2023-2024学年陕西省汉中市城固县九年级（上）期中数学试卷(含解析)

这是一份2023-2024学年陕西省汉中市城固县九年级（上）期中数学试卷(含解析)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知（k+1）x|k﹣1|﹣4＝0是关于x的一元二次方程，则k的值为（ ）
A．﹣1B．0C．3D．﹣1或3
2．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．用配方法解方程x2﹣6x+4＝0时，配方后得的方程为（ ）
A．（x+3）2＝5B．（x﹣3）2＝﹣13
C．（x﹣3）2＝5D．（x﹣3）2＝13
4．如图，在Rt△ABC中，点D是AB的中点，若∠B＝25°，则∠ADC的度数为（ ）
A．50°B．48°C．55°D．25°
5．杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱．某商户8月份销售吉祥物“宸底”摆件10万个，10月份销售12.1万个．设该摆件销售量的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．10x2＝12.1B．10（1+2x）＝12.1
C．10（1+x）2＝12.1D．12.1（1﹣x）2＝10
6．学习电学知识后，小亮同学用四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．矩形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，若∠OAB＝30°，B（3，0），对角线AC与BD相交于点E，AC∥x轴，则BE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．6
8．如图，将等边△ABC沿AC边上的高线BD平移到△EFG，阴影部分面积记为S，若＝，S△ABC＝16cm2，则阴影部分面积S等于（ ）
A．12cm2B．9cm2C．10cm2D．8cm2
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．二维码具有储存量大、保密性高、追踪性高、抗损性强、备援性大、成本便宜等特性，手机二维码已经被各大手机厂商使用开发．如图是一个边长为4cm的正方形二维码的示意图，在这个正方形二维码区域内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.6左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积为 cm2．
10．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠D′的度数为 ．
11．美术专家认为：如果人的下半身高度与自己的身高之比是黄金分割数（≈0.62），那么就非常美丽．已知一个女孩的身高为155cm，下半身为94cm，请你替她选一个高度最理想的高跟鞋，则高度应为 cm．（保留两位小数）
12．若x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2＝ ．
13．如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠BAD＝120°，E为CD的中点，P为BD上一点且△PCE的周长最小，则△PCE的周长最小值为 ．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．解方程：x2﹣4x＝12
15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．以点O为位似中心，在第四象限内画一个△A1B1C1，使它与△ABC位似，且位似比为2：1，并写出点A，B，C的对应点A1，B1，C1的坐标．
16．在一个不透明的盒子里，装有若干个红色、白色（除了颜色外均相同）的小球，九（1）班数学兴趣小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复．下表是兴趣小组进行中的一组统计数据：
（1）表中的a＝ ；根据上表估计“摸到红球”的概率是 （精确到0.1）；
（2）如果盒子里有18个红球，求盒子里白球的个数．
17．如图，请用尺规在△ABC内作菱形BDEF，使得点D，E，F分别在BC，AC，AB上．（保留作图痕迹，不写作法）
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为其内一点，且AD，BD分别平分∠BAC，∠ABC．若DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，则四边形DECF是正方形吗？请说明理由．
19．如图，直线l1∥l2∥l3，且直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，F．
（1）若AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长；
（2）若，AB＝7，求AC的长．
20．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行道的宽度为多少米？
21．学习了“利用相似三角形测高”这一知识后，小辰和小辉所在数学兴趣小组的同学们周末带着测量工具去测量法门寺合十舍利塔的高度，他们的测量方法如下：如图2，小辰在点C处放置一平面镜，他从点C沿BC后退，当退行1.2米到点E处时，恰好在镜子中看到塔顶A的像，此时小辉测得小辰眼睛到地面的距离DE＝1.6米；然后小辰继续后退34.2米到点G处，此时小辰眼睛的水平视线与舍利塔的顶端A所成的角度（即∠AFD）是45°．已知点B，C，E，G在同一水平直线上，点D，F在同一水平直线上，且AB，DE，FG均垂直于BG，求合十舍利塔的高度AB．
22．2023年10月26日11时14分神舟十七号载人飞船成功发射.2023年，中国航天开启高质量、高效率、高效益发展新征程，中国人探索太空的脚步将迈得更稳更远!为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，阳光中学举办以“相约浩瀚太空，逐梦航天强国”为主题的演讲比赛．九（1）班的李晓和王颜都想参加比赛，他们演讲水平相当，但名额只有一个．为了公平起见，班委决定通过转动转盘来决定人选．如图给出A，B两个均分且标有数字的转盘，规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，两个指针所指区域的数字之和为2时，李晓获胜；数字之和为5时，王颜获胜，其他情况视为平局．（若指针恰好指在分割线上，则重转，直到指针指向某一区域为止）
（1）用画树状图或列表法求李晓获胜的概率；
（2）这个游戏规则对双方公平吗？请判断并说明理由．
23．已知关于x的一元二次方程kx2+（3k﹣4）x﹣12＝0．
（1）判断该方程实数根的情况；
（2）若该方程的根为整数，求k的值．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，AD⊥BC于点D．点E以2cm/s的速度从点B出发，沿BC向终点C运动，同时，点F以2cm/s的速度从点C出发，沿CA向终点A运动．设它们的运动时间为t（s），当t为何值时，以点E，F，C为顶点的三角形与△ACD相似？
25．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB．
（1）求证：四边形ABOE是菱形；
（2）若AO＝4，四边形ABOE的面积是，求BD的长．
26．课本再现：
（1）如图1，把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼接在一起，则∠ACF＝ ；
迁移应用：
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是CD边上一点（不与点C，D重合），连接BE，将BE绕点E顺时针旋转90°得到FE，连接FD并延长，交BC的延长线于点G，求证：CG＝BC；
拓展延伸：
（3）如图3，在菱形ABCD中，∠A＝120°，E是CD边上一点（不与点C，D重合），连接BE，将BE绕点E顺时针旋转120°得到FE，连接FD并延长，交BC的延长线于点G，求线段CG与BC之间的数量关系．（写出过程）
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．已知（k+1）x|k﹣1|﹣4＝0是关于x的一元二次方程，则k的值为（ ）
A．﹣1B．0C．3D．﹣1或3
【分析】利用一元二次方程的定义，可得出关于k的一元一次不等式及关于k的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出k的值．
解：∵（k+1）x|k﹣1|﹣4＝0是关于x的一元二次方程，
∴，
解得：k＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及绝对值，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
2．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用已知变形，再代入原式化简即可．
解：∵＝，
∴x＝y，
∴＝＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
3．用配方法解方程x2﹣6x+4＝0时，配方后得的方程为（ ）
A．（x+3）2＝5B．（x﹣3）2＝﹣13
C．（x﹣3）2＝5D．（x﹣3）2＝13
【分析】先移项，再配方，即可得出答案．
解：x2﹣6x+4＝0，
x2﹣6x＝﹣4，
x2﹣6x+9＝﹣4+9，
（x﹣3）2＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目比较好，难度适中．
4．如图，在Rt△ABC中，点D是AB的中点，若∠B＝25°，则∠ADC的度数为（ ）
A．50°B．48°C．55°D．25°
【分析】因为点D是AB的中点，则AD＝BD＝CD，根据等腰三角形的性质解答即可．
解：∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴AD＝BD＝CD，
∵∠B＝25°，
∴∠B＝∠BCD＝25°，
∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝25°+25°＝50°．
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
5．杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱．某商户8月份销售吉祥物“宸底”摆件10万个，10月份销售12.1万个．设该摆件销售量的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．10x2＝12.1B．10（1+2x）＝12.1
C．10（1+x）2＝12.1D．12.1（1﹣x）2＝10
【分析】利用该商户10月份销售吉祥物“宸底”摆件的数量＝该商户8月份销售吉祥物“宸底”摆件的数量×（1+该摆件销售量的月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：根据题意得：10（1+x）2＝12.1．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．学习电学知识后，小亮同学用四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种，即AD、BD、CD、DA、DB、DC，
∴小灯泡发光的概率为＝，
故选：C．
【点评】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．矩形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，若∠OAB＝30°，B（3，0），对角线AC与BD相交于点E，AC∥x轴，则BE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【分析】由直角三角形的性质可求AB＝2OB＝6，通过证明△ABE是等边三角形，可得BE＝AB＝6．
解：∵B（3，0），
∴OB＝3，
∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝60°，AB＝2OB＝6，
∵AC∥OB，
∴∠CAB＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AE＝CE＝BE＝DE，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
8．如图，将等边△ABC沿AC边上的高线BD平移到△EFG，阴影部分面积记为S，若＝，S△ABC＝16cm2，则阴影部分面积S等于（ ）
A．12cm2B．9cm2C．10cm2D．8cm2
【分析】根据平移的性质可知S△ABC＝S△EFG，AC∥EG，进而可证得△FMN∽△EFG∽△ABC，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论．
解：∵等边三角形ABC沿AC边上的高线BD平移到△EFG，
∴S△ABC＝S△EFG，AC∥EG，
∴△MFN∽△EFG∽△ABC，
∴，
∵＝，
∴，
∵△FMN的面积记为S，S△ABC＝16cm2，
∴，
解得S＝9cm2．
故选：B．
【点评】本题考查了平移的性质，相似三角形的性质，解题的关键是根据平移的性质证得阴影三角形与原来的三角形相似．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．二维码具有储存量大、保密性高、追踪性高、抗损性强、备援性大、成本便宜等特性，手机二维码已经被各大手机厂商使用开发．如图是一个边长为4cm的正方形二维码的示意图，在这个正方形二维码区域内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.6左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积为 9.6 cm2．
【分析】用总面积乘以落入黑色部分的频率即可得出答案．
解：边长为4cm的正方形的面积＝16cm2，
根据题意，据此可估计黑色部分的面积约为16×0.6＝9.6（cm2），
故答案为：9.6．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
10．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠D′的度数为 48° ．
【分析】利用相似多边形的性质以及四边形的内角和定理求解．
解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′＝102°，
∴∠D′＝360′﹣102°﹣90°﹣120°＝48°．
故答案为：48°．
【点评】本题考查相似多边形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质．
11．美术专家认为：如果人的下半身高度与自己的身高之比是黄金分割数（≈0.62），那么就非常美丽．已知一个女孩的身高为155cm，下半身为94cm，请你替她选一个高度最理想的高跟鞋，则高度应为 4.69 cm．（保留两位小数）
【分析】设高跟鞋的高度为xcm，则根据下身长与自己的身高之比是黄金分割数（≈0.62），解出即可得出答案．
解：设高跟鞋的高度是xcm，
依题意得 ＝0.618，
解得：x≈4.69，
即高跟鞋的高度应为4.69cm．
故答案为：4.69．
【点评】此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值，进一步根据黄金比的值求解．注意身高不要忘记加上高跟鞋的高度．
12．若x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2＝ 6 ．
【分析】根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣9，再整体代入即可求解．
解：∵x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣3，x1•x2＝﹣9，
∴x1+x2﹣x1x2
＝﹣3+9
＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
13．如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠BAD＝120°，E为CD的中点，P为BD上一点且△PCE的周长最小，则△PCE的周长最小值为 + ．
【分析】首先确定出△PCE的周长的最小值就是PE+PC的最小值+，然后利用将军饮马问题的模型构造出△PCE的周长的最小值AE，再利用勾股定理求出AE，进而解决问题．
解：连接AE交BD于点P，连接AC，PC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴对角线BD所在直线是其一条对称轴，点A，点C关于直线BD对称，
∴PC＝PA，
∵E是BC的中点，
∴EC＝EB＝，
∵△PCE的周长＝PC+PE+EC＝PA+PE+，
∴要求△PCE的周长的最小值可先求出PA+PE的最小值即可，
而PA+PE的最小值就是AE的长，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴∠ADC＝60°，AD＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD＝CD＝AB＝3，
∵E为CD的中点，
∴AE⊥CD，CE＝，
在Rt△ACE中，
AE＝＝，
∴△PCE的周长的最小值为+．
故答案为：+．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，掌握相关图形的性质和构造出最短路线是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．解方程：x2﹣4x＝12
【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
解：x2﹣4x＝12，
x2﹣4x﹣12＝0，
（x﹣6）（x+2）＝0，
x﹣6＝0或x+2＝0，
所以x1＝6，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．以点O为位似中心，在第四象限内画一个△A1B1C1，使它与△ABC位似，且位似比为2：1，并写出点A，B，C的对应点A1，B1，C1的坐标．
【分析】理由位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
解：如图，△A1B1C1即为所求．A1（4，﹣6），B1（6，﹣2），C1（2，﹣4）．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质．
16．在一个不透明的盒子里，装有若干个红色、白色（除了颜色外均相同）的小球，九（1）班数学兴趣小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复．下表是兴趣小组进行中的一组统计数据：
（1）表中的a＝ 0.59 ；根据上表估计“摸到红球”的概率是 0.6 （精确到0.1）；
（2）如果盒子里有18个红球，求盒子里白球的个数．
【分析】（1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可；根据统计数据，当n很大时，摸到红球的频率接近0.6；
（2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数．
解：（1）a＝295÷500＝0.59，“摸到红球的”的概率的估计值是0.6；
故答案为：0.59，0.6；
（2）18÷0.6﹣18＝12（个）．
答：除白球外，还有大约12个白色的小球．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
17．如图，请用尺规在△ABC内作菱形BDEF，使得点D，E，F分别在BC，AC，AB上．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作∠ABC的角平分线交AC于E，过点E作EF∥BC交AB于F，以E为圆心，EF的长为半径画弧交BC于D，则四边形BDEF即为所求．
解：如图所示，作∠ABC的角平分线交AC于E，过点E作EF∥BC交AB于F，以E为圆心，EF的长为半径画弧交BC于D，则四边形BDEF即为所求；
过点E作EG⊥AB，EH⊥BC，垂足分别为G、H，
∵BE平分∠ABC，
∴EG＝EH，
又∵EF＝DE，
∴Rt△EGF≌Rt△EHD（HL），
∴∠EFG＝∠EDH，
∵EF∥BC，
∴∠EFG＝∠ABC，
∴∠EDH＝∠ABC，
∴BF∥DE，
∴四边形BDEF是平行四边形，
又∵EF＝DE，
∴平行四边形BDEF是菱形．
【点评】本题主要考查了菱形的判定，角平分线的性质，角平分线的尺规作图，平行线的尺规作图，平行线的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为其内一点，且AD，BD分别平分∠BAC，∠ABC．若DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，则四边形DECF是正方形吗？请说明理由．
【分析】过D作DG垂直AB于点G，由三个角为直角的四边形为矩形得到四边形CEDF为矩形，由AD为角平分线，利用角平分线定理得到DG＝DF，同理得到DE＝DG，等量代换得到DE＝DF，利用邻边相等的矩形为正方形即可得证．
解：四边形DECF是正方形．
理由：如图，
过D作DG⊥AB，交AB于点G，
∵∠C＝∠DEC＝∠DFC＝90°，
∴四边形CEDF为矩形，
∵AD平分∠CAB，DF⊥AC，DG⊥AB，
∴DF＝DG；
∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DE⊥BC，
∴DE＝DG，
∴DE＝DF，
∴四边形CEDF为正方形．
【点评】此题考查了正方形的判定，以及角平分线定理，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键．
19．如图，直线l1∥l2∥l3，且直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，F．
（1）若AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长；
（2）若，AB＝7，求AC的长．
【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出DE的长；
（2）由平行线分线段成比例定理得出比例式，求出BC的长，即可得出AC的长．
解：（1）∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝＝，
∴DE＝EF＝6；
（2）∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB＝7，
∴BC＝，
∴AC＝7+＝．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
20．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行道的宽度为多少米？
【分析】设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为60米2，列出一元二次方程，再进行求解即可得出答案．
解：设人行道的宽度为x米（0＜x＜3），根据题意得：
（18﹣3x）（6﹣2x）＝60，
整理得，（x﹣1）（x﹣8）＝0．
解得：x1＝1，x2＝8（不合题意，舍去）．
答：人行通道的宽度是1米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，利用两块相同的矩形绿地面积之和为60米2得出等式是解题关键．
21．学习了“利用相似三角形测高”这一知识后，小辰和小辉所在数学兴趣小组的同学们周末带着测量工具去测量法门寺合十舍利塔的高度，他们的测量方法如下：如图2，小辰在点C处放置一平面镜，他从点C沿BC后退，当退行1.2米到点E处时，恰好在镜子中看到塔顶A的像，此时小辉测得小辰眼睛到地面的距离DE＝1.6米；然后小辰继续后退34.2米到点G处，此时小辰眼睛的水平视线与舍利塔的顶端A所成的角度（即∠AFD）是45°．已知点B，C，E，G在同一水平直线上，点D，F在同一水平直线上，且AB，DE，FG均垂直于BG，求合十舍利塔的高度AB．
【分析】根据题意可得DE＝FG＝1.6米，CE＝1.2米，EG＝34.2米，∠AFD＝45°，HF＝BG，AH＝HF＝x米，证明△DCE∽△ACB，对应边成比例求出x的值，进而可以解决问题．
解：如图，设FH⊥AB于点H，
根据题意可知：DE＝FG＝1.6米，CE＝1.2米，EG＝34.2米，∠AFD＝45°，HF＝BG，
∴AH＝HF，
设AH＝HF＝x米，
∴BC＝BG﹣CE﹣EG＝x﹣1.2﹣34.2＝（x﹣35.4）米，AB＝（x+1.6）米，
根据题意可知：∠DEC＝∠ABC＝90°，∠DCE＝∠ACB，
∴△DCE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴x＝146.4，
∴AH＝146.4（米），
∴AB＝146.4+1.6＝148（米）
答：合十舍利塔的高度AB为148米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
22．2023年10月26日11时14分神舟十七号载人飞船成功发射.2023年，中国航天开启高质量、高效率、高效益发展新征程，中国人探索太空的脚步将迈得更稳更远!为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，阳光中学举办以“相约浩瀚太空，逐梦航天强国”为主题的演讲比赛．九（1）班的李晓和王颜都想参加比赛，他们演讲水平相当，但名额只有一个．为了公平起见，班委决定通过转动转盘来决定人选．如图给出A，B两个均分且标有数字的转盘，规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，两个指针所指区域的数字之和为2时，李晓获胜；数字之和为5时，王颜获胜，其他情况视为平局．（若指针恰好指在分割线上，则重转，直到指针指向某一区域为止）
（1）用画树状图或列表法求李晓获胜的概率；
（2）这个游戏规则对双方公平吗？请判断并说明理由．
【分析】（1）画树状图，共有12种等可能的情况，其中两个指针所指区域的数字之和为2的结果有2种，再由概率公式求解即可；
（2）由（1）可知，共有12种等可能的情况，其中两个指针所指区域的数字之和为2的结果有2种，数字之和为5的结果有2种，再由概率公式求出李晓获胜的概率和王颜获胜的概率，即可得出结论．
解：（1）画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中两个指针所指区域的数字之和为2的结果有2种，
∴李晓获胜的概率＝＝；
（2）这个游戏规则对双方公平，理由如下：
由（1）可知，共有12种等可能的情况，其中两个指针所指区域的数字之和为2的结果有2种，数字之和为5的结果有2种，
∴李晓获胜的概率＝＝，王颜获胜的概率＝＝，
∴李晓获胜的概率＝王颜获胜的概率，
∴这个游戏对双方公平．
【点评】此题考查了游戏公平性的判断以及列表法与树状图法求概率，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．已知关于x的一元二次方程kx2+（3k﹣4）x﹣12＝0．
（1）判断该方程实数根的情况；
（2）若该方程的根为整数，求k的值．
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；
（2）利用因式分解法求得方程的解为x1＝，x2＝﹣3，该方程的根为整数即可得出k的值为±1，±2，±4．
解：（1）由判别式可知：Δ＝（3k﹣4）2﹣4•k•（﹣12）＝9k2+24k+16，
∵9k2+24k+16＝（3k+4）2≥0，
∴Δ≥0，
∴该方程有两个实数根；
（2）∵kx2+（3k﹣4）x﹣12＝0，
∴（kx﹣4）（x+3）＝0，
解得x1＝，x2＝﹣3，
∵该方程的根为整数，
∴k的值为±1，±2，±4．
【点评】本题考查根的判别式和解一元二次方程的应用，能正确运用相关知识是解题的关键．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，AD⊥BC于点D．点E以2cm/s的速度从点B出发，沿BC向终点C运动，同时，点F以2cm/s的速度从点C出发，沿CA向终点A运动．设它们的运动时间为t（s），当t为何值时，以点E，F，C为顶点的三角形与△ACD相似？
【分析】根据等腰三角形的性质求得DC＝4，然后分类讨论，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．
解：∵AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，AD⊥BC，
∴DC＝4cm，
∴依题意，CF＝2t cm，CE＝BC﹣BE＝（8﹣2t）cm，
当△ECF∽△DCA时，
∴，
即 ，
解得：；
当△ECF∽△ACD时，，
即 ，
解得：，
综上所述， 或 时，点E，F，C为顶点的三角形与△ACD相似．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，注意分类讨论是解题的关键．
25．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB．
（1）求证：四边形ABOE是菱形；
（2）若AO＝4，四边形ABOE的面积是，求BD的长．
【分析】（1）易证四边形ABOE是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论；
（2）连接BE，交OA于F，由菱形的性质得OA⊥BE，AF＝OF＝OA＝2，BF＝EF＝BE，再由菱形的面积求出BE＝6，则BF＝3，然后由勾股定理得出OB＝7，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD＝BD，
∵BD＝2AB，
∴AB＝OB，
∵AE∥BD，OE∥AB，
∴四边形ABOE是平行四边形，
又∵AB＝OB，
∴平行四边形ABOE是菱形；
（2）解：如图，连接BE，交OA于F，
∵四边形ABOE是菱形，
∴OA⊥BE，AF＝OF＝OA＝2，BF＝EF＝BE，
∵S四边形ABOE＝12＝OA•BE＝×4×BE＝2BE，
∴BE＝6，
∴BF＝3，
∴OB＝＝，
∴BD＝2OB＝2，
即BD的长为2．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
26．课本再现：
（1）如图1，把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼接在一起，则∠ACF＝ 90° ；
迁移应用：
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是CD边上一点（不与点C，D重合），连接BE，将BE绕点E顺时针旋转90°得到FE，连接FD并延长，交BC的延长线于点G，求证：CG＝BC；
拓展延伸：
（3）如图3，在菱形ABCD中，∠A＝120°，E是CD边上一点（不与点C，D重合），连接BE，将BE绕点E顺时针旋转120°得到FE，连接FD并延长，交BC的延长线于点G，求线段CG与BC之间的数量关系．（写出过程）
【分析】（1）因为矩形ABCD和矩形CEFG全等，所以AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，则△ABC≌△CEF，所以AC＝CF，∠ACB＝∠CFE，则∠ACB+∠FCE＝∠CFE+∠FCE＝90°，所以∠ACF＝∠ACD+∠GCE﹣（∠ACB+∠FCE）＝90°，于得到问题的答案；
（2）作FP⊥CD交CD的延长线于点P，则∠BCE＝∠P＝90°，BC＝CD，由旋转得BE＝EF，∠BEF＝90°，则∠CBE＝∠PEF＝90°﹣∠BEC，可证明△BCE≌△EPF，得CE＝PF，BC＝PE，所以CD＝PE，可推导出CE＝PD，所以PD＝PF，再证明∠G＝∠CDG＝45°，则CG＝CD，所以CG＝BC；
（3）延长CD到点Q，使EQ＝BC，连接FQ，由菱形的性质得DC＝BC，∠BCD＝∠A＝120°，则EQ＝DC，可推导出QD＝CE，由旋转得EF＝BE，∠BEF＝120°，则∠QEF＝∠CBE＝60°﹣∠BEC，可证明△QEF≌△CBE，得∠Q＝∠BCE＝120°，QF＝CE，于是得QD＝QF，进而证明∠GDC＝30°，∠GCD＝60°，则∠G＝90°，所以CG＝DC，则CG＝BC．
【解答】（1）解：∵矩形ABCD和矩形CEFG全等，
∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，
∴△ABC≌△CEF（SAS），
∴AC＝CF，∠ACB＝∠CFE，
∴∠ACB+∠FCE＝∠CFE+∠FCE＝90°，
∵∠ACD＝∠GCE＝90°，
∴∠ACF＝∠ACD+∠GCE﹣（∠ACB+∠FCE）＝90°，
故答案为：90°．
（2）证明：如图2，作FP⊥CD交CD的延长线于点P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCE＝∠P＝90°，BC＝CD，
由旋转得BE＝EF，∠BEF＝90°，
∴∠CBE＝∠PEF＝90°﹣∠BEC，
在△BCE和△EPF中，
，
∴△BCE≌△EPF（AAS），
∴CE＝PF，BC＝PE，
∴CD＝PE，
∴CD﹣DE＝PE﹣DE，
∴CE＝PD，
∴PD＝PF，
∴∠CDG＝∠PDF＝∠PFD＝45°，
∵∠DCG＝90°，
∴∠G＝∠CDG＝45°，
∴CG＝CD，
∴CG＝BC．
（3）解：如图3，延长CD到点Q，使EQ＝BC，连接FQ，
∵四边形ABCD是菱形，∠A＝120°，
∴DC＝BC，∠BCD＝∠A＝120°，
∴EQ＝DC，
∴EQ﹣DE＝DC﹣DE，
∴QD＝CE，
由旋转得EF＝BE，∠BEF＝120°，
∴∠QEF＝∠CBE＝180°﹣120°﹣∠BEC＝60°﹣∠BEC，
在△QEF和△CBE中，
，
∴△QEF≌△CBE（SAS），
∴∠Q＝∠BCE＝120°，QF＝CE，
∴QD＝QF，
∴∠GDC＝∠QDF＝∠QFD＝×（180°﹣120°）＝30°，
∵∠GCD＝180°﹣∠BCD＝60°，
∴∠G＝180°﹣∠﹣GCD﹣∠GDC＝90°，
∴CG＝DC，
∴CG＝BC．
【点评】此题重点考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
摸球的次数n
100
150
200
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摸到红球的次数m
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96
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295
480
601
摸到红球的频率
0.59
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