2024年中考数学总复习专题卷-突破真题训练全等三角形（第七卷）

这是一份2024年中考数学总复习专题卷-突破真题训练全等三角形（第七卷），共38页。试卷主要包含了一线三等角型，手拉手模型，倍长中线型，半角模型，截长补短模型，对角互补模型，十字架模型，角平分线模型等内容，欢迎下载使用。
一、一线三等角型
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE=4，CF=1，则EF的长度为 ．
2．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，满足AD=BE=CF．
（1）求证：△ADF≌△BED；
（2）设AD的长为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）结合（2）所得的函数，描述△DEF的面积随AD的增大如何变化．
3．
（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB的直角顶点C在原点，若顶点A恰好落在点(1，2)处，则点B的坐标为 ．
（2）感悟应用：如图2，一次函数y=−2x+2的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段BC⊥AB且BC=AB，直线AC交轴于点D．
①点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
②直接写出点C的坐标 ；
（3）拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，且∠ACB=90°，AC=BC，若C点的坐标为(4，0)，点A的坐标为(0，2)，点B在第四象限，请求出点B的坐标．
4．如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作 ∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．
（1）如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；
（2）如图3，在Rt△APC中，∠A=90°，AC>AP，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．
①确定△PCF的形状，并说明理由；
②若AP：PB=1：2，BF=2k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．
二、手拉手模型
5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=2．点D在BC上，且BD：CD=1：3．连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接BE，DE．则△BDE的面积是（ ）
A．14B．38C．34D．32
6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，以AC为边在△ABC下方作△ADC，连接BD，已知AD=3，DC=6，则BD的最大值为 ．
7．【问题呈现】
△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，CB=mCA，CE=mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．
（1）如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系： ；
（2）如图2，当m≠1时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
（3）【拓展应用】
当m=3，AB=47，DE=4时，将△CDE绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求BE的长．
8．已知△ABC和△ADE都是等边三角形，分别连接BD，CE．
（1）如图1，若BD⊥AD．
①求∠CED的度数；
②延长ED交BC于点F，求证：BF=CF；
（2）如图2，若点D在边AC上，延长BD交CE于点G，连接AG．求证：GA平分∠BGE．
9．
（1）【问题呈现】
如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD=CE．
（2）【类比探究】
如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°．连接BD，CE．请直接写出BDCE的值．
（3）【拓展提升】
如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且ABBC=ADDE=34．连接BD，CE．延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
三、倍长中线型
10．“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图，AD是△ABC的中线，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，构造出△BED和△CAD．求证：△BED≌△CAD．
11．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，D是斜边BC上的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF.
（1）若AB=AC，BE+CF=4，求四边形AEDF的面积.
（2）求证：BE2+CF2=EF2.
12．综合与实践
小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB=7，AC=5，点D为BC的中点，求AD的取值范围.
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决
请回答：
（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：____；（填入你选择的选项字母）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
（2）AD的取值范围是 .
（3）小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造.
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=2，BF=4，∠GEF=90°，求GF的长.
13．在▱ABCD中，BC=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB于点E，垂足E在线段AB上（不与A、B重合），连接EF、CF．
（1）如图1，若∠B=70°，求∠DFC的度数；
（2）求证：EF=CF；
（3）如图2，若E为AB的中点，请直接写出S△AEF与S△EFC的关系．
14．在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，将直角边AC绕点A顺时针旋转得到AP，旋转角为α(0°