2023-2024学年重庆市凤鸣山中学教育集团校九年级（上）期中数学试卷(含解析)

这是一份2023-2024学年重庆市凤鸣山中学教育集团校九年级（上）期中数学试卷(含解析)，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．﹣
2．下列四个汉字中，可以看作是轴对称图形的（ ）
A．B．C．D．
3．下列各点在反比例函数的图象上的是（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣3，﹣2）D．（3，2）
4．估计的值应在（ ）
A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9 之间
5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知AB：DE＝1：2，△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（ ）
A．6B．8C．12D．16
6．用字母“C“，“H”按如图所示的规律拼图案，则第⑧个图案中字母“H”的个数为（ ）
A．16B．17C．18D．19
7．点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3）都在函数y＝x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＞y2＞y1B．y1＞y2＞y3C．y1＞y3＞y2D．y2＞y1＞y3
8．某中学连续3年开展植树活动，已知第一年植树600棵，第三年植树864棵，若设该校这两年植树棵数的年平均增长率为x，根据题意可列出方程（ ）
A．600（1+x）＝864B．600（1+x）2＝864
C．600（1+2x）＝864D．600（1﹣x）2＝864
9．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC边上一点，连接DE，F为DE的中点，连接OF，CF，若△BED的周长为14，则△OCF的周长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
10．对两个整式A＝a+b，B＝a﹣b进行如下操作：将A+B的结果记为C1＝2a，称为第1次操作；将第1次操作的结果C1加上A﹣B，结果记为C2＝2a+2b，称为第2次操作；将第2次操作的结果C2加上A+B，结果记为C3＝4a+2b，称为第3次操作；将第3次操作的结果C3加上A﹣B，结果记为C4＝4a+4b，称为第4次操作；…．
下列说法：
①当b＝a时，则第5次操作的结果C5＝10a；
②当b＝﹣a时，则第2024次操作的结果C2024＝2a；
③当b＝2a时，则100次操作的结果之和C1+C2+⋯+C100＝15100a．
其中正确的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中
11．计算：2sin60°+（π﹣1）0＝ ．
12．若一个正多边形的每一个外角都是60°，则这个正多边形的内角和等于 ．
13．有三张正面分别写有汉字“真”“善”“美”的卡片，其余完全一样，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面的汉字后将其背面朝上放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 ．
14．关于x的一元二次方程x2+3x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ．
15．如图，反比例函数的图象过△OAB的顶点B，AB∥y轴，与另一边OA交于点C，且AC＝2OC，连接BC．若S△OBC＝8，则k的值为 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，连接CD，将△BCD沿直线CD翻折得到△ECD，连接AE．若AC＝9，CD＝7.5，则线段AE的长为 ．
17．若关于x的不等式组的解集为x＞2，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是 ．
18．一个四位自然数M，若它的千位数字与百位数字的差等于4，十位数字与个位数字的差等于3，则称这个四位自然数M为“凤鸣数”．如：∵6241，6﹣2＝4，4﹣1＝3，∴6241是“凤鸣数”．最小的“凤鸣数”为 ；一个“凤鸣数”M的千位数字与百位数字的和的2倍与十位数字及个位数字的和记为P（M）；风鸣数”M的千位数字与3的差记为Q（M），令，当F（M）能被7整除时，则满足条件的M的最大值为 ．
三、解答题：（本大题8个小题，其中19题8分，其余每小题8分，共78分）
19．解方程与计算：
（1）（x+1）2＝2（x+1）；
（2）（﹣）÷．
20．在学习平行四边形的过程中，小雅想利用如下条件如构造出一个菱形：如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，E为边AD上一点，连接EC，且EA＝EC，过点E作AC的垂线交BC于点F，垂足为O，连接AF，然后再利用三角形全等得到的结论去说明四边形AECF是菱形，按以上思路完成下面的作图与填空．
（1）用直尺和圆规，过点E作AC的垂线分别交AC、BC于点O、F，连接AF（不写作法，只保留作图痕迹）；
（2）证明：四边形AECF是菱形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴① ，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
∵EA＝EC，且EF⊥AC，
∴② ，
在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS）．
∴③ ，且AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵④ ，
∴四边形AECF是菱形．
21．为了迎接中招体考，初三年级进行了模拟测试，并对各个项目进行了统计和分析．某数学兴趣小组从初三年级男、女同学中各随机抽取20名学由，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析（跳绳个数记为x，共分为四组：A.100≤x＜180；B.180≤x＜190；C.190≤x＜200；D．x≥200．下面给出了部分信息：
被抽取的男同学跳绳个数扇形统计图如图所示，其中在C组的数据是：192，195，195，195，195，194；
被抽取的女同学的跳绳个数的数据是：166，178，186，187，188，189，193，197，193，191，196，196，196，196，200，208，209，209，226，228．
被抽取的男、女同学跳绳个数的平均数、中位数、众数统计表：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据分析，你认为该校初三 （男、女）同学一分钟跳绳更优秀，请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校初三年级参加此次体育模拟考试的男生有1000人，女生有1200人，请你估计全年级跳绳个数不少于200个的人数．
22．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C每秒1个单位的速度运动（不包含端点A、C）．设点P运动的时间为x秒，△PAC的面积为y．
（1）请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出一条该函数的性质；
（3）结合函数图象，请直接写出△PAC的面积为3时x的值（结果保留一位小数）．
23．星期六，小鸣和小山相约在图书馆一起复习，已知小鸣小山的家到图书馆的路程均为3000米，小山的步行速度是小鸣的倍，两人同时从家里出发匀速前往图书馆，小鸣比小山晚10分钟到图书馆．
（1）求小鸣每分钟步行多少米？
（2）星期天，两人再次相约去图书馆，两人步行的速度保持不变．若小鸣步行20分钟后，改为跑步前进，最终与小山同时到达图书馆，求小鸣每分钟跑步多少米？
24．如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面30m的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为30°，无人机D测得教学楼BC顶端点C处的俯角为37°，又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离AB为60m，点A，B，C，D都在同一平面上．
（1）求此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度（结果保留根号）；
（2）求教学楼BC的高度（结果取整数）（参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，且A（﹣4，0），B（2，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P为线段AC上方抛物线上的任意一点，过点P作PD∥y轴交AC于D，PG⊥AC交直线AC于点G，求DG的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，点E为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点M为平移后的抛物线对称轴上的一动点，点N为坐标平面内的一点，是否存在以EM为边，以B、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
26．已知，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是BC边上一点．
（1）如图1，点D是AC边上一点，连接DE，将DE绕点E逆时针旋转90°至EF，连接BF．若AC＝6，BE＝3，求△BEF的面积；
（2）如图2，连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90°至EM，连接BM，取BM的中点N，连接EN．证明：AB﹣2EN＝EB；
（3）如图3，已知AC＝2，连接AE，P为AE上一点，在AP的上方以AP为边作等边△APQ，刚好点Q是点P关于直线AC的对称点，连接CP，当CP+AP取最小值的条件下，点G是直线PQ上一点，连接CG，将△CGP沿CG所在直线翻折得到△CGK（△CGK与△ABC在同一平面内），连接AK，当AK取最大值时，请直接写出的值．
参考答案
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．﹣
【分析】根据相反数的概念，即一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
解：根据概念，的相反数是﹣（），即．
故选：C．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．下列四个汉字中，可以看作是轴对称图形的（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：选项A、B、C的汉字不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项D的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．下列各点在反比例函数的图象上的是（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣3，﹣2）D．（3，2）
【分析】根据得k＝xy＝﹣6，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于﹣6，就在函数图象上．
解：∵，
∴k＝xy＝﹣6，
A．xy＝﹣2×3＝﹣6＝k，符合题意；
B．xy＝2×3＝6≠k，不合题意；
C．xy＝﹣3×（﹣2）＝6≠k，不合题意；
D．xy＝3×2＝6≠k，不合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
4．估计的值应在（ ）
A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9 之间
【分析】先估算出在哪两个连续整数之间，继而求得3+在哪两个连续整数之间即可．
解：∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
∴6＜3+＜7，
即3+的值应在6和7之间．
故选：B．
【点评】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知AB：DE＝1：2，△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（ ）
A．6B．8C．12D．16
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC≌△DEF，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC≌△DEF，
∵AB：DE＝1：2，
∴＝（）2＝，
∵△ABC的面积为4，
∴△DEF的面积为16，
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
6．用字母“C“，“H”按如图所示的规律拼图案，则第⑧个图案中字母“H”的个数为（ ）
A．16B．17C．18D．19
【分析】根据题目中的图案，可以写出前几个图案中“H”的个数，从而可以发现“H”个数的变化规律，进而得到第⑧个图案中“H”的个数．
解：由图可知，
第①个图案中“H”的个数为：2×2＝4（个），
第②个图案中“H”的个数为：2×3＝6（个），
第③个图案中“H”的个数为：2×4＝8（个），
…，
则第⑧个图案中“H”的个数为：2×9＝18（个）．
故选：C．
【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中“H”个数的变化规律，利用数形结合的思想解答．
7．点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3）都在函数y＝x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＞y2＞y1B．y1＞y2＞y3C．y1＞y3＞y2D．y2＞y1＞y3
【分析】把x＝﹣1、﹣3、2代入解析式计算出对应的函数值，然后比较大小即可．
解：当x＝﹣3时，y1＝x2＝9；
当x＝﹣1时，y2＝x2＝1；
当x＝2时，y3＝x2＝4，
所以y1＞y3＞y2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标特征满足其解析式．
8．某中学连续3年开展植树活动，已知第一年植树600棵，第三年植树864棵，若设该校这两年植树棵数的年平均增长率为x，根据题意可列出方程（ ）
A．600（1+x）＝864B．600（1+x）2＝864
C．600（1+2x）＝864D．600（1﹣x）2＝864
【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出方程600（1+x）2＝864，然后即可判断哪个选项符合题意．
解：由题意可得，
600（1+x）2＝864，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
9．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC边上一点，连接DE，F为DE的中点，连接OF，CF，若△BED的周长为14，则△OCF的周长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据矩形的性质得到DO＝OB＝OC，根据三角形中位线定理得到OF∥BE，OF＝BE，根据相似三角形的性质得到△DOF的周长：△DBE的周长＝1：2，证明△DOF≌△COF，得到答案．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DO＝OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵DO＝OB，DF＝FE，
∴OF是△DBE的中位线，
∴OF∥BE，OF＝BE，
∴△DOF∽△DBE，
∴△DOF的周长：△DBE的周长＝OF：BE＝1：2，
∵OF∥BE，
∴∠DOF＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，
∴∠DOF＝∠COF，
在△DOF和△COF中，
，
∴△DOF≌△COF（SAS），
∴△COF的周长：△DBE的周长＝1：2，
∵△BED的周长为14，
∴△OCF的周长为7，
故选：D．
【点评】本题考查的是矩形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的周长比定义相似比是解题的关键．
10．对两个整式A＝a+b，B＝a﹣b进行如下操作：将A+B的结果记为C1＝2a，称为第1次操作；将第1次操作的结果C1加上A﹣B，结果记为C2＝2a+2b，称为第2次操作；将第2次操作的结果C2加上A+B，结果记为C3＝4a+2b，称为第3次操作；将第3次操作的结果C3加上A﹣B，结果记为C4＝4a+4b，称为第4次操作；…．
下列说法：
①当b＝a时，则第5次操作的结果C5＝10a；
②当b＝﹣a时，则第2024次操作的结果C2024＝2a；
③当b＝2a时，则100次操作的结果之和C1+C2+⋯+C100＝15100a．
其中正确的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【分析】依次求出C1，C2，C3，…，根据发现的规律即可解决问题．
解：由题知，
第一次操作的结果C1＝2a；
第二次操作的结果C2＝2a+2b；
第三次操作的结果C3＝4a+2b；
第四次操作的结果C4＝4a+4b；
…，
由此可见，第2n次操作的结果C2n＝2na+2nb，
且第（2n﹣1）次操作的结果C2n﹣1＝2na+（2n﹣2）b，
第（2n+1）次操作的结果C2n+1＝（2n+2）a+2nb（n为正整数）．
当n＝2时，
C5＝6a+4b，
又因为b＝a，
所以C5＝6a+4a＝10a．
故①正确．
当n＝1012时，
C2024＝2024a+2024b，
又因为b＝﹣a，
所以C2024＝2024a﹣2024a＝0；
故②错误．
由题知，
C1+C2+C3+…+C100
＝2a+2a+2b+4a+2b+…+100a+100b
＝2a+2a+4a+4a+…+100a+100a+2b+2b+4b+4b+…+98b+98b+100b
＝2×（2+4+6+…+100）a+2×（2+4+6+…+98）b+100b
＝2×+2×b+100b
＝5100a+5000b，
又因为b＝2a，
所以5100a+5000b＝5100a+10000a＝15100a．
故③正确．
故选：B．
【点评】本题考查整式的加减及数字变化的规律，能根据表示出的C1，C2，C3，…，发现规律是解题的关键．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中
11．计算：2sin60°+（π﹣1）0＝ +1 ．
【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂计算即可求解．
解：2sin60°+（π﹣1）0＝2×+1＝+1．
故答案为：+1．
【点评】本题考查了实数的运算，关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，零指数幂的计算．
12．若一个正多边形的每一个外角都是60°，则这个正多边形的内角和等于 720° ．
【分析】根据任何多边形的外角和都是360°，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
解：多边形的边数：360°÷60°＝6，
正多边形的内角和：（6﹣2）•180°＝720°．
故答案为：720°．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
13．有三张正面分别写有汉字“真”“善”“美”的卡片，其余完全一样，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面的汉字后将其背面朝上放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 ．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上的汉字相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的汉字相同的结果有3种，
∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14．关于x的一元二次方程x2+3x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ．
【分析】利用判别式的值为0，构建方程求解．
解：由题意，Δ＝32﹣4•k•1＝0，
∴k＝．
故答案为：．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是理解题意，学会用转化的射线解决问题．
15．如图，反比例函数的图象过△OAB的顶点B，AB∥y轴，与另一边OA交于点C，且AC＝2OC，连接BC．若S△OBC＝8，则k的值为 6 ．
【分析】作AB⊥x轴，作AE⊥y轴，作CF⊥y轴，根据比例得出△ABC和△AOB的面积，利用矩形性质得到S四边形AEFC＝24，根据相似比的平方等于面积比可计算出k值．
解：如图，作AB⊥x轴，垂足为D，作AE⊥y轴，垂足为E，作CF⊥y轴，垂足为F，
∵AB∥y轴，
∴四边形AEOD为矩形，
∵点B、C在函数图象上，
∴S△OCF＝S△OBD＝，
∵AC＝2OC，S△OBC＝8，
∴S△ABC＝16，
又∵S△AOE＝S△AOD，S△OCF＝S△OBD＝，
∴S四边形AEFC＝S△AOB＝16+8＝24，
∵AC＝2OC，
∴，
∴，即，
解得k＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，通过面积的转化得到k值是解答本题的关键．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，连接CD，将△BCD沿直线CD翻折得到△ECD，连接AE．若AC＝9，CD＝7.5，则线段AE的长为 ．
【分析】连接BE，延长CD交BE与点H，作CF⊥AB，垂足为F．首先证明DC垂直平分线段BE，△ABE是直角三角形，利用三角形的面积求出EH，得到BE的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理即可解决问题．
解：如图，连接BE，延长CD交BE与点H，作CF⊥AB，垂足为F，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，CD＝7.5，
∴AD＝DB＝CD＝7.5，AB＝15，
∵AC＝9，
∴BC＝＝＝12，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CF，
∴×9×12＝×15×CF，
解得CF＝，
∵将△BCD沿直线CD翻折得到△ECD，
∴BC＝CE，BD＝DE，
∴CH⊥BE，BH＝HE，
∵AD＝DB＝DE，
∴△ABE为直角三角形，∠AEB＝90°，
∴∠CHB＝∠AEB＝90°，
∴AE∥CH，
∴S△ECD＝S△ACD，
∴DC•HE＝AD•CF，
∵DC＝AD，
∴HE＝CF＝，
∴BE＝2EH＝，
∵∠AEB＝90°，
∴AE＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法求高．
17．若关于x的不等式组的解集为x＞2，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是 ﹣9 ．
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得到m≤2；再解分式方程，根据分式方程有非负整数解得到m≥﹣7且m≠﹣1，进而确定符合题意的m的值即可得到答案．
解：解不等式＞0，得x＞m，
解不等式x＜2（x﹣1）得x＞2，
∵关于x的不等式组的解集为x＞2，
∴m≤2，
关于y的分式方程，
去分母得：4（y﹣2）﹣m＝y﹣1，
去括号得：4y﹣8﹣m＝y﹣1，
解得：y＝，
∵关于y的分式方程有非负整数解，
∴≥0且≠2，
∴m≥﹣7且m≠﹣1，
∴﹣7≤m≤2且m≠﹣1，
∴符合题意的m的值可以为﹣7，﹣4，2，
∴﹣7+（﹣4）+2＝﹣9．
故答案为：﹣9．
【点评】本题考查分式方程、一元一次不等式组，熟练掌握分式方程、一元一次不等式组的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．
18．一个四位自然数M，若它的千位数字与百位数字的差等于4，十位数字与个位数字的差等于3，则称这个四位自然数M为“凤鸣数”．如：∵6241，6﹣2＝4，4﹣1＝3，∴6241是“凤鸣数”．最小的“凤鸣数”为 4030 ；一个“凤鸣数”M的千位数字与百位数字的和的2倍与十位数字及个位数字的和记为P（M）；风鸣数”M的千位数字与3的差记为Q（M），令，当F（M）能被7整除时，则满足条件的M的最大值为 8474 ．
【分析】利用数位上的数字的特征和“凤鸣数”的定义解答即可得出最小的“凤鸣数”；利用新定义的规定计算得到P（M），Q（M），利用数字的整除性得到关于a，b的方程，再利用数位上的数字的特征求得a，b的值，利用“凤鸣数”的定义求解即可．
解：设“凤鸣数”M的千位数字为a，十位数字为b，则百位数字为a﹣4，个位数字为b﹣3，
其中4≤a≤9，3≤b≤9的整数，
当a＝4，b＝3时，a﹣4＝0，b﹣3＝0，
∴最小的“凤鸣数”为4030；
由题意得：P（M）＝2（a+a﹣4）+b+b﹣3＝4a+2b﹣11，
Q（M）＝a﹣3，
∵F（M）能被7整除，F（M）＝，
∴P（M）＝7Q（M），
∴4a+2b﹣11＝7（a﹣3），
∴3a﹣2b＝10，
∴a＝．
∵4≤a≤9，3≤b≤9的整数，
∴b＝4，a＝6或b＝7，a＝8．
∴满足条件的M的值为6241或8474．
∴满足条件的M的最大值为8474．
故答案为：4030；8474．
【点评】本题主要考查了熟的整除，整数的加减，二元一次方程的整数解，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．
三、解答题：（本大题8个小题，其中19题8分，其余每小题8分，共78分）
19．解方程与计算：
（1）（x+1）2＝2（x+1）；
（2）（﹣）÷．
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）先计算括号，再计算乘除．
解：（1）（x+1）2＝2（x+1），
（x+1）2﹣2（x+1）＝0，
（x+1）（x+1﹣2）＝0，
（x+1）（x﹣1）＝0，
x+1＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣1；
（2）原式＝（﹣）×
＝×
＝×
＝．
【点评】本题考查解一元二次方程，分式的化简等知识，解题的关键是掌握一元二次方程的减法，掌握分式的混合运算法则．
20．在学习平行四边形的过程中，小雅想利用如下条件如构造出一个菱形：如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，E为边AD上一点，连接EC，且EA＝EC，过点E作AC的垂线交BC于点F，垂足为O，连接AF，然后再利用三角形全等得到的结论去说明四边形AECF是菱形，按以上思路完成下面的作图与填空．
（1）用直尺和圆规，过点E作AC的垂线分别交AC、BC于点O、F，连接AF（不写作法，只保留作图痕迹）；
（2）证明：四边形AECF是菱形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴① AD∥BC ，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
∵EA＝EC，且EF⊥AC，
∴② AO＝CO ，
在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS）．
∴③ AE＝CF ，且AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵④ 四边形AECF是平行四边形 ，
∴四边形AECF是菱形．
【分析】（1）根据过直线上一点作已知直线的垂线是基本作法作图；
（2）根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”进行证明．
解：（1）如图：①以点E为圆心，适当长为半径画弧，交AC于点P、Q，
②分别以点PQ为圆心，同样长为半径画弧交BC于点F，
③则EF就是AC的垂直平分线．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
∵EA＝EC，且EF是AC的中垂线，
∴AO＝CO，
在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EA＝EC，
∴四边形AECF是菱形，
故答案为：AD∥BC，AO＝CO，AE＝CF，四边形AECF是平行四边形．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握菱形的判定定理是解题的关键．
21．为了迎接中招体考，初三年级进行了模拟测试，并对各个项目进行了统计和分析．某数学兴趣小组从初三年级男、女同学中各随机抽取20名学由，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析（跳绳个数记为x，共分为四组：A.100≤x＜180；B.180≤x＜190；C.190≤x＜200；D．x≥200．下面给出了部分信息：
被抽取的男同学跳绳个数扇形统计图如图所示，其中在C组的数据是：192，195，195，195，195，194；
被抽取的女同学的跳绳个数的数据是：166，178，186，187，188，189，193，197，193，191，196，196，196，196，200，208，209，209，226，228．
被抽取的男、女同学跳绳个数的平均数、中位数、众数统计表：
（1）填空：a＝ 194.5 ，b＝ 196 ，m＝ 15 ；
（2）根据以上数据分析，你认为该校初三 女 （男、女）同学一分钟跳绳更优秀，请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校初三年级参加此次体育模拟考试的男生有1000人，女生有1200人，请你估计全年级跳绳个数不少于200个的人数．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）根据平均数和中位数的意义求解即可；
（3）用总人数乘以样本中跳绳个数不少于200个的人数所占比例，再相加即可得出答案．
解：（1）男同学跳绳个数为D等级的人数为20×30%＝6（人），
所以这组数据的中位数a＝＝194.5（个），女同学跳绳个数的众数b＝196个，
男同学跳绳个数在C等级的人数为6，
则C等级人数占总人数的百分比为×100%＝30%，
所以m%＝1﹣（25%+30%+30%）＝15%，即m＝15，
故答案为：194.5，196，15；
（2）根据以上数据分析，你认为该校初三女同学一分钟跳绳更优秀，
因为男女同学跳绳个数的平均数相等，而女生跳绳个数的中位数大于男生，
所以女生跳绳个数高分人数多余男生，成绩更优秀（答案不唯一）；
故答案为：女；
（3）1000×30%+1200×＝660（人），
答：估计全年级跳绳个数不少于200个的有660人．
【点评】本题考查用样本估计总体、扇形统计图、中位数、众数的意义和计算方法，从统计图表中获取数量之间的关系是解决问题的关键．
22．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C每秒1个单位的速度运动（不包含端点A、C）．设点P运动的时间为x秒，△PAC的面积为y．
（1）请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出一条该函数的性质；
（3）结合函数图象，请直接写出△PAC的面积为3时x的值（结果保留一位小数）．
【分析】（1）分两种情况，当点P在AB上，0＜x＜3，当点P在BC上时，3≤x＜8，由三角形面积公式可得出答案；
（2）由题意画出图象，由一次函数的性质可得出结论；
（3）由（2）中的图象及一次函数图象上点的坐标特征可得出答案．
解：（1）当点P在AB上，0＜x＜3，
∵∠A＝90°，AB＝3，，
∴BC＝5，
∴AC＝＝4，
∵AP＝x，
∴S△PAC＝AC•AP＝×4×x＝2x，
∴y＝2x；
当点P在BC上时，3≤x＜8，
如图，过点P作PD⊥AC于D，
∵BC＝5，
∴CP＝8﹣x，
∵，
∴sin∠PCD＝，
∴，
∴PD＝，
∴S△ACP＝×CA×PD＝×4×（8﹣x）＝﹣x，
∴y＝﹣x．
综上所述，y关于x的函数关系式为y＝；
（2）如图，
该函数的一条性质为：在0＜x＜3时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
（3）由图象可知y＝3时，x＝1.5或5.5．
∴△PAC的面积为3时x的值为1.5或5.5．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了三角形的面积，解直角三角形，勾股定理，一次函数的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23．星期六，小鸣和小山相约在图书馆一起复习，已知小鸣小山的家到图书馆的路程均为3000米，小山的步行速度是小鸣的倍，两人同时从家里出发匀速前往图书馆，小鸣比小山晚10分钟到图书馆．
（1）求小鸣每分钟步行多少米？
（2）星期天，两人再次相约去图书馆，两人步行的速度保持不变．若小鸣步行20分钟后，改为跑步前进，最终与小山同时到达图书馆，求小鸣每分钟跑步多少米？
【分析】（1）设小鸣每分钟步行x米，则小山每分钟步行x米，根据两人同时从家里出发，小鸣比小山晚10分钟到图书馆．列出分式方程，解方程即可；
（2）设小鸣每分钟跑步y米，根据步行20分钟后，小鸣改为跑步前进，最终与小强同时到达图书馆，路程为3000米，列出一元一次方程，解方程即可．
解：（1）设小鸣每分钟步行x米，则小山每分钟步行x米，
由题意得：﹣＝10，
解得：x＝75，
经检验，x＝75是原方程的解，且符合题意，
答：小鸣每分钟步行75米；
（2）由（1）可知，小山到图书馆所用时间为3000÷（×75）＝30（分钟），
设小鸣每分钟跑步y米，
由题意得：20×75+（30﹣20）y＝3000，
解得：y＝150，
答：小鸣每分钟跑步150米．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
24．如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面30m的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为30°，无人机D测得教学楼BC顶端点C处的俯角为37°，又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离AB为60m，点A，B，C，D都在同一平面上．
（1）求此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度（结果保留根号）；
（2）求教学楼BC的高度（结果取整数）（参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
【分析】（1）在Rt△ADE中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AE的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）过点C作CF⊥DE，垂足为F，根据题意可得：CF＝BE＝（60﹣30）m，BC＝EF，CF∥DG，从而可得∠DCF＝∠CDG＝37°，然后在Rt△DCF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
解：（1）在Rt△ADE中，∠A＝30°，DE＝30m，
∴AE＝DE＝30（m），
∵AB＝60m，
∴BE＝AB﹣AE＝（60﹣30）m，
∴此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度为（60﹣30）m；
（2）过点C作CF⊥DE，垂足为F，
由题意得：CF＝BE＝（60﹣30）m，BC＝EF，CF∥DG，
∴∠DCF＝∠CDG＝37°，
在Rt△DCF中，DF＝CF•tan37°≈（60﹣30）×0.75＝（45﹣22.5）m，
∴EF＝DE﹣DF＝30﹣（45﹣22.5）＝22.5﹣15≈24（m），
∴BC＝EF＝24m，
∴教学楼BC的高度约为24m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，且A（﹣4，0），B（2，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P为线段AC上方抛物线上的任意一点，过点P作PD∥y轴交AC于D，PG⊥AC交直线AC于点G，求DG的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，点E为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点M为平移后的抛物线对称轴上的一动点，点N为坐标平面内的一点，是否存在以EM为边，以B、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由GD＝PD，即可求解；
（3）当BM为对角线时，BE＝ME，即可求解；当BE为对角线时，同理可解．
解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x+4）（x﹣2）＝a（x2+2x﹣8），
则﹣8a＝4，
解得：a＝﹣，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+4；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，4），
则OC＝OA＝4，则∠ACO＝45°＝∠PDG，
则GD＝PD，
由点A、的坐标得直线AC的解析式为：y＝x+4，
设点P的坐标为（t，﹣t2﹣t+4），则D（t，t+4），
∴PD＝（﹣t2﹣t+4）﹣（t+4）＝﹣t2﹣2t，
则GD＝PD＝（﹣t2﹣2t），
∵×（﹣）＜0，故DG有最大值，
当t＝﹣2时，GD的最大值为：，
此时点P（﹣2，4）；
（3）存在，理由：
将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，
∵y＝﹣x2﹣x+4＝﹣（x+1）2+，
∴新的抛物线y′＝﹣（x﹣1）2+，
∴平移后的抛物线对称轴为直线x＝1，
∵点E为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点M为平移后的抛物线对称轴上的一动点，
∴E（0，4），
设M（1，m），
∵B（2，0），
∴BM2＝（2﹣1）2+m2＝m2+1，
ME2＝12+（m﹣4）2＝m2﹣8m+17，
BE2＝42+22＝20，
以点B、E、M、N为顶点的四边形是菱形时，则需要分以下两种情况：
①当BM为对角线时，BE＝ME，
则m2﹣8m+17＝20，
解得m＝4±，
∴M（1，4+）或（1，4﹣），
∴点N的坐标为（3，）或（3，﹣）；
②当BE为对角线时，BM＝ME，
则m2﹣8m+17＝m2+1，
解得m＝2，
∴M（1，2），此时，B、M、E三点共线，M是线段BE的中点，
∴此种情况不存在；
综上，符合题意的点N的坐标为（3，）或（3，﹣）．
【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数的解析式，三角形的面积问题，二次函数的性质，菱形的存在性等相关问题，利用分类讨论思想进行正确的讨论是解题的关键．
26．已知，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是BC边上一点．
（1）如图1，点D是AC边上一点，连接DE，将DE绕点E逆时针旋转90°至EF，连接BF．若AC＝6，BE＝3，求△BEF的面积；
（2）如图2，连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90°至EM，连接BM，取BM的中点N，连接EN．证明：AB﹣2EN＝EB；
（3）如图3，已知AC＝2，连接AE，P为AE上一点，在AP的上方以AP为边作等边△APQ，刚好点Q是点P关于直线AC的对称点，连接CP，当CP+AP取最小值的条件下，点G是直线PQ上一点，连接CG，将△CGP沿CG所在直线翻折得到△CGK（△CGK与△ABC在同一平面内），连接AK，当AK取最大值时，请直接写出的值．
【分析】（1）证明△CDE≌△HEF，可得CE＝FH＝3，由三角形的面积公式可求解；
（2）作辅助线如解析图，证明△BEN≌△MGN，可得NE＝GN，MG＝BE，进一步可得MG＝EQ＝BE，BQ＝BE，证明△AEQ≌△EMG，可得EG＝AQ，从而可得结论；
（3）作辅助线如解析图，可得点C，P，N三点共线时，CP+AP有最小值，由折叠的性质可得CP＝CK，点K在以C为圆心，CP为半径的圆上运动，当点K落在AC的延长线上时，AK有最大值，然后由直角三角形的性质和等边三角形的性质可求解．
解：（1）如图1，过点F作FH⊥直线BC于H，
∵将DE绕点E逆时针旋转90°至EF，
∴∠DEF＝90°，DE＝EF，
∵AC＝6＝BC，BE＝3，
∴CE＝BE＝3，
∵∠ACB＝∠DEF＝∠H＝90°，
∴∠CED+∠CDE＝90°＝∠CED+∠BEF，
∴∠CDE＝∠BEF，
∴△CDE≌△HEF（AAS），
∴CE＝FH＝3，
∴△BEF的面积＝BE•FH＝×3×3＝；
（2）如图2，过点M作MG∥BC，交直线NE于点G，过点E作EQ∥AC，交AB于Q，
∵MG∥BC，
∴∠G＝∠NEB，∠GMN＝∠EBN，∠GME＝∠CEM，
∵点N是BM的中点，
∴MN＝BN，
∴△BEN≌△MGN（AAS），
∴NE＝GN，MG＝BE，
∴GE＝2NE，
∵EQ∥AC，
∴∠CAB＝∠EQB＝45°＝∠ABC，∠C＝∠QEB＝∠CEQ＝90°，
∴QE＝BE，
∴MG＝EQ＝BE，BQ＝BE，
∵将AE绕点E顺时针旋转90°至EM，
∴AE＝ME，∠AEM＝90°＝∠CEQ，
∴∠AEQ＝∠MEC，
∴∠AEQ＝∠EMG，
∴△AEQ≌△EMG（SAS），
∴EG＝AQ，AB＝AQ+BQ＝2NE+BE，
即AB﹣2EN＝EB；
（3）如图3，作点C关于AE的对称点C′，连接AC，CC′，
∵点Q是点P关于直线AC的对称点，连接C′Q，交AC于点N，
∴AP＝AQ，AC平分∠PAQ，AC垂直平分PQ，
∵△APQ是等边三角形，
∴∠CAP＝30°，PN＝AP，
∵点C与点C′关于AE对称，
∴PC＝PC′，AC＝AC′，∠CAP＝∠C'AP＝30°，∠CAC'＝60°，
∴△CAC为等边三角形，CP+AP＝C'P+PN，
当点C′，P，N三点共线时，CP+AP有最小值，
∵将△CGP沿CG所在直线翻折得到△CGK，
∴CP＝CK，
∴点K在以C为圆心，CP为半径的圆上运动，
当点K落在AC的延长线上时，AK有最大值，
∵△CAC为等边三角形，C′N⊥AC，
∴C′N垂直平分AC，
在Rt△APN中，AC＝2，∠CAP＝30°，
∴AN＝CN＝，
∴PN＝1，AP＝2，
∴AP＝CP＝2，∠APN＝∠CPN＝60°，
∵将△CGP沿CG所在直线翻折得到△CGK，
∴CP＝CK＝2，∠CKG＝∠CPG＝60°，
∴KN＝2+，∠KGN＝30°，
∴NG＝KN＝2+3，
∴S△CKG＝×2×（2+3）＝2+3，
∵S△APQ＝×22＝，
∴＝＝2+．
【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键．
平均数
中位数
众数
男同学
196
a
195
女同学
196
196
b
平均数
中位数
众数
男同学
196
a
195
女同学
196
196
b