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2020-2021学年浙江省宁波市江北实验中学九年级（上）期中数学试卷(含解析)
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这是一份2020-2021学年浙江省宁波市江北实验中学九年级（上）期中数学试卷(含解析)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列事件为必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，它的内角和为180°
B．打开电视机，正在播放新闻
C．掷一枚质量均匀的硬币，正面朝上
D．足球运动员射门成功
2．下列各组线段成比例的是（ ）
A．a＝2，b＝4，c＝6，d＝8B．a＝1，b＝3，c＝5，d＝7
C．a＝3，b＝4，c＝5，d＝6D．a＝1，b＝2，c＝3，d＝6
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值（ ）
A．扩大2倍B．缩小C．扩大4倍D．不变
4．已知两个相似的五边形的面积比为4：9，如果小五边形的周长为6cm，则另一个五边形的周长为（ ）cm．
A．9cmB．12cmC．13.5cmD．18cm
5．将二次函数y＝x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2
C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣2
6．如图，AB是圆的直径，则∠C+∠D＝（ ）
A．60°B．120°C．90°D．45°
7．设点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a的三点，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y3
8．如图，在▱ABCD中，E为AD的三等分点，AE＝AD，连接BE交AC于点F，AC＝12，则AF为（ ）
A．4B．4.8C．5.2D．6
9．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y＝2x2上，并且斜边AB平行于x轴，若斜边上的高为h，则（ ）
A．h＝B．h＜C．h＝D．
10．如图，△ABC内接于⊙O，DE是⊙O的直径，与AC相交于点M，且DE⊥AB，若⊙O的半径为2，BC＝2，则AM2+CM2的值为（ ）
A．12B．20C．24D．28
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．抛物线y＝（x+1）2﹣3的顶点坐标是 ．
12．正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是 ．
13．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
则绿豆发芽的概率估计值是 ．（精确到0.01）
14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，CD、CE分别为斜边AB上的高线和中线，若tan∠DCE＝，则＝ ．
15．已知自变量为x的二次函数y＝（mx+n）经过（a，3）（a+4，3）两点，若方程（mx+n）＝0的一根为x＝5，则其另一根为 ．
16．如图，已知等边△ABC内接于圆，圆的半径为，在劣弧AB上取异于A、B的点M．如果设直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于点N，则线段AK•BN的值为 ．
三、解答题（本大题有8个小题，共80分）
17．计算：2cs30°+（）﹣1+|2﹣|+（2010﹣π）0．
18．一个不透明的布袋中装有若干个球，它们除颜色不同外，其余完全相同，其中有1个白球和若干个红球．
（1）如果摸一次球，摸到白球的概率是，求红球的个数．
（2）在（1）的条件下，如果从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则两个球都是红色的概率是多少？请画树状图或列表分析．
19．如图，网格中的每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．
（1）将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△ADE（B的对应点是D，C的对应点是E），请画出△ADE．
（2）求旋转过程中点C的运动路径长．
（3）连结BE，在图中所给的网格中找一个格点F，使得△BEF∽△BCA．
20．如图，阳光广场上空有一个气球A，在地面上的B，C，D三点同在一条水平直线上，在点B和C分别测得气球A的仰角∠ABD＝45°，∠ACD＝58°，BC＝18.6m，求气球A离地面的高度AD（精确到1m）．（参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60）
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，正方形DEFG的顶点D，E分别在边AC、BC上，顶点F，G都在边AB上．
（1）求证：GF2＝AG•BF；
（2）若△ABC的面积为48，AB＝16，求正方形DEFG的边长．
22．某集团公司试销一种成本为每件60元的节能产品，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数图象如图．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）为了获得275万元的利润，销售单价应定为多少元？
（3）设该集团公司销售这种节能产品获得利润为W（万元），试求出利润W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；并求出当销售单价定为多少元时，公司可获得最大利润，最大利润是多少万元？
23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．
24．如图，已知A（3，0），B（0，﹣3），C（﹣2，5）三点，△ABC的外接圆⊙M与x，y轴的另一个交点分别为D，E．
（1）求证：BC为⊙M的直径；
（2）求点D和点E的坐标；
（3）作AF⊥x轴，交⊙M于点F，求证：F是的中点；
（4）如果有一条抛物线刚好经过A、B、C三点，该抛物线上是否存在点P，使得直线BP与直线BC所夹的锐角为45°？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列事件为必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，它的内角和为180°
B．打开电视机，正在播放新闻
C．掷一枚质量均匀的硬币，正面朝上
D．足球运动员射门成功
【分析】根据三角形的内角和定理可知选项A是必然事件；打开电视机，可能播放新闻也可能播放其它节目，因此选项B是随机事件；掷一枚质量均匀的硬币，可能正面朝上也可能背面朝上；因此选项C是随机事件；足球运动员射门可能成功也可能不成功，因此选项D是随机事件．
解：对于选项A，
∵三角形的内角和等于180°，
∴任意画一个三角形，它的内角和为180°是必然事件；
对于选项B，
∵打开电视机，可能播放新闻也可能播放其它节目
∴打开电视机，正在播放新闻是随机事件；
对于选项C，
∵掷一枚质量均匀的硬币，可能正面朝上也可能背面朝上；
∴掷一枚质量均匀的硬币，正面朝上是随机事件；
对于选项D，
∵足球运动员射门可能成功也可能不成功，
∴足球运动员射门成功是随机事件．
故选：A．
【点评】此题主要考查了必然事件和随机事件，熟练掌握必然事件和随机事件的概念是解决问题的关键．
2．下列各组线段成比例的是（ ）
A．a＝2，b＝4，c＝6，d＝8B．a＝1，b＝3，c＝5，d＝7
C．a＝3，b＝4，c＝5，d＝6D．a＝1，b＝2，c＝3，d＝6
【分析】根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例．
解：A、2×8＝16≠4×6＝24，所以A选项不符合题意；
B、1×7＝7≠3×5＝15，所以B选项不符合题意；
C、3×6＝18≠4×5＝20，所以C选项不符合题意；
D、1×6＝6＝2×3＝6，所以D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值（ ）
A．扩大2倍B．缩小C．扩大4倍D．不变
【分析】根据三角函数的定义解答即可．
解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，将各边长度都扩大为原来的2倍，其比值不变，
∴∠A的正弦值不变．
故选：D．
【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟知三角函数值是一个比值，与角各边长度的变化无关．
4．已知两个相似的五边形的面积比为4：9，如果小五边形的周长为6cm，则另一个五边形的周长为（ ）cm．
A．9cmB．12cmC．13.5cmD．18cm
【分析】根据已知易得：两个相似的五边形的相似比为2：3，然后设另一个五边形的周长为x cm，再根据题意可得：6：x＝2：3，从而进行计算即可解答．
解：∵两个相似的五边形的面积比为4：9，
∴两个相似的五边形的相似比为2：3，
设另一个五边形的周长为x cm，
由题意得：6：x＝2：3，
解得：x＝9，
∴另一个五边形的周长为9cm，
故选：A．
【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
5．将二次函数y＝x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2
C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣2
【分析】根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减进行解答即可．
解：将二次函数y＝x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是y＝（x+1）2+2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，知道抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
6．如图，AB是圆的直径，则∠C+∠D＝（ ）
A．60°B．120°C．90°D．45°
【分析】由圆周角定理推出∠C＝∠AOE，∠D＝∠BOE，得到∠C+∠D＝∠AOB＝×180°＝90°．
解：连接OE，
∵∠C＝∠AOE，∠D＝∠BOE，
∴∠C+∠D＝（∠AOE+∠BOE）＝∠AOB＝×180°＝90°．
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出∠C+∠D＝∠AOB．
7．设点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a的三点，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y3
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点到对称轴的距离大小求解．
解：∵y＝﹣（x+1）2+a，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴与对称轴距离越近的点的纵坐标越大，
∵﹣1﹣（﹣2）＜1﹣（﹣1）＜2﹣（﹣1），
∴y1＞y2＞y3，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
8．如图，在▱ABCD中，E为AD的三等分点，AE＝AD，连接BE交AC于点F，AC＝12，则AF为（ ）
A．4B．4.8C．5.2D．6
【分析】根据平行四边形的对边相等可得AD＝BC，然后求出AE＝AD＝BC，再根据平行线分线段成比例定理求出AF、FC的比，然后求解即可．
解：在▱ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AD的三等分点，
∴AE＝AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴＝＝，
∵AC＝12，
∴AF＝×12＝4.8．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的对边平行且相等的性质，熟记定理并求出AF、FC的比是解题的关键．
9．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y＝2x2上，并且斜边AB平行于x轴，若斜边上的高为h，则（ ）
A．h＝B．h＜C．h＝D．
【分析】由抛物线表达式和三角形性质求出A、B、C各点坐标，就可以求出h或h的范围．
解：由题A，B，C均在抛物线y＝2x2上，并且斜边AB平行于x轴，
知A、B两点关于y轴对称，记斜边AB交y轴于点D，
可设A（﹣，2b），B（，2b），C（a，2a2），D（0，2b）
则因斜边上的高为h，
故：h＝2b﹣2a2＝2（b﹣a2），
∵△ABC是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半，
∴得CD＝，
∴a2+（2b﹣2a2）2＝b，
方程两边平方得：4（b﹣a2）2＝b﹣a2
即h＝h2
因h＞0，得h＝．
故选：A．
【点评】此题考查了二次函数的性质以及观察图形的能力，找到各点坐标之间的关系，巧妙地代换未知量是解题的关键．
10．如图，△ABC内接于⊙O，DE是⊙O的直径，与AC相交于点M，且DE⊥AB，若⊙O的半径为2，BC＝2，则AM2+CM2的值为（ ）
A．12B．20C．24D．28
【分析】连接OB、OC、BM，作ON⊥BC于N，由垂径定理得出BN＝CN＝BC＝，由勾股定理求出ON＝＝，得出ON＝BN，△OBN是等腰直角三角形，求出∠BOC＝90°，由圆周角定理得出∠A＝∠BOC＝45°，证出AM＝BM，得出∠ABM＝∠A＝45°，∠AMB＝90°，∠BMC＝90°，在Rt△BCM中，由勾股定理即可得出结果．
解：连接OB、OC、BM，作ON⊥BC于N，如图所示：
则BN＝CN＝BC＝，
∴ON＝＝＝，
∴ON＝BN，
∴△OBN是等腰直角三角形，
∴∠BON＝45°，
同理：∠CON＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠A＝∠BOC＝45°，
∵DE是⊙O的直径，且DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴AM＝BM，
∴∠ABM＝∠A＝45°，
∴∠AMB＝90°，
∴∠BMC＝90°，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：AM2+CM2＝BM2+CM2＝BC2＝（2）2＝24；
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆、垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，证出∠BOC＝90°是解题的关键．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．抛物线y＝（x+1）2﹣3的顶点坐标是 （﹣1，﹣3） ．
【分析】根据二次函数的顶点式，易得二次函数y＝（x+1）2﹣3图象的顶点坐标．
解：抛物线y＝（x+1）2﹣3的顶点坐标是（﹣1，﹣3）．
故答案为（﹣1，﹣3）．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数的图象为抛物线，若顶点坐标为（k，h），则其解析式为y＝a（x﹣k）2+h．
12．正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是 6 ．
【分析】根据多边形的外角和等于360°即可得出答案．
解：360÷60＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
13．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
则绿豆发芽的概率估计值是 0.95 ．（精确到0.01）
【分析】本题考查了绿豆种子发芽的概率的求法．对于不同批次的绿豆种子的发芽率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法．
解：＝（0.960+0.940+0.955+0.950+0.948+0.956+0.950）÷7≈0.95，
当n足够大时，发芽的频率逐渐稳定于0.95，故用频率估计概率，绿豆发芽的概率估计值是0.95．
故答案为：0.95．
【点评】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，CD、CE分别为斜边AB上的高线和中线，若tan∠DCE＝，则＝ ．
【分析】首先利用直角三角形的性质得出CE＝BE，进而利用勾股定理表示出BE以及BD的长，再利用锐角三角函数关系得出即可．
解：∵∠ACB＝90°，CE为斜边AB上的中线，
∴CE＝AE＝BE，∠B+∠A＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
∵tan∠DCE＝，
设DE＝x，则DC＝2x，
∴CE＝x，故BE＝x，
∴BD＝x﹣x，
∴tanA＝tan∠BCD＝＝＝．
故答案为：．．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数关系是解题关键．
15．已知自变量为x的二次函数y＝（mx+n）经过（a，3）（a+4，3）两点，若方程（mx+n）＝0的一根为x＝5，则其另一根为 x＝﹣1或x＝﹣9 ．
【分析】根据题意得到抛物线过定点（0，3），即可求得（a，3）（a+4，3）两点的坐标，求得对称轴，然后根据解析式和方程的关系即可求得另一个根．
解：∵二次函数y＝（mx+n），
∴当x＝0时，y＝3，
∴二次函数y＝（mx+n）经必经过定点（0，3），
∴二次函数yy＝（mx+n）经经过（0，3）、（4，3）两点或经过（﹣4，3）（0，3）两点，
∴对称轴为：x＝＝2或x＝，
∵方程（mx+n）＝0的一根为x＝5，
∴另一个根为x＝﹣1或x＝﹣9．
故答案为：x＝﹣1或x＝﹣9．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式．
16．如图，已知等边△ABC内接于圆，圆的半径为，在劣弧AB上取异于A、B的点M．如果设直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于点N，则线段AK•BN的值为 ．
【分析】由条件可证明△ABK∽△BNA，根据相似三角形的性质可得AK•BN＝AB2，再由圆的半径求得AB的长，可求得答案．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠BAK＝∠ABN＝120°，
又∵∠AMK＝∠C＝60°，
∴∠ABM+∠BAM＝∠ABM+∠K，
∴∠K＝∠BAM，
∴△ABK∽△BNA，
∴＝，
∴AK•BN＝AB2，
如图，设圆心为O，过O作OD⊥AB于点D，连接OA，
则OA＝，由直角三角形的性质可得OD＝×＝，
由勾股定理可得AD＝，
∴AB＝2AD＝，
∴AK•BN＝AB2＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，由条件证明三角形相似得到AK•BN＝AB2是解题的关键．
三、解答题（本大题有8个小题，共80分）
17．计算：2cs30°+（）﹣1+|2﹣|+（2010﹣π）0．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
解：原式＝2×+3+2﹣+1
＝+3+2﹣+1
＝6．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．一个不透明的布袋中装有若干个球，它们除颜色不同外，其余完全相同，其中有1个白球和若干个红球．
（1）如果摸一次球，摸到白球的概率是，求红球的个数．
（2）在（1）的条件下，如果从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则两个球都是红色的概率是多少？请画树状图或列表分析．
【分析】（1）根据概率公式列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好是两个红球的情况数，即可求出所求的概率．
解：（1）设红球的个数为x，根据题意得：
＝，
解得：x＝2，
经检验x＝2是原方程的解，
答：红球的个数是2个；
（2）根据题意列表如下：
所有等可能的情况有6种，其中恰好为两个红球的情况有2种，
则两个球都是红色的概率是＝．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
19．如图，网格中的每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．
（1）将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△ADE（B的对应点是D，C的对应点是E），请画出△ADE．
（2）求旋转过程中点C的运动路径长．
（3）连结BE，在图中所给的网格中找一个格点F，使得△BEF∽△BCA．
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）利用勾股定理求出AC的长，再利用弧长公式计算即可．
（3）根据相似三角形的判定确定点F即可．
解：（1）如图，△ADE即为所求．
（2）由勾股定理得，AC＝＝，
∴旋转过程中点C的运动路径长为＝．
（3）由图可知，BC＝AC，∠BCA＝90°，
即△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°，
若△BEF∽△BCA，
则∠EBF＝∠EFB＝45°．
如图，点F即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、弧长公式、相似三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、弧长公式、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
20．如图，阳光广场上空有一个气球A，在地面上的B，C，D三点同在一条水平直线上，在点B和C分别测得气球A的仰角∠ABD＝45°，∠ACD＝58°，BC＝18.6m，求气球A离地面的高度AD（精确到1m）．（参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60）
【分析】根据题意可得三角形ABD是等腰直角三角形，在直角三角形ADC中，根据三角函数即可求得气球A离地面的高度AD．
解：根据题意，得∠ADB＝90°，∠ABD＝45°，
∴∠DAB＝45°，
∴AD＝BD，
∴CD＝BD﹣BC＝AD﹣18.6，
在Rt△ADC中，∠ACD＝58°，
∴tan58°＝，
即1.6≈
解得AD≈49.6（m）．
即AD≈50m，
答：气球A离地面的高度AD约为50m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，正方形DEFG的顶点D，E分别在边AC、BC上，顶点F，G都在边AB上．
（1）求证：GF2＝AG•BF；
（2）若△ABC的面积为48，AB＝16，求正方形DEFG的边长．
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得出△ADG∽△EBF，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）过点C作过C作CH⊥AB交DE于M，设正方形DEFG的边长为x，根据△ABC的面积为48，AB＝16，得到CH＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形DEFG是正方形，
∴DG＝GF＝EF，∠DGF＝∠EFG＝90°，
∴∠DGA＝∠EFB＝90°，
∴∠A+∠B＝∠FEB+∠B＝90°，
∴∠A＝∠FEB，
∴△AGD∽△EFB，
∴，
即，
∴GF2＝AG•BF；
（2）解：过C作CH⊥AB交DE于M，
设正方形DEFG的边长为x，
∵△ABC的面积为48，AB＝16，
∴CH＝6，
∵DE∥AB，
∴CM⊥DE，△CDE∽△CAB，
∴＝，
即＝，
∴x＝，
∴正方形DEFG的边长为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．某集团公司试销一种成本为每件60元的节能产品，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数图象如图．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）为了获得275万元的利润，销售单价应定为多少元？
（3）设该集团公司销售这种节能产品获得利润为W（万元），试求出利润W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；并求出当销售单价定为多少元时，公司可获得最大利润，最大利润是多少万元？
【分析】（1）用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式，再利用试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%得出x的取值范围即可；
（2）根据销售量×单件的利润＝275列出方程，解方程求出x的值，并根据自变量进行取舍即可；
（3）根据利润＝销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润．
解：（1）由题意得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+120，
∵成本为每件60元的产品，销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%，
∴自变量x的取值范围为60≤x≤84；
（2）根据题意得：（x﹣60）（﹣x+120）＝275，
解得：x1＝65，x2＝115，
∵60≤x≤84，
∴x＝65，
答：销售单价应定为65元；
（3）w＝（x﹣60）（﹣x+120）＝﹣x2+180x﹣7200＝﹣（x﹣90）2+900，
∵抛物线开口向下，
∴当x＜90时，w随x的增大而增大，
而60≤x≤84，
故当x＝84时，w＝（84﹣60）×（120﹣84）＝864．
答：当销售价定为84元/件时，商家可以获得最大利润，最大利润是864元．
【点评】本题考查了二次函数、一次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程．
23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D；
（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式Δ＝0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），
∴，
解得，
所以，抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）∵点A、B关于对称轴对称，
∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
则，
解得，
所以，直线AC的解析式为y＝x﹣1，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
当x＝2时，y＝2﹣1＝1，
∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；
（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y＝x+m，
联立，
消掉y得，x2﹣5x+3﹣m＝0，
△＝（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）＝0，
解得：m＝﹣，
即m＝﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，
此时x＝，y＝﹣＝﹣，
∴点E的坐标为（，﹣），
设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），
∴AF＝﹣1＝，
∵直线AC的解析式为y＝x﹣1，
∴∠CAB＝45°，
∴点F到AC的距离为AF•sin45°＝×＝，
又∵AC＝＝3，
∴△ACE的最大面积＝×3×＝，此时E点坐标为（，﹣）．
【点评】本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题．
24．如图，已知A（3，0），B（0，﹣3），C（﹣2，5）三点，△ABC的外接圆⊙M与x，y轴的另一个交点分别为D，E．
（1）求证：BC为⊙M的直径；
（2）求点D和点E的坐标；
（3）作AF⊥x轴，交⊙M于点F，求证：F是的中点；
（4）如果有一条抛物线刚好经过A、B、C三点，该抛物线上是否存在点P，使得直线BP与直线BC所夹的锐角为45°？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由A（3，0），C（﹣2，5），设直线AC为：y＝kx+b，求得CA与y轴交点N（0，3），OA＝ON＝OB，△AON和△AOB均为等要直角三角形，从而得∠CAB＝90°，所以BC为⊙M的直径；
（2）由于B（0，﹣3），C（﹣2，5）根据中点定义求圆心M坐标（﹣1，1），直径BC＝2，设D（m，0），E（0，n），利用两点间的距离公式可得（﹣1﹣m）2+（1﹣0）2＝17，（﹣1﹣0）2+（1﹣n）2＝17，求得D（﹣5，0），E（0，5）；
（3）根据已知可得F（3，2）有距离公式可得BF＝CF，即可解决；
（4）设经过A（3，0），B（0，﹣3），C（﹣2，5）的抛物线解析式为：y＝ax2+bx﹣3可得y＝x2﹣2x﹣3，所以设P（p，p2﹣2p﹣3），连接BF、CF，BD、CD，由于BC为直径，则△BCF与△BDC均为直角三角形，故∠DBC＝∠FBC＝45°，当直线BP与直线BC所夹的锐角为45°时，则P点必在直线BD或BF上，求出BD或BF的解析式即可解决．
【解答】（1）证明：∵A（3，0），C（﹣2，5），
∴设直线AC为：y＝kx+b，
，
解得：，
则BC解析式为：y＝﹣x+3，
∴x＝0时，y＝3，交y轴于N，
故N（0，3），
∴ON＝OA，
∵∠AON＝90°，
∴∠OAN＝45°，
∵OA＝OB＝3，
∴∠OAB＝45°，
∴∠CAB＝∠OAB+∠OAN＝90°，
∴BC为⊙M的直径；
（2）解：∵B（0，﹣3），C（﹣2，5），BC为直径，
∴BC＝＝2，圆心M的坐标（，）即M（﹣1，1），
∵⊙M与x，y轴的另一个交点分别为D，E，
∴设D（m，0），E（0，n），
∴MD＝ME＝BC＝，
∴（﹣1﹣m）2+（1﹣0）2＝17，（﹣1﹣0）2+（1﹣n）2＝17，
解得：m＝﹣5或3（舍去），n＝﹣3（舍去）或5，
所以m＝﹣5，n＝3，
则D（﹣5，0），E（0，5）；
（3）证明：∵AF⊥x轴，A（3，0），
∴F点横坐标为3，
∵M（﹣1，1），作MQ⊥FA于Q，
∴Q纵坐标为：1，
故Q（3，1），
根据垂径定理可得，Q为AF中点，
故F纵坐标为2×1﹣0＝2，
则F（3，2），
∵B（0，﹣3），C（﹣2，5），
∴BF2＝（3﹣0）2+（﹣3﹣2）2＝34，
CF2＝（3+2）2+（2﹣5）2＝34，
∴BF＝CF，
∴F是的中点；
（4）∵一条抛物线刚好经过A、B、C三点，且A（3，0），B（0，﹣3），C（﹣2，5），
∴设抛物线解析式为：y＝ax2+bx﹣3，
则，
解得：，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
设P（p，p2﹣2p﹣3），
连接BF、CF，BD、CD，由于BC为直径，
则△BCF与△BDC均为直角三角形，
∵BD＝CD，BF＝CF，
∴∠DBC＝∠FBC＝45°，
当直线BP与直线BC所夹的锐角为45°时，则P点必在直线BD或BF上，
由B（0，﹣3），D（﹣5，0）可得直线BD解析式为：y＝﹣x﹣3，
由B（0，﹣3），F（3，2）可得直线BF解析式为：y＝x﹣3，
当P在BD上时，则p2﹣2p﹣3＝﹣p﹣3，
解得：p＝0（舍去）或p＝，
∴p＝，此时P（，﹣），
当P在BF上时，则p2﹣2p﹣3＝p﹣3，
解得：p＝0（舍去）或p＝，
∴p＝，此时P（，），
综上所述：存在点P（，）或（，﹣）使得直线BP与直线BC所夹的锐角为45°．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、两点间的距离公式、圆的性质，属于综合题，中考中常考题型．
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的粒数m
96
282
382
570
948
1912
2850
发芽的频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.956
0.950
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的粒数m
96
282
382
570
948
1912
2850
发芽的频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.956
0.950
白
红
红
白
﹣﹣﹣
（红，白）
（红，白）
红
（白，红）
﹣﹣﹣
（红，红）
红
（白，红）
（红，红）
﹣﹣﹣
1．下列事件为必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，它的内角和为180°
B．打开电视机，正在播放新闻
C．掷一枚质量均匀的硬币，正面朝上
D．足球运动员射门成功
2．下列各组线段成比例的是（ ）
A．a＝2，b＝4，c＝6，d＝8B．a＝1，b＝3，c＝5，d＝7
C．a＝3，b＝4，c＝5，d＝6D．a＝1，b＝2，c＝3，d＝6
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值（ ）
A．扩大2倍B．缩小C．扩大4倍D．不变
4．已知两个相似的五边形的面积比为4：9，如果小五边形的周长为6cm，则另一个五边形的周长为（ ）cm．
A．9cmB．12cmC．13.5cmD．18cm
5．将二次函数y＝x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2
C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣2
6．如图，AB是圆的直径，则∠C+∠D＝（ ）
A．60°B．120°C．90°D．45°
7．设点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a的三点，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y3
8．如图，在▱ABCD中，E为AD的三等分点，AE＝AD，连接BE交AC于点F，AC＝12，则AF为（ ）
A．4B．4.8C．5.2D．6
9．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y＝2x2上，并且斜边AB平行于x轴，若斜边上的高为h，则（ ）
A．h＝B．h＜C．h＝D．
10．如图，△ABC内接于⊙O，DE是⊙O的直径，与AC相交于点M，且DE⊥AB，若⊙O的半径为2，BC＝2，则AM2+CM2的值为（ ）
A．12B．20C．24D．28
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．抛物线y＝（x+1）2﹣3的顶点坐标是 ．
12．正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是 ．
13．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
则绿豆发芽的概率估计值是 ．（精确到0.01）
14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，CD、CE分别为斜边AB上的高线和中线，若tan∠DCE＝，则＝ ．
15．已知自变量为x的二次函数y＝（mx+n）经过（a，3）（a+4，3）两点，若方程（mx+n）＝0的一根为x＝5，则其另一根为 ．
16．如图，已知等边△ABC内接于圆，圆的半径为，在劣弧AB上取异于A、B的点M．如果设直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于点N，则线段AK•BN的值为 ．
三、解答题（本大题有8个小题，共80分）
17．计算：2cs30°+（）﹣1+|2﹣|+（2010﹣π）0．
18．一个不透明的布袋中装有若干个球，它们除颜色不同外，其余完全相同，其中有1个白球和若干个红球．
（1）如果摸一次球，摸到白球的概率是，求红球的个数．
（2）在（1）的条件下，如果从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则两个球都是红色的概率是多少？请画树状图或列表分析．
19．如图，网格中的每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．
（1）将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△ADE（B的对应点是D，C的对应点是E），请画出△ADE．
（2）求旋转过程中点C的运动路径长．
（3）连结BE，在图中所给的网格中找一个格点F，使得△BEF∽△BCA．
20．如图，阳光广场上空有一个气球A，在地面上的B，C，D三点同在一条水平直线上，在点B和C分别测得气球A的仰角∠ABD＝45°，∠ACD＝58°，BC＝18.6m，求气球A离地面的高度AD（精确到1m）．（参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60）
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，正方形DEFG的顶点D，E分别在边AC、BC上，顶点F，G都在边AB上．
（1）求证：GF2＝AG•BF；
（2）若△ABC的面积为48，AB＝16，求正方形DEFG的边长．
22．某集团公司试销一种成本为每件60元的节能产品，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数图象如图．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）为了获得275万元的利润，销售单价应定为多少元？
（3）设该集团公司销售这种节能产品获得利润为W（万元），试求出利润W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；并求出当销售单价定为多少元时，公司可获得最大利润，最大利润是多少万元？
23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．
24．如图，已知A（3，0），B（0，﹣3），C（﹣2，5）三点，△ABC的外接圆⊙M与x，y轴的另一个交点分别为D，E．
（1）求证：BC为⊙M的直径；
（2）求点D和点E的坐标；
（3）作AF⊥x轴，交⊙M于点F，求证：F是的中点；
（4）如果有一条抛物线刚好经过A、B、C三点，该抛物线上是否存在点P，使得直线BP与直线BC所夹的锐角为45°？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列事件为必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，它的内角和为180°
B．打开电视机，正在播放新闻
C．掷一枚质量均匀的硬币，正面朝上
D．足球运动员射门成功
【分析】根据三角形的内角和定理可知选项A是必然事件；打开电视机，可能播放新闻也可能播放其它节目，因此选项B是随机事件；掷一枚质量均匀的硬币，可能正面朝上也可能背面朝上；因此选项C是随机事件；足球运动员射门可能成功也可能不成功，因此选项D是随机事件．
解：对于选项A，
∵三角形的内角和等于180°，
∴任意画一个三角形，它的内角和为180°是必然事件；
对于选项B，
∵打开电视机，可能播放新闻也可能播放其它节目
∴打开电视机，正在播放新闻是随机事件；
对于选项C，
∵掷一枚质量均匀的硬币，可能正面朝上也可能背面朝上；
∴掷一枚质量均匀的硬币，正面朝上是随机事件；
对于选项D，
∵足球运动员射门可能成功也可能不成功，
∴足球运动员射门成功是随机事件．
故选：A．
【点评】此题主要考查了必然事件和随机事件，熟练掌握必然事件和随机事件的概念是解决问题的关键．
2．下列各组线段成比例的是（ ）
A．a＝2，b＝4，c＝6，d＝8B．a＝1，b＝3，c＝5，d＝7
C．a＝3，b＝4，c＝5，d＝6D．a＝1，b＝2，c＝3，d＝6
【分析】根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例．
解：A、2×8＝16≠4×6＝24，所以A选项不符合题意；
B、1×7＝7≠3×5＝15，所以B选项不符合题意；
C、3×6＝18≠4×5＝20，所以C选项不符合题意；
D、1×6＝6＝2×3＝6，所以D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值（ ）
A．扩大2倍B．缩小C．扩大4倍D．不变
【分析】根据三角函数的定义解答即可．
解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，将各边长度都扩大为原来的2倍，其比值不变，
∴∠A的正弦值不变．
故选：D．
【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟知三角函数值是一个比值，与角各边长度的变化无关．
4．已知两个相似的五边形的面积比为4：9，如果小五边形的周长为6cm，则另一个五边形的周长为（ ）cm．
A．9cmB．12cmC．13.5cmD．18cm
【分析】根据已知易得：两个相似的五边形的相似比为2：3，然后设另一个五边形的周长为x cm，再根据题意可得：6：x＝2：3，从而进行计算即可解答．
解：∵两个相似的五边形的面积比为4：9，
∴两个相似的五边形的相似比为2：3，
设另一个五边形的周长为x cm，
由题意得：6：x＝2：3，
解得：x＝9，
∴另一个五边形的周长为9cm，
故选：A．
【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
5．将二次函数y＝x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2
C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣2
【分析】根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减进行解答即可．
解：将二次函数y＝x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是y＝（x+1）2+2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，知道抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
6．如图，AB是圆的直径，则∠C+∠D＝（ ）
A．60°B．120°C．90°D．45°
【分析】由圆周角定理推出∠C＝∠AOE，∠D＝∠BOE，得到∠C+∠D＝∠AOB＝×180°＝90°．
解：连接OE，
∵∠C＝∠AOE，∠D＝∠BOE，
∴∠C+∠D＝（∠AOE+∠BOE）＝∠AOB＝×180°＝90°．
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出∠C+∠D＝∠AOB．
7．设点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a的三点，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y3
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点到对称轴的距离大小求解．
解：∵y＝﹣（x+1）2+a，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴与对称轴距离越近的点的纵坐标越大，
∵﹣1﹣（﹣2）＜1﹣（﹣1）＜2﹣（﹣1），
∴y1＞y2＞y3，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
8．如图，在▱ABCD中，E为AD的三等分点，AE＝AD，连接BE交AC于点F，AC＝12，则AF为（ ）
A．4B．4.8C．5.2D．6
【分析】根据平行四边形的对边相等可得AD＝BC，然后求出AE＝AD＝BC，再根据平行线分线段成比例定理求出AF、FC的比，然后求解即可．
解：在▱ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AD的三等分点，
∴AE＝AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴＝＝，
∵AC＝12，
∴AF＝×12＝4.8．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的对边平行且相等的性质，熟记定理并求出AF、FC的比是解题的关键．
9．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y＝2x2上，并且斜边AB平行于x轴，若斜边上的高为h，则（ ）
A．h＝B．h＜C．h＝D．
【分析】由抛物线表达式和三角形性质求出A、B、C各点坐标，就可以求出h或h的范围．
解：由题A，B，C均在抛物线y＝2x2上，并且斜边AB平行于x轴，
知A、B两点关于y轴对称，记斜边AB交y轴于点D，
可设A（﹣，2b），B（，2b），C（a，2a2），D（0，2b）
则因斜边上的高为h，
故：h＝2b﹣2a2＝2（b﹣a2），
∵△ABC是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半，
∴得CD＝，
∴a2+（2b﹣2a2）2＝b，
方程两边平方得：4（b﹣a2）2＝b﹣a2
即h＝h2
因h＞0，得h＝．
故选：A．
【点评】此题考查了二次函数的性质以及观察图形的能力，找到各点坐标之间的关系，巧妙地代换未知量是解题的关键．
10．如图，△ABC内接于⊙O，DE是⊙O的直径，与AC相交于点M，且DE⊥AB，若⊙O的半径为2，BC＝2，则AM2+CM2的值为（ ）
A．12B．20C．24D．28
【分析】连接OB、OC、BM，作ON⊥BC于N，由垂径定理得出BN＝CN＝BC＝，由勾股定理求出ON＝＝，得出ON＝BN，△OBN是等腰直角三角形，求出∠BOC＝90°，由圆周角定理得出∠A＝∠BOC＝45°，证出AM＝BM，得出∠ABM＝∠A＝45°，∠AMB＝90°，∠BMC＝90°，在Rt△BCM中，由勾股定理即可得出结果．
解：连接OB、OC、BM，作ON⊥BC于N，如图所示：
则BN＝CN＝BC＝，
∴ON＝＝＝，
∴ON＝BN，
∴△OBN是等腰直角三角形，
∴∠BON＝45°，
同理：∠CON＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠A＝∠BOC＝45°，
∵DE是⊙O的直径，且DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴AM＝BM，
∴∠ABM＝∠A＝45°，
∴∠AMB＝90°，
∴∠BMC＝90°，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：AM2+CM2＝BM2+CM2＝BC2＝（2）2＝24；
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆、垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，证出∠BOC＝90°是解题的关键．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．抛物线y＝（x+1）2﹣3的顶点坐标是 （﹣1，﹣3） ．
【分析】根据二次函数的顶点式，易得二次函数y＝（x+1）2﹣3图象的顶点坐标．
解：抛物线y＝（x+1）2﹣3的顶点坐标是（﹣1，﹣3）．
故答案为（﹣1，﹣3）．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数的图象为抛物线，若顶点坐标为（k，h），则其解析式为y＝a（x﹣k）2+h．
12．正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是 6 ．
【分析】根据多边形的外角和等于360°即可得出答案．
解：360÷60＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
13．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
则绿豆发芽的概率估计值是 0.95 ．（精确到0.01）
【分析】本题考查了绿豆种子发芽的概率的求法．对于不同批次的绿豆种子的发芽率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法．
解：＝（0.960+0.940+0.955+0.950+0.948+0.956+0.950）÷7≈0.95，
当n足够大时，发芽的频率逐渐稳定于0.95，故用频率估计概率，绿豆发芽的概率估计值是0.95．
故答案为：0.95．
【点评】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，CD、CE分别为斜边AB上的高线和中线，若tan∠DCE＝，则＝ ．
【分析】首先利用直角三角形的性质得出CE＝BE，进而利用勾股定理表示出BE以及BD的长，再利用锐角三角函数关系得出即可．
解：∵∠ACB＝90°，CE为斜边AB上的中线，
∴CE＝AE＝BE，∠B+∠A＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
∵tan∠DCE＝，
设DE＝x，则DC＝2x，
∴CE＝x，故BE＝x，
∴BD＝x﹣x，
∴tanA＝tan∠BCD＝＝＝．
故答案为：．．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数关系是解题关键．
15．已知自变量为x的二次函数y＝（mx+n）经过（a，3）（a+4，3）两点，若方程（mx+n）＝0的一根为x＝5，则其另一根为 x＝﹣1或x＝﹣9 ．
【分析】根据题意得到抛物线过定点（0，3），即可求得（a，3）（a+4，3）两点的坐标，求得对称轴，然后根据解析式和方程的关系即可求得另一个根．
解：∵二次函数y＝（mx+n），
∴当x＝0时，y＝3，
∴二次函数y＝（mx+n）经必经过定点（0，3），
∴二次函数yy＝（mx+n）经经过（0，3）、（4，3）两点或经过（﹣4，3）（0，3）两点，
∴对称轴为：x＝＝2或x＝，
∵方程（mx+n）＝0的一根为x＝5，
∴另一个根为x＝﹣1或x＝﹣9．
故答案为：x＝﹣1或x＝﹣9．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式．
16．如图，已知等边△ABC内接于圆，圆的半径为，在劣弧AB上取异于A、B的点M．如果设直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于点N，则线段AK•BN的值为 ．
【分析】由条件可证明△ABK∽△BNA，根据相似三角形的性质可得AK•BN＝AB2，再由圆的半径求得AB的长，可求得答案．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠BAK＝∠ABN＝120°，
又∵∠AMK＝∠C＝60°，
∴∠ABM+∠BAM＝∠ABM+∠K，
∴∠K＝∠BAM，
∴△ABK∽△BNA，
∴＝，
∴AK•BN＝AB2，
如图，设圆心为O，过O作OD⊥AB于点D，连接OA，
则OA＝，由直角三角形的性质可得OD＝×＝，
由勾股定理可得AD＝，
∴AB＝2AD＝，
∴AK•BN＝AB2＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，由条件证明三角形相似得到AK•BN＝AB2是解题的关键．
三、解答题（本大题有8个小题，共80分）
17．计算：2cs30°+（）﹣1+|2﹣|+（2010﹣π）0．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
解：原式＝2×+3+2﹣+1
＝+3+2﹣+1
＝6．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．一个不透明的布袋中装有若干个球，它们除颜色不同外，其余完全相同，其中有1个白球和若干个红球．
（1）如果摸一次球，摸到白球的概率是，求红球的个数．
（2）在（1）的条件下，如果从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则两个球都是红色的概率是多少？请画树状图或列表分析．
【分析】（1）根据概率公式列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好是两个红球的情况数，即可求出所求的概率．
解：（1）设红球的个数为x，根据题意得：
＝，
解得：x＝2，
经检验x＝2是原方程的解，
答：红球的个数是2个；
（2）根据题意列表如下：
所有等可能的情况有6种，其中恰好为两个红球的情况有2种，
则两个球都是红色的概率是＝．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
19．如图，网格中的每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．
（1）将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△ADE（B的对应点是D，C的对应点是E），请画出△ADE．
（2）求旋转过程中点C的运动路径长．
（3）连结BE，在图中所给的网格中找一个格点F，使得△BEF∽△BCA．
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）利用勾股定理求出AC的长，再利用弧长公式计算即可．
（3）根据相似三角形的判定确定点F即可．
解：（1）如图，△ADE即为所求．
（2）由勾股定理得，AC＝＝，
∴旋转过程中点C的运动路径长为＝．
（3）由图可知，BC＝AC，∠BCA＝90°，
即△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°，
若△BEF∽△BCA，
则∠EBF＝∠EFB＝45°．
如图，点F即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、弧长公式、相似三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、弧长公式、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
20．如图，阳光广场上空有一个气球A，在地面上的B，C，D三点同在一条水平直线上，在点B和C分别测得气球A的仰角∠ABD＝45°，∠ACD＝58°，BC＝18.6m，求气球A离地面的高度AD（精确到1m）．（参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60）
【分析】根据题意可得三角形ABD是等腰直角三角形，在直角三角形ADC中，根据三角函数即可求得气球A离地面的高度AD．
解：根据题意，得∠ADB＝90°，∠ABD＝45°，
∴∠DAB＝45°，
∴AD＝BD，
∴CD＝BD﹣BC＝AD﹣18.6，
在Rt△ADC中，∠ACD＝58°，
∴tan58°＝，
即1.6≈
解得AD≈49.6（m）．
即AD≈50m，
答：气球A离地面的高度AD约为50m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，正方形DEFG的顶点D，E分别在边AC、BC上，顶点F，G都在边AB上．
（1）求证：GF2＝AG•BF；
（2）若△ABC的面积为48，AB＝16，求正方形DEFG的边长．
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得出△ADG∽△EBF，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）过点C作过C作CH⊥AB交DE于M，设正方形DEFG的边长为x，根据△ABC的面积为48，AB＝16，得到CH＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形DEFG是正方形，
∴DG＝GF＝EF，∠DGF＝∠EFG＝90°，
∴∠DGA＝∠EFB＝90°，
∴∠A+∠B＝∠FEB+∠B＝90°，
∴∠A＝∠FEB，
∴△AGD∽△EFB，
∴，
即，
∴GF2＝AG•BF；
（2）解：过C作CH⊥AB交DE于M，
设正方形DEFG的边长为x，
∵△ABC的面积为48，AB＝16，
∴CH＝6，
∵DE∥AB，
∴CM⊥DE，△CDE∽△CAB，
∴＝，
即＝，
∴x＝，
∴正方形DEFG的边长为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．某集团公司试销一种成本为每件60元的节能产品，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数图象如图．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）为了获得275万元的利润，销售单价应定为多少元？
（3）设该集团公司销售这种节能产品获得利润为W（万元），试求出利润W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；并求出当销售单价定为多少元时，公司可获得最大利润，最大利润是多少万元？
【分析】（1）用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式，再利用试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%得出x的取值范围即可；
（2）根据销售量×单件的利润＝275列出方程，解方程求出x的值，并根据自变量进行取舍即可；
（3）根据利润＝销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润．
解：（1）由题意得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+120，
∵成本为每件60元的产品，销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%，
∴自变量x的取值范围为60≤x≤84；
（2）根据题意得：（x﹣60）（﹣x+120）＝275，
解得：x1＝65，x2＝115，
∵60≤x≤84，
∴x＝65，
答：销售单价应定为65元；
（3）w＝（x﹣60）（﹣x+120）＝﹣x2+180x﹣7200＝﹣（x﹣90）2+900，
∵抛物线开口向下，
∴当x＜90时，w随x的增大而增大，
而60≤x≤84，
故当x＝84时，w＝（84﹣60）×（120﹣84）＝864．
答：当销售价定为84元/件时，商家可以获得最大利润，最大利润是864元．
【点评】本题考查了二次函数、一次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程．
23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D；
（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式Δ＝0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），
∴，
解得，
所以，抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）∵点A、B关于对称轴对称，
∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
则，
解得，
所以，直线AC的解析式为y＝x﹣1，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
当x＝2时，y＝2﹣1＝1，
∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；
（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y＝x+m，
联立，
消掉y得，x2﹣5x+3﹣m＝0，
△＝（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）＝0，
解得：m＝﹣，
即m＝﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，
此时x＝，y＝﹣＝﹣，
∴点E的坐标为（，﹣），
设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），
∴AF＝﹣1＝，
∵直线AC的解析式为y＝x﹣1，
∴∠CAB＝45°，
∴点F到AC的距离为AF•sin45°＝×＝，
又∵AC＝＝3，
∴△ACE的最大面积＝×3×＝，此时E点坐标为（，﹣）．
【点评】本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题．
24．如图，已知A（3，0），B（0，﹣3），C（﹣2，5）三点，△ABC的外接圆⊙M与x，y轴的另一个交点分别为D，E．
（1）求证：BC为⊙M的直径；
（2）求点D和点E的坐标；
（3）作AF⊥x轴，交⊙M于点F，求证：F是的中点；
（4）如果有一条抛物线刚好经过A、B、C三点，该抛物线上是否存在点P，使得直线BP与直线BC所夹的锐角为45°？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由A（3，0），C（﹣2，5），设直线AC为：y＝kx+b，求得CA与y轴交点N（0，3），OA＝ON＝OB，△AON和△AOB均为等要直角三角形，从而得∠CAB＝90°，所以BC为⊙M的直径；
（2）由于B（0，﹣3），C（﹣2，5）根据中点定义求圆心M坐标（﹣1，1），直径BC＝2，设D（m，0），E（0，n），利用两点间的距离公式可得（﹣1﹣m）2+（1﹣0）2＝17，（﹣1﹣0）2+（1﹣n）2＝17，求得D（﹣5，0），E（0，5）；
（3）根据已知可得F（3，2）有距离公式可得BF＝CF，即可解决；
（4）设经过A（3，0），B（0，﹣3），C（﹣2，5）的抛物线解析式为：y＝ax2+bx﹣3可得y＝x2﹣2x﹣3，所以设P（p，p2﹣2p﹣3），连接BF、CF，BD、CD，由于BC为直径，则△BCF与△BDC均为直角三角形，故∠DBC＝∠FBC＝45°，当直线BP与直线BC所夹的锐角为45°时，则P点必在直线BD或BF上，求出BD或BF的解析式即可解决．
【解答】（1）证明：∵A（3，0），C（﹣2，5），
∴设直线AC为：y＝kx+b，
，
解得：，
则BC解析式为：y＝﹣x+3，
∴x＝0时，y＝3，交y轴于N，
故N（0，3），
∴ON＝OA，
∵∠AON＝90°，
∴∠OAN＝45°，
∵OA＝OB＝3，
∴∠OAB＝45°，
∴∠CAB＝∠OAB+∠OAN＝90°，
∴BC为⊙M的直径；
（2）解：∵B（0，﹣3），C（﹣2，5），BC为直径，
∴BC＝＝2，圆心M的坐标（，）即M（﹣1，1），
∵⊙M与x，y轴的另一个交点分别为D，E，
∴设D（m，0），E（0，n），
∴MD＝ME＝BC＝，
∴（﹣1﹣m）2+（1﹣0）2＝17，（﹣1﹣0）2+（1﹣n）2＝17，
解得：m＝﹣5或3（舍去），n＝﹣3（舍去）或5，
所以m＝﹣5，n＝3，
则D（﹣5，0），E（0，5）；
（3）证明：∵AF⊥x轴，A（3，0），
∴F点横坐标为3，
∵M（﹣1，1），作MQ⊥FA于Q，
∴Q纵坐标为：1，
故Q（3，1），
根据垂径定理可得，Q为AF中点，
故F纵坐标为2×1﹣0＝2，
则F（3，2），
∵B（0，﹣3），C（﹣2，5），
∴BF2＝（3﹣0）2+（﹣3﹣2）2＝34，
CF2＝（3+2）2+（2﹣5）2＝34，
∴BF＝CF，
∴F是的中点；
（4）∵一条抛物线刚好经过A、B、C三点，且A（3，0），B（0，﹣3），C（﹣2，5），
∴设抛物线解析式为：y＝ax2+bx﹣3，
则，
解得：，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
设P（p，p2﹣2p﹣3），
连接BF、CF，BD、CD，由于BC为直径，
则△BCF与△BDC均为直角三角形，
∵BD＝CD，BF＝CF，
∴∠DBC＝∠FBC＝45°，
当直线BP与直线BC所夹的锐角为45°时，则P点必在直线BD或BF上，
由B（0，﹣3），D（﹣5，0）可得直线BD解析式为：y＝﹣x﹣3，
由B（0，﹣3），F（3，2）可得直线BF解析式为：y＝x﹣3，
当P在BD上时，则p2﹣2p﹣3＝﹣p﹣3，
解得：p＝0（舍去）或p＝，
∴p＝，此时P（，﹣），
当P在BF上时，则p2﹣2p﹣3＝p﹣3，
解得：p＝0（舍去）或p＝，
∴p＝，此时P（，），
综上所述：存在点P（，）或（，﹣）使得直线BP与直线BC所夹的锐角为45°．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、两点间的距离公式、圆的性质，属于综合题，中考中常考题型．
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的粒数m
96
282
382
570
948
1912
2850
发芽的频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.956
0.950
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的粒数m
96
282
382
570
948
1912
2850
发芽的频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.956
0.950
白
红
红
白
﹣﹣﹣
（红，白）
（红，白）
红
（白，红）
﹣﹣﹣
（红，红）
红
（白，红）
（红，红）
﹣﹣﹣
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