2023-2024学年辽宁省沈阳126中八年级（上）期中数学试卷(含解析)

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳126中八年级（上）期中数学试卷(含解析)，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知△ABC的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，三边分别为a、b、c，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：7B．∠A＝∠B﹣∠C
C．a：b：c＝2：3：4D．b2＝（a+c）（a﹣c）
2．若，则a的取值范围是（ ）
A．2＜a＜3B．3＜a＜4C．4＜a＜5D．5＜a＜6
3．下面分别给出了变量x与y之间的对应关系，其中y不是x函数的是（ ）
A．B．
C．D．
4．直线y＝kx+b过点A（﹣3，y1），B（4，y2），若k＜0，则y1与y2大小关系为（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．不能确定
5．已知是二元一次方程组的解，则4n﹣2m的算术平方根为（ ）
A．2B．C．±2D．
6．一次函数y＝kx﹣k的大致图象可能如图（ ）
A．B．
C．D．
7．已知钓鱼杆AC的长为10米，露在水上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到ACˈ的位置，此时露在水面上的鱼线BʹCʹ长度为8米，则BBʹ的长为（ ）
A．4米B．3米C．2米D．1米
8．如图，已知函数y＝2x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b＝ax﹣3的解是（ ）
A．x＝﹣2B．x＝﹣5C．x＝0D．都不对
9．圆柱形杯子的高为18cm，底面周长为24cm，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为（ ）
A．10B．28C．20D．24
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，CD⊥AB于D点，M、N是AC、BC上的动点，且∠MDN＝90°，下列结论：①AM＝CN；②四边形MDNC的面积为定值；③AM2+BN2＝MN2；④若AM＝1，则MN＝．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每题3分，共18分）
11．函数y＝中自变量x的取值范围是 ．
12．已知直角三角形的两边长为3和4，则直角三角形的面积为 ．
13．已知y和x﹣2成正比例，当x＝3时，y＝﹣4，则y与x的函数关系式为 ．
14．若2a+1的平方根是±3，3b﹣1的立方根是2，则a+b的值是 ．
15．如图1，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有部分水，现在匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的高度y（cm）和注水时间x（s）之间的关系满足如图2中的图象，则至少需要 s能把小水杯注满．
16．如图，在长方形ABCD中，AB＝9，AD＝2，E是AB边上一点，AE＝3，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E，A′，C三点在一条直线上时，DF的长为 ．
三、解答题（第17题6分，第18，19题各8分，共22分）
17．用适当的方法解二元一次方程组：
．
18．计算：
（1）（）﹣1+（1﹣）0+|﹣2|；
（2）÷﹣×+．
19．在平面直角坐标系中，有A（﹣2，a+1），B（a﹣1，4），C（b﹣2，b）三点．
（1）当点C在x轴上时，点C的坐标为 ．
（2）当点C在y轴上时，点C的坐标为 ．
（3）当AB∥x轴时，A，B两点间的距离为 ．
（4）当CD⊥x轴于点D，且CD＝1时，点C的坐标为 ．
四、（每小题8分，共16分）
20．细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题．（其中Sn表示图中第n个三角形的面积），
，S1＝，，S2＝，，S3＝；⋯⋯
（1）用含有n（n是正整数）的式子表示；＝ ，Sn＝ ；
（2）若一个三角形的面积是，则说明这是第 个三角形．
（3）+++⋯+的值为 ．
21．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
五、（本题10分）
22．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC为格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形），点B的坐标是（﹣2，0）．
（1）点A的坐标为 ，点C的坐标为 ．
（2）请作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′（点A与点A′对应，点B与点B′对应，点C与点C′对应）：
（3）y轴正半轴上存在点P，使△BCP为等腰三角形，则点P的坐标为 ．
六、（本题10分）
23．学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）学校与图书馆之间的距离为 米．
（2）根据图象信息，甲的速度为 米/分钟，乙的速度为 米/分钟，点A的坐标为 ．
（3）甲乙两人出发时间为 分钟时，两人之间的距离为300米．
七、（本题12分）
24．如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，AD＝BD，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）请写出线段BF与AE之间的数量关系，并给出证明．
（2）若CD＝，则△CDF的周长为 ．
（3）若点P为平面内一点，且在直线BC的上方，DF＝1，BD＝3，当△PBF为等腰直角三角形时，连接PD，请直接写出线段PD的长．
八、（本题12分）
25．如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，且BC⊥OC于点C，点D是线段OC上一点，且满足△AOD是等边三角形，∠B＝60°．
（Ⅰ）当OD＝4，AB＝4时
（1）CD的长为 ；点A坐标为 ；点B坐标为 ．
（2）平行于AD的直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移．设直线l被四边形OABC截得的线段长为m，直线l与x轴交点的横坐标为t．
①当直线l与x轴的交点在线段CD上（交点不与点C，D重合）时，请直接写出m与t的函数关系式（不必写出自变量t的取值范围）
②若m＝2，请直接写出此时直线l与x轴的交点坐标．
（Ⅱ）如图2，当点F在线段OD上，DF＝2，连接AF，∠AFO为锐角，点E在线段DA延长线上，且满足AE＝，连接OE，当∠AFO＝2∠E时，请直接写出点F的坐标．
参考答案
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．已知△ABC的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，三边分别为a、b、c，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：7B．∠A＝∠B﹣∠C
C．a：b：c＝2：3：4D．b2＝（a+c）（a﹣c）
【分析】利用三角形的内角和定理判定A、B，利用勾股定理的逆定理判定C、D．
解：设∠A、∠B、∠C的度数分别为3x°、4x°、7x°，
∵3x°+4x°＝7x°，3x°+4x°+7x°＝180°，
∴∠C＝90°，故选项A能判定△ABC是直角三角形；
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B﹣∠C
∴∠B＝90°，故选项B能判定△ABC是直角三角形；
设a、b、c的边长分别为2a、3a、4a，
∵（2a）2+（3a）2＝13a2≠（4a）2，
∴∠C≠90°，故选项C不能判定△ABC是直角三角形；
∵b2＝（a+c）（a﹣c）＝a2﹣c2，
∴b2+c2＝a2，
∴∠A＝90°，故选项D能判定△ABC是直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的判定，掌握“有一个角是直角或者两角的和等于第三个角的三角形是直角三角形”、“三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形”是解决本题的关键．
2．若，则a的取值范围是（ ）
A．2＜a＜3B．3＜a＜4C．4＜a＜5D．5＜a＜6
【分析】先确定3的取值范围，再利用不等式的性质得结论．
解：∵3＝，
∴6＜3＜7．
∴4＜3﹣2＜5．
故选：C．
【点评】本题考查了无理数大小的估算，掌握不等式的性质和无理数比较大小的方法是解决本题的关键．
3．下面分别给出了变量x与y之间的对应关系，其中y不是x函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答．
解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x函数，故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x函数，故C不符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x函数，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
4．直线y＝kx+b过点A（﹣3，y1），B（4，y2），若k＜0，则y1与y2大小关系为（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．不能确定
【分析】根据k＜0可得出一次函数的增减性，进而解决问题．
解：因为k＜0，
所以y＝kx+b中y随x的增大而减小，
又﹣3＜4，
所以y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，能根据k＜0得出一次函数的增减性是解题的关键．
5．已知是二元一次方程组的解，则4n﹣2m的算术平方根为（ ）
A．2B．C．±2D．
【分析】把x与y的值代入方程组求出m与n的值，即可求出所求．
解：把代入方程组得：，
解得：，
则4n﹣2m＝8﹣6＝2，即2的算术平方根是，
故选：B．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．一次函数y＝kx﹣k的大致图象可能如图（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数图象：k＞0，b＞0图象经过一二三象限，k＞0，b＜0图象经过一三四象限，k＜0，b＜0，图象经过二三四象限，k＜0，b＞0图象经过一二四象限，可得答案．
解：当k＞0时，﹣k＜0，图象经过一三四象限，
A、k＞0，﹣k＞0，故A不符合题意；
B、k＞0，﹣k＜0，故B符合题意；
C、k＜0，﹣k＜0，故C不符合题意；
D、k＜0，﹣k＝0，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象，熟记函数图象与k、b的关系是解题关键．
7．已知钓鱼杆AC的长为10米，露在水上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到ACˈ的位置，此时露在水面上的鱼线BʹCʹ长度为8米，则BBʹ的长为（ ）
A．4米B．3米C．2米D．1米
【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB′，再根据BB′＝AB﹣AB′即可得出答案．
解：在Rt△ABC中，AC＝10m，BC＝6m，
∴AB＝＝＝8（m），
在Rt△AB′C′中，AC′＝10m，B′C′＝8m，
∴AB′＝＝6（m），
∴BB′＝AB﹣AB′＝8﹣6＝2（m）；
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出AB和AB′是解题的关键．
8．如图，已知函数y＝2x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b＝ax﹣3的解是（ ）
A．x＝﹣2B．x＝﹣5C．x＝0D．都不对
【分析】根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案．
解：∵函数y＝2x+b，y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），
则根据图象可得不等式2x+b＝ax﹣3的解集是x＝﹣2，
故选：A．
【点评】此题考查了一次函数与一元一次方程的应用，主要考查学生的观察能力和理解能力，题型较好，难度不大．
9．圆柱形杯子的高为18cm，底面周长为24cm，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为（ ）
A．10B．28C．20D．24
【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
解：如图所示，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝ （cm）．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理、最短路径等知识．将圆柱侧面展开，化曲面为平面并作出A关于EF的对称点A′是解题的关键．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，CD⊥AB于D点，M、N是AC、BC上的动点，且∠MDN＝90°，下列结论：①AM＝CN；②四边形MDNC的面积为定值；③AM2+BN2＝MN2；④若AM＝1，则MN＝．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据等腰直角三角形的性质可以得出△AMD≌△CND就可以得出AM＝CN，就可以得出CM＝BN，根据勾股定理就可以得出结论．
解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，AD＝BD＝CD＝AB，∠ACD＝∠BCD＝∠A＝∠B＝45°，
∵∠MDN＝90°，
∴∠ADM＝∠CDN．
在△AMD和△CND中，
，
∴△AMD≌△CND（ASA），
∴AM＝CN，DM＝DN，S△AMD＝S△CND．
∴CM＝BN．
∵四边形MDNC的面积＝S△CDM+S△CDN＝S△CDN+S△ADM＝SADC．故为定值．
∵CM2+CN2＝MN2，
∴BN2+AM2＝MN2．
若AM＝1，则BN＝CM＝3，故MN＝．
∴正确的有：①②③④．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时熟练掌握等腰直角三角形的性质和证明三角形全等是关键．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．函数y＝中自变量x的取值范围是 x≥﹣且x≠1 ．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可．
解：根据题意得，2x+1≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣且x≠1．
故答案为：x≥﹣且x≠1．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．已知直角三角形的两边长为3和4，则直角三角形的面积为 或6 ．
【分析】分为两种情况：①斜边AB＝4，②直角边AC＝4，再求出答案即可．
解：△ABC中，∠C＝90°，
分为两种情况：
①当斜边AB＝4，BC＝3时，由勾股定理得：AC＝＝＝，
△ABC的面积是＝×3＝；
②当BC＝3，AC＝4时，△ABC的面积是＝＝6，
所以直角三角形的面积为或6，
故答案为：或6．
【点评】本题考查了直角三角形的面积和勾股定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
13．已知y和x﹣2成正比例，当x＝3时，y＝﹣4，则y与x的函数关系式为 y＝﹣4x+8 ．
【分析】设正比例函数的解析式为y＝k（x﹣2），再把当x＝3时，y＝﹣4代入求出k的值即可得出结论．
解：设正比例函数的解析式为y＝k（x﹣2），
∵当x＝3时，y＝﹣4，
∴﹣4＝k（3﹣2），
∴k＝﹣4，
∴y＝﹣4（x﹣2）＝﹣4x+8．
故答案为：y＝﹣4x+8．
【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
14．若2a+1的平方根是±3，3b﹣1的立方根是2，则a+b的值是 7 ．
【分析】根据平方根及立方根的定义分别求得a，b的值，然后将其代入a+b中计算即可．
解：∵2a+1的平方根是±3，3b﹣1的立方根是2，
∴2a+1＝9，3b﹣1＝8，
解得：a＝4，b＝3，
则a+b＝4+3＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查立方根及平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
15．如图1，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有部分水，现在匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的高度y（cm）和注水时间x（s）之间的关系满足如图2中的图象，则至少需要 5 s能把小水杯注满．
【分析】一次函数的首先设解析式为：y＝kx+b，然后利用待定系数法即可求得其解析式，再由y＝11，即可求得答案．
解：设一次函数的首先设解析式为：y＝kx+b，
将（0，1），（2，5）代入得：
，
解得：，
∴解析式为：y＝2x+1，
当y＝11时，2x+1＝11，
解得：x＝5，
∴至少需要5s能把小水杯注满．
故答案为：5．
【点评】此题考查了一次函数的实际应用问题．注意求得一次函数的解析式是关键．
16．如图，在长方形ABCD中，AB＝9，AD＝2，E是AB边上一点，AE＝3，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E，A′，C三点在一条直线上时，DF的长为 9﹣2或9+2 ．
【分析】在旋转过程中A有两次和E，C在一条直线上，第一次在EC线段上，第二次在CE线段的延长线上，利用平行的性质证出CF＝CE，即可求解．
解：如图：
将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A'，
∴∠AEF＝∠A'EF，AE＝A'E，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CF＝CE，
∵AB＝9，AD＝2，AE＝3，
∴CF＝CE＝9﹣DF，A'E＝3，BE＝6，BC＝2，
∴EC＝2，
∴9﹣DF＝2，
∴DF＝9﹣2；
如图：
由折叠∠FEA'＝∠FEA，
∵AB∥CD，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CF＝CE，
∴CF＝2，
∴DF＝9+2；
故答案为：9﹣2或9+2．
【点评】本题考查矩形的性质，图形的折叠；根据动点的情况分析出旋转过程中A有两次和E，C在一条直线上是解题的关键．
三、解答题（第17题6分，第18，19题各8分，共22分）
17．用适当的方法解二元一次方程组：
．
【分析】方程组利用加减消元法求解即可．
解：，
①+②，得3x＝9，
解得x＝3，
把x＝3代入②，得y＝3，
故原方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18．计算：
（1）（）﹣1+（1﹣）0+|﹣2|；
（2）÷﹣×+．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
解：（1）（）﹣1+（1﹣）0+|﹣2|
＝2+1+2﹣
＝5﹣；
（2）÷﹣×+
＝﹣+4
＝﹣+4
＝4﹣2+4
＝2+4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．在平面直角坐标系中，有A（﹣2，a+1），B（a﹣1，4），C（b﹣2，b）三点．
（1）当点C在x轴上时，点C的坐标为 （﹣2，0） ．
（2）当点C在y轴上时，点C的坐标为 （0，2） ．
（3）当AB∥x轴时，A，B两点间的距离为 4 ．
（4）当CD⊥x轴于点D，且CD＝1时，点C的坐标为 （﹣1，1）或（﹣3，﹣1） ．
【分析】（1）利用x轴上点的坐标特征得到b＝0，求出b得到C点坐标；
（2）利用y轴上点的坐标特征得到b﹣2＝0，求出b得到C点坐标；
（3）利用与x轴平行的直线上点的坐标特征得到a+1＝4，求出a得到A、B点的坐标，然后计算两点之间的距离；
（4）利用垂直于x轴的直线上点的坐标特征得到|b|＝1，然后求出b得到C点坐标．
解：（1）∵点C在x轴上，
∴b＝0，解得b﹣2＝﹣2，
∴C点坐标为（﹣2，0）；
（2）∵点C在y轴上，
∴b﹣2＝0，解得b＝2，
∴C点坐标为（0，2）；
（3）∵AB∥x轴，
∴A、B点的纵坐标相同，
∴a+1＝4，解得a＝3，
∴A（﹣2，4），B（2，4），
∴A，B两点间的距离＝2﹣（﹣2）＝4；
（4）∵CD⊥x轴，CD＝1，
∴|b|＝1，解得b＝±1，
∴C点坐标为（﹣1，1）或（﹣3，﹣1）．
故答案为：（1）（﹣2，0）；（2）（0，2）；（3）4；（4）（﹣1，1）或（﹣3，﹣1）．
【点评】本题考查两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．也考查了坐标轴上点的坐标特征．
四、（每小题8分，共16分）
20．细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题．（其中Sn表示图中第n个三角形的面积），
，S1＝，，S2＝，，S3＝；⋯⋯
（1）用含有n（n是正整数）的式子表示；＝ n ，Sn＝ ；
（2）若一个三角形的面积是，则说明这是第 28 个三角形．
（3）+++⋯+的值为 ．
【分析】（1）由勾股定理及直角三角形的面积求解；
（2）利用（1）的规律代入Sn＝，求出n即可；
（3）算出第一到第十个三角形的面积后求和即可．
解：（1）因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：
OA1＝，OA2＝，OA3＝…，OAn＝，
所以＝n．
Sn＝•1•＝．
故答案为：n，．
（2）当Sn＝时，有：＝，
解之得：n＝28，
即它是第28个三角形．
故答案为：28；
（3）+++…++
＝++…+
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理以及二次根式的应用，解题的关键是看清楚相邻两个三角形的各个边之间的关系．
21．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）先把A点和B点坐标代入y＝kx+b得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）先确定D点坐标，然后根据三角形面积公式和△AOB的面积＝S△AOD+S△BOD进行计算．
解：（1）把A（﹣2，﹣1），B（1，3）代入y＝kx+b得，
解得．
所以一次函数解析式为y＝x+；
（2）把x＝0代入y＝x+，
得y＝，
所以D点坐标为（0，），
所以△AOB的面积＝S△AOD+S△BOD
＝××2+××1
＝．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积．
五、（本题10分）
22．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC为格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形），点B的坐标是（﹣2，0）．
（1）点A的坐标为 （﹣5，4） ，点C的坐标为 （﹣1，2） ．
（2）请作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′（点A与点A′对应，点B与点B′对应，点C与点C′对应）：
（3）y轴正半轴上存在点P，使△BCP为等腰三角形，则点P的坐标为 （0，）或（0，1） ．
【分析】（1）根据点的位置写出坐标即可；
（2）分别作出A，B，C关于x轴的对称点A′，B′，C′即可；
（3）设P点坐标为（0，m），分三种情况讨论：PC＝PB，BC＝PB，BC＝PC，据此解答．
解：（1）如图，A（﹣5，4），C（﹣1，2）．
故答案为：（﹣5，4），（﹣1，2）；
（2）如图，△A′B′C′即为所求；
（3）设P点坐标为（0，m），
当PC＝PB时，22+x2＝12+（2﹣x）2，
解得：x＝，
∴此时P点坐标为（0，）；
当BC＝PB时，（﹣1+2）2+22＝22+m2，
解得：x＝1或﹣1（不合题意，舍去），
∴此时P点坐标为（0，1）；
当BC＝PC时，（﹣1+2）2+22＝12+（m﹣2）2，
解得：x＝0（不合题意，舍去）或4（不合题意，舍去），
综上，P点坐标为（0，）或（0，1）．
故答案为：（0，）或（0，1）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，勾股定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
六、（本题10分）
23．学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）学校与图书馆之间的距离为 2400 米．
（2）根据图象信息，甲的速度为 40 米/分钟，乙的速度为 60 米/分钟，点A的坐标为 （40，1600） ．
（3）甲乙两人出发时间为 21或27 分钟时，两人之间的距离为300米．
【分析】（1）根据图象，当t＝0时，y＝2400，此时甲乙二人分别位于学校和图书馆，他们之间的距离就是学校与图书馆之间的距离；
（2）由图象可知，在点B时甲到达图书馆，根据速度＝路程÷时间可求出甲的速度；当t＝24时，甲乙二人相遇，根据这个条件和甲的速度可求出乙的速度；在点A时乙到达学校，根据时间＝路程÷速度可求出点A的横坐标，再根据路程＝速度×时间求出此时甲行走的路程，这个路程就是二人之间的距离，即点A的纵坐标，从而得到点A的坐标；
（3）用待定系数法求出y关于t的函数表达式，为分段函数，当y＝300时分别求出对应t的值即可．
解：（1）由图象可知，当t＝0时，y＝2400，
∴学校与图书馆之间的距离为2400米，
故答案为：2400；
（2）甲的速度为2400÷60＝40（米/分钟），乙的速度为（2400﹣24×40）÷24＝60（米/分钟），
乙到达学校所用的时间为2400÷60＝40（分钟），当乙到达学校时甲行走的路程为40×40＝1600（米），
∴A（40，1600），
故答案为：40，60，（40，1600）；
（3）当0≤t＜24时，设y＝k1t+a．将坐标（0，2400）和（24，0）代入，
得，解得，
∴y＝﹣100t+2400（0≤t＜24）；
当24≤t＜40时，设y＝k2t+b．将坐标（24，0）和（40，1600）代入，
得，解得，
∴y＝100t﹣2400（24≤t＜40）；
当40≤t≤60时，设y＝k3t+c．交坐标（40，1600）和（60，2400）代入，
得，解得，
∴y＝40t（40≤t≤60）．
综上，y＝．
若﹣100t+2400＝300，解得t＝21；
若100t﹣2400＝300，解得t＝27；
若40t＝300，解得t＝（不符合题意，舍去）．
∴甲乙两人出发时间为21或27分钟时，两人之间的距离为300米．
故答案为：21或27．
【点评】本题考查一次函数的应用，根据图象弄清二人行走的整个过程是本题的关键．
七、（本题12分）
24．如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，AD＝BD，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）请写出线段BF与AE之间的数量关系，并给出证明．
（2）若CD＝，则△CDF的周长为 2+2 ．
（3）若点P为平面内一点，且在直线BC的上方，DF＝1，BD＝3，当△PBF为等腰直角三角形时，连接PD，请直接写出线段PD的长．
【分析】（1）证明△BDF≌△ADC（ASA），由全等三角形的性质得出BF＝AC，证出AE＝CE，则可得出结论；
（2）由勾股定理可得出答案；
（3）分三种情况，由等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理可得出答案．
解：（1）BF＝2AE．
证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠AEB＝∠ADC＝∠BDF＝90°，
∵∠AFE＝∠BFD，∠FBD+∠BFD＝90°，∠AFE+∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝∠DBF，
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴BF＝AC，
∵AB＝BC，BE⊥AC，
∴AE＝CE，
即AC＝2AE，
∴BF＝2AE；
（2）∵△BDF≌△ADC，
∴DF＝CD＝，
∴CF＝＝2，
∴△CDF的周长为CF+CD+DF＝2+2．
故答案为：；
（3）PD的长为5或或．
若点B为直角顶点，过点P作PM⊥BD于点M，
∵∠PBM+∠FBD＝90°，∠FBD+∠BFD＝90°，
∴∠PBM＝∠BFD，
∵∠PMB＝∠BDF＝90°，PB＝BF，
∴△PMB≌△BDF（AAS），
∴PM＝BD＝3，BM＝DF＝1，
∴DM＝4，
∴PD＝＝＝5；
若点F为直角顶点，过点P作PN⊥AD于点N，
同理可得△PNF≌△FDB，
∴PN＝DF＝1，FN＝DB＝3，
∴DN＝4，
∴PD＝＝；
若P为直角顶点，过点P作AD的垂线，过点B作PN的垂线，垂足分别为M，N，
同理可得出△PNB≌△FMP，
∴BN＝PM，NP＝MF，
∴MF+1＝PM，
∴MF+MF+1＝3，
∴MF＝1，
∴PM＝2，
∴PD＝＝2．
综上所述，PD的长为5或或2．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
八、（本题12分）
25．如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，且BC⊥OC于点C，点D是线段OC上一点，且满足△AOD是等边三角形，∠B＝60°．
（Ⅰ）当OD＝4，AB＝4时
（1）CD的长为 4 ；点A坐标为 （2，2） ；点B坐标为 （8，4） ．
（2）平行于AD的直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移．设直线l被四边形OABC截得的线段长为m，直线l与x轴交点的横坐标为t．
①当直线l与x轴的交点在线段CD上（交点不与点C，D重合）时，请直接写出m与t的函数关系式（不必写出自变量t的取值范围）
②若m＝2，请直接写出此时直线l与x轴的交点坐标．
（Ⅱ）如图2，当点F在线段OD上，DF＝2，连接AF，∠AFO为锐角，点E在线段DA延长线上，且满足AE＝，连接OE，当∠AFO＝2∠E时，请直接写出点F的坐标．
【分析】（Ⅰ）（1）如图1中，作AM⊥OD于M，作AN⊥BC于点N，首先证明四边形AMCN是矩形，求出AM，CM，OM，BN，即可解决问题．
（2）①如图3，因为∠B＝60°，BC＝4，所以PC＝12，EM＝m，因为OC＝8，所以PO＝4，OF＝t，MF＝m，OM＝t﹣m，所以PM＝4+（t﹣m），根据△PME∽△PCB即可求得m＝t+2；
②如图4，△OEF是等边三角形所以OF＝EF＝m＝2，在Rt△PCF′中∠CF′P＝60°，∠BPE′＝∠CPF′＝30°，所以BP＝PE′÷sin∠B＝，PC＝4﹣＝，则CF′＝＝，即可得出答案．
（Ⅱ）在FC上截取FN＝AF，证明△AEO≌△DNA（AAS），可得DN＝AE＝，则NF＝AF＝DF+DN＝，作AM⊥OD于M，设OM＝a，则DM＝a，OD＝2a，AM＝a，在Rt△AMF中，利用勾股定理求出a的值，即可求解．
解：（Ⅰ）（1）如图1中，作AM⊥OD于M，作AN⊥BC于点N，
∵OD＝4，AB＝4，△AOD是等边三角形，∠B＝60°．
∴OM＝DM＝2，AM＝2，∠BAN＝30°，
∴BN＝AB＝2，AN＝6，点A坐标为（2，2），
∵BC⊥OC，AM⊥OD，AN⊥BC，
∴∠AMC＝∠ANC＝∠NCM＝90°，
∴四边形AMCN是矩形，
∴AM＝CN＝2，CM＝AN＝6，
∴BC＝BN+CN＝4，CD＝CM﹣DM＝6﹣2＝4，OC＝OM+CM＝2+6＝8，
∴点B的坐标为（8，4）．
故答案为：4，（2，2），（8，4）．
（2）①如图3，设直线l被四边形OABC截得的线段长为EF＝m，直线l与x轴交点F的横坐标为t．EF交AN于G，
∵AD∥EF，
∴∠EFD＝∠ADO＝60°，
∵四边形AMCN是矩形，
∴AN∥CM，
∴四边形ADFG是平行四边，∠EFD＝∠AGE＝60°，
∴FG＝AD＝4，AG＝DF，
∵∠BAN＝30°，
∴∠AEG＝90°，
∴AG＝2EG＝2（m﹣GF）＝2（m﹣4）＝2m﹣8，
∴AF＝OD+DF＝4+2m﹣8＝t，
∴m＝t+2；
②如图4，设直线l被四边形OABC截得的线段长为EF＝m或E′P＝m，
如图4，
∵AD∥EF，
∴∠EFO＝∠ADO＝60°，
∴△OEF是等边三角形，
∴OF＝EF＝m＝2，
∴此时直线l与x轴的交点坐标为（2，0）；
在Rt△PCF′中∠CF′P＝∠ADO＝60°，
∴∠BPE′＝∠CPF′＝30°，
∴BP＝PE′÷sin∠B＝，
∴PC＝4﹣＝，
∴CF′＝＝，
∴OF′＝8+＝．
∴此时直线l与x轴的交点坐标为（，0）；
综上，若m＝2，此时直线l与x轴的交点坐标为（2，0）或（，0）；
（Ⅱ）如图2，在FC上截取FN＝AF，
∴∠FAN＝∠ANF，
∴∠AFO＝∠FAN+∠ANF＝2∠ANF，
∵∠AFO＝2∠E，
∴∠ANF＝∠E，
∵△AOD是等边三角形，
∴∠OAD＝∠ADO＝60°，AD＝OA，
∴∠ADN＝∠OAE，
∴△AEO≌△DNA（AAS），
∴DN＝AE＝，
∴NF＝AF＝DF+DN＝，
作AM⊥OD于M，设OM＝a，则DM＝OM＝a，OD＝2a，AM＝a，
在Rt△AMF中，AM2+MF2＝AF2，
∴（a）2+（a﹣2）2＝（）2，
∴a＝或（不合题意，舍去），
∴OF＝OD﹣DF＝2a﹣2＝﹣1，
∴点F的坐标为（﹣1，0）．
【点评】本题是四边形综合题，考查等边三角形的性质，矩形的性质，直角三角函数的应用以及勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．