浙江省嘉兴市名校2023-2024学年高一上学期数学期中试卷

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这是一份浙江省嘉兴市名校2023-2024学年高一上学期数学期中试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．存在量词命题“∃x∈R，x2≤|x|”的否定是（）
A．∀x∈R，x2≥|x|B．∀x∈R，x2>|x|
C．∃x∈R，x2>|x|D．∃x∈R，x2≥|x|
2．设集合A={1，3，5，7}，B={x|2A．{1，3}B．{1，7}C．{5，7}D．{3，5}
3．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）
A．y=3xB．y=1xC．y=2x2D．y=−13x
4．下列各组函数表示同一函数的是（）
A．f(x)=x2，g(x)=(x)2B．f(x)=1，g(x)=x0
C．f(x)=x2，g(x)=|x|D．f(x)=x+1，g(x)=x2−1x−1
5．设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6则a，b，c的大小关系是( )
A．a6．已知函数y=2ax−1+1(a>0且a≠1)恒过定点A(m，n)，则m＋n＝（）
A．1B．3C．4D．2
7．已知函数f(x)=−x2+2x+5在区间[0，m]上的值域为[5，6]，则实数m的取值范围是（）
A．[0，1]B．(−1，1]C．[0，2]D．[1，2]
8．设正实数x，y，z满足x2−3xy+4y2−z=0，则当xyz取得最大值时，2x+1y−2z的最大值为（）
A．0B．3C．94D．1
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设a>0，则下列运算中正确的是（）
A．a43⋅a34=aB．a53÷a23=a
C．a53⋅a−53=aD．(a35)5=a3
10．若a>b>0，则下列结论正确的是（）
A．a2>b2B．ac2>bc2C．1a<1bD．a2>ab
11．下列结论正确的是（）
A．“x2>1”是“x>1”的充分不必要条件
B．设M⊊N，则“x∉M”是“x∉N”的必要不充分条件
C．“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件
D．“a>1且b>1”是“a+b>2且ab>1”的充分不必要条件
12．设a>0，函数y=e|ax2+x+1|的图象可能是（）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数 y=x+1x−1 的定义域是；
14．设函数f(x)=x12+1，x>02x，x≤0，则f(f(−4))= ．
15．函数f(x)=(m2−m−1)xm2+m−3是幂函数，且当x∈(0，+∞)时，f(x)是减函数，则实数m= ．
16．如果定义在R上的函数f(x)，对任意x1≠x2都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，则称函数为“H函数”，给出下列函数，其中是“H函数”的有（填序号）
①f(x)=3x+1②f(x)=(12)x+1③f(x)=x2+1④f(x)=−1x，x<−1x2+4x+5，x≥−1
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．设全集为R，A={x|3≤x<7}，B={x|2（1）求A∪B；
（2）求(∁RA)∩B．
18．计算下列各式：
（1）(235)0+2−2×(214)−12−(0.01)0.5；
（2）(a23b12)(−3a12b13)13a16b56(a>0，b>0).
19．已知函数f(x)=|x−1|，g(x)=−x2+2x+1.
（1）在同一坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象；
（2）定义函数ℎ(x)为函数f(x)，g(x)中的较小者，即ℎ(x)=min{f(x)，g(x)}，分别用函数图象法和解析法表示函数ℎ(x)，并写出ℎ(x)的单调区间和值域（不需要证明）.
20．已知定义在R上的偶函数f(x)，当x≤0时，f(x)=-x2+4x-1.
（1）求当x>0时f(x)的解析式；
（2）求函数f(x)在[-2，3]上的最大值和最小值.
21．佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产台，另需投入成本p(x)（万元），当月产量不足70台时，p(x)=12x2+40x（万元）；当月产量不小于70台时，p(x)=101x+6400x−2060（万元）.若每台机器售价万元，且该机器能全部卖完.
（1）求月利润x（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；
（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.
22．已知函数f(x)=2x−a2x+1为定义在R上的奇函数.
（1）求a的值；
（2）判断函数f(x)的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若关于x的不等式f(f(x))+f(t)<0有解，求t的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：存在量词命题“∃x∈R，x2≤|x|”的否定是"∀x∈R，x2>x，
故答案为：B.
【分析】存在量词命题的否定是全程量词命题，把存在改为任意，把结论否定.
2．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为A={1，3，5，7}，B={x|2故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合交集的运算法则，进而得出集合A和集合B的交集。
3．【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：选项A中，y=3x既是奇函数又是增函数，A正确；
选项B中，y=1x是奇函数但不单调，B错误；
选项C中，y=2x2是偶函数但不单调，C错误；
选项D中，y=−13x是奇函数但不单调，D错误；
故答案为：A.
【分析】利用函数的奇偶性和单调性逐个判断即可求解.
4．【答案】C
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：选项A中，函数f(x)的定义域是R，函数g(x)的定义域是[0，+∞)，故函数f(x)与g(x)表示不同函数，A错误；
选项B中，函数f(x)的定义域是R，函数g(x)的定义域是−∞，0∪0，+∞，故函数f(x)与g(x)表示不同函数，故B错误；
选项C中，函数f(x)=|x|=g(x)，且两函数的定义域都是R，故函数f(x)与g(x)表示同一函数，C正确；
选项D中，函数f(x)的定义域是R，函数g(x)的定义域是−∞，1∪1，+∞，故函数f(x)与g(x)表示不同函数，D错误；
故答案为：C.
【分析】直接判断两个函数的定义域和解析式是否相同即可求解.
5．【答案】C
【知识点】幂函数的图象与性质；三角函数值的符号
【解析】【解答】由y=0.6x，在区间0，+∞是单调减函数，可知，0<0.61.5<0.60.6<1又1.50.6>1，故选C
【分析】本题考查指数函数的性质，主要利用函数的单调性求解，题目看上去简单，但对指数函数底数的两种不同取值情况均做了考查.
6．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由题意知，当x=1时，y=3，故A(1，3)，m+n=4，
故答案为：C.
【分析】由指数型函数过定点求解处m点的坐标，进而求值.
7．【答案】D
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：f（x）=-x2+2x+5=-（x-1）2+6，f（x）的开口向下，对称轴为x=1，
画出f（x）的图象如图所示，
由于f（x）区间[0，m]上的值域为[5，6]，
由图可知，m的取值范围是[1，2]．
故答案为：D.
【分析】画出f（x）的图象，结合二次函数的性质求得正确答案．
8．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 x2−3xy+4y2−z=0 ，
所以z=x2−3xy+4y2，
又x，y，z均为正实数，
所以xyz=xyx2−3xy+4y2=1xy+4yx−3≤12xy·4yx−3=1(当且仅当x=2y时取等号），
所以xyzmax=1，此时x=2y，
所以z=x2−3xy+4y2=2y2−3×2y×y+4y2=2y2，
所以2x+1y−2z=1y+1y−1y2=−1y−12+1≤1，当且仅当y=1时去等号，满足题意，
所以2x+1y−2z的最大值为1.
故答案为：D.
【分析】将z=x2−3xy+4y2代入xyz后得到xyx2−3xy+4y2，经齐次化处理后使用基本不等式在x=2y时取得最大值，将x=2y代入所求关系式2x+1y−2z，利用配方法即可求得其最大值.
9．【答案】B,D
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：根据指数幂的运算性质可得：
a43·a34=a43+34=a2512，A错误；
a53÷a23=a53−23=a，B正确；
a53·a−53=a53−53=a0=1，C错误；
a355=a35×5=a3，D正确；
故答案为：BD.
【分析】根据指数幂的运算性质即可判断选项是否正确．
10．【答案】A,C,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】由a>b>0，则a2>b2，a>b>0即1a<1b，a2>ab，A、C、D符合题意；
当c=0时ac2=bc2，B不符合题意.
故答案为：ACD
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质和特殊值比较法，进而找出结论正确的选项。
11．【答案】B,C,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：A中，由“x2＞1”，不能推出“x＞1，不满足充分性，
由“x＞1”可得“x2＞1”，满足必要性，A错误；
B中，由M⫋N，则“x∉N”可以推导“x∉M”，
但“x∉M”不能推导“x∉N”，故“x∉M”是“x∉N”的必要不充分条件，B正确；
C中，由“a，b都是偶数”得到“a+b是偶数”，
当a+b是偶数，a，b可能都是奇数，故“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件，C正确；
D中，由“a＞1且b＞1”推导“a+b＞2且ab＞1”，
而“a+b＞2且ab＞1”，取a=3，b=，不满足“a＞1且b＞1”，
“a＞1且b＞1”是“a+b＞2且ab＞1”的充分不必要条件，D正确．
故答案为：BCD.
【分析】根据不等式的性质、数的奇偶性，结合充分条件，必要条件的定义即可判断．
12．【答案】B,D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】由题意，函数y=e|ax2+x+1|，令g(x)=ax2+x+1，a>0，
可得抛物线的开口向上，对称轴的方程为x=−12a<0，
当Δ=1−4a=0时，即a=14时，可得g(x)=14x2+x+1≥0，
此时函数y=|g(x)|在(−∞，−12a]单调递减，在[−12a，+∞)上单调递增，且g(−2)=0
可得y=e|ax2+x+1|在(−∞，−12a]递减，在[−12a，+∞)上递增，且eg(−2)=1；
当Δ=1−4a<0时，即a>14时，可得g(x)>0，
此时函数y=|g(x)|在(−∞，−12a]单调递减，在[−12a，+∞)上单调递增，
由复合函数的单调性，可得y=e|ax2+x+1|在(−∞，−12a]递减，在[−12a，+∞)上递增，且y>1，
此时选项B符合题意；
当当Δ=1−4a>0时，即0不妨设另个零点分别为x1，x2且x1<−12a此时函数y=|g(x)|在(−∞，−12a]单调递减，在[−12a，+∞)上单调递增，
可得y=g(x)在(−∞，x1]，[−12a，x2]递减，在[x1，−12a]，[x2，+∞)上递增，且g(x1)=g(x2)=0，
则y=e|ax2+x+1|在(−∞，x1]，[−12a，x2]递减，在[x1，−12a]，[x2，+∞)上递增，且eg(x1)=eg(x2)=1，
此时选项D符合题意.
综上可得，函数的图象可能是选项BD.
故答案为：BD.
【分析】由题意，函数y=e|ax2+x+1|，令g(x)=ax2+x+1，a>0，再利用抛物线的开口方向和对称性，再结合分类讨论的方法得出a的取值范围，再利用二次函数的图象求值域的方法，进而得出函数g(x)的值域，再利用单调函数的定义和绝对值的定义，从而判断出函数y=|g(x)|的单调性，由复合函数的单调性，即同增异减，可得y=e|ax2+x+1|的单调性，进而找出函数 y=e|ax2+x+1|的可能的图象。
13．【答案】[0,1)∪(1,+∞)
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由函数解析式知：
x≥0x−1≠0 ，解得 x≥0 且 x≠1 ，
∴函数定义域为 [0,1)∪(1,+∞) ，
故答案为： [0,1)∪(1,+∞)
【分析】根据解析式中 x 、 1x−1 的性质即可求定义域.
14．【答案】54
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数函数的图象与性质；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：f−4=2−4，ff−4=f2−4=2−412+1=2−2+1=54.
故答案为：54.
【分析】根据分段函数的知识即可求解.
15．【答案】-1
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：要使函数f(x)=(m2−m−1)xm2+m−3是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为减函数，
则m2−m−1=1m2+m−3<0，解得：m=-1．
故答案为：-1.
【分析】由幂函数的定义知，其系数值应为1，又在x∈（0，+∞）上是减函数，故其幂指数为负，由此即可转化出参数的所满足的条件．
16．【答案】①④
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：对于任意的不相等实数x1，x2，不等式 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)恒成立，
所以不等式等价x1−x2fx1−fx2>0为恒成立，
则函数fx是定义在R上的增函数；
①由一次函数的性质知， fx=3x+1在R上单调递增，符合题意；
②由指数函数的性质知，fx=12x+1在R上单调递减，不合题意；
③由二次函数的性质知，fx=x2+1在−∞，0上单调递减，在0，+∞上单调递增，不合题意；
④f(x)=−1x，x<−1x2+4x+5，x≥−1 ，
易知函数y=−1x在−∞，−1上单调递增，函数y=x2+4x+5在上−1，+∞单调递增，
且当x=-1时，−1x=1所以fx在R上单调递增，符合题意.
故答案为：①④.
【分析】不等式x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)等价为x1−x2fx1−fx2>0，即满足条件的函数为单调递增函数，利用基本初等函数的性质，依次判断函数的单调性即可得到结论．
17．【答案】（1）解：∵A={x|3≤x<7}，B={x|2∴A∪B=B={x|2（2）解：∵∁RA={x|x<3或x≥7}，∴(∁RA)∩B={x|2【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）直接利用并集的运算即可求解；
（2）首先求出 ∁RA，再结合交集的运算即可求解．
18．【答案】（1）解：原式=1+122×(49)12−(10−2)12=1+14×23−110=1615.
（2）解：原式=−9a23+12−16b12+13−56=−9a.
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）直接利用有理数指数幂的运算即可求解；
（2）直接利用有理数指数幂的运算即可求解.
19．【答案】（1）解：
（2）解：函数ℎ(x)=min{f(x)，g(x)}的图象如下：
解析式为ℎ(x)=−x2+2x+1(x⟨0或x⟩2)|x−1|，(0≤x≤2)
函数ℎ(x)单调增区间为(−∞，0)和[1，2]；单调减区间为[0，1）和(2，+∞)；
值域为(−∞，1]．
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值；函数的图象
【解析】【分析】（1）直接作图即可；
（2）根据函数h(x)的定义作出图象，结合图象写出h(x)的解析式和单调区间.
20．【答案】（1）解：当x>0时，-x<0时，f(-x)=-x2-4x-1，
因为f(x)是偶函数，所以f(x)=f(-x)=-x2-4x-1，
（2）解：因为f(x)在[−2，0]上单调递增，在[0，3]上单调递减，
所以f(x)max=f(0)=−1，f(x)min=min{f(−2)，f(3)}=−22
所以函数f(x)在[−2，，3]上的最大值为-1，最小值为-22.
【知识点】函数的最大（小）值；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）根据偶函数的性质得出x＞0时的解析式，得出答案；
（2）根据函数f(x)在[−2，0]上单调递增，在[0，3]上单调递减，即可求出f（x）的最值即可求解.
21．【答案】（1）解：当0当x≥70时，y=100x−(101x+6400x−2060)−400=1660−(x+6400x)
∴y=−12x2+6x−400，0（2）解：当0当x=60时，y取最大值1400万元；
当x≥70时，
y=1660−(x+6400x)≤1660−2x⋅6400x=1500，
当且仅当x=80时，取等号
综上所述，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；二次函数模型
【解析】【分析】（1）直接由已知写出分段函数解析式；
（2）当0＜x＜70时，利用配方法求最值，当x≥70时，利用基本不等式求最值，
22．【答案】（1）解：因为f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f(x)，所以−2x−a2x+1=2−x−a2−x+1，
所以a−2x2x+1=1−a⋅2x2x+1且1+2x>0，所以a−2x=1−a⋅2x，所以a(1+2x)=(1+2x)，
所以a=1；
（2）解：f(x)在R上单调递增，证明如下：
由条件知f(x)=2x−12x+1，任取x1所以f(x1)−f(x2)=2x1−12x1+1−2x2−12x2+1=(2x1−1)(2x2+1)−(2x2−1)(2x1+1)(2x1+1)(2x2+1)
=2(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1)，
又因为x1所以2x1−2x2<0且(2x1+1)(2x2+1)>0，
所以f(x1)−f(x2)<0，所以f(x1)所以f(x)在R上单调递增；
（3）解：f(f(x))+f(t)<0有解即f(f(x))<−f(t)有解，
由f(x)的奇偶性可知进一步等价于f(f(x))由f(x)的单调性可知进一步等价于f(x)<−t有解，
即关于x的不等式2x−12x+1<−t有解.
2x−12x+1=2x+1−22x+1=1−22x+1，
因为2x+1∈(1，+∞)，所以22x+1∈(0，2)，1−22x+1∈(−1，1)，
所以2x−12x+1的取值范围是(−1，1)，
所以−t>−1，所以t<1，
即t的取值范围是(−∞，1).
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）根据函数f(x) 为定义在R上的奇函数，可得f(−x)=−f(x)，代入即可求解；
（2）直接利用函数单调性的定义证明即可；
（3）根据不等式f(f(x))+f(t)<0有解即f(f(x))<−f(t)有解，利用f(x)为奇函数可得
f(f(x))