹣6．
（1）将抛物线的解析式化为顶点式．
（2）完善下列表格中的数据，在坐标系中利用五点法画出此抛物线．
（3）结合图象，当﹣2＜x＜3时，y的取值范围 ﹣10≤y＜6 ．
（4）结合图象及所学习的知识，估算x2﹣4x﹣6＝0的两个根为 x＝﹣1.2或5.2 （精确到0.1，误差不超过0.2）．
【分析】（1）由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；
（2）利用列表、描点、连线的方法画出图形即可；
（3）根据函数图象回答即可；
（4）根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解．
【解答】解：（1）y＝x2﹣4x﹣6＝（x2﹣4x+4）﹣4﹣6＝（x﹣2）2﹣10．
∴抛物线的顶点式为：y＝（x﹣2）2﹣10．
（2）列表：
函数图象如图所示：
；
（3）根据函数图象可知：当﹣2＜x＜3时，y的取值范围﹣10≤y＜6．
故答案为：﹣10≤y＜6．
（4）由图象可知方程有两个根，一个在﹣2和﹣1之间，另一个在5和6之间．
当x＝﹣1.1时，y＝﹣0.39；当x＝﹣1.2时，y＝0.24；
因此，x＝﹣1.2是方程的一个近似根，
同理，x＝5.2是方程的另一个近似根．
故一元二次方程x2﹣4x﹣6的近似根为x＝﹣1.2或5.2．
故答案为：x＝﹣1.2或5.2．
【点评】本题主要考查的是二次函数的顶点式、画函数的图象，图象法求一元二次方程的近似根，利用函数图象求得相应的一元二次方程的解是解题的关键．
22．（10分）育才中学九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在A处测得新教学楼房顶B点的仰角为45°，走7米到C处再测得B点的仰角为55°，已知O、A、C在同一条直线上．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求新教学楼OB的高度．
（参考数据：sin55°≈0.82，cs55°≈0.57，tan55°≈1.43，结果精确到0.1m）．
【分析】（1）根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到OA＝OB，根据正切的定义列出方程，解方程求出OB．
【解答】解：（1）∵∠BCO是△ABC的外角，
∴∠ABC＝∠BCO﹣∠A＝55°﹣45°＝10°；
（2）在Rt△AOB中，∠A＝45°，
则OA＝OB，
∵AC＝7米，
∴OC＝（OB﹣7）米，
在Rt△COB中，∠BCO＝55°，
∵tan∠BCO＝，
∴＝1.43，
解得：OB≈23.3，
答：新教学楼OB的高度约为23.3米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．（10分）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．
（1）求y关于x的一次函数解析式；
（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
【分析】（1）根据题意利用待定系数法可求得y与x之间的关系；
（2）写出利润和x之间的关系可发现是二次函数，求二次函数的最值问题即．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，把x＝20，y＝360，和x＝30，y＝60代入，可得，
解得：，
∴y＝﹣30x+960（10≤x≤32）；
（2）设每月所获的利润为W元，
∴W＝（﹣30x+960）（x﹣10）
＝﹣30（x﹣32）（x﹣10）
＝﹣30（x2﹣42x+320）
＝﹣30（x﹣21）2+3630．
∴当x＝21时，W有最大值，最大值为3630．
【点评】主要考查利用函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意：数学应用题来源于实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
24．（12分）△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交线段BC于点E（点E与点C不重合），点F为直线AC上一点，点G为边AB上一点（点G与点A不重合），且∠GEF+∠BAC＝180°．
（1）如图1，当∠B＝45°时，判断线段AG和CF的数量关系：AG ＝ CF（用“＜”或“＞”或“＝”填空）；
（2）如图2，当∠B＝30°时，猜想线段AG和CF的数量关系，并说明理由；
（3）若BC＝12，DG＝，csB＝，直接写出线段CF的长．
【分析】（1）连接AE，由线段垂直平分线的性质得AE＝BE，再由等腰直角三角形的性质得∠BAE＝∠B＝45°，BE＝EC＝AE，然后证△AEG≌△CEF（AAS），即可得证；
（2）连接AE，先求∠BAC＝120°，再由线段垂直平分线的性质得AE＝BE，则∠BAE＝∠B＝30°，然后证△AGE∽△CFE，进而得出结论；
（3）过A作AH⊥BC于H，由等腰三角形的在得BH＝CH＝BC＝6，则AB＝8，分两种情况，①当G在DA上时；②当点G在BD上时；证△CFE∽△AGE，得＝，分别求解即可．
【解答】解：（1）AG＝CF，理由如下：
如图1，连接AE，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝45°，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝EC＝AE，∠BAE＝∠EAC＝∠C＝45°，
∵∠GEF+∠BAC＝180°，
∴∠AGE+∠AFE＝360°﹣180°＝180°，
∵∠AFE+∠CFE＝180°，
∴∠AGE＝∠CFE，
∵∠GAE＝∠C＝45°，
∴△AEG≌△CEF（AAS），
∴AG＝CF；
故答案为：＝；
（2）AG＝CF，理由如下：
如图2，连接AE，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝30°，
∴∠CAE＝90°，∠BAE＝∠C＝30°，
∵∠GEF+∠BAC＝180°，
∴∠AGE+∠AFE＝180°，
∵∠CFE+∠AFE＝180°，
∴∠AGE＝∠CFE，
∴△AGE∽△CFE，
∴＝，
在Rt△ACE中，∠C＝30°，
∴AE＝CE，
∴＝＝，
∴AG＝CF；
（3）过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，BC＝12，
∵BH＝CH＝BC＝6，
∵csB＝＝，
∴AB＝BH＝8，
①当G在DA上时，如图3，连接AE，
∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD＝4，AE＝BE，
∴AG＝AD﹣DG＝4﹣＝，
∵csB＝＝，
∴BE＝BD＝，
∴AE＝BE＝＜BH，
∴∠BAE＝∠B，E在H的左侧，CE＝BC﹣BE＝12﹣＝，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠BAE，
∵∠GEF+∠BAC＝180°，
∴∠AGE+∠AFE＝360°﹣180°＝180°，
∵∠AFE+∠CFE＝180°，
∴∠CFE＝∠AGE，
∴△CFE∽△AGE，
∴＝，
即＝，
解得：CF＝1；
②当点G在BD上，如图4，连接AE，
同（1）可得，△CFE∽△AGE，
∴＝，
∵AG＝AD+DG＝4+＝，
∴＝，
解得：CF＝9；
综上所述，CF的长为1或9．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数定义等知识，本题综合性强，正确的作出辅助线是解题的关键，属于中考常考题型．
25．（12分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．点P是抛物线上任意一点，连接PA，PC．
（1）求这个抛物线与直线AC解析式；
（2）如图1，如果点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）如图2，过点P与点B作直线BP，交直线AC与点Q，是否存在一点P，使得S△PQC：S△BQC＝1：2，存在直接写出点P的横坐标，不存在说明理由．
【分析】（1）直接把点A（﹣3，0），B（1，0）代入二次函数y＝ax2+bx+2求出a、b的值即可得出抛物线的解析式；
（2）设点P坐标为（m，n），则n＝﹣m2﹣m+2，连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．根据三角形的面积公式得出△PAC的表达式，再根据二次函数求最大值的方法得出其顶点坐标即可；
（3）首先根据S△PQC：S△BQC＝1：2推导出BQ：BP＝2：3，设P点坐标为（t，﹣t2﹣t+2），Q（m，m+2），依据BQ：BP＝2：3列出关于t，m的二元一次方程组，并解方程即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2过点A（﹣3，0），B（1，0），
∴
解得，
∴二次函数的关系解析式为y＝﹣x2﹣x+2；
令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2），
设直线AC的解析式为y＝mx+2，则：
0＝﹣3m+2，
m＝，
∴直线AC的解析式为y＝x+2；
（2）存在点P，使△ACP的面积最大；理由如下：
如图1所示，设点P坐标为（m，n），则n＝﹣m2﹣m+2．
连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．
则PM＝﹣m2﹣m+2，PN＝﹣m，AO＝3．
∵当x＝0时，y＝﹣×0﹣×0+2＝2，
∴OC＝2，
∴S△PAC＝S△PAO+S△PCO﹣S△ACO
＝AO•PM+CO•PN﹣AO•CO
＝×3×（﹣m2﹣m+2）+×2×（﹣m）﹣×3×2
＝﹣m2﹣3m，
∵a＝﹣1＜0，
∴函数S△PAC＝﹣m2﹣3m有最大值，
∴当m＝﹣＝﹣时，S△PAC有最大值．
∴n＝﹣m2﹣m+2＝﹣×（﹣）2﹣×（﹣）+2＝，
∴存在点P（﹣，），使△PAC的面积最大．
（3）存在一点P，使得S△PQC：S△BQC＝1：2，理由如下：
∵S△PQC：S△BQC＝1：2，
∴S△BQC：S△BPC＝2：3，
∴BQ：BP＝2：3，
设P点坐标为（t，﹣t2﹣t+2），Q（m，m+2），
∵B（1，0），依题意得：
，
解得：或，
∴点P的横坐标为﹣1或﹣2．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数极值等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质，作出辅助线是解题的关键．x
…
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2
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y
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…
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y
…
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